空间解析几何课程简介[共5篇]

第一篇：空间解析几何课程简介

空间解析几何课程简介

本课程是大学数学系的主要基础课程之一。主要讲述解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等。通过学习这门课程，学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题，而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。

2、选课建议

数学专业的同学必选该课程。该课程要求同学拥有良好的中学数学基础，建议在一年级选学。

3、教学大纲

一、课程内容

第一章 矢量与坐标

1.1矢量的概念

1.2矢量的加法

1.3数量乘矢量

1.4矢量的线性关系与矢量的分解

1.5标架与坐标

1.6矢量在轴上的射影

1.7两矢量的数性积

1.8两矢量的失性积

1.9三矢量的混合积

*1.10三矢量的双重矢性积

[说明]：本章系统地介绍了矢量代数的基础知识，它实质上是一个使空间几何结构代数化的过程。为了更好地叙述矢量的向量积与混合积，我们需要补充行列式的一些基本知识。

第二章 轨迹与方程

2.1平面曲线的方程

2.2曲面的方程

2.3母线平行于坐标轴的柱面方程

2.4空间曲线的方程

[说明]：本章先介绍品面曲线平面曲线的方程，后快速过渡到曲面与空间曲线方程的研究，这样不仅使学生对平面轨迹的问题作了复习与提高，而且使得一些看来较为复杂的空间轨迹问题也就迎刃而解了。

第三章平面与空间直线

3.1平面的方程

3.2平面与点的位置关系

3.3两平面的相关位置

3.4空间直线的方程

3.5直线与平面的相关位置

3.6空间两直线的相关位置

3.7空间直线与点的相关位置

3.8平面束

[说明]：本章用代数的方法定量地研究了空间最简单而又最基本的图形，即平面与空间直线，建立了它们的各种形式的方程，导出了它们之间位置关系的解析表达式，以及距离、交角等计算公式。

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1柱面 4.2锥面

4.3旋转曲面

4.4椭球面

4.5双曲面

4.6抛物面

4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

[说明]：本章抓住几何特征很明显的柱面、锥面、旋转曲面去建立它的方程，又对于比较简单的二次方程，用“截痕法”去研究图形的性质。

第五章 二次曲线的一般理论

5.1二次曲线与直线的相关位置

5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

5.3二次曲线的切线

5.4二次曲线的直径

5.5二次曲线的主直径与主方向

5.6二次曲线方程的化简与分类

5.7应用不变量化简二次曲线的方程

[说明]：本章从研究直线与一般二次曲线的相交问题入手，展开了一般二次曲线的几何理论的研究，如讨论了一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径等，也讨论了一般二次曲线方程的不同的化简与分类。

二、课程说明

（一）课程的地位和任务

本课程是大学数学系的主要基础课程之一，学好这门课为后续课程以及进一步学习数学和专业知识奠定必要的数学知识、方法和思维基础。

（二）课程的基本要求

1、掌握向量代数的基本知识，包括向量的线性运算与向量的内积、外积、混合积的计算，以及在几何上的应用。2.掌握空间的平面与直线的各种形式的方程，以及点、线、面三者之间的各种度量关系。

2、掌握空间特殊二次曲面（如柱面、锥面、旋转曲面）的方程。

3、掌握二次曲线方程的几何特征与二次曲线方程的不同化简方法与分类。

（三）课程内容的重点、深广度

本课程的基本思想是用代数的方法研究几何。重点要求在前两章的基础掌握下，利用向量、坐标两大工具，去讨论空间平面与直线，去建立特殊二次曲面的方程，去掌握二次曲线的一般理论。本课程论证严谨，叙述深入浅出，条理清楚，具有较好的广度与深度。

（四）与其它课程的联系与分工

先修课：平面解析几何

（五）对学生能力培养的要求和方法

学生除了参加闭卷考试外，关键是掌握一种解析分析方法，另外，培养学生对空间图形的直观想象能力。

一般大学公共基础课只有高数和线性代数，略微涉及到一点空间解析，主体部分在数理系中教学。

第二篇：第七章 空间解析几何习题课教案

高等数学课 讲 教 案 主讲人

课 题 第七章习题课

目的任务

重点难点

教学方法

使用教具

提问作业

备课时间

查 阅 使学生进一步巩固和掌握本章的知识要点，掌握有关计算。

本章的知识要点的进一步巩固和掌握，有关计算的熟练掌握。讲练结合

年 月 日 上课时间 年 月 日抽 查

教学过程：

第一部分 知识归纳

一、空间直角坐标系及向量代数

1、空间直角坐标系的基本问题

1）坐标系的建立；2）卦限的划分；3）两点间的距离公式

2、向量：

1）定义及记法；2）模；

3）方向角与方向余弦；4）单位向量；

5）负向量；

6）零向量； 7）向量在轴上的投影；8）向量的坐标表示

3、向量的加减法及数乘运算： 1）向量的相等；

2）向量的加法—平行四边形法则和三角形法则

3）向量的减法：aba(b)； 4）数乘运算；

5）加减法与数乘的坐标表示；

6)线性关系：a与b共线；a，b，c共面.4、向量的数量积（点积、内积）

1）定义；2）投影公式；3）坐标表示式；4）性质；5）运算律.5、向量的向量积（叉积、外积）

1）定义； 2）坐标表示式；3）性质；4）运算律；5）几何意义.6、向量的混合积

1）定义；2）坐标表示；3）性质；4）几何意义.7、二重积.二、曲面、平面与直线

1、曲面与方程；

2、空间曲线；

3、球面与柱面方程；

4、平面方程：

1）一般方程；2）点法式方程；3）截距式方程；4）三点式方程

5）*法式方程：xcosycoszcosp0.（,,为平面法向量的方向角，p为原点到平面的距离）

5、直线方程

A1xB1yC1zD101）一般方程（交面式）

AxByCzD022222）标准方程（对称方程，点向式）

xx0yy0zz0 lmnxx0l3）参数式方程 yy0m（是参数）

zzn04）两点式方程 xx1yy1zz1 x2x1y2y1z2z16、两平面的夹角

cosA1A2B1B2C1C2ABCABC212121222222

7、点到平面的距离

dAx0By0Cz0DABC222

8、两平面1,2平行、垂直的充要条件是

ABC

1∥2n1∥n2111

A2B2C2 1⊥2n1⊥n2n1n2A1A2B1B2C1C20

9、两直线的夹角

s1s2l1l2m1m2n1n2 cos

222222s1s2l1m1n1l2m2n210、两直线平行、垂直的充要条件

lmn

l1∥l2s1∥s2111

l2m2n2 l1⊥l2s1⊥s2l1l2m1m2n1n20

11、点到直线的距离

ix0x1l2M1M2s dsjy0y1mlmn2kz0z1n2

12、两直线共面的条件

 l1,l2共面M1M2(s1s2)0x2x1l1l2y2y1m1m2z2z1n1n20

13、直线和平面间的夹角：

nsAlBmcn sin222222nsABClmnl∥s⊥nsnAlBmCn0

lmnl⊥s∥n

ABC二、二次曲面的标准方程

x2y2z21）椭球面： 2221；

abcx2y2z22）单叶双曲面：2221；

abcx2y2z23）双叶双曲面：2221；

abcx2y24）椭圆抛物面：222z；

abx2y25）双曲抛物面：222z；

abx2y2z26）二次锥面：2220.abc第二部分 例题分析

例1 在什么条件下，下列式子成立：

 ① abab ② abab ③ abab 解：（略）。

 例2 已知向量a,b，以a,b为邻边作平行四边形，求平行四边形中和a所在边垂直的高线向量.解：（略）。

2222 例3 证明(ab)(ab)2(ab),并给出几何解释。解：（略）。

 例4 设aik,bi2jk,ci2jk,求

① ab,ba ② a(bc),(ab)c ③ a(bc),(ab)c 解：（略）。

例5 证明

① a(bc)b(ac)和c垂直；

② ap,aq,ar三向量共面.解：（略）。

例6 已知向量p和q及x轴均垂直，其中q3i6j8k，p2，求p.解：（略）。

例7 已知两定点F1,F2相距为2a，动点到两定点的距离的平方和为4a，求动点轨迹.、解：（略）。

例8平面过原点o，且垂直于平面1:x2y3z20及2:6xy5z230，求此平面方程。

解：（略）。

2x4yz10例9 将直线的一般方程l:化为对称方程和参数方程。

x3y50解：（略）。

例10平面过z轴，且与平面2xy5z0的夹角为解：（略）。

，求此平面方程。34xz10例11 试证：直线l1:与l2x2y30解：（略）。

3xyz40相交。:y2z80y3x5y4x7例12 直线过点A(3,5,9),且和两直线l1:及l2:相交，求此

z2x3z5x10直线方程。

解：（略）。

x3y5zx10y7z及l2:相交，且和231541x2y1z3l3:平行的直线。

871解：（略）。例13 求与已知直线l1:A1xB1yC1zD10例14 要求直线l:（1）与x轴平行；（2）与y轴平行；

A2xB2yC2zD20（3）与z轴重合；（4）经过原点。

解：（略）。

例15 指出下列方程所示之曲面

（1）x2y2x2y222z0

(2)99z21 解：（略）。

例16 画出x2yz2和x2z24y的图形。解：（略）。

三、作业

第三篇：向量代数与空间解析几何

1．向量代数与空间解析几何

向量代数：向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积，向量积，两向量平行与垂直的条件。平面与直线：会利用已知条件求平面的方程、直线的方程。

曲面与空间曲线：了解曲面的概念，如坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程，会求空间曲线在坐标面上的投影。

2．多元函数微分学

多元函数：会求简单的二元函数的极限与判断二元函数的连续性。

偏导数与全微分：偏导数的计算，复合函数二阶偏导数的求法、隐函数的求偏导；会求全微分； 偏导数的应用：方向导数和梯度；空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；最大值、最小值问题，条件极值，拉格朗日乘数法。

3．多元函数积分学

二重积分：化二重积分为二次积分、交换二次积分的次序；二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；利用二重积分求曲面面积、立体体积。

三重积分：三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；

曲线积分：两类曲线积分的计算方法；格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

曲面积分：两类曲面积分的计算方法；高斯公式。

4．无穷级数

常数项级数：级数收敛的判定，几何级数和P—级数的敛散性；正项级数的比较、比值及根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。

幂级数：较简单的幂级数的收敛半径和收敛域的求法，幂级数求和函数；函数展开成幂级数。傅里叶级数：函数展开为傅里叶级数，函数与和函数的关系，函数展开为正弦或余弦级数。

5．常微分方程

可分离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程。可降阶的高阶微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程。利用切线斜率建立简单的微分方程并求解。

牢固掌握下列公式：

1、向量的数量积、向量积计算公式；

2、全微分公式；

3、方向导数公式；

4、拉格朗日乘数法；

5、格林公式、高斯公式；

6、函数的麦克劳林展开公式。

7、一阶线性方程的通解公式；

第四篇：《解析几何》课程教案

第一章 矢量与坐标

教学目的

1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;

2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;

3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;

4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。

教学重点 矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。教学难点 矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时 8

§1.1 矢量的概念

教学目的

1、理解矢量的有关概念;

2、掌握矢量间的关系。教学重点 矢量的两个要素：摸与方向。教学难点 矢量的相等

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时 1

一、有关概念

1.矢量

2.矢量的表示 3.矢量的模

二、特殊矢量 1.零矢 2.单位矢

三、矢量间的关系

1.平行矢 2.相等矢 3.自由矢 4.相反矢 5.共线矢 6.共面矢 7.固定矢量

例1.设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：成立？

例2.回答下列问题： ＝.当ABCD是空间四边形时，这等式是否也(1)若矢量//，//,则是否有//？(2)若矢量，共面，，也共面，则，是否也共面？

(3)若矢量，中//，则，是否共面？(4)若矢量作业题：，共线，在什么条件下，、也共线？、、、1.设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、和中，哪些矢量是相等的？、2.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：

(1)、;、(2)、、;

(3)

;

(4)、.;

(5)矢量的线性运算(§1.2 矢量的加法、§1.3 矢量的数乘)教学目的

1、掌握矢量加法的两个法则、数量与矢量的乘法概念及运算律;

2、能用矢量法证明有关几何命题。

教学重点 矢量加法的平行四边形法则、数量与矢量的乘法概念 教学难点 运算律的证明、几何命题转化为矢量间的关系 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时

一、概念 1 1.两个例子

2.矢量的加法法则(1)三角形法则(2)平行四边形法则

二、性质

1.运算规律

(1)交换律 +＝+;

(2)结合律(+)+＝+(+);(3)+＝;

(4)+(－)＝.2.矢量加法的多边形法则 3.矢量减法 4.三角不等式

(1)|+|≤||+||, |-|≥||-||;(2)|++…+|≤|

|+|

|+…+|

|.例1.从矢量方程组中解出矢量.例2.用矢量法证明平行四边形对角线互相平分.作业题：

1.设两矢量与共线，试证+＝+.2.证明：四边形ABCD为平行四边形的充要条件是对任一点+＝＋.O有§1.3 数量乘矢量

一、概念

1.数乘的例子 2.数乘的定义

二、性质

1.运算规律(1)

1＝.(2)结合律

()＝().(3)第一分配律(+)＝+.(4)第二分配律

(+)＝+.例1.如图1-7，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明 例2.设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明: 作业题：

1.设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三, ，中线矢量可以构成一个三角形.2.设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 +=++.3.用矢量法证明，四面体对棱中点的连线相交于一点且互相平分.§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

教学目的

1、理解矢量在直线和平面及空间的分解定理；

2、掌握矢量间的线性相关性及判断方法。教学重点 矢量的三个分解定理及线性相关的判断。教学难点 分解定理的证明 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 1

一、矢量的分解

1.线性运算 2.线性组合

3.矢量在直线上的分解：

定理1 如果矢量，那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即＝x，且系数x被，唯一确定.称为用线性组合来表示共线矢量的基底.4.矢量在平面上的分解：

定理2 如果矢量, 不共线，那么矢量与, ，共面的充要条件是可以用矢量+y，且系数x, y被, , ，线性表示，, 或者说矢量可以分解成矢量称为平面上矢量的基底.5.矢量在空间的分解：

定理3 如果矢量可以分解成矢量, , , , , 的线性组合，即＝x唯一确定.不共面，那么空间任意矢量可以由矢量

+y+z, ，线性表示，或者说矢量, , 的线性组合，即＝x，且系数x, y, z被, 唯一确定., 称为空间矢量的基底.二、矢量的线性关系 1.定义

对于n(n≥1)个矢量, , …,，如果存在不全为零的n个数1, 2，…, n, 使得 

1+2+…+n，=，线性无关是指，只有当1＝2＝…＝n那么n个矢量, , …, ＝0时，上式才成立.2.判断方法

叫做线性相关.矢量, …, 推论1 一个矢量线性相关的充要条件是=.定理4 矢量, , …,(n≥2)线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合.定理5 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关.推论2 一组矢量中如果含有零矢量，那么这组矢量必线性相关.定理6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.定理7 三矢量共面的充要条件是它们线性相关.定理8 空间任何四个矢量总是线性相关.推论3 空间四个以上矢量总是线性相关.例1.设一直线上三点A, B, P满足求证：

＝例2.在△ABC中，设

＝,，＝，AT是角A的平分线（它与BC交于＝(－1),O是空间任意一点，T点），试将分解为的线性组合.作业题：

1.在平行四边形ABCD中，(1)设对角线＝,＝，求, ＝, , ，;，.,(2)设边BC和CD的中点为M和N，且2.在△ABC中，设＝，＝

＝,求, D、E是边BC的三等分点，将矢量分解为, 的线性组合.3.用矢量法证明: 三角形三中线共点.4.设G是△ABC的重心，O是空间任意一点，试证

＝

（+).5．设＝(i＝1, 2, 3, 4)，试证P1, P2, P3, P4四点共面的充要条件是存在不全为零的实数i(i＝1, 2, 3, 4)使

1 +2+3+4=, 且.§1.5 标架与坐标

教学目的

1、能利用矢量建立坐标系概念；

2、理解点的坐标及矢量分量的表示方法；

3、掌握矢量线性运算及线段定比分点的坐标表示方法。

教学重点 标架概念及点和矢量的坐标表示方法 教学难点 矢量的分量 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时 1

一、空间坐标系

1.空间中的一个定点O，连同三个不共面的有序矢量{O;,}.，}，如果, , , ，间的相互关系和右手拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫间的相互关系和左手的拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫, , 的全体，叫做空间中的一个标架，记做2.对于标架{O;做右旋标架或称右手标架；如果做左旋标架或称左手标架.3.表达式＝x+y{x, y, z}或{x, y, z}.+z,中的x, y, z叫做矢量关于标架{O;,}的空间中任意点P，矢量，，}的分量或称为坐标，记做

关于标架4.对于取定了标架{O;{O;，叫做点P的径矢，径矢}的分量x, y, z叫做点P关于标架{O;}的坐标，记做P(x, y, z)或(x, y, z).5.当空间取定标架{ O;, , }之后，空间全体矢量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x, y, z的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间矢量或点的一个坐标系.空间坐标系也常用{O;，}来表示，此时点O叫做坐标原点，, , 都叫做坐标矢量.6.由右(左)旋标架决定的坐标系叫做右(左)旋坐标系或右(左)手坐标系；仿射标架、笛卡尔标架与直角标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角坐标系.二、平面坐标系

1.约定用{O;坐标系.}表示直角坐标系，以后在讨论空间问题时所采用的坐标系，一般都是空间右手直角2.过点O沿着三坐标矢量, , 的方向引三轴Ox, Oy, Oz,可以用这三条具有公共点O的不共面的轴Ox, Oy, Oz来表示空间坐标系，记做O—x y z，此时点O叫做空间坐标系的原点，三条轴Ox, Oy, Oz都叫做坐标轴，且依次叫做x轴，y轴和z轴，每两条坐标 轴所决定的平面叫做坐标面，分别叫做xOy平面，yOz平面与

xOz平面.三坐标平面把空间划分为八个区域，每一个区域都叫做卦限.3.平面上一个定点O, 连同两个不共线的有序矢量{O;,}，如果, 都是单位矢量，那么{O;， 的全体，叫做平面上的一个标架，记做

与

相互垂直的笛卡尔标架叫

}叫做笛卡尔标架；, 做笛卡尔直角标架，简称直角标架；在一般情况下，{O;}叫做仿射标架.4.对于标架{O;,}，将绕O旋转，使的方向以最近的路径旋转到与转方向是逆时针的，则这种标架叫做右旋标架或称右手标架； 的方向相合时，如果旋5.表达式＝x{x, y}.＋y中的x, y叫做矢量关于标架{O;,}的平面上的任意点P，矢量，}的分量或称为坐标，记做{x, y}或叫做点P的径矢，径矢

关于标架6.对于取定了标架{O;{O;,}的分量x, y叫做点P关于标架{O;}的坐标，记做P(x, y)或(x, y).7.当平面上取定标架{O;,}之后，平面上全体矢量的集合或者全体点的集合与全体有序数对x, y的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做平面上矢量或点的一个坐标系.平面坐标系也常用{O;,}来表示，此时点O叫做坐标原点，, 都叫做坐标矢量.8.由右(左)旋标架决定的坐标系叫做右(左)旋坐标系或右(左)手坐标系；仿射标架、笛卡尔标架与直角标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角坐标系.15.约定用{O;,}表示直角坐标系, 在讨论平面问题时所采用的坐标系，一般都是平面右手直角坐标系.9.过点O沿着坐标矢量, 的方向引二轴Ox, Oy,可以用这二条具有公共点O的不共线的轴Ox，Oy来表示平面坐标系，记做O－x y，此时点O叫做平面坐标系的原点，Ox叫做x轴，Oy叫做y轴.两坐标轴把平面分成四个区域，每一个区域都叫做象限.三、直线坐标系 1.直线上一个定点O，连同直线上一个非零矢量的全体，叫做直线上的一个标架，记做{O;}，如果为单位矢量，那么{O;}叫做笛卡尔标架，在一般情况下，{O;}叫做仿射标架.2.表达式＝x中的x叫做矢量关于标架{O;}的分量或称为坐标，记做{x}或{x}.3.对于取定了标架{O;}的直线上任意点P，矢量点P关于标架{O;}的坐标，记做P(x)或(x).叫做点P的径矢，径矢

关于标架的分量x叫做4.当直线上取定标架{O;}之后，直线上全体矢量的集合或全体点的集合与全体实数x的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做直线上矢量或点的一个坐标系.直线上的坐标系也常用{O;}来表示，此时点O叫做坐标原点，叫做坐标矢量.5.由仿射标架与笛卡尔标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系与笛卡尔坐标系.6.取定标架{O;}的直线，叫做坐标轴或简称为轴，原点为O，坐标写成x的轴记做Ox.例1.在空间直角坐标系{O;(3)坐标原点的各个对称点的坐标.}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于(1)坐标平面；(2)坐标轴；例2.已知矢量, , 的分量如下：

(1)＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}；(2)＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.试判别它们是否共面？能否将表成，的线性组合？若能表示，写出表示式.作业题：

1.指出坐标满足下列条件的点(x, y, z)在空间的位置.(1)

x＝y；

(2)

y z<0;

(3)

x y z<0.2.平行于z轴的矢量有什么特点？平行于x轴和y轴的矢量又分别有什么特点？

3.已知线段AB被点C(2, 0, 2)和D(5,－2, 0)三等分，试求这个线段两端点A与B的坐标.§1.6 矢量在轴上的射影

教学目的

1、掌握射影与射影矢量的概念及矢量线性运算的射影表示；

2、理解矢量在轴上的的射影与坐标的关系。

教学重点 矢量在轴上的射影与射影矢量的概念 教学难点 射影与射影矢量的关系 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时

一、概念

1.射影

2.射影矢量 1

3.如果在轴上取与轴方向相同的单位矢量，则有射影矢量l的射影，记作：射影l4.可以把射影矢量l上的射影矢量与，即射影l与射影l＝x.分别写成射影矢量

＝＝x，其中x叫做矢量在轴l上

与射影，且分别叫做矢量在矢量在上的射影，两者之间的关系是

射影矢量

＝(射影＝,).＝, 把射线OA和OB构成的在0与之间5.设是两个非零矢量，自空间任意点O作的角，叫做矢量与的夹角，记做(,).按规定，若,同向，则(,)＝0；若,反向，则(,)＝；若，则0＜(,)＜.时，以矢量扫6．在平面上，可以引进从矢量到矢量的有向角的概念，并记作(,)，当过矢量,之间的夹角(,)旋转到与矢量同方向的位置时，如果旋转方向是逆时针的，则(,)＝(,)；如果旋转方向是顺时针的，则(,)＝－(,).当//时，(,)＝(,).有向角的值，常可推广到 ≤－π 或 >π，这时我们认为相差2π整数倍的值代表同一角，对于有向角还有下面的等式

二、性质

1．矢量在轴l上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦：

|cos, ＝(l,).射影i＝|2．相等矢量在同一轴上的射影相等.3．对于任何矢量有

射影l(+)＝射影l+射影l.4．对于任何矢量与任意实数有

射影l()＝射影l.作业题：

1.两非零矢量的夹角在空间和平面上分别是怎样定义的？取值范围如何？ 2.在射影如何？，射影矢量

与射影, 射影矢量

中，若，＝－, 则它们相互间的关系3.射影相等的两个矢量是否必相等？射影为0的矢量，是否必为？

§1.7 两矢量的数性积

教学目的

1、掌握矢量的数性积概念及几何意义；

2、理解矢量的模、方向余弦和交角及数性积的坐标表示；

3、能证明有关的几何命题。

教学重点 两矢量的数性积概念及几何意义 教学难点 根据数性积理论证明有关的命题 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时

一、概念

1.数性积的例子.1 2.两个矢量与的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量和的数性积(也称数积，内积，点积)，记做或，即

＝||||cos(,).二、性质 1.＝||射影＝||射影＝射影

..2.当为单位矢量时 3.＝||2＝2.4.两矢量和相互垂直的充要条件是＝0.5.矢量的数性积满足下面的运算规律(1)交换律 ＝.(2)关于数因子的结合律()＝()＝().(3)分配律(+)＝+.三、坐标运算 1.设＝{＝}, ＝{.}, 则

2.设＝{X, Y, Z}，则

||＝3.空间两点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)间的距离是

..4.矢量与坐标轴(或坐标矢量)所成的角叫做矢量的方向角，方向角的余弦叫做矢量的方向余弦.5.非零矢量＝{X, Y, Z}的方向余弦是

cos＝cos＝cos＝6.设空间中两个非零矢量为{

＝＝＝, ,.},那么它们夹角的余弦是 d＝

}，＝{cos(,)＝7.矢量{}和＝{

＝.}相互垂直的充要条件是

例1.在实数乘法中消去律成立，即ab＝ac时，则a=0或b＝c.这对矢量的数性积并不成立，举反例如下：

如图1-20，设有非零矢量及与其共面的两矢量和，使得其终点连线BC与OA垂直且交于M，则

＝||||cos(,)＝||OM, ＝||||cos(,)＝||OM，于是 ＝, 但显然.例2.在平面上如果，且＝(i=1,2)，则有＝.作业题：

1.用矢量法证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.证明 －||||≤

≤|||

|.3.已知等边三角形ABC的边长为1，且4.(1)求两个共线矢量的数性积；(2)求两个单位矢量的数性积.＝，=, ＝，求＋＋.§1.8 两矢量的矢性积

教学目的

1、掌握矢量的矢性积概念及几何意义；

2、理解矢量矢性积的运算律及坐标表示；

3、会用顶点坐标计算三角形的面积。

教学重点 两矢量矢性积概念及几何意义 教学难点 矢性积的几何意义 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时

一、概念 1 1.矢性积的例子

物理学中的力矩是一个矢量，它是两个矢量的矢性积，如图1-23，如果力力矩

＝

.的作用点是A,，则2.两矢量与的矢性积（也称矢积，外积，叉积）是一个矢量，记做或[]，它的模是

||＝||||sin(,)，它的方向与,都垂直，并且按，这个顺序构成右手标架{O;，}.二、性质

定理1.两不共线矢量与的矢性积的模，在数值上等于以与为邻边所构成的平行四边形的面积.定理2.两矢量与共线的充要条件是 ＝.定理3.矢量的矢性积满足下面的运算规律：(1)反交换律

＝－().(2)关于数因子的结合律

()＝()＝().(3)分配律

(+)＝＋.推论.设, 为任意实数，有

()()＝()()，(+)＝+.三、坐标运算

1.如果＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2}, 那么

＝.2.与中学代数里的方程一样，我们将含有未知矢量的等式叫做矢量方程.例如＝l，其中是已知矢量，是未知矢量，l是常数，这就是一个矢量方程.解矢量方程常用两种方法：其一是对方程实行各种向量运算来求出未知向量；其二是利用坐标化成代数方程再去求解.例1.证明()≤222，并说明在什么情形下等号成立.例2.证明如果++＝，那么＝＝，并说明它的几何意义.例4.用矢量方法证明：（1）三角形的正弦定理

＝＝.（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：

2＝p(p－a)(p－b)(p－c).作业题：

1.设, , 为三个两两不共线的矢量，且== ，则++=.2.设两非零矢量3.已知两非零矢量4.已知,，求k值，使两个向量k，求

与, 其中

和

＋k共线.共线的充要条件.＝5, , , 求平行四边形ABCD的面积.§1.9 三矢量的混合积

教学目的

1、掌握矢量的混合积概念及几何意义；

2、理解混合积的运算律及坐标表示；

3、会用顶点坐标计算四面体的体积。

教学重点 三矢量混合积概念及几何意义 教学难点 混合积的几何意义 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时

第二章 轨迹与方程

教学目的

1、理解曲面与空间曲线方程的意义；

2、掌握求轨迹方程（矢量式与坐标式参数方程及普通方程）的方法；

3、会判断已知方程所表示的轨迹名称。

教学重点 曲面和空间曲线的方程求法

教学难点 判断已知的参数方程或普通方程所表示的图形 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 《解析几何》课程教案（第三章）

授课课时 8 第三章平面与空间直线

教学目的

1、深刻理解在空间直角坐标系下平面方程是一个关于x,y,z的三元一次方程；反过来任何一个关于x,y,z的三元一次方程都表示一个平面。直线可以看成两个平面的交线，它可以用两个相交平面的方程构成的方程组来表示；

2、掌握平面与空间直线的各种形式的方程，明确方程中常数（参数）的几何意义，能根据决定平面或决定直线的各种导出它们的方程，并熟悉平面方程的各种形式的互化与直线各种方程形式的互化；

3、能熟练地根据平面和直线的方程以及点的坐标判别有关点、平面、直线之间的位置关系与计算它们之间的距离和交角。

教学重点平面与空间直线的方程求法及点、平面、直线之间的相关位置 教学难点平面与空间直线各种形式方程的互化 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时 8

§3.1平面的方程

教学目的

1、理解在空间直角坐标系下平面方程是一个关于x,y,z的三元一次方程，反过来，任何一个关于x,y,z的三元一次方程都表示一个平面；

2、会求平面的各种方程（参数式、点位式、三点式、截距式、一般式、点法式及法式）；

3、掌握平面的一般式与法式方程的互化。

教学重点平面的点位式、一般式和法式方程及其转化方法 教学难点平面各种方程之间的互化 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 1 §3.2平面与点的相关位置 §3.3 两平面的相关位置

教学目的

1、理解点与平面的离差与距离概念及求法；

2、掌握判别点与平面、两平面位置关系的方法；

3、会求两平面的交角与距离。

教学重点 点与平面的离差和两平面的位置关系 教学难点 点与平面的离差 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 2

§3.4 空间直线的方程

教学目的

1、理解直线的方向角、方向余弦、方向数概念及求法；

2、会求直线的点向式方程（参数式、对称式、两点式）和一般方程；

3、掌握直线的标准方程与一般方程转化方法。

教学重点 直线的标准方程与一般方程 教学难点 标准方程与一般方程的转化方法 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 2

§3.5 直线与平面的相关位置

教学目的

1、理解直线与平面的位置关系及判别方法；

2、掌握直线与平面的交角和距离的求法。教学重点 直线与平面的位置关系 教学难点 直线与平面的交角 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 1 §3.6 空间两直线的相关位置

教学目的

1、理解空间两直线的位置关系及判别方法；

2、掌握空间两直线的交角和异面直线间的距离与公垂线方程的求法。

教学重点 空间两直线的位置关系及判别方法 教学难点 异面直线间的距离与公垂线方程 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 2

§3.7 空间直线与点的相关位置 §3.8平面束

教学目的

1、理解两种平面束的概念；

2、掌握空间直线与点的距离公式及平面束方程的求法。教学重点平面束的概念及平面束方程的求法 教学难点 空间直线与点的距离公式 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 《解析几何》课程教案（第四章）

授课课时 2 第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

教学目的

1、掌握求柱面、锥面、旋转曲面方程的一般方法和步骤；

2、能识别母线平行坐标轴的柱面方程和以坐标轴为旋转轴的旋转面方程，并能从

方程认识曲面的大致形状；

3、根据方程讨论图形性质，能画二次曲面、空间曲线及区域简图；

4、了解曲面直纹性。教学重点

1、柱面、锥面、旋转曲面的概念及方程求法；

2、椭球面、双曲面、抛物面方程的讨论，图形性质和形状的画法。

教学难点 根据二次曲面的方程和性质画出其图形 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 8

§4.1 柱面

教学目的

1、理解柱面及其准线和母线的概念；

2、掌握求柱面方程的一般方法及步骤。教学重点 柱面方程的求法 教学难点 圆柱面的方程 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 1

§4.2 锥面

教学目的

1、理解锥面及其准线和母线的概念；

2、掌握求锥面方程的一般方法及步骤；

3、了解齐次方程概念及其表示的锥面性质。

教学重点 锥面方程的求法 教学难点 圆锥面的方程

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时 1

§4.3 旋转曲面

教学目的

1、理解旋转曲面及母线和纬圆等概念；

2、掌握求旋转曲面方程的一般方法及步骤；

3、能熟练写出一类特殊旋转曲面的方程。

教学重点 旋转曲面方程求法 教学难点 一类特殊旋转曲面的方程 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 1

§4.4 椭球面

教学目的

1、会认椭球面的标准方程；

2、掌握讨论椭球面性质的方法及步骤；

3、能熟练画出椭球面图形。

教学重点 椭球面的标准方程及性质 教学难点 椭球面图形的画法 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 1

§4.5 双曲面

教学目的

1、会认单叶双曲面和双叶双曲面的标准方程；

2、掌握单叶双曲面和双叶双曲面的性质；

3、能熟练画出单叶双曲面和双叶双曲面的图形。教学重点 单叶双曲面和双叶双曲面的标准方程及性质 教学难点 单叶双曲面和双叶双曲面图形的画法 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 2

§4.6 抛物面

教学目的

1、会认椭圆抛物面和双曲抛物面的标准方程；

2、掌握椭圆抛物面和双曲抛物面的性质；

3、能画出椭圆抛物面和双曲抛物面的图形。

教学重点 椭圆抛物面和双曲抛物面的标准方程及性质 教学难点 椭圆抛物面和双曲抛物面图形的画法 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 2

§4.7 曲面的直纹性

教学目的

1、理解直纹曲面的概念；

2、掌握单叶双曲面和双曲抛物面的直母线方程求法；

3、了解单叶双曲面和双曲抛物面的直母线性质。

教学重点 直纹曲面的概念

教学难点 单叶双曲面和双曲抛物面的直母线方程求法 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 《解析几何》课程教案（第五章）

授课课时 2 第五章 二次曲线的一般理论

教学目的

1、了解复平面的特征；

2、掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径、主方向和主直径概念及求法；

3、弄清移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律，以及这两种坐标变换在化简二次曲线方程中所起的作用；

4、能判别二元二次方程所表示的曲线的类型，熟练地化简二次曲线方程，并写出相应变换关系式，作出其图形。

教学重点

1、二次曲线由渐近方向、中心、标准方程得出的不同分类方法；

2、二次曲线方程的化简、分类与作图。

教学难点 移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律及其在化简二次曲线方程中所起的作用。参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时 8 §5.1 二次曲线与直线的相关位置

教学目的

1、了解复平面的特征；

2、熟记二次曲线方程中的有关记号；

3、掌握二次曲线与直线的相关位置及判别方法。

教学重点 二次曲线方程中的有关记号及二次曲线与直线的相关位置 教学难点 二次曲线与直线位置的判别方法 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 1 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

教学目的

1、理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念；

2、掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法；

3、能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。

教学重点 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法 教学难点 根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 2

§5.3 二次曲线的切线

教学目的

1、理解二次曲线的切线及齐异点和正常点概念；

2、掌握求二曲线的切线方程的方法。教学重点 二次曲线的切线概念及求法

教学难点 过二次曲线外一点求二次曲线的切线方程 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 1

§5.4 二次曲线的直径

教学目的

1、理解二次曲线的直径与共轭弦概念及共轭方向与共轭直径概念；

2、掌握求二曲线直径方程及共轭方向与共轭直径的方法；

3、掌握中心曲线与非中心曲线的直径特征。

教学重点 二次曲线的直径概念及方程求法 教学难点 共轭方向与共轭直径的概念及关系 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 1 §5.5 二次曲线的主直径与主方向

教学目的

1、理解二次曲线的主直径与主方向概念；

2、掌握求二曲线主方向与主直径方程的方法；

3、掌握二次曲线特征根的概念及性质。

教学重点 二次曲线的主直径与主方向概念及求法 教学难点 二次曲线的特征根与主方向和主直径的关系 参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 2 §5.6 二次曲线方程的化简与分类

教学目的

1、理解平面直角坐标变换(移轴变换和转轴变换)概念；

2、掌握其对二次曲线方程系数的影响规律及其在化简二次曲线方程中所起的作用（与主方向和主直径的关系）；

3、熟练掌握二次曲线方程的化简和作图方法；

4、能根据化简的标准方程对二次曲线进行分类。

教学重点 二次曲线方程的化简和作图方法及二次曲线的分类 教学难点 移轴变换和转轴变换在化简二次曲线方程中所起的作用

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时 2 §5.7 应用不变量化简二次曲线的方程

教学目的

1、理解二次曲线的不变量和半不变量；

2、掌握三类二次曲线简化方程的形式；

3、了解用不变量和半不变量判断二次曲线类型的方法。

教学重点 三类二次曲线简化方程的形式 教学难点 不变量和半不变量的证明

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08 授课课时 2

第五篇：线性代数与空间解析几何期末考试题

… 2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A卷）

………课程 线性代数与空间解析几何B考试时间 2012 年7 月2 日

……………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。………………

…

……

一、填空题（每小题3分，满分27分）

……x

yz

2x2y2z

…

1、设行列式4

036，则行列式4301_________.……

1……

2、已知矩阵A满足A2-2A-8E= 0，则(A+E)-1=_____________.……

3、已知向量组T…1=(1,2,3)T, 2=(3,-1,2), T3=(2,3,k)线性相关，则常数k =_________.线……5200……

4、设矩阵A=2

100

…0021，则A-1

=________________.…

00

1

……

5、若A、B为5阶方阵，且Ax= 0只有零解，且R(B)=3，则R(AB)=___________.……

6、三元线性方程x1+ x2+ x3=1的通解是_______________.订…0

b

…

7、若矩阵

A=1

与矩阵B=…

43



a

x相似，则x=_____.

……1……

8、设3元非齐次线性方程组Ax=b有解1=21,2=2且R(A)=2，则Ax=b的通解为……33

…装__________________.……

9、若f(x1, x2, x3)=x214x224x232x1x24x2x3为正定二次型,则的取值应满足______.……

二、选择题（每小题3分，满分15分）

……

…

1、若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（）

………(A)A=

1…AA*

；(B)A0；(C)(A2)

1

(A

1)

;(D)(3A)1

3A

1

.………

2、若A、B相似，则下列说法错误．．的是()…(A)A与B等价；(B)A与B合同；(C)| A |=| B |；

(A)A与B有相同特征值.…第 1 页，3、设有向量组A：1,2,3,4，其中1,2,3线性无关，则（）

(A)1,3线性无关；(B)1,2,3,4线性无关；(C)1,2,3,4线性相关(D)2,3,4线性相关.4、设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为对称矩阵的是()(A)AB-BA；(B)AB+BA；(C)AB；(D)BA.5、设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax= 0存在非零解的充要条件是（）

(A)A的行向量组线性无关；(B)A的行向量组线性相关；(C)A的列向量组线性无关；(D)A的列向量组线性相关.三、计算题（每小题9分，满分18分）

a

00（1）D =11ab0011bc.1

1c

01（2）设矩阵A=

0

20

,而X满足AX+E=A2+X，求X.

1

四、应用题（每小题10分，满分20分）

（1）求向量组11,1，1，4T，3，5T，TT

22,1，33,1,5,6，41,-1，3，2的一个

极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示出来.1

0a（2）设A =

-1

0

20=

, b -1，已知非齐次线性方程组Ax=b存在两个不同



-11的解，求（I），a的值；（II）Ax=b的通解.五、证明题（满分8分）设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明:(AB)1A1B1.六、综合题（满分12分）

2

00100

设A=

0

3a的三个特征值分别为1，2，5，求正交矩阵P，使P-1AP =0

20.

0a

3

00

5

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