勾股定理的几种证明方法（优秀范文5篇）

第一篇：勾股定理的几种证明方法

勾股定理证明的几种证明方法

一、教学内容：勾股定理

1.掌握勾股定理，了解用拼图的方法验证勾股定理． 2.能够利用勾股定理进行有关的计算或推理． 3.能够运用勾股定理解决简单的实际问题．

二、知识要点：

1.如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝__________，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是__________．

证法一（拼图法）：如图所示，因为大正方形的边长为a＋b，所以面积为（a＋b）2；中间小正方形的面积为c2，周围四个直角三角形的面积为4×ab；于是有（a＋b）2＝c2＋4×ab，整理得a2＋b2＝c2．

bab

ac

cbca

ba

(1)证法二（拼图法）：如图所示，因为大正方形的边长为a＋b，所以面积为（a＋b）2．又

因为此正方形的边长与图（1）中的正方形边长相等，所以它们的面积也相等．故a2＋b2＋

4×ab＝c2＋4×ab，所以得到a2＋b2＝c2．

aabca

cb

bbb

证法三（拼图法）：如图所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的(2)

等腰直角三角形拼成的，由梯形的面积公式，得S梯形＝（a＋b）（a＋b）＝（a＋b）2．而S

22222

2梯形＝ab×2＋c．故（a＋b）＝ab＋c，整理得a＋b＝c．

cb

ca

b

a

a

证法四（拼图法）：如图所示，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的．因

(3)

为大正方形的面积为c2，四个直角三角形的面积和为4×ab，中间的小正方形的面积为（b－a）2，故c2＝4×ab＋（b－a）2，整理得a2＋b2＝c2．

c

(4)

2.怎样用勾股定理解决面积问题

求分别以直角三角形的三条边为边长的正方形的面积之间的关系，关键是找出正方形的面积与三角形的边之间的关系．

如图（1）所示，分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，可以很容易得出S1、S2、S3之间的关系．因为△ABC为直角三角形，所以AB2＝AC2＋BC2，而S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，故S1＝S2＋S3，图（2）中S1、S2、S3之间的关系也可以用以上方法得到．

CS3A

S1(1)

B

S

2(2)

3.立体图形中的最短路径问题（1）圆柱中的最短路径．

如图①所示，圆柱的底面周长为20cm，高为4，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试画出蚂蚁爬行的最短路径．

因为爬行是在立体图形的表面上进行的，所以可以把立体图形转化成平面图形，即它的侧面展开图（如图②所示），再看出发点与目的点之间是哪条线段，需要时可根据勾股定理求出这条线段的长度．

C

CBB

A

①

DA

D

②

（2）正方体中的最短路径． 如图③中的正方体，棱长为1，若一只小虫从点A爬到点C，它爬行的最短路径是多少？ 将正方体展开后（如图④所示），因为从点C出发有三条棱，故点C有三处位置，即点C1、C2、C3，分别连结AC1、AC2、AC3，可得它们的长度都是，故这只小虫爬行的最短路径为．

注意：当图③中的立体图形为长方体时，也是用同样的方法进行分情况比较，但沿这些不同路径，所走路程可能会不同．

C

C

3A

③

④

C

1C

2A

三、重点难点：

重点是掌握勾股定理的内容，难点是勾股定理的应用．

【典型例题】

例1.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，a＝4，求b、c，△ABC的面积及斜边AB上的高．

A

b

cD

C

分析：在Rt△ABC中，由∠B＝60°可知∠A＝30°，根据30°锐角所对的直角边等于斜边的一半可求出c，然后根据勾股定理求出B.进一步用面积公式S△ABC＝ab，求出S△ABC，最后由ab＝c·CD，求CD的长或者是在Rt△ACD中，用30°的锐角所对的直角边CD等于斜边AC的一半来求．

解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°． 又因为a＝4，所以c＝8．

根据勾股定理得b2＝c2－a2＝82－42＝48，所以b＝＝4．

所以S△ABC＝ab＝×4×4＝8．

在Rt△ACD中，因为∠A＝30°，所以CD＝AC，所以CD＝×4＝2．

评析：直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半．

例2.一个零件的形状如图所示，已知AC＝3cm，AB＝4cm，BD＝12cm．求CD的长．

D

CA

B

Ba

分析：要求CD的长，由图知CD＝BC＋BD，BD的长已知，在Rt△ABC中，应用勾股定理，求得BC，进而求CD.解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 BC2＝AC2＋AB2＝32＋42＝25． 在Rt△CBD中，根据勾股定理，得 CD2＝BC2＋BD2＝25＋122＝169，所以CD＝13．

评析：BC在本图中，既是Rt△ABC的斜边，又是Rt△CBD的直角边．

例3.如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为__________．

分析：由勾股定理，得正方形A、B的面积之和是正方形E的面积，而正方形C、D的面积之和是正方形F的面积．同理，正方形E、F的面积之和是正方形G的面积．所以这四个正方形的面积之和是大正方形G的面积49cm2．

第二篇：勾股定理证明方法

勾股定理证明方法

勾股定理的种证明方法(部分)

【证法1】(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点p.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又∵∠BDE=90º，∠BCp=90º，BC=BD=a.∴BDpC是一个边长为a的正方形.同理，HpFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴.【证法2】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作Qp‖BC，交AC于点p.过点B作BM⊥pQ，垂足为M;再过点

F作FN⊥pQ，垂足为N.∵∠BCA=90º，Qp‖BC，∴∠MpC=90º，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90º，∴BCpM是一个矩形，即∠MBC=90º.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.【证法3】(赵浩杰证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90º，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90º,∴∠ABG+∠CBJ=90º,∵∠ABC=90º,∴G,B,I,J在同一直线上，【证法4】(欧几里得证明)

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积

=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴，即.勾股定理的别名

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。

证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

第三篇：勾股定理证明方法（精选）

勾股定理证明方法

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。

在《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

中国古代的数学家们最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。

上中间的那个小正方形组成的。

每个直角三角形的面积为ab/2；

中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。

于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c

2化简后便可得： a2+b2=c2

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加

刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法

古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

第四篇：勾股定理五种证明方法

勾股定理五种证明方法

【证法1】

做8

个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即

11a2b24abc24ab22，整理得a2b2c2.【

证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角

1ab2形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.2ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.∴ ab214abc

22222.∴ abc.【证法3】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为

c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.即∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，ABC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则

11a2b2S2ab,c2S2ab22,222∴abc.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，12c2它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC.1ab

2∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.1ab221ab1c2

22.∴ 2

222∴ abc.【证法5】（辛卜松证明）

DD

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD

222abab2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为

部分，则正方形ABCD的面积为

222∴ab2ab2abc,222∴abc.ab214abc222 =2abc.初二（1）

第五篇：勾股定理的证明方法

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角

三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式

化简得。