2010三角函数与不等式证明(教师)

第一篇：2010三角函数与不等式证明(教师)

辽宁卷（17）（本小题满分12分）

在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinBsinC的最大值.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a,b,c均为正数，证明：a2b2c2(等号成立。

1a1b1c并确定a,b,c为何值时，)63，2全国卷

(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效)．．．．．．．．．．．．已知VABC的内角A，B及其对边ab，满abacotAbcotB，求内角C． 安徽卷

16、（本小题满分12分）

设ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且

sinAsin(2

3B)sin(

3B) sinB。

2(Ⅰ)求角A的值；

(Ⅱ)

若ABAC12,ab,c（其中bc）。北京卷（15）（本小题共13分）

2已知函数f(x)2cos2xsinx4cosx。（Ⅰ）求f(

3)的值；

（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值。

（15）当cosx1时，f(x)取最大值6；当cosx2

3时，f(x)取最小值7

3天津卷（17）（本小题满分12分）

2已知函数f(x)xcosx2cosx1(xR)

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及在区间0,

上的最大值和最小值； 2

（Ⅱ）若f(x0)

,x0,，求cos2x0的值。5426

（1）解：由f(x)xcosx2cos2x1，得

f(x)

sinxcosx)(2cosx1)

2xcos2x2sin(2x



6)

所以函数f(x)的最小正周期为



因为f(x)2sin2x



6

在区间0,





6

上为增函数，在区间



上为减函数，又

6,2



f(0)1,f2,f1，所以函数f(x)在区间0,上的最大值为2，最小值

622

为-1

（Ⅱ）解：由（1）可知f(x0)2sin2x0



5





6

又因为f(x0)，所以sin2x0







65

27

由x0,，得2x0,63642

4从而cos2x0

65所以



cos2x0cos2x0cos2x0

666



cossin2x0

663

sin

610

重庆卷（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）

设函数f(x)cos(x

3)2cos

x2,xR.（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若

f(B)1,b1,c3，求a的值.解：（Ⅰ）f(x)cosxcos

3sinxsin

3232

cosx

1cosxsinxcosx1



cosx

sinx1

sin(x)1，因此f(x)的值域为[0,2].56

（Ⅱ）由f(B)1得sin(B

故B



6)11，即sin(B

)0，又因0B，.江苏卷

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，tanCtanA

tanCtanB

baab

6cosC，则。

[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC

1tanb

ab

tanCtanA

tanCtanB

13，tan

C2



1cosC1

cosC



12，tan

C2

，tanAtanB

C2

= 4。



a

6cosC6abcosCab，6ab

abc

2ab

222

ab,ab

2222

3c2

tanCtanA



tanCtanB



sinCcosC



cosBsinAsinBcosA

sinAsinB1

c

sinCsin(AB)1sinC



cosCsinAsinBcosCsinAsinB

c

由正弦定理，得：上式=

4 2

1213ccosCab2(ab)662

c

第二篇：二次不等式与不等式证明

班别_________姓名______________ 学号_________

1.不等式:x1

x40的解集为_________________.2.不等式

x12x21的解集是_________________.3.不等式2x1

1

的解集为_________________.4.已知函数f(x)x2,x0

x2,x0

则不等式f(x)x2的解集为_________________.5．关于x的不等式x－m

x＋1<0的解集为M，若0∈M，则实数m的取值范围是________________.6.已知关于的不等式ax1x10的解集是(,1)(1,).则a________________.7．若函数y＝kx－6kx＋k＋8的定义域为R，则k的取值范围是_________________.8．若关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，则实数a的取值范围是 ________________.9.当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则的取值范围是________________.10．已知不等式①x2－4x＋3<0和②x2－6x＋8<0及③2x2－9x＋m<0，若同时满足①②的x也满足 ③，则m的取值范围是________________.11．已知不等式ax2

＋bx＋c>0的解集为{x|2

＋bx＋a<0的解集为____________．

12．已知关于x的不等式ax－5

x－a的解集为M.若3∈M且5M，求实数a的取值范围

________________.13．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>012

m＋n

________________.14．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围．

15．(1)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－30恒成立，求a的取值范围．

16.设a,b,c均为正数,且abc1,证明:(1)abbcac1a2b2c2

;(2)1.

第三篇：基本不等式与不等式基本证明

课时九 基本不等式与不等式基本证明

第一部分：基本不等式变形技巧的应用

基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。

技巧一：加减常数

例

1、求函数yx

点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。

技巧二：巧变常数

例

2、已知0x

点评：形如f(x)x(1ax)或f(x)x2(1ax2)等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。

技巧

三、分离常数

例

3、已知x

5452121x1(x1)的值域。，求函数y＝x（1－2x）的最大值。，则f(x)x3x32x4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值

32点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。

技巧

四、活用常数

例

4、若x,yR且满足

点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。

技巧

五、统一形式

例

5、已知a,b,cR，求(abc)(4x16y1，求x＋y的最小值。1

ab1

c)的最小值。

点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数yxx2(0x1)可变形为y第二部分：均值定理证明不等式的方法技巧

。x(1x)等）

1．轮换对称型

例1 若a,b,c是互不相等的实数，求

证：abc

222

abbcac.点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技

巧。

2．利用“1”的代换型

111

已知a,b,cR,且 abc1,求证 9.abc例2

点评：做“1”的代换。

.3.逆向运用公式型

a,bR,ab1求证： a



b

2.例3已知

点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。为脱去左边的根号，a

12,b

将

11

转换成 1a,1b,然后逆向运222

用均值不等式： 若

a,bR则 ab



ab2

.4．挖掘隐含条件证明不等式

111

a,bR,ab1求证：11.ab9 例4 已知

a,bR,ab1

12

ab说明a,bR,ab1的背后隐含ab

4ab

2点评:由于

着一个不等式ab

.5．用均值不等式的变式形式证明不等式

ab例5已知a,b,cR,求证：



bc

ca



2abc.点评：本题的关键在于对ab,bc,ca的处理，如果能找出

ab与ab间的关系，问题就可以

222222

解决，注意到



ab2ab2ab





ab2

2ab

ab 其中a,b,cR即可。解题时要注意a

b2ab的ab

变式应用。常用



ab2

(其中a,bR)来解决有关根式不等式的问题.

第四篇：三角函数公式及证明

三角函数公式及证明

（本文由hahacjh@qq.com 编辑整理 2013.5.3）

基本定义

1.任意角的三角函数值：

在此单位圆中，弧AB的长度等于；

B点的横坐标xcos，纵坐标ysin ；

（由 三角形OBC面积<弧形OAB的面积<三角形OMA的面积 可得：

sinatana（02））

2.正切：

tansincos

基本定理

1.勾股定理： sin2cos21 1.正弦定理：asinA2=2bsinB2=

csinC= 2R（R为三角形外接圆半径）

A2.余弦定理：a=b+c-2bccos3.诱导公试:

cosAbca2bc222

2k

sincostancot

奇变偶不变，符号看相线

4.正余弦和差公式: ①sin(②cos(

)sincoscossin)coscossinsin

推导结论

1.基本结论

(sincos)221sin21cos2

tan1

2.正切和差公式：

tan()sin()sincoscossin

cos()coscossinsintantan1tantan

3.二倍角公式（包含万能公式）：

2sincos2tansin22sincos222sincos1tan2222

1tan21tan2cos2sin2cos2cossin2cos112sinsin2cos2tan2sin2cos22tan1tan2

sin221cos221cos22tan1tan22

cos

4.半角公式：（符号的选择由

2所在的象限确定）sin21cos21cos21cos1cos sin221cos21cos2 1cos 1cos2sin22 cos2 cos222cos22tan2sincossincos2coscossinsin21cossin222sin1cos2

22

1sin(cos2sin2)2cos2sin2

5.积化和差公式：

sincos121sin()sin()cossin12sin()sin()coscos2cos()cos() sinsin12cos()cos

6.和差化积公式：

①sin③cos sin2sin2cos22 ②sin ④cossin2cos22sin22 cos2cos2coscos2sinsin7.三角形面积公式

S⊿=aha=absinC=bcsinA=acsin=2abc4R2221111B

sinAsinBsinC=2R2 =asinBsinC2sinA2=bsinAsinC2sinB2=

csinAsinB2sinC2

=pr =p(pa)(pb)(pc)(海伦公式，证明见下文)(其中p 12(abc), r为三角形内切圆半径)定理结论的证明

1.勾股定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷 命题47.2.正弦定理的证明：

做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；

同弧所对圆周角相等的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题20.直径所对圆周角为直角的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题31.3.余弦定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第II卷 命题12,13.4.诱导公式的证明：

同理可证

sin(cos(3232)sin()cos(2)sin(2)cos)sin

2)cos(2本证明选自人教版高中数学教材.5.正余弦和差公式的证明:

sin()sin(())可得sin()的结论

本证明选自人教版高中数学教材.5.海伦公式的证明:

本证明选自 http://wenku.baidu.com/view/78e82de50975f46527d3e182.html

第五篇：不等式证明

不等式证明

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。