第一篇：小学奥数最大与最小教师版
第七讲：最大与最小
模块
一、数论中的极端思想
【例 1】 1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？
【解析】 8531和7642。高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8，7，百位分别是6，5。两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85，另一个数的前两位是76。同理可确定十位和个位数.【巩固】 两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？ 【解析】 将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况：
15=1+14，1×14=14； 15=2+13，2×13=26； 15=3+12，3×12=36； 15=4+11，4×11=44； 15=5+10，5×10=50； 15=6+9，6×9=54； 15=7+8，7×8=56。
由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。
结论：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大.【巩固】 两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？ 【解析】 48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。
所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况：
48=1×48，1+48=49；
48=2×24，2+24=26；
48=3×16，3+16=19；
48=4×12，4+12=16；
48=6×8，6+8=14。
两个因数之和最小的是6+8=14。
结论：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。
【例 2】 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？
【解析】 要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故10112358满足条件．如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取1与0．
【例 3】 有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为2003，那么这类自然数中最小的是几？ 【解析】 一个自然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求高位的数值尽可能地小.由于各数位上的和固定为2003，要想数位最少，各位数上的和就要尽可能多地取9，而2003÷9=222„„5，所以满足条件的最小自然数为：599...9
222个9
【例 4】 将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12„„9899100从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？
【解析】 要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。因为1～59中有109个数码，其中有6个9，要想左边保留6个9，必须划掉1～59中的109-6＝103（个）数码，剩下的数码只有192－103=89（个），不合题意，所以左边只能保留5个9，即保留1～49中的5个9，划掉1～49中其余的84个数码。然后，在后面再划掉16个数码，尽量保留大数（见下图）：
所求最大数是9999978596061„99100。
同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留0。2～50中有90个数码，其中有5个0，划掉其余90-5=85（个）数码，然后在后面再划掉15个数码，尽量保留小数（见下图）：所求最小数是***„99100。
【例 5】 把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？ 【解析】 假设分成的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1×a＜1+a，也就是说，将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=2×2，所以可以将4分成两个2。由上面的分析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分成的自然数中最多有两个2，其余都是3。由此得到，将17分为五个3与一个2时乘积最大，为3×3×3×3×3×2=486。结论：整数分拆的原则：不拆1，少拆2，多拆3。
【巩固】 把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？ 【解析】 14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×2=162最大.【例 6】 某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付1元、2元„„100元的钱数（整数元），那么至少需要准备货币多少张？
【解析】 为了使货币越少越好，那么9元的货币应该尽量多才行。当有10张9元时，容易看出1、1、3、5这四张加上后就可以满足条件。当9元的货币超过11张时，找不到比14张更少的方案。当9元的货币少于10张时，至少有19元需要由5元以下的货币构成，且1元的货币至少2张，这样也找不到比14张更少的方案。综上分析可以知道，最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的，共14张货币。
【例 7】 在五位数 22576的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最大的是几？ 【解析】 225776
【巩固】 在六位数865473的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是几？ 【解析】 8654473.【例 8】 设自然数n有下列性质：从1、2„„n中任取50个不同的数，其中必有两数之差等于7，这样的n最大不能超过多少？
【解析】 当n=98时，将1、2„„98按每组中两数的差为7的规则分组：{1，8}、{
2、9}、„„{7，14}、{15，22}„„{90，97}、{91、98}。一共有49组，所以当任取50个数时，必有两个数在同一组，他们的差等于7。当n=99时，取上面每组中的前一个数，即1、2„„
7、15„„
21、29„„
35、43„„
49、57„„63、71„„77、85„„91和99一共是50个数，而它们中任2个的差不为7。因此n最大不能超过98。
【例 9】 在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？
【解析】 把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2倍。因为55-37＝18，所以我们变成减数的这些数之和是
18÷2=9。对于大于2的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。9最多可拆成三数之和2＋3＋4=9，因此这些减数的最大乘积是2×3×4＝24，添上加、减号的算式是：10 ＋ 9＋ 8＋ 7 ＋ 6＋ 5-4-3-2 ＋1＝37。
模块
二、智巧趣题中的极端思想
【例 10】 99个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果．问：这群小朋友最多有几位?
【解析】 1+2+3+„+13=91＜99，1+2+3+„+14=105＞99，说明若13位各分得1，2，3，„，13个苹果，未分完99个，若14位各分得1，2，3，„，14个苹果，则超出99个．因91+8=99，在13位上述分法中若把剩下的8个苹果分别加到后8位人上，就可得合题意的一个分法：13人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，lO，11，12，13，14个．所以最多有13位小朋友．(注：13人的分法不唯一)
【例 11】（第四届希望杯1试）一位工人要将一批货物运上山，假定运了5次，每次的搬运量相同，运到的货物比这批货物的33多一些，比少一些。按这样的运法，他运完这批货物最少共要运
54次，最多共要运
次。
【解析】 这道题目用到了极值判断法，体会极值判断法：
33331，则每一次最少运÷5=，所以最多运1÷=8≈9次； 552525333332假定5次运的恰好等于，则每一次最多运÷5=，所以最少运1÷=6≈7次.4420203假定5次运的恰好等于
【例 12】 某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果有22名学生在这三天中至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？
【解析】 三天都迟到的要尽量多，则将迟到的22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的．可求出三天都迟到的学生最多有(15+12+9-22)÷2=7(人)．
【巩固】 某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是自然数，最高得分198，最低得分169，没有得193分、185分和177分，并且至少有6人得同一分数，参加测试的至少多少人？
【解析】 得分数共有198-169+1-3=27(种)，当只有6个人得分相同时，参加测试的人最少，共有27+6-1=32(人)．
【例 13】 149位议员中选举一位议长，每人可投一票．候选人是A，B，C三人．开票中途，A已得45票，B已得20票，C已得35票．如果票数最多者当选，那么A至少再有多少票才能一定当选?
【解析】 45+20+35=100，还有149-100=49(票)．45-35=10，如果49票中有10票都给C，49-10=39，那么A至少还要有20票才能当选．
【例 14】 如图，司机开车按顺序到五个车站接学生到学校，每个站都有学生上车．第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半．车到学校时，车上最少有多少学生?
【解析】 因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有1个学生上车．假如第五站只有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2，4，8，16个．因此五个站上车的人数共有1+2+4+8+16=31(人)，很明显，如果第五站有不止一个学生上车，那么上车的总人数一定多于31个．所以，最少有31个学生．
【例 15】 某公共汽车从起点开往终点站，中途共有15个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？
【解析】（法1）：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：
由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。（法2）：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此：车开出时人数=（以前的站数+1）×以后站数=站号×（15-站号）。因此只要比较下列数的大小：1×14，2×13，3×12，4×11，5×10，6×9，7×8，8×7，9×6，10×5，11×4，12×3，13×2，14×1.由这些数，得知7×8和8×7是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56人，所以它应有56个座位.此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。
【例 16】 某班学生50人，年龄均为整数，年龄的平均值为12.2，已知班上任意两人的年龄差都不超过3．那么这班学生中年龄最大的能是多少岁?如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人?
【解析】 因为全班50人的年龄总和比平均12岁的年龄总和多(12.2-12)×50=10(岁)，所以年龄最大的能是12+3=15(岁)．如果有人年龄达到15岁，那么剩下的49人的年龄和比平均12岁的年龄和多10—3=7(岁)，所以最多有7人的年龄大于12岁，小于15岁．
【例 17】 若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？
【解析】 家长比老师多，所以老师少于22÷2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不少于12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12÷2=6人，即不少于7人。因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人。但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老师必定是9个女老师和1个男老师，共10个。那么，在12个家长中，就有7个是妈妈。所以，爸爸有12-7=5人。
【例 18】 现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？
【解析】 先每堆拿出一个，这样第一堆就是第二堆的3倍：“如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍”，第三堆最少剩一个，那么第一堆的每一份就是：（34-2）÷2=16，即三堆分别有：16×3+1=49，16+1=17和16个，总数：49+17+16=82个；如果第三堆剩2个，那么第一堆的每一份为：（34-4）÷2=15，各堆分别为：15×3+1=46，15+1=16和14个，总数减少.显然第三堆留下的越多，第一堆的每一份就越少，总数越少.所以原来三堆苹果之和的最大值是82.【例 19】 如图，小明要从A走到B，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数．请问小明最快需几分钟?
【解析】 从A到B要想最快，肯定不能走回头路，路线分为过C点和不
过C点两类．①不过C点有两条路：第一条是15+7+9+18=49(分钟)；第二条是14+6+17+12=49(分钟)；两条路所用时间相同．②经过C点的路线分为两段，A→C、C→B．同上面一样：A→C：①14+13=27(分钟)；②15+11=26(分钟)．C→B：①10+12=22(分钟)；②5+18=23(分钟)．在分析已知条件时。很可能会出现不同情况和不同结果，而且不好推理说明谁是极端情形，那就应该列举比较．所以从A→C→B最少用48分钟，比前面不过C的少用1分钟．
【例 20】 阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座，某些排坐着的人数就一样多．我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？
【解析】 至少有4排．如果10排人数各不相同，那么最多坐：16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人)；如果最多有2排人数一样，那么最多坐：(16+15+14+13+12)×2=140(人)；如果最多有3排人数一样，那么最多坐：(16+15+14)×3+13=148(人)；如果最多有4排人数一样，那么至多坐：(16+15)×4+14×2=152(人)．148<150<152，所以，至少有4排．
练习1.如果一个自然数N的各个位上的数字和是1996，那么这个自然数最小是几？ 【解析】 1996÷9=221„„7，N= 799...9.221个9课后练习
练习2.有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？
【解析】 把4个数全加起来就是每个数都加了3遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+52）÷3=64。用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即64-52=12。
3．小王现有一个紧急通知需要传达给小区内的975个人．若用电话联系，每通知1个人需1分钟，而见面可一次通知60个人，但需10分钟，问：完成传达任务最少需多少分钟?(每人均有电话)【解析】 应该充分发挥每个人的作用，即凡是知道通知的人都可以通知尚不知道的人．因此，可以先花10分钟安排一次见面通知，然后凡被通知的人再不断打电话，到第14分钟时共可通知：(1+60)×2×2×2×2—1=975(人)，因此最少用14分钟．
练习3.当A+B+C＝10时(A、B、C是非零自然数)。A×B×C的最大值是＿＿＿＿，最小值是＿＿＿＿。【解析】 当为3+3+4时有A×B×C的最大值，即为3×3×4＝36；
当为1+1+8时有A×B×C的最小值，即为1×1×8＝8。
2练习4.要砌一个面积为72米的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？
【解析】 将72分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是9-8=1。，猪圈围墙长9米、宽8米时，围墙总长最少，为（8+9）×2=34（米）.练习5.公园里有一排彩旗，按3面黄旗、2面红旗、4面粉旗的顺序排列，小红看到这排旗的尽头是一面粉旗．已知这排旗不超过200面，这排旗子最多有多少面?
【解析】 旗子排列是9面一循环，关键在于最后几面旗子，如果最后四面都能是粉旗那就好了．200÷9=22„2，所以最多可以出现200-2=198面旗子，共22个循环．
练习6.有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过60块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？
【解析】 最多的一袋糖数不小于另三袋糖的平均数，故不小于61÷3=20，即它不小于21．从而四袋糖总和不小于21十61=82(块)．比如四袋糖数量分别为21，21，20，20即可．
13月测备选
测试
1、比较下面两个乘积的大小：a=57128463×87596512，b=57128460×87596515.【解析】 对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即57128463+87596512=57128460+87596515。因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据上题结论，可得a＞b
测试
2、将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12„„9899100从中划去170个数字，剩下的数字形成一个22位数，这个22位数最大是多少？最小是多少？ 【解析】 在前100个自然数中，共有20个9，再保留后面的“10”，即得到最大数：99999„99100（20个9）；最小数的第一位是“1”，再保留10～90中的9个“0”，再在91～100中留下12个尽量小的数，即得最小数：***6789100.测试
3、（第一届希望杯1试）一艘轮船往返于A、B码头之间，它在静水中船速不变，当河水流速增加时，该船往返一次所有时间比河水流速增加前所用时间_______(填“多”或“少”)【解析】 极限判断，当水速为10，船速是20时，我们可以往来A，B两地，当河水速度增加时，比如增加到20，这样逆水时，船速=水速，永远到不了B地，所以时间变多了。
测试4冬季运动会共有58面金牌，至今A队已得lO面，B队已得11面，C队已得13面．如果A队要想金牌数居第一位，A队至少还要得多少面金牌? 【解析】 10+ll+13=34．还有58-34=24(面)可争夺．A队要再得4面，才超过C队．在余下的奖牌中不能少于一半，即再得4+(24-4)÷2=14(面)，才能确保金牌数居第一位．
测试
5、某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？ 【解析】 因为参加竞赛的有28+23+20=71(人)．让这71人尽可能多地重复，71÷2=35„1，所以至多有35人参加两科．
测试
6、一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？ 【解析】 假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为（4×8=）32，与实际的和39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6－4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在7÷2=3……1，因此可用3个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8个球的数字之和正好等于39。所以要使8个球的数字之和为39，其中最多可能有（8-3-1=）4个是红球。
测试
7、小明有一只最多能装10千克物品的大提兜．现有白菜5千克，猪肉2千克，鱼3．5千克，一瓶酱油连瓶重1.7千克，白糖l千克，蚕豆5.1千克．请你想想，把哪几样东西放进大提兜内，才能充分利用提兜，使它所提东西的重量最重? 【解析】 大提兜能装的重量限制在10千克之内．把哪几样东西的重量加在一起，使和不超过10千克，但最接近lO千克我们不妨列举．在列举前先分析数据：白菜和蚕豆不能同时放(共10.1千克)，但二者应取其一，否则才装2+3.5+1.7+1=8.2千克．列举如下： 白菜+猪肉+酱油+白糖=9.7(千克)； 白菜+鱼+白糖=9.5(千克)；
蚕豆+猪肉+酱油+白糖=9.8(千克)； 蚕豆+鱼+白糖=9.6(千克)．
显然，把5.1千克蚕豆，1.7千克的酱油，2千克的猪肉和1千克重的白糖放人大提兜内最重．
第二篇：最大的爬行动物和最小的爬行动物
最大的爬行动物和最小的爬行动物
世界上最大的爬行动物是咸水鳄鱼，分布在南亚、北澳大利亚、巴布亚新几内亚、越南和菲律宾。成年鳄鱼长达
4.26-4.88米，重量达408-522公斤。
1957年在澳大利亚诺曼阿发现一条长为8.64米、重达1996公斤的鳄鱼。显然是爬行动物中的庞然大物。
最小的爬行动物是一种小壁虎，只能在加勒比海、英国维尔京戈群岛上找到。1964年8月10日到16日发现了15条，其中最大的三条从吻尖到肛门长达1.8厘米，尾巴差不多和身体一样长。
另一种壁虎可能还要小些，唯一发现的一条是几乎成熟的雌性，从吻尖到肛头长仅1.7厘米，尾巴也同样很长。这只最小的壁虎是1966年3月15日在海地岛的马塞夫拉霍特西边的一株树的根部发现的。
三年一班王玥懿
第三篇：奥数最大和最小的问题教案
最大和最小的问题
最短的时间内完成作业，有更多时间发展自己的业余爱好
怎样乘车路程最短，话费时间最少
怎么样做可以使原材料最省
大桥建设在什么位置，才能方便附近尽可能多数居民
......例1.幼儿园老师把100根小棒分给小朋友做数学游戏，每个小朋友分的小棒根数不同。那么最多能分给几个小朋友？
100=10+20+30+40 100=10+11+12+13+14+15+25
分析：得掉小棒的小朋友尽量多
每个人分的根数不同
↓
丨
每个人得到的小棒尽量少
丨
丨
丨
每个人分得的根数分别是1，2，3，4，......算一算：1+2+3+4+5+...+？=100
试算：1+2+3+4+5+...+13=91
＜100
1+2+3+4+5+...+13+14=105
＞100
解：每人分得的小棒分别是1根，2跟，3根，4跟，......1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91（根）1 1 1 1 1 1 1 1
100-91=9（根）
100根分给13人，分别是1根，2根，...13根，余9根
这9根只能分给得小棒多的1人，2人...，最多9人
答：最多能分给13个小朋友。
例2.把自然数1，2，3，......，19依次排列，1234567891011......1819，划去24个数字后得到一个多位数，这个数最大是多少？
11213
71819
789 9
99887×错误
78989
分析：（1）去掉24个数字之后，得到一个几位数？
（2）要使得到的多位数最大，在高位上尽量留较大的数字，9，8，7，......解：（1）这一列数共有多少个数字？
｝
一位数：1-9，有9个数字
｝共有29个数字
二位数：10-19，有2×10=20个数字
｝
（2）划去24个数字后，得到一个几位数？
29-24=5（位）
（3）划去24个数字，合理的在高位数上尽量留较大数字
******819 819
划掉24个数字→97819
观察下面两组算式的结果怎样变化，由此得出什么规律？
10=1+9
1×9=9
10=2+8
2×8=16
10=3+7
3×7=21
10=4+6
4×6=24
10=5+5
5×5=25
规律1：两个数的和一定时，这两个数越接近，它们的乘积越大：当两个数相等时，它们的乘积最大。
例3.周长为36米2的竹篱笆围成一个长方形菜园，要使菜园的面积最大，它的长和宽应该是多少？这时的最大面积是多少？
分析：
面积最大
周长36米
长×宽（最大）
长+宽=18
规律1：长=宽时
解：菜园的长+宽是：
36*2=18（米）
据规律1，当长=宽时，长×宽的积最大
长-宽=18*2=9（米）
最大面积是：9×9=18（平方米）
答：菜园围成边长为9米的正方形，面积最大，最大的面积是81平方米。
观察下面两组算式的结果怎样变化，由此得出什么规律？
16=1×16
1+16=17
16=2×8
2+8=10
16=4×4
4+4= 8
规律2：两个数的积一定时，这两个数越接近，它们的和越小：当两个数相等时，它们的和最小。
例4.用竹篱笆围一个面积为25平方米的长方形菜园。这个长方形菜园的长、宽哥等于多少时，最省材料？
分析：最省材料→周长最小→长=宽（最小）
↑
面积25平方米→长×宽=25
规律2：长=宽时
解：因为长茶宽=25（平方米）
据规律2，当长=宽时，长+宽的和最小
25=5×5，所以：长=宽=5（米）时，周长最小
答：长方形菜园的长、宽都等于5米时周长最小，最省材料。
练习：把14拆成两个数字的和。再求出这两个数字的乘积。如何拆可以使乘积最大？最大积是多少？
分析：把14拆成两个数的和
两个数的乘积最大
↓
两个数的和是14
↓
↑
规律1：两个数相等时
解：14=7+7
最大积：7×7=49
答：14拆成两个7的和时，这两个数字的乘积最大，是49。
例5.把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积。如何拆可以使乘积最大？最大的乘积是多少？
14=7+7
14=4+5+5
分析：（1）拆分出的自然数个数应尽可能多
（2）拆分出来的每个数尽量小
（3）拆分出的自然数中没有1
（4）拆分出来的数字中3多2少，且数2最多两个
14=2+2+2+2+2+2+2
3+3
3+3
2×2×2×2×2×2×2=128
3×3×3×3×3×3×3=144
3×3×3×3×2=162
解：14=3+3+3+3+2
最大积是3×3×3×3×2=162
答：把14拆成4个3和1个2的和时，这几个数的乘积最大，是162。
规律3：把一个自然数拆成若干个自然数的和.如果要使这些数的乘积最大，那么拆出的数中3的个数尽量多，2的个数不多于两个。
例6.比较12489×12356与12359×12486的大小
↑ +3 ↑
观察：12489×12356 ○12359×12486
↓
↓
解：12489+12356=12359+12486 和一定
12489-12356=133
12486-12359=127
差较小
所以12489×12356 ＜ 1235912486
随堂练习
例1.幼儿园老师把100根小棒分给小朋友做数学游戏，每个小朋友分的小棒根数不同。那么最多能分给几个小朋友？
例2.把自然数1，2，3，......，19依次排列，1234567891011......1819，划去24个数字后得到一个多位数，这个数最大是多少？
例3.周长为36米2的竹篱笆围成一个长方形菜园，要使菜园的面积最大，它的长和宽应该是多少？这时的最大面积是多少？
例4.用竹篱笆围一个面积为25平方米的长方形菜园。这个长方形菜园的长、宽哥等于多少时，最省材料？
例5.把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积。如何拆可以使乘积最大？最大的乘积是多少？
例6.比较12489×12356与12359×12486的大小
课后作业
1.从0，1，2，4，6，8，9这七个数字中，选出五个数字组成一个被5整除并且尽可能大的五位数，这个五位数是多少？
2.小明看一本90页的童话故事，每天看的页数不同，而且一天中最少看3次。那么小明看完这本书需要多少天？
3.把自然数1，2，3，......，39，40 依次排列：
1234567891011......3940.划去65个数，得到的多位数最大是多少？
4.a，b是两个自然数，a+b=16，那么a×b最大是多少？
5.a，b是两个自然数，a×b=49，那么a+b最小是多少？
6.用40厘米的铁丝围成一个长方形（不计接头长度）中，最大的一个面积是多少平方米？
7.教室一个窗户的面积是225平方米，怎样设计窗户的形状和尺寸最省材料？
8.把17分成几个自然数的和，再求出这些数的积，要使得积尽可能地大，最大的积是多少？
9.把1，2，3，4，5，9，填入下面方框里，要使两个三位数的积最大，怎样填？
（）（）（）×（）（）（）
10.比较下面两个积的大小。
A=987654321×123456789
B=687654321×423456789
第四篇：小学奥数教师招聘参考试题
招聘教师专用测试题—测试版
小学奥数教师招聘专用试题及答案
1、（三年级或四年级学生学习的赛题）.猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配，若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多
只
可以这样理解：每只大猴拿1个给小猴，结果还剩了10个，说明大猴比小猴多10只
2、（三年级或四年级学生学习的奥数典型题目）甲和乙两人都买了一套相同的信笺，甲把每个信封里装一张信纸，结果用完了所有的信封，只剩下50张信纸，乙把每个信封里装3张信纸，结果用完了所有的信纸，剩下50个信封，问每套信笺盒中有多少张信纸？多少个信封？
假设：信封为x，信签纸为y
1、甲的情况
x+50=y
（1）
2、乙的情况
3*（x-50）=y（2）方程式（2）-方程式（1）3*（x-50）-（x+50）=0
2*x-200=0 x=100 代入方程（1）y=150 有100个信封，150张便签纸
3、（适合四年级学生）上一段12级楼梯，规定每一步只能上一级或两级.问要登上第12级楼梯共有多少种不同走法?(如果其中第6级坏了怎么处理？)这题用递推。
因为每一步只能上一级或两极，所以上1级楼梯有1种走法，上2级楼梯有2种走法。而上第3级楼梯的前一步，肯定是要上到第2层楼梯或第1层楼梯（因为每一步只能上一级或两极，反推，要上第3层，前一步必定要上第1层或第2层），所以上到第3级楼梯的走法种数等于上到第1级楼梯的走法种数与上到第2级楼梯的走法种数。
假设要上第n级楼梯，f（n）代表上到第n级楼梯的种数，则f（n）=f（n-1）+f（n-2）。也就是说，n的序列是一个斐波那契数列（即1 1 2 3 5 8 13 21 ……注：除去首项第一个1）。所以最终答案是233 这是一个经典的递归问题。也就是费波纳西级数。f(n)= f(n-1)+ f(n-2)。
我来解释，如果我们第一部选1个台阶，那么后面就会剩下n-1个台阶，也就是会有f(n-1)种走法。如果我们第一部选2个台阶，后面会有f(n-2)个台阶。因此，对于n个台阶来说，就会有f(n-1)+ f(n-2)种走法。
因此，1个台阶f(1)= 1.f(2)= 2, f(3)= 3 f(4)= 5 f(5)= 8 招聘教师专用测试题—测试版
f(6)= 13 f(7)= 21 f(8)= 34 f(9)= 55 f(10)= 89 f(11)= 89+55 = 144 f(12)= 144 + 89 = 233
4、（适合三下或四年级学生）在下图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.8
3 9
5、（四下或五年级的学生）如图，单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中的阴影部分面积。
解：在梯形AMCB中
梯形AMCB的面积为S=1/2(2+4)x4=12
又因为三角形BCG面积为S1=1/2XBCXH1=2H1
三角形AGM的面积 S2=1/2XAMXH2=H2
又因为H1+H2=4
所以 梯形AMCB的面积=三角形AMB面积+三角形AMC面积+三角形BGC面积-三角形AMG面积
即：12=4+4+2H1-H1 所以联立H1+H2=4
解得：H1=8/3 H2=4/3
所以阴影部分面积=三角形AMB面积+三角形AMC面积-2个三角形AMG面积=4+4-8/3=16/3 追问
即：12=4+4+2H1-H1 所以联立H1+H2=4 设三角形BCG 的高为H1 三角形AGM的高为H2 则H1+H2=4
那么H1=4-H2
将H1=4-H2
代入12=4+4+2H1-H1
就可以解出来了呀！
招聘教师专用测试题—测试版
6、（适合六年级或小升初的学生）如图，三角形BDF，三角形CEF和三角形BCF的面积分别是2平方厘米，3平方厘米，4平方厘米，求四边形ADFE的面积是多少？
三角形def的面积=10x16/20=8
三角形ade的面积=X
AD/BD=(X+8+16)/30=X/18
30X=18X+24*18
12X=24*18 X=36
四边形adfe的面积=36+8=44
7、（适合五、六年级的学生）11223344L20052005除以10 所得的余数为多少？ 那么在计算过程中只需末位相乘
先按每一项的各位进行分类,共十组：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 末位为0,必能被10整除，余数为0 末位为1,各位总是1，式子中有201项，201*1=201，所得余数为1 末位为2，从1次方到n次方末位按2,4,8,6,2,4……循环排列
则式子中各项的末位为4,6,4……4循环,共201项，前面每两项相加为10
所以所得余数为4 末位为3,4,5,6,7,8,9的组利用上述方法依次类推（注意，从6开始每组共200项），过程省略，各组余数依次为7,6,5,0,0,0,0 将各组余数相加，得23 所以原式子所得的和除以10余数是3（首项+末项）×项数÷2÷10
2005中间数是1003，除以10余数就是3了。
只是一道整式乘法和的题 把偶数方和奇数方分别提出来 所以是（2005-2003……-1）的2005-2003……-1方-（2004-2002-……-2）的2004-2002-……-2的方 化简后是33 33÷10就=3……3了 对吧
如果有同行会8至10题请回贴吧！谢谢
8、（适合五、六年级的学生）求143除以7 的余数．
招聘教师专用测试题—测试版
9、（适合六年级的学生）在数学中有公式：对任意两个数a，b，有(a+b)(a-b)=a-b，请计算：
22(1-1111)(1-)(1-)(1-)= 223242100210、（适合五、六年级的学生）甲班与乙班学生同时从学校出发去15 千米外的公园游玩，甲、乙两班的步行速度都是每小时4 千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48 千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离是多少千米？
第五篇：小学奥数教辅书推荐
小学奥数教辅书推荐
作为一名奥数老师，每次去西单都会去图书大厦三楼的奥 数教辅专架看看，每次都会看到有小学生家长在专架上的一排排书之间感到茫然，不知道该买哪本好。确实，目前市场上的小学奥数教辅书种类繁多，良莠不齐，对于对小学奥数不太熟悉的家长们来说，如何进行选择确实是个难题。尤其是目前又到了暑期，孩子们正好有空在家里看看书做做题，所以觉得有必要向家长们推荐一些有价值的、值得购买的奥数教辅书。
总的来说，小学奥数教辅书可以分为三类：教 材；习题集；竞赛试题汇编。下面分别进行介绍。
（一）教材类
1、《明心数学zy教程》 刘嘉编著，湖北教育出版社出版
《明心数学zy教程》是目前最好的小学奥数 教材，由武汉的明心zy教育（武汉的一家培训机构）的刘嘉老师主编，计划出版八卷四册，现已出版了3册：第二卷上（2007年）、第三卷上（2007年）、第四卷上（又分第1、2分册）（2008年），所以实际上是已经出了4本。
《明心数学zy教程》这套书最大优点有：① 每一讲前面的数学经纬都非常的生动有趣而且富有知识性；②每一道例题的解答过程都非常详细，很适合家长用来辅导学生及学生自学，另外对于新老师的教学其实也有指导帮助的作用。而且有些例题后面都有 关于例题的知识背景的介绍（这样的往往是数学史上著名的问题），还有例题不同的表达形式（相当于变式），可起到举一反三的作用；③每一讲后面的练习题有些是与前面的例题相对应的，这样学生在做练习题时可以回想前面的例题的解题思路，既是对前面例题的回顾又是对练习题的启发（实际上大部分奥数教材都是这样做的，比如后面要介绍的RH学校数学课本及《奥数教程》等，当然学而思讲义也是如此）。
《明心数学zy教程》最大的缺点就是——出得太慢了~说是要出八卷，到目前为止还只出了三卷四本。
2、《RH学校奥林匹克数学课本》 中国大百科全书出版社，一至六年级都有
RH学校出的课本，因了RH的江湖地位，自 然是值得重视的。这套书知识面覆盖的很全，小学奥数需要掌握的知识里面都会讲到，题目难度比较适中，有基础题，也有中等题，难题相对少一些。
RH学校这套书可以说是中规中矩，但六年级 那册比较有特色，讲了许多别的书不太重视的内容，比如小数中的进位制、以及用了四讲来讲棋盘上的数学，都是很值得一看的。
3、《小学奥数总复习教程》
学而思编著的第一本书，电子工业出版社
汇聚了学而思众多奥数名师和教研高手编著而 成的，主要是为六年级面临小升初的孩子们准备的，脱胎于学而思讲义却又不同于学而思讲义，每道例题后面都有初级点拨、深度提示和全解过程，其中前两部分都是对于解题思路的提示，对于学生做题富有启发性。
下面copy一段当当网上用户对这本书的评价：“通过知识地图、基础知识、经典透析和拓展训练四个部分，构建 了完整的奥数知识体系，全面覆盖小学奥数知识。可用来辅导孩子或孩子系统复习使用。”当然不足之处就是印刷错误有点多。
4、《奥数教程》
单墫、熊斌总主编，华东师范大学出版社
老牌的奥数教材，很全面，但题目比较基础，练习题题量很大。
另外关于教材还要说的是：以上各类教材虽然 编排体系不同（比如刘嘉那套书、RH学校课本、学而思讲义的编排体系和大纲就各不相同），但每套书合起来就构成了一套完备的小学奥数教材，覆盖了小学奥数的方方面面。但是对于学而思学员来说，由于编排体系的不同，以上的教材都不适合于作为与学而思课程班同步的辅导教材，只能作为自己学习的辅助，主要还是在课堂上跟着老师学习。
（二）习题集类
5、《RH学校奥林匹克数学思维训练导引》
中国大百科全书出版社出版，分为三、四年级分册和五、六年级分册，思维导引可以说是最知名的小学奥数教辅书了，有传说说把思维导引做一遍就可以当一个优秀的奥数教练了。当然我本人不是很相信这种说法。思维导引每一章节的分类有自己的特色，但是它赖以成名的是它的题目的难度和经典性，因此很多竞赛和学校的小升初考试试题都从里面寻找灵感。
思维训练导引最大的缺憾在于只有题目和答案，没有具体的解析过程，那么它那么多高难度的题对于学生来说实在是一个艰难的目标。好在已经有前辈把思维导引里面所有题的解析都给出来了。中国大百科全书出版的《RH学校奥林匹克数学思维训练教程》给出了每一讲的奇数号题目的解析，凌科编著的《思维训练导引详解》（中国石化出版社）则给出偶数号题目的解析，这两套书合起来思维导引题目的解析就全了。
6、《奥林匹克训练题库》 刘京友主编，北京师范大学出版社
老牌的奥数题库，题量很大，题目以基础题和中等题为主，适合学生打基础。
7、《小学数学竞赛多功能题典》 朱华伟编著，华东师范大学出版社
作者搜集了近几年各大竞赛的题目并按照知识板块进行归类，将同一知识点的题目放在一起，就成了这本内容丰富的题典。里面的题目全是各类竞赛的真题，简单题、中等题、高难度的题都有，每道题都有详细的解答过程，很好的一本教辅书。
8、《新概念数学思维训练导引》
华东师范大学出版社，分为三、四、五、**个年级 RH学校的思维训练导引出版得比较早，因此题目显得有点老，虽然这不影响其题目的经典性，但是也有必要补充一些近年来的新题。这套《新概念数学思维训练导引》相比于RH学校的思维训练导引的优势之处就在于此：它增添了许多近年来各类杯赛的考试题，另外相比于RH学校的思维训练导引，这套书每一讲都把题目根据难度分成兴趣篇、拓展篇、超越篇，题量也更大。这套书目前也没有题目的详解。
（三）竞赛试题汇编
竞赛试题汇编可以分为两大类：纵向的试题汇编指那些包含某一杯赛历年试题的汇编，横向的汇编指那些包含某一年份各类杯赛试题的汇编。下面分类做一介绍：
纵向的试题汇编：
9、《北京市数学解题能力展示读者评选活动 试题汇编》（小学卷）北京教育出版社出版
这本书是学而思去年出的迎春杯试题汇编，从1984年到2009年的题都有，非常全，每一道题都有详细解析。另外，在这本书的编委里面可以找到本人的名字~
10、《第1—8届《华罗庚金杯》少年数学邀请赛赛题及题解汇编》 华杯赛组委会编，中国大百科全书出版社
这本书是华杯赛组织委员会和主试委员会编的，所以很有权威性，就推荐了这本。它只包括第1—8届华杯赛的试题，每道题都有详细解析。第9届以后每年都有单行本出版，也都是华杯赛组委会编、中国大百科全书出版社出版的。这本书加上每年的单行本，就是关于华杯赛的完全的试题汇编了。
11、《“走进美妙的数学花园”历届试题及 优秀论文集萃》 北京师范大学《高中数理化》特刊
关于走美的试题汇编比较少，这一本书是北京师范大学《高中数理化》特刊出的，里面不仅有历届试题，还有一些优秀的数学建模论文。
12、《希望杯全国数学邀请赛试题.培训题及解答》
关于希望杯的试题汇编就更少了，但是希望杯组委会每年也都会出版名为《希望杯全国数学邀请赛试题.培训题及解答》的小册子，把每年的小册子合起来就是最完备的希望杯试题汇编了。
13、《日本算术奥林匹克1—10届试题详解》 开明出版社出版
这是关于日本算数奥林匹克的试题汇编，日本 算数奥林匹克是日本很普及的一个数学竞赛，中国每年也都有代表团参加。日本的出题方式与中国不同，而且里面难题颇多，所以对于中国学生来说，多做这本书既可开开眼界，解题能力也能得到很好的提升。
14、《日本小学数学奥林匹克（6年级）》 华东师范大学出版社
也是关于日本算数奥林匹克的试题汇编，不过只选了六年级的试题，从时间上来说，包含了1992年到2007年的全部试题。近几年的可以在下面推荐的书里面找到。
横向的：
15、《小学数学ABC卷系列》
北京竞赛数学技术研究所编，最早的横向的试题汇编，从2003-2006年，每年出一本，每本都包含了当年各主要杯赛的考试题目，并有详细解析，而且每本都附有模拟题若干套。不过2006年之后就没有见到了。
16、《小学数学MO奥林匹克竞赛试题》 刘嘉主编，湖北教育出版社出版
从2007年开始出版，正好接替了前面的小学数学ABC卷。武汉的刘嘉老师编著，因此质量可以保证，目前已经出了07年、08年和09年三本。
17、《2008全国数学竞赛年鉴（小学卷）》
学而思上海分校主编，包含了08年各大杯赛的真题，后面部分还有国内主 要城市的一些小升初试题，体现了学而思一贯的竞赛与小升初并重的传统。另外，09年的年鉴学而思也已经编辑好了，也许不久就可以见到。
最后要说的是，推荐了这么多书，不是希望家长们把这些书都买全让孩子们一本本做或者家长埋头研究，这应该是奥数老师们做的事情。老师们研究得多了，把最精髓的东西传递给孩子们，孩子们学起来就轻松了。推荐的目的只是希望大家在有购买的需求时能够心中有数，不因不熟悉而买一些比较差的、价值不大的书，浪费钱事小，学不到东西耽误孩子时间事大。
点击咨询 