第一篇：从“植树问题”看模型思想的教学
从“植树问题”看模型思想的教学 一、一道期末试题与原因分析
小明从第1棵树匀速走到第6棵树用了3分钟，那么以相同的速度从第一棵树走到第30棵树需用几分钟？（每两棵树之间的距离相等）
思路简析：很显然，这道题属于“植树问题”的拓展应用，解答这道题首先要知道“植树问题”的间隔规律（棵树比间隔数多1），然后根据间隔规律分别推算第1到第6棵树之间有5个间隔，每个间隔时间为3÷5=0.6分钟。然后再根据1到30棵树有29个间隔，将0.6×29 求出共需要的时间。访谈中，我们了解到大多数学生对不同“植树问题”的间隔规律不是很理解，不清楚这道题要归结为哪一种模型的“植树问题”来解决。
原因分析：“植树问题”在人教版四年级下册已经学习过，2014年修订教材调整到五年级上册，按道理应该不难理解。可学生的得分率如此之低很是出乎笔者的意料。经过访谈，笔者了解到，大多数学生都能说出间隔数和植树棵树之间的关系，但是将植树问题模型与生活实际相关联不熟悉，笔者认为这可能与教师授课时的侧重点有关系。该班级的教师在四年级教学时，采用整体教学的办法，把“植树问题”的三种类型，即所谓的“两端都种”“只种一端”与“两端都不种” 在一节课中同时呈现。并将“三种情况”的区分以及相应的计算方法（“加一”“不加不减”与“减一”）看成一种“规律”，要求学生熟练记住，牢固掌握。由于时间紧张，该教师在比较三种类型后没有时间进行把生活中的问题转化成“植树问题”的环节，课后也没有花时间进行专项训练，致使学生对模型的理解仅仅停留在典型的“植树问题”上。有些学生虽然会解决这一问题，但这些学生尚不能把“植树问题”的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这就导致了能找到规律但不会熟练运用规律解决问题。
二、对“植树问题”教学中问题的反思
1.教学时应注重“植树问题”的模型应用。
“植树问题”的教学涉及两种层面的数学活动：其一，“植树问题”可区分出三种不同的数学模型，即“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”；其二，以“植树问题”为原型引出普遍性的“间隔现象”的思考模式，然后再利用这一模式去解决各种新的实际问题，如“路灯问题”“排队问题”“锯树问题”“爬楼问题”等。在实际教学中，教师们往往过于重视第一个层面的教学活动，即注重三种不同模型的区分，而对第二个层面的教学活动缺乏应有的重视。这样就可能导致学生未能清楚地认识到上述现实问题都与“植树问题”有着相同的数学结构，可以被归结为同一个数学模式，这样的“植树问题”教学无疑是有问题的。本题较低的得分率提醒我们：“模式应用”要比“三种情况的区分”有着更大的重要性。
俞正强老师执教的“植树问题”一课。他在引导学生理解了“植树问题中的树是种在平均分的点上”后，随即提出一个问题让学生思考“除了植树人把树种在点上，还有什么人把什么也放在平均分的点上？”这个问题很巧妙地将“植树问题”引入生活，让学生回到生活中找“植树问题”。学生列举这些例子：服务员杯子的放法，工人每隔几米打地基，路灯的建设，每隔40米建一幢房子等都是放在平均分的点上。显然，学生所说都是比较平常的事例。此时，俞老师有意举出不同的例子：“高速公路，每隔50米设1个服务区”“美国选总统每5年选一次”“每隔一学期一张奖状”等引导学生理解这些例子与植树类似。在俞老师的拓展启发下，学生想出的生活例子更多了。最后俞老师小结：“生活中的‘植树问题’，研究的是平均分中的点。”在这个环节中，俞老师花的时间比较多。其实就是从抽象的数学模型出发，联系生活实例，拓宽学生思路，不断加深对“植树问题”这类数学模型的理解，取得了很好的教学效果。
2.改进“植树问题”的模型建构策略。
策略一：从除法的意义入手建构模型。
笔者认为，学生在学习“植树问题”之前已经学会用除法算式解决实际问题，那么，在解决“植树问题”的过程中可以基于学生的学习基础，从除法的意义入手，将“植树问题”作为用除法解决问题中的一类特殊情况加以处理，可以采用“一一对应”的思想，在理解“间隔数和棵树”这两者关系的基础上，引导学生逐步建构“商+1，商，商-1”的植树问题模型，并在解决问题的过程中学会具体问题具体分析，判断数学模型，应用数学模型解决问题。
俞正强老师分四个层次解决“植树问题”的建构问题。
（1）从除法意义入手。第一个问题：“20米，每5米分一段，共分几段？”这个问题是二年级平均分的问题。学生一下就列出了算式：20÷5=4（段）。“为什么用除法来做？”“你什么时候会做这种题目的？”通过一连串问题，回归除法的意义，帮助学生复习――用除法算式解决问题的最根本的意义是平均分。
（2）变式思考。第二个问题：“20米路，每5米栽一棵树，共栽几棵树？”学生的普遍想法是：20÷5=4（棵），都认为也是在把20平均分，所以是4棵。而只有一位学生的想法是不同的，他认为是“20÷5+1=5（棵）”，因为在0米时要种一棵。俞老师通过一连串追问，学生不断地进行思考与表述，最后通过画图得出是5棵。利用数形结合思想，帮助学生理解“树是种在哪儿的？”
（3）两题比较。俞老师追问：“这两题一样吗？不一样在哪里？”学生通过对问题的思考，区分出平均分是一段一段地分，而种树是种在段与段之间两端的点上。教师板书：点。接着，教师不断追问：“点与段的差别在哪里？”“点多，还是段多？”“怎么个多法？”“ 1段是2点，2段是3点，3段是4点，4段是5点……”当学生清楚地得出“棵（点）=1+平均分”时，教师小结：“植树是植在点上的。”
（4）问题变式。如果把20米改成50米，改成100米，200米呢？还能解决吗？“不管换成多远，方法都是一样的。”俞老师将例题引申到更为普遍的现象中。
策略二：从基本模型拓展到其他模型。
前文提及，在“植树问题”中涉及“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”这三种模型，笔者认为，这三种模型应该以“两端都种” 为基本模型，教学中不应该对三种模型平均用力，可重点教学“两端都种”，在此基础上通过变式发展得到“只种一端”与“两端都不种”的数学模型。这样既把握了三种数学模型的内在联系，又避免了教学时间不足的矛盾。仍以俞老师执教的“植树问题”为例：教师在引导学生建立“20÷5+1”这个数学模型后，巧设了两个变式情境，并做拓展。
（1）一端不种。教师问：“某某小朋友，你扛着5棵树准备去种，如果其中一端被一栋房子挡住了，你怎么办？”在教师的引导下，学生得出方案：带回一棵树，即“20÷5+1-1”，也就是一端不种减1。
（2）两端不种。教师又问：“某某小朋友，你也扛着5棵树去种，两端都被房子挡住了，你怎么办？”此为呈现出另一种特殊情况，即两端不种，带回两棵。学生得出方案：“20÷5+1-2”，即两端不种减2。
这两个模型则是在“20÷5+1”这一经典模型的基础上演变出来的。带回1棵就减1，带回2棵就减2。清楚直观，不易混淆。
（3）模式拓展。教师又追问：“除了种树外，什么情况下可以一端不种，什么情况下可以两端不种？”通过再一次的举例，学生对“植树问题”在生活中的应用有了更为深入的理解。
学生学习“数学模型”的建构与应用，需要经历一个长期的、不断积累经验与不断深化的过程。教师在教学实践中结合数学知识的教学精心培育模型方法，使学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程。教师要重视数学模型的应用，引导学生用数学模型来描述身边的自然现象和社会现象。
（作者单位：福建省福州市钱塘小学屏北分校）
第二篇：从BOPPPS教学模型看课堂教学改革
从BOPPPS教学模型看课堂教学改革
摘要：针对当前大学课堂教学中的常见问题，分析北美教师技能培训的BOPPPS模型，提出改进课堂教学的观点，特别强调学生的参与以及及时获取学生对教学的反馈。
关键词：BOPPPS；课堂教学；教学改进
引 言
2014年5月25日-6月20日，我们远赴加拿大参加了为期1个月的教学活动，先后在温莎大学和英属哥伦比亚大学参加了ISW（instruc-tional skills workshop）、TDA（teaching dossieracademy）、CDI（course design intensive）3个教学培训。在这1个月中，我们深入参与到加拿大大学的教学活动中，充分了解课堂教学的各种形式，感受到高校学生、教师的教学态度和方法。其中，让我们印象最为深刻的是ISW培训中使用的BOPPPS模型。BOPPS模型简介
BOPPPS模型是北美高校教师技能培训过程中推崇的一个教学模型，是根据教育学人的认知理论提出的一种教学过程设计。BOPPPS模型将知识点教学过程划分为引入（bridge-in）-吸引学生的兴趣、目标（objective）-让学生知道该课程要到达的教学目标、预测（pre-assessment）-了解学生的基础知识掌握情况、参与式学习（participatory learning）――让学生多方位参与教学从而掌握知识、后测（post-assessment）――了解该课程是否到达教学目的、小结（summary）-总结知识点6个部分，简称为BOPPPS。
BOPPPS模型的核心有两点：一是强调学生全方位参与式学习而不只是听讲；二是要及时获得学生的反馈信息，以调整后续教学活动。教师在课堂教学过程中可以借鉴这种模型，充分应用灵活多样、直观形象的教学手段，鼓励学生积极参与教学过程，使学生能深刻地领会和掌握所学知识。课堂教学常见问题
知识点的教学需要关注知识的系统性、基本概念的定义、知识组成结构及知识的运用，但传统的课堂教学往往都是教师在讲授这些概念和知识，学生只是听众。目前的课堂教学活动中主要有如下一些问题。
（1）没有明确的教学目标，只是把知识罗列出来，导致学生不知道学了这些知识有什么用。
（2）过分关注知识的系统性，在有限的课时下，不管重点知识还是外围知识，通过大量的PPT放映灌输给学生，学生往往消化不了，还没等到考试便忘记大部分内容。
（3）教师对教学内容知识体系理解不深，缺乏对知识的亲身体验，导致对教学重点把握不到位。
（4）把学生当听众，学生没有或者很少有其他方式的参与，由于有电子课件，学生连笔记都不做，更不用说课堂实践，这导致学生很容易开小差。
（5）缺少及时从学生获得的反馈信息，不了解学生的接受情况，教学效果大打折扣。
（6）缺少对知识点的引入、技术实现和技术演化环环相扣的讲解，这一点是教师对知识点的理解程度受限和讲授技巧的问题。课堂教学要让学生深度参与
教学效果好坏的标准不是教师传授知识点的系统性，而是学生对知识的掌握程度，更是对知识运用的能力，起决定性的应该是对知识运用的主观能动性，是通过知识点的教学过程所培养学生的一种进取精神和学习方法。如果知识点的教学只是关注知识的系统性、基本概念的定义及知识组成结构，并且教师在课堂上讲授这些概念和知识时把学生当听众，那么就算教师把知识点归纳得再完美，学生也不能掌握，最终导致教学的失败。因此，学生要全方位地、深度地参与到教学的全过程，教师也需要从了解学生的需求和教学过程的反馈出发调整教学，让学生在各个环节大面积地参与教学内容的讨论、归纳、实践，只有这样才能培养学生的进取精神和学习能力。课堂教学改进的思考
BOPPPS教学模型强调学生全方位参与和及时的反馈交流。对于具体如何参考BOPPPS模型有效地开展课堂教学，我们有以下几点思考。
4.1 明确教学目标与内容
教师在进行教学设计时要从“为什么学这个知识点”人手确定教学目标与内容，这也是引起学生兴趣的关键。学这个知识点的原因主要足由这个知识点的基础性、实用性决定，教学目标要能够明确且好评估；根据教学目标，再进一步确定通过哪些具体的教学内容提升学生的知识与技能；然后决定采取什么教学手段实现教学日标，使学生掌握教学内容。例如，在计算机操作系统教学中，对“分页存储管理” 知识点的教学目标与内容的确定，教师可从充分利用存储空问人手引入分页存储，同时因为“分页存储管理”是现在实用的“虚存管理”基础知识而确定这个知识点的重要地位；教师还可通过“分页结构及地址变换过程”教学内容实现“掌握分页结构及地址变换过程”的教学目标，但是“掌握分页结构及地址变换过程”教学目标就不如写成“能计算分页仔储系统物理地址及计算地址变换开销，能设汁分页存储管理系统”，因为后者比“掌握”更容易定量评估。
4.2 综合采用多种课堂教学形式
根据教学目标和内容，教师可综合采用系统讲授、案例教学、小组讨论、学生互教、练习、角色扮演等多种教学形式，与传统的课堂讲授方式相比，这些教学形式需要加入很多课堂互动的环节，使得课堂具有实践性、创新性、开放性、趣味性、反馈及时的特点。例如，在操作系统“分页存储管理”教学中教师就可以在基本概念和过程讲授之后，安排一个基于页表进行地址变换的计算题，让学生讨论后做一做，加深理解；在计算机程序设计课堂教学中，教师可系统讲授知识点后让学生马上在自己的便携式电脑中进行程序设计练习，并通过检查程序是否通过把握学生的掌握程度。
4.3 积极鼓励甚至要求学生参与课堂教学
传统课堂的学生习惯被动接受教师所传授的知识，然而基于BOPPPS模型的课堂要求学乍更多地参与到教学活动中，因此教师需要转换学生的学习观念，激起学生“我要学”的求知欲，尽量使学生认识到参与式学习、主动学习对提高学习效果的作用，鼓励他们积极参与到教学活动中。为突破观念上的障碍，除了说服学生和力求在教学内容上具有吸引之外，还应采取各种鼓励性和干预性措施，如对积极参与课堂活动的学生进行鼓励，给予相应的平时分数奖励，以激发学生参与欲望，对不能积极参与的学生应该点名回答问题或者有意制造其参与活动的机会。
4.4 精心安排上课内容和方式
基于BOPPPS模型课堂的核心是以学生为主体的参与式学习过程，这就要求教师能深挖知识点，对授课知识认识上升高度，帮助学生处理在学习过程中可能出现的各种错误并解答学生在解决问题过程中可能会产生的疑惑，阐明学生容易出现的错误点、易混点和解决问题的思维方式。因此，教师每次课前应认真准备，做好学生的教学需求分析，在教学计划中考虑“这次课主要内容是什么”“这次课如何更好地引入”“学生应该做些什么，又会做些什么”“课堂中间如何进行参与学习”“怎样在教学内容上与学生进行沟通交流，如何回答学生的一些问题”等，同时告诉学生该课程的教学计划安排，希望学生给予哪些支持和配合，通过教学需求分析使互动式教学更有针对性，调动学生学习的积极性和主动性，提高教学效果。
4.5 及时收集学生反馈
为了鼓励学生参与教学过程并了解教学效果，教师应及时掌握学生学习动态，收集学生的学习信息并把有关的答案反馈给学生，调动学生的学习兴趣；利用反馈信息修改教学内容，改进教学方法。获取反馈信息可以有多种形式，可以是提问、电子回答器（clickers）、各种小测验、反馈信息表等，如根据BOPPPS模型进行预测和后测以及在教学过程中随时利用各种测试、提问等获取学生学习情况，以便对后面教学进行调整。
每周或每章课结束时，教师可要求学生填写以下内容：①这周（章）学到了哪些知识____，还有以下内容没听懂____；②喜欢这周（章）课的地方是____，不喜欢这周（章）课的地方是____；③对下面课的建议是____。对学生提交的以上信息，教师要尽快整理分析并及时在下周（章）课之前反馈给学生，这样既能满足学生的学习需要，又能不断地提高自身教学水平。结语
在基于BOPPPS教学模型进行教学活动过程中，教师要时刻牢记教学必须是“教”与“学”双向互动，教学相长，在教学过程中要体现“主导”性作用，让学生充分发挥学习过程中的“主体”性地位，通过主动学习、主动参与、主动探究、主动创新不断发展自我、完善自我、超越自我，实现学生变被动学习为主动学习，变“要我学”为“我要学”，最终达到提高教学效果，培养创造性人才的目的。
当然，如果学生加大课堂参与力度，那么在课时有限情况下课堂教学内容量会下降，这就要求学生加大课外学习量，甚至教师采用翻转课堂的形式进行教学。少灌一点知识而培养学生主动学习的品格和能力，比生硬地灌输知识要好得多。
第三篇：从《植树问题》谈数学建模
从《植树问题》谈数学建模 哈尔滨市经纬小学校 刘洋
教学片段：
师：同学们，你们知道最早的计数方法是什么吗？对了，结绳计数。这节课，老师也带来了一根绳子。这是一根长0.4米的绳子，平均0.1米分一段，可以分几段？ 生：0.4÷0.1=4（段）师：为什么用除法？ 生：因为是平均分。
师：在这根长0.4米的绳子上，每隔0.1米打一个结，共可以打几个结？ 生：0.4÷0.1=4（个）
师：究竟可以打几个结，请利用学具在小组中实际验证一下，看看有哪些情况？ 生：小组操作
师：哪个小组可以汇报你们的验证结果？
生1：我们小组通过操作发现，从第一个结到最后一个结，一共可以打5个结。生2：我们小组通过操作发现，从第一个结到最后一个结，一共可以打4个结。生3：我们小组通过操作发现，从第一个结到最后一个结，一共可以打3个结。师：仔细观察这三组结论，有什么发现？
生：第一组绳子的两端打了结。第二组绳子的一端打结，另一端没有打结。第三组绳子的两端都没有打结。
师：这么多种情况，我们逐一研究。先从第一组绳子两端都打结的情况开始，好不好？ 师：我们一共解决了两个问题，这两个问题一样吗？ 生：不一样
师：几段，几个有什么不一样呢？
生：段是指两个点之间的部分，个在这里表示打了几个结，结是打在段与段之间的点上的。师：段和点的差别又是什么？ 生：1段有2个点。师：2段有几个点？ 生：3个点。
师：点和段有什么联系？ 生：点比段多1。师：我们一起来数一数。
在数学中，我们可以用一条适当长度的线段来表示这条长度为0.4米的绳子，把这条线段平均分成4份，线段上的每一个点就可以表示绳子上的结。我们再来数一数，看看在这条线段上点和段之间是否还有这样的关系。
师：请你也选择一条适当长度的线段来表示这条绳子，用线段上平均分得的点来表示绳子上的结。生：展示作品
师：说一说你是怎样画的？为什么这样画？一共可以打几个结？
生：我用这样长的一条线段表示这条绳子。在这条绳子上每隔0.1米打一个结，就是把这条绳子平均分成了4分，所以我把这条线段也平均分成4份，这样线段上一共有5个点，那么这条绳子就可以像这样打5个结。
师：不用画线段图，如果这条绳子长1米、2米、3米……又该打几个结呢？请同学们拿出学习卡，填写表格。
师：认真观察表格，你发现在这样的一条线段上画点，段数和点数之间有什么关系？将自己的发现在小组内说一说。生：汇报发现。
师：为什么两端都打结，点数比段数多1？
借助课件帮助学生进一步直观理解。
师：在这种两端都打结的情况中，我们发现点与段之间有这样的关系，那么其他两个小组汇报的情况中，点和段又有怎样的关系呢？ 生2：我们小组发现，点和段数量相同。师：能用线段图表示你们的结论吗？试一试 生：展示作品
师：我们一起来数一数。
生3：我们小组发现，点比段少1。我们也可以用线段图这样表示。（展示作品）师：我们一起来数一数。
师：你们都是善于观察发现并乐于研究的孩子。
师：在数学中，我们把类似于这样的问题称为植树问题。这也是我们本节课要重点来研究的问题。像这样直直的线段我们可以把它看做一条直直的小路，通常我们可以把树植在像这样平均分的点上。在数学中，通常把这样的段叫做间隔，每一段的长度就是间隔长，那么段的数量就是间隔数，把这样的点称为棵，那么点的数量就是棵数。
像第一种两端都植树的情况，棵数与间隔数之间有什么关系？ 生1：棵数=间隔数+1 生2：老师我知道了。像第二种一端植树另一端不植树的情况，棵数与间隔数之间的关系是，棵数=间隔数。
生3：像第三种两端都不植树的情况，棵数与间隔数之间的关系是，棵数=间隔数-1。教学反思：
课标中对建模有这样的描述：建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立等式等表示数学问题中数量变化和变量规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用知识。对几何直观又有这样的描述：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。本节课从实物模型到数学图形（线段图），教者用这样的方式借助几何直观帮助学生分析问题并学会一种分析问题的方法，不失为这节课的亮点之处。
一、面向全体，暴露已有认知经验
“师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。”学生的已有经验中包括已有认知经验、已有知识经验，也包括已有活动经验。本课以“同学们，你们知道最早的计数方法是什么吗？”这样的问题导入新课是面向全体学生的，照顾到全体学生的已有认知经验——结绳计数，又照顾到学生刚刚掌握的已有知识经验——小数除法。由一个问题沟通已有经验和探究问题，照顾到全体学生的发展水平。
二、构建模型，充分利用数学思想
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。广义的讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫做数学模型。狭义的讲，只有反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系结构才叫数学模型。选择从实物模型过度到数学模型（线段图）就是一种广义上的建模。儿童的思维特点就是形象思维优于抽象思维，因而对于比较抽象的数学知识，借助几何直观，通过建模，帮助学生进行思维转换的做法是比较科学的。让学生借助绳子这一实物模型探究数学问题，可以帮助学生很好的将外部世界和数学沟通起来。学生在观察和操作的过程中，在相同的解决问题的情境下反复经历由实物模型到数学模型的抽象过程，培养学生的模型思想，锻炼学生的抽象思维。选择贴近学生已有认知经验的，形象性更强的实物模型符合儿童的形象思维特点。
学生通过对比观察所展示的成果，从中学生发现：在同一问题情境下却出现三种不同结果，从而引导学生观察思考，发现三种不同结果之间的内在联系与本质区别。学生在对比观察的过程中，发现三种结果平均分得的份数相同，而所画的点数却不同。进而归纳出三者不同之处的关键在于绳子的端点处是否画点以及画几个几点。学生根据不同猜测点数与平均分得份数之间有怎样的数量关系。
仅仅通过猜测得出结论并不科学，还需要继续验证。由于本课要对三种情况都进行验证，课程容量非常大，因此，课上重点验证第一种最基本的情况，即“两端都画点”。其他两种情况学生可以自主选择运用画图分析、合情推理等方法进行验证。
三、落实四基，积累基本活动经验
课标中指出数学学习的四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。通过画图分析和数据积累帮助学生积累基本活动经验的同时，使学生掌握了探究问题的方法，即画图分析和数据积累。
本节课以这样的问题：“仅通过一组数据，就能验证结论是正确的吗？”引导学生经历举例验证积累数据的过程，进一步发展学生的抽象思维，经历由一般到特殊的思维发展过程。考虑到探究容量大及学生的接受能力，将填表举例的过程中难度降低，只研究加减情况，使学生经历绳长变化，间隔长不变，仿照上述探究活动，用画线段图的方法在画一画，分一分，填一填，在一系列探究活动中再次经历验证规律的过程。
本节课借助几何直观，激发学生已有认知经验，通过建模，逐步深入的引导学生通过合理猜测、画图分析、寻求规律、解决问题一系列掌握一种数学活动经验。学生在本节课不仅仅学会解决一类问题的方法，感受几种数学思想，而是学会了一种探究问题的方法，这才是学生最应该积累的数学学习经验，在“做数学”中将生活“数学化”。
第四篇：植树问题教学设计
植树问题（两端都栽）教学设计
教学目标：
1．建立并理解在线段上植树（两端都栽）的情况中“棵数=间隔数+1”的数学模型。
2．利用线段图理解“点数=间隔数+1”“总长=间隔数×间距”等间隔数与点数、总长、间距之间的关系，解决生活中的实际问题。
教学重点：建立并理解“点数=间隔数+1”的数学模型。
教学难点：培养用画线段图的方法解决问题的意识，并能熟练掌握这种方法。
教学准备：课件、直尺、白纸若干
教学过程：
一、激趣导入，直观认识间隔
（1）、猜谜语：两棵小数十个叉，不长叶子不开花，能写会算还会画，天天干活不说话。（谜底：手）
（2）、引出间隔，直观认识间隔
师：其实，我们的手上也蕴含着很多数学问题，你能找到吗？大家一起伸出你们的左手，张开，我们现在伸出了几根手指。
生：五根。
师：再仔细观察，手指昱手指之间有什么？ 生：间隙。
师：“间隙”在我们的数学里有一个专业的名词，叫“间隔”。有多少个间隔叫做间隔数。你能找出生活中的间隔吗？
（PPT展示图片）请生找出图片中的间隔，并问间隔数是多少。
设计意图：导入环节的设计意图主要是引出间隔、间隔数的概念，让同学们直观的认识间隔，为后面的教学铺垫。
师：我们生活中到处都存在着间隔，在这些事物中，物体的个数与间隔数之间都存在着一定的规律。这节课我们就一起来探究一下他们之间到底存在着什么样的规律。（板书：植树问题）
二、创设情境，探究新知
师：同学们，我们都知道植树不仅可以绿化环境还可以净化空气。我们学校准备在明年春天植树，他们是怎样植树的呢？请看例题。（PPT出示例题）
1、同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
读题、审题 师：同学们对于这道题还有没有不理解的地方？没有？那么老师有一个小问题，谁来告诉老师这个“两端要栽”是什么意思？
生：两端要栽是指小路的两端都要栽。
请生上来指一指哪里是两端，找到关键信息（一边），理解（两端要栽）师：理解了题意后，有没有同学心中已经有了答案？谁来举手说一说。生一：21 100÷5＋1=21（棵）生二：22
100÷5＋2=22（棵）
师：好，现在两个同学的答案不一样了，那么谁的答案才是正确的呢？我们应该怎么办？
生：画线段检验。
师：应该怎么画？谁来教教老师。请生指导、示范。
师：100m是不是太长了?如果要画完，是不是太麻烦了？应该怎么办? 生：截取一段小一点的分析。
设计意图：这里老师选择了100m作为例题的数据，主要是让学生觉得100m画起来太麻烦了，从而让他们选取一段小的做为研究对象，体会“化繁为简”。
三、探索实践，建立模型
教师：先看看20 m的距离，在两端都栽的情况下可以栽几棵树，在草稿本上画一画。
实物投影或课件出示：
教师：说说你是怎么想的？
预设：20÷5=4，20 m被平均分成4段，因为两端要栽，所以要栽5棵树。
教师：再画一画，25 m可以栽几棵树？（学生操作）谁来说说你的想法？
预设：25÷5=5，就是把25 m平均分成了5段，因为两端都要栽，所以要栽6棵树。
还可以这样画：这里的蓝色线段表示什么？（间隔数）红色线段呢？（植树棵数）
教师：不画图，你能把下面的表格填写完整吗？
（根据学生回答，教师在课件上输入数据）你发现了什么规律？
预设：棵数要比间隔数多1。（追问：可以用怎样的一个式子表示？）棵数=间隔数+1。
教师：谁能说说为什么要“+1”？（因为两端都要栽，所以栽树的棵树比间隔数多1。）你能用发现的规律解决开头的问题吗？（指名回答，分析讲解）
教师：回顾这个问题的解答过程，说说你的想法。
归纳小结：在解决较复杂或数据较大的问题时，可以先从简单数据出发得出规律，然后将规律运用于复杂问题进行解决。
【设计意图】“画示意图──抽象出线段图──不画图”的教学过程，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的设计理念，也正是在这一进程中，通过积极有效的教学活动，使学生建立起“两端都栽”这类植树问题的数学模型。
四、利用新知，解决问题
师：刚刚我们用我们勤劳的双手与聪明的大脑为我们的小路种上了树，绿化了我们的生活环境。接下来，我们来亮化一下我们的街道，给我们的街道安装上路灯，好不好？
生：好！
（PPT出示例题）1．在一条全长2 km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50 m安一盏。一共要安装多少盏路灯？
师：读完这个题目，你觉得有哪些地方需要特别引起注意？
预设1：单位不统一，要先进行转化再计算。
预设2：两旁。（追问：表示什么？）就是两边。你能通过画图的方法表示出“两旁”吗？在计算时该怎样体现？（先算出一边的路灯的数量，再乘以2。）
学生练习，指名回答。km=2000 m
（2000÷50+1）×2=82（盏）答：一共要安装82盏路灯。
师：2000÷50算的是什么？（间隔数）“+1”说明了什么？（两端都要安装）
师：接下来，我们来玩一个小游戏，老师需要5个男同学。哪些同学愿意？
要求：如果每两个男同学的中间站一个女同学，需要几个女同学？ 生：4个。
（这里请女生上来站一下，并问男同学相当于植树问题中的什么？女同学相当于植树问题中的是那么？）
2．马路一边栽了25棵梧桐树。如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵？
师：仔细读题，认真思考，说说你对这个题目的理解。
引导得出：要求一共栽多少棵银杏树，实际就是求梧桐树的间隔数。由“棵数=间隔数+1”可得“间隔数=棵数-1”。
25-1=24（棵）
答：一共要栽24棵银杏树。
师
【设计意图】练习中的实际问题，相比例题有一些变化，对于学生的理解能力提出了更高的要求。第1题用画图的方法直观地表示出“两旁”，解决了算式中为什么要“×2”的问题；第2题先让学生思考，说说自己的理解，验证的环节既是对方法的回顾，又体现了数学的趣味性。
五、逆向思考，拓展新知
园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6 m种一棵，一共种了36棵。从第1棵到最后一棵的距离有多远？
教师：读题并思考，要求“从第1棵到最后一棵的距离”就是求什么？（路长）跟例题相比，有什么不同？
预设：例题是知道了路长求栽树的棵数，这题是知道了栽树的棵数，求路线长度。
教师追问：该怎样解答呢？试一试，并说说你的思路。（36-1）×6=210（m）
答：从第1棵到最后一棵的距离是210 m。
教师：“36-1”算的是什么？（间隔数）再根据“间隔数×间隔距离=路长”计算。
【设计意图】通过变式练习，加深学生对例题中发现的规律的理解。该题是植树问题数学模型的逆向应用，有了前一题“间隔数=棵数-1”的知识为基础，学生应该能比较容易地解决这一问题。对于学习有困难的同学，也可引导他们用画线段图的方法解答。
六、回顾思考，全课总结
教师：通过这一节的学习，你有什么收获？跟大家交流一下。根据学生回答，强调：
1．解决两端都要栽的植树问题的数学模型：棵数=间隔数+1。
2．当遇到较为复杂的数学问题时，可以先从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。
板书设计
植树问题（两端都栽）棵树=间隔数＋1 间隔数=总长÷间隔距离
100÷5＋1=21棵 答：一共需要21棵树。
嘉禾县珠泉完小：曾驰
2016年12月26日
第五篇：植树问题教学设计
《数学广角--植树问题》教学设计
【教学内容】《义务教育课程标准试验教科书 数学》（人教版）四年级下册117页《数学广角》例1.【教学目标】
1、理解间隔概念，知道间隔数与棵树之间的关系，初步建构植树问题的三种数学模型，并能根据数模解决简单的实际问题（两端都种），培养学生观察、分析及推理能力。
2、让学生经历观察、猜想、自主实验、探究、交流，从中发现规律，抽取数学模型过程。
3、能够应用本节所建构的植树问题的数模以及探寻到的规律，针对实际情形灵活的来解决问题。
4、让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。【教学重点】会应用植树问题的规律解决两端都种的问题。【教学难点】 建构数模，探寻规律。【课前准备】
植树的模型、多媒体课件等。【教学过程】
一、情境导入，初步感知 出示课件。（伴随着钟的声音）
上课的钟声再次响起，它将带我们去数学王国里遨游。请听钟声（钟声边响边打出点），1、钟声响一下打一个点，有几个点几个间隔? 6个点，5个间隔(课件闪一下)
2、请同学们仔细观察，是点数多, 还是间隔数多?
3、那用数学式子怎么表示呢？
点数=间隔数+1（板书）
4、生活中哪些问题也可以用这样的数学知识表示？ 课件出示（花篮、红旗、灯笼）
【设计意图】 生活中不是缺少美，而是缺少一双发现美的眼睛。数学来源于生活、回归于生活、又服务于生活。巧用“钟声”打点，将“间隔”问题通过属性结合映入到课堂中。借用“生活中哪些问题也可以用这样的数学知识表示？”让学生从生活中发现数学知识，从而发现数学来源于数学！
二、探求新知
现在，我们就用学到的规律来解决一些实际问题。
（一）设计方案，动手植树 出示招聘启事：学校将对校园进行进一步绿化，特聘请校园设计师一名。
要求设计植树方案一份，择优录取。
你们下个不想成为我们校园的设计师？我们一起来看一看设计的具体要求吧！出示要求：同学们在全长20 米的小路一边植树，每隔 5 米栽一棵。请按照这样的要求，设计一份植树方案，并说说你的设计理由。
1、从这份要求上你能获得哪些信息？
2、每隔5米是什么意思
3、现在，小组合作，并用你喜欢的方式或者画线段图表示，看看一共要栽几棵树，并观察棵树与间隔数之间的关系。
（二）学生生汇报设计方案，反馈交流
很多小组都已经完成了，先请同学们说一说，根据你的方案，需要栽几棵树？（5棵、4棵、3棵）
1、为什么同样的一段路，同样的要求，种的棵数却不一样呢？你们的方案分别是怎样的？
2、小组展示设计方案：交流设计思路
3、我们一起来回顾一下同学们设计的方案，（再出示三种方案），三种方案都符合设计的要求，谁能说说他们相同的地方在哪里？
4、不同的地方又在哪里呢？
5、介绍线段图
6、分析植树问题的三种情况，研究棵树的间隔数的关系
根据学生回答板书
两端都栽
棵树=间隔数+1
只栽一端
棵树=间隔数
两端不栽
棵树=间隔数-1 小结： 同学们这就是我们今天学习的植树问题（板书）。植树问题分为三种情况——
情况不同，棵树与间隔数的关系也就不同。
【设计意图】 课标指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”同时指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”结合新课标的要求，教学中力求发挥学生的主体地位，让他们动脑、动手、合作探究，经历分析、思考、解决问题的全过程，体会植树问题这一重要的数学思想方法。
（四）出示例题：同学们在全长30 米的小路一边植树，每隔 5 米栽一棵(两端要栽)。一共需要栽几棵树?
1、分角色读题，你获得了哪些信息
2、解析一边与两端
3、现在请大家用自己喜欢的方式来表示一共种了几棵树？再观察棵树与间隔数的关系。
4、请学生汇报 根据学生回答板书
÷
5=
6（个）
↓
↓
↓ 全长
间隔
间隔数
6+1=7(棵)
5、那现在小路变成100米，1000米，你会求吗？
6、把条件“一边”改“两边”，再让学生计算。小结
【设计意图】渗透“以小见大”的数学思想方法。“授人以鱼不如授人以渔”，新课程理念有个更具“与时俱进”的显著特点是对渗透数学思想方法的关注。从30米到100米在到1000米从而引导通过“以小见大”来找规律加以验证，总结出求棵树，都要先求间隔数，又不失时机给学生渗透常用的数学思想方法，为将来的后续学习积累更丰富实用的思想经验。
三、巩固提高
植树问题的知识在生活中的运用是很广范的，我们就一起运用刚刚学的规律来解决下面的问题吧！
出示练习：我的选择我做主
和平街长100米，现在城建局要在街道两旁每隔10米装上路灯（两端都装）。请同学们为城建局设计一下，一共要装（）盏路灯？
A、C、B、D、1、学生独立设计选项
2、生汇报
小结 同学们不仅能够做出正确的选择，还能够分析可能出现的错误的情况，看来大家是真正掌握了指数问题！真棒！老师感到很高兴！【设计意图】有效的练习是提高课堂教学实效性的重要途径。而开放性练习不仅有利于学生对基础知识和基本技能的掌握，更有利于培养学生的发散思维和创新能力。
四、课堂总结
如果老师用数字3和2来表示今天学习的知识，大家知道3和2分别代表什么吗？（3种情况，2种方法）
栽树三种情况： 两端都栽、只栽一端、两端不栽 解决问题的两种方法： 抓关键的信息、画线段图
【板书设计】
植树问题
两端都栽
棵树=间隔数+1
÷
=
6（个）只栽一端
棵树=间隔数
↓
↓
↓ 两端不栽
棵树=间隔数-1 全长
间隔
6+1=7(棵)
间隔数
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