第一篇:三角形的三线定义(范文模版)
1、三角形中,连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线
2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线。(也叫三角形的内角平分线。)
3、在三角形中,从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高,简称为高。
第二篇:全等三角形的定义
12.1《全等三角形》
(一)、自主预习课本2—3页内容,回答下列问题:
1、能够__________的图形就是全等图形, 两个全等图形的_________和________完全相同。
2、一个图形经过______、______、_________后所得的图形与原图形。
3、把两个全等的三角形重合在一起,重合的顶点叫做,重合的边叫做,重合的角叫做。“全等”用“”表示,读作。
4、如图所示,△OCA≌△OBD,对应顶点有:点___和点___,点___和点___,点___和点___;对应角有:____和____,_____和_____,_____和_____;
对应边有:____和____,____和____,_____和_____.ADOB5、全等三角形的性质:全等三角形的相等,相等。
《课后训练》
1.如图所示,若△OAD≌△OBC,∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD=.AD
AEDBCFCE
第1题图第2题图
2.如图,若△ABC≌△DEF,回答下列问题:
(1)若△ABC的周长为17 cm,BC=6 cm,DE=5 cm,则DF =cm
(2)若∠A =50°,∠E=75°,则∠B=
3.如图,△AOB≌△COD,那么∠ABD与∠CDB相等吗?为什么?
B DA
第3题图
4.如图:Rt△ABC中,∠ A=90°,若△ADB≌
△EDB≌△EDC,则∠C=
CEB
第三篇:三角形中三线交予一点问题
三角形三个高交予一点:
1、综合几何法:
(1)(利用垂直平分线交予一点)已知:△ABC中,三边上的高线分别是AX,BY,CZ,X,Y,Z为垂足,求证:AX,BY,CZ交于一点.(图略)
分析 要证AX,BY,CZ相交于一点,可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证,只须构造出一个新三角形A′B′C′,使AX,BY,CZ恰好是△A′B′C′的三边上的垂直平分线,则AX,BY,CZ必然相交于一点.
证分别过A,B,C作对边的平行线,则得到△A′B′C′(图略).由于四边形A′BAC、四边形AC′BC、四边形ABCB′均为平行四边形,所以AC′ =BC=AB′.由于AX⊥BC于X,且BC‖B′C′,所以AX⊥B′C′于A,那么AX即为B′C′之垂直平分线.同理,BY,CZ分别为A′C′,A′B′的垂直平分线,所以AX,BY,CZ相交于一点H
(2)(赛瓦定理)(3)(利用四点共圆)
如图,设高BE、CF交于H,连结AH并延长交BC于D,连结DE、EF、FD
只要证明AD⊥BC即可。
因为∠HFA+∠HEA=180°,所以A、F、H、E四点共圆,所以∠EAH=∠EFH 同理:B、C、E、F四点共圆,所以∠EFC=∠EBC,由上得:∠EAD=∠EBD,所以A、B、D、E四点共圆 所以∠ADB=∠AEB=Rt∠ 所以AD⊥BC(4)(利用相似三角形)三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF。
显然三角形ABE相似于三角形ACF,故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC(1)
过A作三角形ABC的高AD,分别交BE,CF,AB于O1,O2,D。
由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD(2)
由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD(3)根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD=AO2*AD,所以AO1=AO2,O1、O2重合,记重合点为O点,则O点均在高AD,BE,CF上,所以三角形ABC得三条高交于一点O。
(5)(反证法)三角形ABC中,AC、AB上的高BE和CF交于O点,连接并延长AO交BC于D,只需证AD为高即可。
因为角BEC,角CFB均为直角,所以B、C、F、E四点共圆,记为圆BCFE,由切割线定理知:AF*AB = AE*AC(1)
分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF,圆COE,下面只需证明角BDA=90度即可,反证:若角BDA小于90度,则角CDA大于90度,因BO,CO分别为圆BOF,圆COE的直径,所以点D在圆BOF外,在圆COE内,由切割线定理推论
AO*AD>AF*AB(点D在圆BOF外)
AO*AD 结合(1),得出矛盾,故角BDA不小于90度。 同理可证角BDA也不大于90度。 故角BDA=90度。即AD为高 2、解析几何法: 以三角形的一边为X边,其中垂线为Y轴,这样就可以通过三个顶点确定上个边的方程和中点,中垂线也就可以表示出来了。解三个中垂线方程就可以得到一个解了,即垂心。 3、向量几何法: 设ΔABC,三条高线为AD、BE、CF,AD与BE交于H,连接CF。向量HA=向量a,向量HB=向量b,向量HC=向量c。因为AD⊥BC,BE⊥AC,所以向量HA·向量BC=0,向量HB·向量CA=0,即向量a·(向量c-向量b)=0,向量b·(向量a-向量c)=0,亦即 向量a·向量c-向量a·向量b=0 向量b·向量a-向量b·向量c=0 两式相加得 向量c·(向量a-向量b)=0 即向量HC·向量BA=0 故CH⊥AB,C、F、H共线,AD、BE、CF交于同一点H。证毕。三角形中线、角平分线交予一点: 1、赛瓦定理 2、... 全等三角形 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角。 全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等。 三边对应相等的两个三角形全等,可以简写成“SSS” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,可以简写成“SAS” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,可以简写成“ASA” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,可以简写成“AAS” 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,可以简写成“HL” 角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等,角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上。 轴对称 一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴,我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。 能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重叠的点是对应点,叫做对称点。 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 与一条线短两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 点(X,Y)关于X轴对称的点的坐标为(X,-Y) 点(X,Y)关于Y轴对称的点的坐标为(-X,Y) 两条边是相等的三角形是等腰三角形。 等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等,简写成“等边对等角”。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°,三个角都是相等的三角形是等边三角形,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 实数 如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为a,读作“根号a”,a叫做被开方数。 规定,0的算术平方根是0。 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方跟。这就是说如果x的平方等于a,那么x叫做a的平方根。求一个数a平方根的运算叫做开平方。 正数有两个平方根,它们互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根。 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根,这就是说,如果x³=a,那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根运算,叫做开立方。 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.类似于平方根,一个数的a的立方根,用符号“3a”表示,读作“三次根号a”。其中a是开方数,3是根指数。 很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫做无理数。有理数和无理数统称实数。 实数有理数有限小数或无限循环小 无理数无限不循环小数数 数a的相反数是-a,一个正实数的绝对值是本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.一次函数 我们称数值发生变化的量为变量,有些量的数值是始终不变的,我们称它们为常量。 在一个变化对象中,如果有两个变量x和y,并且对于x每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么我们就说a是自变量,y是x的函数。当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a是的函数值。 对于一个函数,如果把自变量与函数的每队对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图像。 正比例函数 形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。 正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图像是一条经过原点的直线,我们称它为y=kx。当k>0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随着X的增大y也增大,当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小。 一次函数 形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数。当b=0时,y=kx+b,即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。当k>0时,y随x的增大而增大,当k<0时,y随x的增大而减小。 函数解析式ykxb选取 解出满足条件的两定点(x1,y1)与(x2,y2)画出取数一次函数的图像 任何一元一次方程都可以转化成ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以借一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值。 由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当函数值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围。每个二元一次方程都对应两个一次函数,于是也就对应两条直线。从“数”的角度看,解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这个函数值是何值;从“形”的角度看,解方程相当于确定两条直线交点的坐标。 整式的乘法 am 同底数幂相乘,底数不变,指数相加。 幂的乘方,底数不变,指数相乘。乘anamn(m,n都是正整数)amnamn(m,n都是正整数) n积的乘方,等于我们把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。abanbn(n为 正整数) 单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得积相加。两个数的和与这两个数差的积,等与这两个数的平方差。ababab 22 两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加,(或减)它们的积的2倍。ab2 2aaba22abb2abb222 添括号时,如果括号前面是正号,扩到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,扩到括号里的各项都改变符号。 同底数幂相除,底数不变,指数相减。aamnamn(a≠0,m,n都是正整数,并且m >n) 任何不等于0的数的0次幂都等于一。a1(a0) 单项式相除,把系数与同底数分别相乘作为商的因式,对于只在被除数里含有的之母,则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以多项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。 因式分解 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解。即整式乘法的逆运算。两个数的平方差,等于这个数的和与这个数的差的积。ababab 两个数的平方加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方。220ab2 2aaba22abb2abb222 三角形的三线、四心及口诀 内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等。 外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等。(是充要条件)重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似。 旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等。重 心 三条中线定相交,交点位置真奇巧, 重心分割中线段,数段之比听分晓, 垂 心 三角形上作三高,三高必于垂心交, 直角三角形有十二,构成六对相似形, 内 心 三角对应三顶点,角角都有平分线,三线相交定共点,叫做内心有根源,高线分割三角形,出现直角三对整,四点共圆图中有,细心分析可找清。交点命名为重心,重心性质要明了,长短之比二比一,灵活运用掌握好。 点至三边均等距,可作三角形内切圆,此圆圆心称内心,如此定义理当然。外 心 三角形有六元素,三个内角有三边, 此点定义为外心,用它可作外接圆,分别化出锐角、直角、钝角三角形的三线、四心 重心...中线交点...3个定点的坐标为(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)重心坐标就是(x1+x2+x3/3,y1+y2+y3/3) 第五个心:旁心 三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心叫做旁心。旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等。一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。 作三边的中垂线,三线相交共一点,内心、外心莫记混,内切、外接是关键。第四篇:全等三角形定义与证明
第五篇:三角形的三线四心及口诀