高三数学《第82课 利用空间向量证明平行与垂直问题》基础教案

第一篇：高三数学《第82课 利用空间向量证明平行与垂直问题》基础教案

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第82课时利用空间向量证明平行与垂直问题

考点解说

利用直线的方向向量和平面的法向量判定直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,掌握用向量方法处理空间中的平行与垂直问题.一、基础自测

1.已知向量a(2,4,5),b(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则xy2.已知m(8,3,a),n(2b,6,5),若m//n ,则ab.3.已知a,b,c分别为直线a,b,c的方向向量且ab(0),bc0,则a与c的位置关系是.4.在空间四边形ABCD中,E、F是分别是AB、AD上的点,且AE:EB=AF:FD=1:4,又H,G分别是BC、CD的中点,则EFGH是形.5.正三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长AB=1,且AB1BC1,则侧棱AA1的长为.06.已知平行六面体ABCDA1BC11D1底面为菱形,C1CB60,BDCA1,则C1CD的大小为.7.正方体ABCDA1BC11D1中,M、N、P分别是棱CC1、BC、CD的中点,则直线A1P与平面MND所成角为.8.空间四边形ABCD中,ABCD,BCAD,则AC与BD的位置关系为.二、例题讲解

例1.如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中,O是AC和BD的交点,M是CC1的中点,求证:A1O⊥平面

MBD.例2.正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FD

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例3.如图正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是所在棱的中点,求证:平面AMN∥平面

EFBD.例4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点,试确定点F的位置,使得D1E平面AB1

F.板书设计

教后感

三、课后作业

1.在直二面角MN中,AB,CD,ABMN,CDMN,B、C为垂足,AD2,BC1,求AD与BC所成的角.2.已知M为长方体AC1的棱BC的中点,则点P在长方体AC1的面CC1D1D内,且PM//面BB1D1D,则点P的位置应落在003.直三棱柱ABCA,AA1B1C1中,ACB90,BAC30,BC11M是CC

1的中点,则AB1与A1M所成的角为4.正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是正方体六个面得中心,则平面EFGB与平面平行.AED与面.5.正方体ABCDA1BC11D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则面6.已知ABCD是平行四边形,若A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3, 7,-5),则顶点D的坐标为___________.7.已知a(8,1,4),b(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为.8.过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共 有条.9.若三个平面,,两两垂直,它们的法向量分别为(1,2,z),(x,2,4),(1,y,3),则xyz

11.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中,PQ与AC、C1D都垂直,试确定P在AC,Q在C1D上的位置

.12.已知空间四边形OABC中,AB=OC,M为BC的中点,N为AC的中点,P为OA的中点,Q为OB的中点,求证:PM

QN.13.如图长方体ABCD－A1B1C1D1中,AD=AA1,AB=2AD,点E是线段C1D1的中点,求证:DE面EBC.14.(选做题)如图甲,在直角梯形PBCD中,PB//CD,CDBC,BCPB2CD,A

是PB的中点.现沿AD把平面PAD折起,使得PAAB(如图乙所示),E、F分别为BC、AB边的中点.(1)求证PA平面ABCD;(2)求证平面PAE平面PDE;(3)在PA上找一点G,使得FG//平面PDE.附件1：律师事务所反盗版维权声明

附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）

学校名录参见：

第二篇：2014年高考数学空间向量证明平行问题

4.2 直线的方向向量、平面的法向量及其应用

一、直线的方向向量及其应用

1、直线的方向向量

直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．

2、直线方向向量的应用

利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．

（1）若有直线l, 点A是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l

上取ABa，则对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得APtAB，这

样，点A和向量a不仅可以确定l的位置，还可具体表示出l上的任意点．

（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线

交于点O,它们的方向向量分别是a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基

本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得OPxayb，这样，点O与方向

向量a、b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．

1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()

A．(1,2,3)B．(1,3,2)

C．(2,1,3)D．(3,2,1)

2.从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为()

A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)

C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)

二、平面的法向量

1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．



2、在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点

A的平面是唯一确定的．

三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用



1、若两直线l1、l2的方向向量分别是u1、u2，则有l1// l2u1//u2，l1⊥l2u1

⊥u2．



2、若两平面α、β的法向量分别是v1、v2，则有α//βv1//v2，α⊥βv1

⊥v2．

若直线l的方向向量是u，平面的法向量是v，则有l//αu⊥v，l⊥α

u//v

b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系。1.设a、



（1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）；（2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）；（3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）











四、平面法向量的求法

若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：



1、设出平面的法向量为n(x,y,z)．



2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2)

na0nb0

3、根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组

4、解方程组，取其中一个解，即得法向量

v分别是平面α、β的法向量，根据下列条件判断α、β的位置关系： 1.设u、





（1）u=（1，－1，2），v=（3，2，





2）；

（2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）；（3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。





2.已知点A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一个单位法向量。



3.若直线l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），试求直线l与平面α所成角的余弦值。

4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是()

A．(0，－3,1)B．(2,0,1)

C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)

5．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为()

A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)

五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系

（一）用向量方法证明空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．

1、线线平行

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则

l∥m⇔⇔_⇔_______.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内



一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ＝λMN的实数λ的值有()

A．0个C．2个

B．1个 D．3个

2、线面平行

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则

l∥α⇔⇔_______⇔1

1．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为1，2，2，且l∥α，

则m＝________.2．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是()

A．xOyB．xOz

C．yOzD．xOy或yOz

3．如图所示，在空间图形P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD

.4.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

5.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；

3、面面平行(3)面面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔

abc⇔__⇔________a＝bc(a2b2c2≠0)_______.22

21．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q；

③A1M∥面DCC1D1；

④A1M∥面D1PQB1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)

2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点。

求证：（1）MN//平面A1BD；（2）平面A1BD//平面B1D1C。

第三篇：空间几何——平行与垂直证明

三、“平行关系”常见证明方法

（一）直线与直线平行的证明

1)利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行

2)利用三角形中位线性质

3)利用空间平行线的传递性（即公理4）：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4)利用直线与平面平行的性质定理： a∥ca∥bb∥c

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

a∥

aβ a a∥

b

α b b

5)利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．//aa//b



b

6)利用直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

baa∥

b7)利用平面内直线与直线垂直的性质：

8)利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

1)利用直线与平面平行的判定定理：

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

ab

a∥

b

a∥b

2)利用平面与平面平行的性质推论：

两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

a

∥

a∥

a

β

3)利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点

（二）平面与平面平行的证明

常见证明方法：

1)利用平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

a⊂b⊂a∩bPa//b//

//

b

2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 3)利用定义：两个平面没有公共点

三、“垂直关系”常见证明方法

（一）直线与直线垂直的证明

1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。2)看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。3)利用直线与平面垂直的性质：

如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

a

b

ba

b

a

4)利用平面与平面垂直的性质推论：

如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

l

abalbl

a

b

5)利用常用结论：

① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另

一条直线也垂直于第三条直线。

a∥b

ac

b

c

② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么

这两条直线互相垂直。

a

b∥

ab

b

（二）直线与平面垂直的证明

1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等

2)看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂

直于此平面。

3)利用直线与平面垂直的判定定理：

ababAlalb



l

l

b

A

a

4)利用平面与平面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

l

aal





a

l

5)利用常用结论：

①

a∥bb

a

② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一

个平面。

∥

a



a

（三）平面与平面垂直的证明

1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等

2)看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角

是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。3)利用平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

aa







a



第四篇：证明空间线面平行与垂直

证明空间平行与垂直

 知识梳理

一、直线与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：直线与平面无公共点。

(2）判定定理： a

ba//ba//

//

（3）其他方法：a//a

a//

2.性质定理：a

 a//b

b

二、平面与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：两平面无公共点。

a//

b//

（2）判定定理：a //

b

abP

（3）其他方法：aa// //;// a//

//

2.性质定理：a a//b

b

三、直线与平面垂直

（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

（2）判定方法

① 用定义.abac

② 判定定理:bcAa

b

c

a

③ 推论: b

a//b

（3）性质 ①

aa

ab②a//bbb

四、平面与平面垂直

（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。

a

（2）判定定理 

a

（3）性质

l

①性质定理

a

al

l②Al

P

PA垂足为A④PA

PPA

 “转化思想”

面面平行线面平行 线线平行 面面垂直线面垂直 线线垂直

例题1.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；例

题2.如图，在棱长为2的正方体

ABCDA1B1C1D1中,O为BD1的中点,M为BC的中点,N为AB的中点，P为BB1的中点.（I）求证：BD1B1C；（II）求证BD1平面MNP；

例题3.如图，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且ACBCa，∠VDC0（I）求证：平面VAB⊥平面VCD；



π． 2

π

（II）试确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为．

Ｄ

例题4.（福建省福州三中2008届高三第三次月考）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC1的中点，AE交A1D于点H.BB

（1）求证：AE平面A1BD；

（2）求二面角DBA1A的大小（用反三角函数表示）；

A1

CHA

C

第五篇：第四节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直

第四节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直一、二面角

二面角l，若的一个法向量为m，的一个法向量为n，则cos,，二面角的大小为m,n或m,n

例1．如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，E为BB1的中点，AA1A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成锐角的大小。

例2．（05年全国）如图，在四棱锥V-ABCD

VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（1）证明AB⊥平面VAD；

（2）求面VAD与面VBD所成的二面角的大小．

练习：如图，棱长为1的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，求二面角BB

1ED的余弦值。

2二．证面面垂直

若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则。

例3．在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为23的菱形，ADC600，M是PB的中点。

（1）求证：PACD

（2）求二面角PABD的度数；（3）求证：平面PAB平面CDM。

练习：（04年辽宁）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，DAB60,PD平面ABCD，PD=AD，点E为AB的中点，点F为 PD的中点。

（1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值.作业：

1．（04年广东）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4,AD3,AA12,E,F分别是线段AB,BC上的点，且EBFB1。（Ⅰ）求二面角C-DE-C1的正切值；

（Ⅱ）求直线EC1与FD1所成角的余弦值。

32．（05年全国）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=

AB=1，M是PB的中点。2

（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角；

（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

3．已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PA底面ABCD，PA＝2，M、N分别是AD、BC的中点，MQPD于Q

（1）求证：平面PMN平面PAD；

（2）求PM与平面PCD所成角的正弦值；（3）求二面角PMNQ的余弦值。

4．（06年全国）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．

（1）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（2）设AA1＝AC＝2AB，求二面角A1－AD－C1的大小．

C

B1 D

E

C

A

B

5．（04年浙江）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互

相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。

（1）求证：AM//平面BDE；（2）求二面角ADFB的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60。

6．（05年湖南）如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（1）证明：AC⊥BO1；

（2）求二面角O-AC-O1的大小。

7．（06年山东）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为 等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点 P在底面上的射影恰为点O，又BO=2,PO=,PB⊥PD.(1)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；(2)求二面角P-AB-C的大小；(3)设点M在棱PC上，且PC⊥平面BMD.15

PM

,问为何值时，MC