抽屉

第一篇：抽屉

数学广角——抽屉原理

教学内容：人教版六年级下册：数学广角——抽屉原理 马爱兵

教学目标：

1、初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决实际问题。

2、通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。

3、经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

4、通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。

教学重点：抽屉原理的理解和应用。

教学难点：判断谁是苹果，谁是抽屉。

教学过程：

一、引入

1、老师任意点13位同学，就可以肯定，至少有2个同学的生日是在同一个月，你们信吗？

2、验证：学生报——出生月份。

3、点题：想知道这是为什么吗？通过今天的学习，你就能解释这个现象了。下面我们就来研究这类问题，我们先从简单的情况入手研究。

（设计意图：紧密联系学生的生活实际，从学生的出生月份谈起，产生认知冲突。使学生积极投入到对问题的研究中。同时，渗透研究问题的方法、建模的数学思想）

二、新课

（一）抽屉原理

（一）1、课件出示：有4只鸽子飞回3个鸽笼里，至少会有几只鸽子飞回到同一个鸽笼呢？你怎么证明会有2只鸽子飞进同一个鸽笼？

（1）学生独立证明、说理

（2）组内交流看法

（3）小组学生汇报

方法1）摆或画

2）数的分解：

方法3）假设法（反证法）

假设每个鸽笼飞回1只，那么3个鸽笼最多放3只鸽子，还剩下1只，也要进其中的一个鸽笼，所以至少有2只鸽子飞进同一个鸽笼。

4?SPAN lang=EN-US>3=1„„1 1 1=2

问：两个1表示的意思一样吗？

4、问：这种推理方法，实际上是刚才鸽子不同飞法的第几种？（1，1，2）

为什么你只研究这种方法就能断定一定有“至少2只鸽子飞到同一个鸽笼中”？不考虑其它几种情况吗？

——引导学生从最不利的情况考虑，把道理说明白。

5、那么，如果增加鸽子和鸽笼的数量，又会怎样呢？

出示：5只鸽子飞回4个鸽笼？

6只鸽子飞回5个鸽笼？

10只鸽子飞回9个鸽笼？

100只鸽子飞回99个鸽笼？

问：发现了什么规律？——只要鸽子数比鸽笼数量多1，总有2只鸽子飞进同一个鸽笼。

问：难道这个规律只有在这种情况下才存在吗？你还能提出什么问题？（问题意识培养）

6、如果不余1呢？怎么办？这个规律还存在吗？

生举例证明。如假设法 5?SPAN lang=EN-US>3=1„„2 1 1=2

问：为什么加1而不加2？（第二次强调最不利）

生：剩下的2只鸽子既可以飞进同一个鸽笼，也可以分别飞进2个鸽笼。要保证“至少”就继续从“最不利的情况”考虑，让2只鸽子进2个鸽笼。达到“至少”有2只在1个笼子。

7、如果把鸽子和鸽笼的数量进一步增加呢？

8只鸽子进5个鸽笼，至少有？只鸽子进同一个鸽笼？

13只鸽子进9个鸽笼，至少有？只鸽子进同一个鸽笼？

100只鸽子进95个鸽笼，至少有？只鸽子进同一个鸽笼？

生：——只要鸽子数量是鸽笼数量的1倍多，总有一个鸽笼里至少飞进2只或2只以上的鸽子。——鸽子数髁邮?SPAN lang=EN-US>=商„1 商 1

师总结：看来，余1时，是这个规律；那么，余

2、余3时这个规律也同样存在。

8、问：为什么不用分解数、画图的方法一一列举，而用假设的方法来证明？

——对比三种方法的适用性。

（设计意图：渗透在研究问题、探索规律时，先从简单的情况开始研究的探究方法。证明过程中，展示了不同学生的证明方法，展示了不同学生的思维水平，使学生既互相学习、触类旁通，又建立“建模”思想，突出了学习方法。同时让学生理解“最不利”是什么意思，这一层，让学生从不同的角度去正确认识抽屉原理一：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。）

（二）数学小知识：抽屉原理的由来。

最先发现这些规律的人是谁呢？他就是德国数学家“狄里克雷”，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原理”，还把它叫做 “抽屉原理”。

（设计意图：介绍鸽巢原理、抽屉原理的由来，以增加数学文化的气息。同时教育学生学习数学家的观察生活的态度，研究问题的方法。）

（三）练习

小游戏：一副扑克牌，拿走两个王。老师请3位同学到前面来抽牌，其他同学来猜。

——请分别抽5张牌，其他同学来猜一猜，每人手中的牌，至少有几张牌的花色一样？

（设计意图：通过小游戏增加学习动力和乐趣，体会游戏中的数学。）

（四）抽屉原理

（二）1、“狄里克雷”发现这个规律后，并没有停止对现象的研究，又发现了问题。现在你也想一想，还有没有值得我们继续研究的问题呢？（问题意识培养）

——如果鸽子或苹果的数量更多一些呢？

2、出示：假如有9个苹果放到4个抽屉中，那么至少会有几个苹果被放到了同一个抽屉中？

3、组内同学交流看法，之后汇报。

4、如果是14个苹果放进4 个抽屉中呢？ 14?SPAN lang=EN-US>4=3„„2，3 1=4

23个苹果放进4个抽屉中呢？ 23?SPAN lang=EN-US>4=5„„3 5 1=6

5、总结规律

师：如果继续增加苹果和抽屉的数量，你发现规律了吗？

——苹果数除以抽屉数，那么总会有一个抽屉里放进比商多1的苹果。

师：之所以把这个规律称之为“原理”，是因为在我们的生活中存在着许多能用这个原理解决的问题，研究出这个规律是非常有价值的。

老师上课时提出的生日问题，现在你能解释吗？

那么你还能举出一些能用抽屉原理解释的生活中的例子吗？

（设计意图：研究的问题来源于生活，还要还原到生活中去。在教学的最后，请学生用这节课学的抽屉原理解释课始老师提出的生日问题，再让学生举一些能用抽屉原理解释的生活现象，以达到巩固应用的目的。）

三、巩固练习（说明“把谁当做苹果，把谁当做抽屉”）

1、小丽从书架上随意拿下了13份报纸，你知道至少有几份报纸是同一个月的吗？

2、某校六年级学生共有400人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看同学的出生日期，就可断定在这400个学生中至少有两人是同年同月同日出生的，你知道这是为什么吗？

3、你能证明在一个11位数中，至少有2个数位上的数字是相同的吗？

思考题： 要拿出25个苹果，最多从几个抽屉中拿，才能保证从其中一个抽屉里至少拿了7个苹果。

四、总结：通过今天的学习你有什么收获？——知识上、学习方法上、数学小知识上总结。抽屉原理” 人教版六年级数学教案2010-01-28 18:53:46 来源：人教网 网友评论0条我要投稿

【教学内容】

《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第68页。

【教学目标】

1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

2． 通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

3． 通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

【教学重点】

经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。

【教学难点】

理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

【教具、学具准备】

每组都有相应数量的盒子、铅笔、书。

【教学过程】

一、课前游戏引入。

师：同学们在我们上课之前，先做个小游戏：老师这里准备了4把椅子，请5个同学上来，谁愿来？（学生上来后）

师：听清要求，老师说开始以后，请你们5个都坐在椅子上，每个人必须都坐下，好吗？（好）。这时教师面向全体，背对那5个人。

师：开始。

师：都坐下了吗？

生：坐下了。

师：我没有看到他们坐的情况，但是我敢肯定地说：“不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学”我说得对吗？

生：对！

师：老师为什么能做出准确的判断呢？道理是什么？这其中蕴含着一个有趣的数学原理，这节课我们就一起来研究这个原理。下面我们开始上课，可以吗？

【点评】教师从学生熟悉的“抢椅子”游戏开始，让学生初步体验不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学，使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象，激发了学生的学习兴趣，为后面开展教与学的活动做了铺垫。

二、通过操作，探究新知

（一）教学例1

1．出示题目：有3枝铅笔，2个盒子，把3枝铅笔放进2个盒子里，怎么放？有几种不同的放法？

师：请同学们实际放放看，谁来展示一下你摆放的情况？（指名摆）根据学生摆的情况，师板书各种情况（3，0）（2，1）

【点评】此处设计教师注意了从最简单的数据开始摆放，有利于学生观察、理解，有利于调动所有的学生积极参与进来。

师：5个人坐在4把椅子上，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学。3支笔放进2个盒子里呢？

生：不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝笔？

是：是这样吗？谁还有这样的发现，再说一说。

师：那么，把4枝铅笔放进3个盒子里，怎么放？有几种不同的放法？请同学们实际放放看。（师巡视，了解情况，个别指导）

师：谁来展示一下你摆放的情况？（指名摆）根据学生摆的情况，师板书各种情况。

（4，0，0）

（3，1，0）

（2，2，0）

（2，1，1），师：还有不同的放法吗？

生：没有了。

师：你能发现什么？

生：不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

师：“总有”是什么意思？

生：一定有

师：“至少”有2枝什么意思？

生：不少于两只，可能是2枝，也可能是多于2枝？

师：就是不能少于2枝。（通过操作让学生充分体验感受）

师：把3枝笔放进2个盒子里，和把4枝笔饭放进3个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。这是我们通过实际操作现了这个结论。那么，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论呢？

学生思考——组内交流——汇报

师：哪一组同学能把你们的想法汇报一下？

组1生：我们发现如果每个盒子里放1枝铅笔，最多放3枝，剩下的1枝不管放进哪一个盒子里，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

师：你能结合操作给大家演示一遍吗？（学生操作演示）

师：同学们自己说说看，同位之间边演示边说一说好吗？

师：这种分法，实际就是先怎么分的？

生众：平均分

师：为什么要先平均分？（组织学生讨论）

生1：要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有2枝”，先平均分,余下1枝，不管放在那个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2枝”。

生2：这样分，只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了？

师：同意吗？那么把5枝笔放进4个盒子里呢？（可以结合操作，说一说）

师：哪位同学能把你的想法汇报一下，生：（一边演示一边说）5枝铅笔放在4个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

师：把6枝笔放进5个盒子里呢？还用摆吗？

生：6枝铅笔放在5个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

师：把7枝笔放进6个盒子里呢？

把8枝笔放进7个盒子里呢？

把9枝笔放进8个盒子里呢？„„

：

你发现什么？

生1：笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

师：你的发现和他一样吗？（一样）你们太了不起了！同桌互相说一遍。

【点评】教师关注了“抽屉原理”的最基本原理，物体个数必须要多于抽屉个数，化繁为简，此处确实有必要提领出来进行教学。在学生自主探索的基础上，教师注意引导学生得出一般性的结论：只要放的铅笔数盒数多1，总有一个盒里至少放进2支。通过教师组织开展的扎实有效的教学活动，学生学的有兴趣，发展了学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

2．解决问题。

（1）课件出示：5只鸽子飞回4个鸽笼，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里，为什么？

（学生活动—独立思考 自主探究）

（2）交流、说理活动。

师：谁能说说为什么？

生1：如果一个鸽笼里飞进一只鸽子，最多飞进4只鸽子，还剩一只，要飞进其中的一个鸽笼里。不管怎么飞，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里。

生2：我们也是这样想的。

生3：把5只鸽子平均分到4个笼子里，每个笼子1只，剩下1只，放到任何一个笼子里，就能保证至少有2只鸽子飞进同一个笼里。

生4：可以用5÷4=1„„1，余下的1只，飞到任何一个鸽笼里都能保证至少有2只鸽子飞进一个个笼里，所以，“至少有2只鸽子飞进同一个笼里”的结论是正确的。

师：许多同学没有再摆学具，证明这个结论是正确的，用的什么方法？

生：用平均分的方法，就能说明存在“总有一个鸽笼至少有2只鸽子飞进一个个笼里”。

师：同意吗？（生：同意）老师把这位同学说的算式写下来，（板书：5÷4=1„„1）

师：同位之间再说一说，对这种方法的理解。

师：现在谁能说说你对“总有一个鸽笼里至少飞进2只鸽子的理解”

生：我们发现这是必然存在的一个现象，不管鸽子怎样飞回鸽笼，一定会有一个鸽笼里至少有2只鸽子。

师：同学们都有这个发现吗？

生众：发现了。

师：同学们非常了不起，善于运用观察、分析、思考、推理、证明的方法研究问题，得出结论。同学们的思维也在不知不觉中提升了许多，那么让我们再来看这样一组问题。

（二）教学例2

1．出示题目：把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？

把7本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？

把9本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？

（留给学生思考的空间，师巡视了解各种情况）

2．学生汇报。

生1：把5本书放进2个抽屉里，如果每个抽屉里先放2本，还剩1本，这本书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有3本书。

板书：5本 2个 2本„„ 余1本（总有一个抽屉里至有3本书）

7本 2个 3本„„ 余1本（总有一个抽屉里至有4本书）

9本 2个 4本„„ 余1本（总有一个抽屉里至有5本书）

师：2本、3本、4本是怎么得到的？生答完成除法算式。

5÷2=2本„„1本（商加1）

7÷2=3本„„1本（商加1）

9÷2=4本„„1本（商加1）

师：观察板书你能发现什么？

生1：“总有一个抽屉里的至少有2本”只要用 “商+ 1”就可以得到。

师：如果把5本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？

生：“总有一个抽屉里的至少有3本”只要用5÷3=1本„„2本，用“商+ 2”就可以了。

生：不同意！先把5本书平均分放到3个抽屉里，每个抽屉里先放1本，还剩2本，这2本书再平均分，不管分到哪两个抽屉里，总有一个抽屉里至少有2本书，不是3本书。

师：到底是“商+1”还是“商+余数”呢？谁的结论对呢？在小组里进行研究、讨论。

交流、说理活动：

生1：我们组通过讨论并且实际分了分，结论是总有一个抽屉里至少有2本书，不是3本书。

生2：把5本书平均分放到3个抽屉里，每个抽屉里先放1本，余下的2本可以在2个抽屉里再各放1本，结论是“总有一个抽屉里至少有2本书”。

生3∶我们组的结论是5本书平均分放到3个抽屉里，“总有一个抽屉里至少有2本书”用“商加1”就可以了，不是“商加2”。

师：现在大家都明白了吧？那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢？

生4：如果书的本数是奇数，用书的本数除以抽屉数，再用所得的商加1，就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。

师：同学们同意吧？

师：同学们的这一发现，称为“抽屉原理”，“ 抽屉原理”又称“鸽笼原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。

3．解决问题。71页第3题。（独立完成，交流反馈）

小结：经过刚才的探索研究，我们经历了一个很不简单的思维过程，我们获得了解决这类问题的好办法，下面让我们轻松一下做个小游戏。

【点评】在这一环节的教学中教师抓住了假设法最核心的思路就是用“有余数除法” 形式表示出来，使学生学生借助直观，很好的理解了如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里，看每个抽屉里能分到多少本书，余下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里比平均分得的书的本数多1本。特别是对“某个抽屉至少有书的本数”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余数”，教师适时挑出针对性问题进行交流、讨论，使学生从本质上理解了“抽屉原理”。

三、应用原理解决问题

师：我这里有一副扑克牌，去掉了两张王牌，还剩52张，我请五位同学每人任意抽1张，听清要求，不要让别人看到你抽的是什么牌。请大家猜测一下，同种花色的至少有几张？为什么？

生：2张/因为5÷4=1„1

师：先验证一下你们的猜测：举牌验证。

师：如有3张同花色的，符合你们的猜测吗？

师：如果9个人每一个人抽一张呢？

生：至少有3张牌是同一花色，因为9÷4=2„1

四、全课小结

【点评】当学生利用有余数除法解决了具体问题后，教师引导学生总结归纳这一类“抽屉问题”的一般规律，使学生进一步理解掌握了“抽屉原理”。（作者：山东省济南市民生大街小学 张荣明 山东省济南市市中区教研室 董惠平）

教学内容】《义务教育课程标准实验教科书•数学》六年级下册7071页。【教学目标】

1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

2． 通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

3． 通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

【教学重点】经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。【教学难点】理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。【教具、学具准备】每组都有相应数量的盒子、铅笔、书。【教学过程】

一、情境引入。

猜出生月。

二、通过操作，探究新知

（一）教学例1

1．出示题目：把4枝铅笔放进3个盒子里，怎么放？有几种不同的放法？

（学生先思考，然后在组内动手操作）

师：谁来展示一下你摆放的情况？（根据学生摆的情况，师演示各种情况。）

（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）

师：把四支铅笔放入3个铅笔盒中一共有以上4中不同的放法。由于摆放的方法不同，每个铅笔盒总的支数也不相同。请同学们看看，铅笔盒中的指数有哪些不同的情况呢？（0、1、2、3、4）

师：看来，铅笔盒中的的支数是有多有少的。在没一种放法中的支数也是有多有少的。总有一个铅笔盒的支数放的是最多的，同学们能找出来吗？ 师：第一种摆法中，哪个铅笔盒的支数是最多的？是几支？那我可以这样说，第一种摆法中，总有一个铅笔盒要放入（）支铅笔。那第二种摆法总有一个铅笔盒中要放入几支铅笔呢？第三种？第四种呢？

第二篇：抽屉原理

抽屉原理

把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。一般地，我们将它表述为：

第一抽屉原理：把（mn＋1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m＋1）个物体。

使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉。一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。

例1 从1，2，3，…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定：

（1）有2个数互质；

（2）有2个数的差为50；

（3）有8个数，它们的最大公约数大于1。

证明：（1）将100个数分成50组：

{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。

在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组中的2个数是两个相邻的整数，它们一定是互质的。

（2）将100个数分成50组：

{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。

在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。

（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：

第一组：2的倍数，即{2，4，…，100}；

第二组：3的倍数，即{3，6，…，99}；

第三组：5的倍数，即{5，10，…，100}；

第四组：7的倍数，即{7，14，…，98}；

第五组：1和大于7的质数即{1，11，13，…，97}。

第五组中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1。

例2 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。

证明：因1996÷4＝499，故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数就可以了。

得到500个余数r1，r2，…，r500。由于余数只能取0，1，2，…，499这499个值，所以根据抽屉原理，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，这个差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互质的，故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。

例3 在一个礼堂中有99名学生，如果他们中的每个人都与其中的66人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相识是互相的）。

分析：注意到题中的说法“可能出现……”，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。

解：将礼堂中的99人记为a1，a2，…，a99，将99人分为3组：

（a1，a2，…，a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），将3组学生作为3个抽屉，分别记为A，B，C，并约定A中的学生所认识的66人只在B，C中，同时，B，C中的学生所认识的66人也只在A，C和A，B中。如果出现这种局面，那么题目中所说情况

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就可能出现。

因为礼堂中任意4人可看做4个苹果，放入A，B，C三个抽屉中，必有2人在同一抽屉，即必有2人来自同一组，那么他们认识的人只在另2组中，因此他们两人不相识。

例4 如右图，分别标有数字1，2，…，8的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标数字都不相同。当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。

分析：此题中没有直接提供我们用以构造抽屉和苹果的数量关系，需要转换一下看问题的角度。

解：内外两环对转可看成一环静止，只有一个环转动。一个环转动一周后，每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现8次。将这8次局面看做苹果，再需构造出少于8个抽屉。

注意到一环每转动45°角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面，而最初的8对滚珠所标数字都不相同，所以数字相同的滚珠相对的情况只出现在以后的7次转动中，将7次转动看做7个抽屉，8次相同数字滚珠相对的局面看做8个苹果，则至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中，即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。

例5 有一个生产天平上用的铁盘的车间，由于工艺上的原因，只能控制盘的重量在指定的20克到20.1克之间。现在需要重量相差不超过0.005克的两只铁盘来装配一架天平，问：最少要生产多少个盘子，才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子？

解：把20～20.1克之间的盘子依重量分成20组：

第1组：从20.000克到20.005克；

第2组：从20.005克到20.010克；

……

第20组：从20.095克到20.100克。

这样，只要有21个盘子，就一定可以从中找到两个盘子属于同一组，这2个盘子就符合要求。

例6 在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的。那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有19个筹码，为什么？

分析：此题需要研究“红筹码”的放置情况，因而涉及到“苹果”的具体放置方法，由此我们可以在构造抽屉时，使每个抽屉中的相邻“苹果”之间有19个筹码。

解：依顺时针方向将筹码依次编上号码：1，2，…，100。然后依照以下规律将100个筹码分为20组：

（1，21，41，61，81）；

（2，22，42，62，82）；

……

（20，40，60，80，100）。

将41个红筹码看做苹果，放入以上20个抽屉中，因为41=2×20＋1，所以至少有一个抽屉中有2+1=3（个）苹果，也就是说必有一组5个筹码中有3个红色筹码，而每组的5个筹码在圆周上可看做两两等距，且每2个相邻筹码之间都有19个筹码，那么3个红色筹码中必有2个相邻（这将在下一个内容——第二抽屉原理中说明），即有2个红色筹码之间有19个筹码。

下面我们来考虑另外一种情况：若把5个苹果放到6个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。这种情况一般可以表述为：

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第二抽屉原理：把（mn-1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。

例7 在例6中留有一个疑问，现改述如下：在圆周上放有5个筹码，其中有3个是同色的，那么这3个同色的筹码必有2个相邻。

分析：将这个问题加以转化：

如右图，将同色的3个筹码A，B，C置于圆周上，看是否能用另外2个筹码将其隔开。

解：如图，将同色的3个筹码放置在圆周上，将每2个筹码之间的间隔看做抽屉，将其余2个筹码看做苹果，将2个苹果放入3个抽屉中，则必有1个抽屉中没有苹果，即有2个同色筹码之间没有其它筹码，那么这2个筹码必相邻。

例8 甲、乙二人为一个正方形的12条棱涂红和绿2种颜色。首先，甲任选3条棱并把它们涂上红色；然后，乙任选另外3条棱并涂上绿色；接着甲将剩下的6条棱都涂上红色。问：甲是否一定能将某一面的4条棱全部涂上红色？

解：不能。

如右图将12条棱分成四组：

第一组：{A1B1，B2B3，A3A4}，第二组：{A2B2，B3B4，A4A1}，第三组：{A3B3，B4B1，A1A2}，第四组：{A4B4，B1B2，A2A3}。

无论甲第一次将哪3条棱涂红，由抽屉原理知四组中必有一组的3条棱全未涂红，而乙只要将这组中的3条棱涂绿，甲就无法将某一面的4条棱全部涂红了。

下面我们讨论抽屉原理的一个变形——平均值原理。

我们知道n个数a1，a2，…，an的和与n的商是a1，a2，…，an这n个数的平均值。平均值原理：如果n个数的平均值为a，那么其中至少有一个数不大于a，也至少有一个不小于a。

例9 圆周上有2000个点，在其上任意地标上0，1，2，…，1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）。求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。

解：设圆周上各点的值依次是a1，a2，…，a2000，则其和

a1＋a2+…＋a2000=0+1+2+…+1999=1999000。

下面考虑一切相邻三数组之和：

（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a1998+a1999＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）

=3（a1＋a2＋…＋a2000）

＝3×1999000。

这2000组和中必至少有一组和大于或等于

但因每一个和都是整数，故有一组相邻三数之和不小于2999，亦即存在一个点，与它紧相邻的两点和这点上所标的三数之和不小于2999。

例10 一家旅馆有90个房间，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同时回来，那么至少要准备多少把钥匙分给这100名旅客，才能使得每次客人回来时，每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房门住进去，并且避免发生两人同时住进一个房间？

解：如果钥匙数小于990，那么90个房间中至少有一个房间的钥匙数少房间就打不开，因此90个人就无法按题述的条件住下来。

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另一方面，990把钥匙已经足够了，这只要将90把不同的钥匙分给90个人，而其余的10名旅客，每人各90把钥匙（每个房间一把），那么任何90名旅客返回时，都能按要求住进房间。

最后，我们要指出，解决某些较复杂的问题时，往往要多次反复地运用抽屉原理，请看下面两道例题。

例11 设有4×28的方格棋盘，将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中的任意一种。试证明：无论怎样涂法，至少存在一个四角同色的长方形。

证明：我们先考察第一行中28个小方格涂色情况，用三种颜色涂28个小方格，由抽屉原理知，至少有10个小方格是同色的，不妨设其为红色，还可设这10个小方格就在第一行的前10列。

下面考察第二、三、四行中前面10个小方格可能出现的涂色情况。这有两种可能：

（1）这三行中，至少有一行，其前面10个小方格中，至少有2个小方格是涂有红色的，那么这2个小方格和第一行中与其对应的2个小方格，便是一个长方形的四个角，这个长方形就是一个四角同是红色的长方形。

（2）这三行中每一行前面的10格中，都至多有一个红色的小方格，不妨设它们分别出现在前三列中，那么其余的3×7个小方格便只能涂上黄、蓝两种颜色了。

我们先考虑这个3×7的长方形的第一行。根据抽屉原理，至少有4个小方格是涂上同一颜色的，不妨设其为蓝色，且在第1至4列。

再考虑第二行的前四列，这时也有两种可能：

（1）这4格中，至少有2格被涂上蓝色，那么这2个涂上蓝色的小方格和第一行中与其对应的2个小方格便是一个长方形的四个角，这个长方形四角同是蓝色。

（2）这4格中，至多有1格被涂上蓝色，那么，至少有3格被涂上黄色。不妨设这3个小方格就在第二行的前面3格。

下面继续考虑第三行前面3格的情况。用蓝、黄两色涂3个小方格，由抽屉原理知，至少有2个方格是同色的，无论是同为蓝色或是同为黄色，都可以得到一个四角同色的长方形。

总之，对于各种可能的情况，都能找到一个四角同色的长方形。

例12 试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一道题目的答案互不相同。问：参加考试的学生最多有多少人？

解：设每题的三个选择分别为a，b，c。

（1）若参加考试的学生有10人，则由第二抽屉原理知，第一题答案分别为a，b，c的三组学生中，必有一组不超过3人。去掉这组学生，在余下的学生中，定有7人对第一题的答案只有两种。对于这7人关于第二题应用第二抽屉原理知，其中必可选出5人，他们关于第二题的答案只有两种可能。对于这5人关于第三题应用第二抽屉原理知，可以选出4人，他们关于第三题的答案只有两种可能。最后，对于这4人关于第四题应用第二抽屉原理知，必可选出3人，他们关于第四题的答案也只有两种。于是，对于这3人来说，没有一道题目的答案是互不相同的，这不符合题目的要求。可见，所求的最多人数不超过9人。

另一方面，若9个人的答案如下表所示，则每3人都至少有一个问题的答案互不相同。

所以，所求的最多人数为9人。练习13

1.六（1）班有49名学生。数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除3人外均在86分以上后就说：“我可以断定，本班同学至少有4人成绩相同。”请问王老师说得对吗？为什么？

2.现有64只乒乓球，18个乒乓球盒，每个盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有几个

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乒乓球盒子里的乒乓球数目相同？

3.某校初二年级学生身高的厘米数都为整数，且都不大于160厘米，不小于150厘米。问：在至少多少个初二学生中一定能有4个人身高相同？

4.从1，2，…，100这100个数中任意选出51个数，证明在这51个数中，一定：

（1）有两个数的和为101；

（2）有一个数是另一个数的倍数；

（3）有一个数或若干个数的和是51的倍数。

5.在3×7的方格表中，有11个白格，证明

（1）若仅含一个白格的列只有3列，则在其余的4列中每列都恰有两个白格；

（2）只有一个白格的列只有3列。

6.某个委员会开了40次会议，每次会议有10人出席。已知任何两个委员不会同时开两次或更多的会议。问：这个委员会的人数能够多于60人吗？为什么？

7.一个车间有一条生产流水线，由5台机器组成，只有每台机器都开动时，这条流水线才能工作。总共有8个工人在这条流水线上工作。在每一个工作日内，这些工人中只有5名到场。为了保证生产，要对这8名工人进行培训，每人学一种机器的操作方法称为一轮。问：最少要进行多少轮培训，才能使任意5个工人上班而流水线总能工作？

8.有9名数学家，每人至多能讲3种语言，每3人中至少有2人能通话。求证：在这9名中至少有3名用同一种语言通话。

练习13

1.对。解：因为49-3=3×（100-86+1）+1，即46=3×15+1，也就是说，把从100分至86分的15个分数当做抽屉，49-3=46（人）的成绩当做物体，根据第二抽屉原理，至少有4人的分数在同一抽屉中，即成绩相同。

2.4个。解：18个乒乓球盒，每个盒子里至多可以放6只乒乓球。为使相同乒乓球个数的盒子尽可能少，可以这样放：先把盒子分成6份，每份有18÷6=3（只），分别在每一份的3个盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3个盒子中放了1只乒乓球，3个盒中放了2只乒乓球……3个盒子中放了6只乒乓球。这样，18个盒子中共放了乒乓球

（1+2+3+4+5+6）×3=63（只）。

把以上6种不同的放法当做抽屉，这样剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一个抽屉里的任何一个盒子里（除已放满6只乒乓球的抽屉外），都将使该盒子中的乒乓球数增加1只，这时与比该抽屉每盒乒乓数多1的抽屉中的3个盒子里的乒乓球数相等。例如剩下的1只乒乓球放进原来有2只乒乓球的一个盒子里，该盒乒乓球就成了3只，再加上原来装有3只乒乓球的3个盒子，这样就有4个盒子里装有3个乒乓球。所以至少有4个乒乓球盒里的乒乓球数目相同。

3.34个。

解：把初二学生的身高厘米数作为抽屉，共有抽屉

160-150+1=11（个）。

根据抽屉原理，要保证有4个人身高相同，至少要有初二学生

3×11+1=34（个）。

4.证：（1）将100个数分成50组：

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｛1，100｝，｛2，99｝，…，｛50，51｝。

在选出的51个数中，必有两数属于同一组，这一组的两数之和为101。

（2）将100个数分成10组：

｛1,2,4,8,16,32,64｝, ｛3,6,12,24,48,96｝，｛5,10,20,40,80｝, ｛7,14,28,56｝，｛9,18,36,72｝, ｛11,22,44,88｝，｛13,26,52｝, ｛15,30,60｝,…, ｛49,98｝, ｛其余数｝。

其中第10组中有41个数。在选出的51个数中，第10组的41个数全部选中，还有10个数从前9组中选，必有两数属于同一组，这一组中的任意两个数，一个是另一个的倍数。

（3）将选出的51个数排成一列：

a1，a2，a3，…，a51。

考虑下面的51个和：

a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+a3+…+a51。

若这51个和中有一个是51的倍数，则结论显然成立；若这51个和中没有一个是51的倍数，则将它们除以51，余数只能是1，2，…，50中的一个，故必然有两个的余数是相同的，这两个和的差是51的倍数，而这个差显然是这51个数（a1，a2，a3，…，a51）中的一个数或若干个数的和。

5.证：（1）在其余4列中如有一列含有3个白格，则剩下的5个白格要放入3列中，将3列表格看做3个抽屉，5个白格看做5个苹果，根据第二抽屉原理，5（=2×3-1）个苹果放入3个抽屉，则必有1个抽屉至多只有（2-1）个苹果，即必有1列只含1个白格，也就是说除了原来3列只含一个白格外还有1列含1个白格，这与题设只有1个白格的列只有3列矛盾。所以不会有1列有3个白格，当然也不能再有1列只有1个白格。推知其余4列每列恰好有2个白格。

（2）假设只含1个白格的列有2列，那么剩下的9个白格要放入5列中，而9=2×5-1，由第二抽屉原理知，必有1列至多只有2-1=1（个）白格，与假设只有2列每列只1个白格矛盾。所以只有1个白格的列至少有3列。

6.能。

解：开会的“人次”有 40×10=400（人次）。设委员人数为N，将“人次”看做苹果，以委员人数作为抽屉。

若N≤60，则由抽屉原理知至少有一个委员开了7次（或更多次）会。但由已知条件知没有一个人与这位委员同开过两次（或更多次）的会，故他所参加的每一次会的另外9个人是不相同的，从而至少有7×9=63（个）委员，这与N≤60的假定矛盾。所以，N应大于60。

7.20轮。

解：如果培训的总轮数少于20，那么在每一台机器上可进行工作的工人果这3个工人某一天都没有到车间来，那么这台机器就不能开动，整个流水线就不能工作。故培训的总轮数不能少于20。

另一方面，只要进行20轮培训就够了。对3名工人进行全能性培训，训练他们会开每一台机器；而对其余5名工人，每人只培训一轮，让他们每人能开动一台机器。这个方案实施后，不论哪5名工人上班，流水线总能工作。

8.证：以平面上9个点A1，A2，…，A9表示9个数学家，如果两人能通话，就把表示他们的两点联线，并涂上一种颜色（不同的语言涂上不同颜色）。此时有两种情况：

（1）9点中有任意2点都有联线，并涂了相应的颜色。于是从某一点A1出发，分别与

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A2，A3，…，A9联线，又据题意，每人至多能讲3种语言，因此A1A2，A1A3，…，A1A9中至多只能涂3种不同的颜色，由抽屉原理知，这8条线段中至少有2条同色的线段。不妨设A1A2与A1A3是同色线段，因此A1，A2，A3这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话。

（2）9点中至少有2点不联线，不妨设是A1与A2不联线。由于每3人中至少有两人能通话，因此从A1与A2出发至少有7条联线。再由抽屉原理知，其中必有4条联线从A1或A2 出发。不妨设从A1出发，又因A1至多能讲3种语言，所以这4条联线中，至少有2条联线是同色的。若A1A3与A1A4同色，则A1，A3，A4这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话。

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第三篇：抽屉原理

《抽屉原理》教学设计

教材分析：现行小学教材人教版在十一册编入这一原理，旨在于让学生初步了解“抽屉原理”（也就是初步接触第一原理），会用“抽屉原理”解决实际有关“存在”问题；通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，让孩子建立数学模型，发现规律；使孩子经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。

学情分析：使孩子经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。教学目标：

1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

2、通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

3、通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。

教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

教学过程

一、游戏引入

3个人坐两个座位，3人都要坐下，一定有一个座位上至少坐了2个人。

这其中蕴含了有趣的数学原理，这节课我们一起学习研究。

二、新知探究

1、把4枝铅笔放进3个文具盒里，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进（）枝铅笔先猜一猜，再动手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法记录（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么发现？

不管怎么放总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。总有是什么意思？至少是什么意思

2、思考

有没有一种方法不用摆放就可以知道至少数是多少呢？

1、3人坐2个位子，总有一个座位上至少坐了2个人2、4枝铅笔放进3个文具盒中，总有一个文具盒中至少放了2枝铅笔5枝铅笔放进4个文具盒中，6枝铅笔放进5个文具盒中。99支铅笔放进98个文具盒中。是否都有一个文具盒中

至少放进2枝铅笔呢？ 这是为什么？可以用算式表达吗？

4、如果是5枝铅笔放到3个文具盒里，总有一个文具盒至少放进几枝铅笔？把7枝笔放进2个文具盒里呢? 8枝笔放进2个文具盒呢? 9枝笔放进3个文具盒呢？至少数=上+余数吗？

三、小试牛刀 1、7只鸽子飞回5个鸽舍,至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里?

2、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有几张是同花色的？

四、数学小知识

数学小知识：抽屉原理的由来最先发现这些规律的人是谁呢？最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷运用于解决数学问题的，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原理”，还把它叫做

“抽屉原理”。

五、智慧城堡

1、把13只小兔子关在5个笼子里，至少有多少只兔子要关在同一个笼子里?

2、咱们班共59人，至少有几人是同一属相？

3、张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，镖镖都中，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？

4、六年级四个班的学生去春游，自由活时有6个同学在一起，可以肯定。为什么？

六、小结

这节课你有什么收获？

七、作业：课后练习

第四篇：抽屉原理

抽屉原理

【知识要点】

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。

把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人人皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。

原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。

原理2：把m个元素任意放入n（n＜m）个集合，则一定有一个集合呈至少要有k个元素。

其中 k＝ 商（当n能整除m时）

商＋1（当n不能整除m时）

原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。【解题步骤】

第一步：分析题意。分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。

第二步：制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。

第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。【例题讲解】

例

1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业

求证：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。证明：将5名学生看作5个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉 由抽屉原理1，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果。即至少有两名学生在做同一科的作业。

例

2、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？ 解：把3种颜色看作3个抽屉

若要符合题意，则小球的数目必须大于3 大于3的最小数字是4 故至少取出4个小球才能符合要求 答：最少要取出4个球。

例

3、班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。

解：把50名学生看作50个抽屉，把书看成苹果 根据原理1，书的数目要比学生的人数多 即书至少需要50+1=51本 答：最少需要51本。

例

4、在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。

解：把这条小路分成每段1米长，共100段

每段看作是一个抽屉，共100个抽屉，把101棵树看作是101个苹果 于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果 即至少有一段有两棵或两棵以上的树

例5、11名学生到老师家借书，老师是书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本 试证明：必有两个学生所借的书的类型相同

证明：若学生只借一本书，则不同的类型有A、B、C、D四种

若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种 共有10种类型

把这10种类型看作10个“抽屉” 把11个学生看作11个“苹果”

如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉

由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同

例

6、有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜 试证明：一定有两个运动员积分相同 证明：设每胜一局得一分

由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能 以这49种可能得分的情况为49个抽屉 现有50名运动员得分 则一定有两名运动员得分相同

例

7、体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

解：根据规定，同学拿球的配组方式共有以下9种：

｛足｝｛排｝｛蓝｝｛足足｝｛排排｝｛蓝蓝｝｛足排｝｛足蓝｝｛排蓝｝ 以这9种配组方式制造9个抽屉 将这50个同学看作苹果

50÷9＝5.……5

由抽屉原理2：k＝商＋1可得，至少有6人，他们所拿的球类是完全一致的

第五篇：抽屉原理

抽屉原理

一、起源

抽屉原理最先是由19 世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称“迪里赫莱原理”,也有称“鸽巢原理”的.这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果,任意分放在9 个抽屉里,则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”.这个道理是非常明显的,但应用它却可以解决许多有趣的问题,并且常常得到一些令人惊异的结果.抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容,本讲就来学习它的有关知识及其应用.二、抽屉原理的基本形式

定理1,如果把n+1 个元素分成n 个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素.证明:(用反证法)若不存在至少有两个元素的集合,则每个集合至多1 个元素,从而n 个集合至多有n 个元素,此与共有n+1 个元素矛盾,故命题成立.在定理1 的叙述中,可以把“元素”改为“物件”,把“集合”改成“抽屉”,抽屉原理正是由此得名.同样,可以把“元素”改成“鸽子”,把“分成n 个集合”改成“飞进n 个鸽笼中”.“鸽笼原理”由此得名.解答抽屉原理的关键：

假设有3 个苹果放入2 个抽屉中，则必然有一个抽屉中有2 个苹果，她的一般模型可以表述为：

第一抽屉原理：把（mn+1）个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有（m+1）个物体。

若把3 个苹果放入4 个抽屉中，则必然有一个抽屉空着，她的一般模型可以表述为：

第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。

抽屉原理一

把4 只苹果放到3 个抽屉里去，共有4 种放法，不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。

同样，把5 只苹果放到4 个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。

更进一步，我们能够得出这样的结论：把n＋1 只苹果放到n 个抽屉里去，那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。这个结论，通常被称为抽屉原理。

利用抽屉原理，可以说明（证明）许多有趣的现象或结论。不过，抽屉原理不是拿来就能用的，关键是要应用所 学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。

抽屉原理二

这里我们讲抽屉原理的另一种情况。先看一个例子：如果将13 只鸽子放进6 只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3 只或更多的鸽子。道理很简单。如果每只鸽笼里只放2 只鸽子，6 只鸽笼共放12 只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪 只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3 只鸽子。这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2。

抽屉原理2：将多于m×n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。

说明这一原理是不难的。假定这n 个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到（m＋1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m 件，这样，n 个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n 件。这与多于m×n 件物品的假设相矛盾。这说明一开始的假定不能成立。所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m＋1。从最不利原则也可以说明抽屉原理2。为了使抽屉中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情况就是n 个抽屉中每 个都放入m 件物品，共放入（m×n）件物品，此时再放入1 件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有一个抽屉不少于（m ＋1）件物品。这就说明了抽屉原理2。

不难看出，当m＝1 时，抽屉原理2 就转化为抽屉原理1。即抽屉原理2 是抽屉原理1 的推广。我们很容易理解这样一个事实：把3 只苹果放到两个抽屉中，肯定有一个抽屉中有2 只或2 只以上的苹果。用数学语言表达这一事实，就是：将n+1 个元素放入n 个集合内，则一定有一个集合内有两个或两个以上的元素（n 为正整数）。

这就是抽屉原理，也称为“鸽笼（巢）”原理。这一原理最先是由德国数学家狄里克雷明确提出来的，因此，称之为狄 里克雷原理。

抽屉原理还有另外的常用形式：

抽屉原理2：把m 个元素任意放入n(n < m)个集合里，则一定有一个集合里至少有k 个元素，其中：

抽屉原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

抽屉原理又叫重叠原则，抽屉原则有如下几种情形。

抽屉原则①：把n+1 件东西任意放入n 只抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两件东西。

抽屉原则②：把m 件东西放入n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有[m/n]件东西。

抽屉原则③：如果有无穷件东西，把它们放在有限多个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含无穷件东西。利用抽屉原则解题时，其关键是如何利用题中已知条件构造出与题设密切相关的“抽屉”。