数学归纳法(高考必备)

第一篇：数学归纳法(高考必备)

学号___________姓名___________班次_______

1、利用数学归纳法证明“11113,(n2,nN)”的过程中，由“n=k”n1n22n2

4变到“n=k＋1”时，不等式左边的变化是()

(A)增加111(B)增加 和 2(k1)2k12k

211111，并减少(D)增加 和，并减少 2k2k12k12k2k

12、用数学归纳法证明(n＋1)＋(n＋2)＋„＋(n＋n)=n(3n1)的第二步中，2(C)增加

n=k＋1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于()

(A)2k＋2(B)4k＋3(C)3k＋2(D)k＋

13、利用数学归纳法证明“对任意偶数n，an－bn能被a＋b整除”时，其第二步论证，应该是

()

(A)假设n=k时命题成立，再证n=k＋1时命题也成立。

(B)假设n=2k时命题成立，再证n=2k＋1时命题也成立。

(C)假设n=k时命题成立，再证n=k＋2时命题也成立。

(D)假设n=2k时命题成立，再证n=2(k＋1)时命题也成立。

1an

24、用数学归纳法证明1＋a＋a＋„＋a=(nN，a1)中，在验证n=1成立时，左边应为1a2n+

1()

(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a35、用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)时，从“nknk1”两边同乘以一个代数式,它是()

2k2(2k1)(2k2)(D)k1k

16、用数学归纳法证明1-1＋1-1＋„„＋1-1=1＋1„„＋1(nN)，则从2342n12nn1n22n(A)2k+2(B)(2k＋1)(2k＋2)(C)

“n=kn=k＋1”，左边所要添加的项是()

111(B)2k12k22k

4111(C)-(D)2k22k12k2(A)

7、用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中，n=k＋1时，为了使用假设，应将5k+1-2k+1变形为()

(A)(5k-2k)＋4×5k-2k(B)5(5k-2k)＋3×2k

(C)(5-2)(5k-2k)(D)2(5k-2k)-3×5k

九年级科学（期末）第1页（共8页）

8、k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱有对角面的个数为()

(A)2f(k)(B)k－1＋f(k)(C)f(k)＋k(D)f(k)＋

29、欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n，总有2n＞n3,n0为验证的第一个值，则

()

(A)n0=1(B)n0为大于1小于10的某个整数

(C)n0≥10(D)n0=

210、某同学回答“用数字归纳法证明n2n

证明：(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设n=k时有

2时,(k1)(k1)k(k1)

()

(A)当n=1时,验证过程不具体(B)归纳假设的写法不正确

(C)从k到k+1的推理不严密(D)从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设

11、用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋„＋（n＋3）=

当n=1时，左边应为____________。

(n3)(n4)(nN)”，212、用数学归纳法证明等式123(2n1)(n1)(2n1)时,当

是；从”kk1”需增添的项是。

n=1左边所得的项

13、用数学归纳法证明当nN时12222325n1是31的倍数时，当n=1时原式为kk1时需增添的项是。

14、已知{an}数列的前

an=__________.n项Sn=2n-an,则{an}的前四项依次为______________________,猜想

15、用数学归纳法证明32n+2－8n－9(nN)能被64整除.16.给出数表

1，(1)前n行共有几个数？

2，3，(2)n行的第一个数和最后一个数是多少？

4，5，6，(3)求第n项各数之和；

7，8，9，10，(4)求前n行各数之和；

11，12，13，14，15(5)数100是第几行的第几个数？

„„

中,a11,对于任意自然数n，都有an1

17、已知数列an

（1）设a11,求a2,a3,a4;

（2）试比较an与2的大小，并证明你的结论； an2.an1

18.设f(n)=1+111，是否存在g(n)使等式f(1)＋f(2)„＋f(n-1)=g(n)f(n)-g(n)对n≥223n的一切自然数都对立，并证明你的结论。

（一）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（二）第二数学归纳法：

对于某个与自然数有关的命题P(n），（1）验证n=n0时P(n）成立；

（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（三）倒推归纳法（反向归纳法）：

（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；

（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立；

（四）螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），（1）验证n=n0时P(n）成立；

（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立； 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。

第二篇：高考数学说题稿

试题出处：2011年高考数学辽宁理科第21题 已知函数f(x)lnxax2(2a)x（1）讨论f(x)的单调性；（2）设a0，证明：当0x111时，f(x)f(x)； aaa（3）若函数yf(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f(x0)0

1说题目立意

（1）考查常见函数的导数公式（包括形如f(axb)的复合函数求导）及导数的四则运算法则；

（2）考查对数的运算性质；（3）导数法判断函数的单调性；

（4）考查用构造函数的方法证明不等式；

（5）考查分类讨论、数形结合、转化化归等思想。2说解法

解：f(x)的定义域为(0,)

定义域优先原则

f(x)1(2x1)(ax1)2ax(2a) xx若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0,)单调递增； 若a0，则由f(x)0，得x1，af(x)0，f(x)单调递增；

分类讨论的思想 当x(0,)时，+)时，f(x)0，f(x)单调递减； 当x(，归纳小结：本问主要考查导数法确定函数单调性，属导数中常规问题。

（2）

分析：在函数、导数的综合题中，不等式证明的实质就是转化成函数求最值。本问只要考查构造函数法，完成不等式的证明。

形如f(x)f(x)的不等式叫“二元不等式”，二元不等式的证明，多采用“主元法”。方法一：构造以x为主元的函数 设函数g(x)f(x)f(x)则g(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax 1a1a1a1a1a1a

aa2a3x2g(x)2a

1ax1ax1a2x21时，g(x)0，而g(0)0，所以g(x)0 a111故当0x时，f(x)f(x)。

aaa当0x方法一：构造以a为主元的函数 设函数g(a)f(x)f(x)则g(a)ln(1ax)ln(1ax)2ax 1a1axx2x3a2g(a)2x 221ax1ax1ax11，解得0a，ax1当0a时，g(a)0，而g(0)0，所以g(a)0，x111故当0a时，f(x)f(x)

xaa由0x归纳小结：1构造函数法解决不等式证明

2体现化归的思想

说题大赛是对课标，考纲中的知识点、能力水平以及过程与方法中的老师如何讲，学生如何训练，以及对一道题如何开发出它全部的功能，如何把一道题拓展出它最大的价值，这些都是我们在训练规范当中要高度去认识的东西，实际上这么多年我们在训练这方面，老师凭经验去说，老师凭经验去提，老师凭经验去训练学生，老师凭经验去给学生拓展，把知识功能挖出来。

第三篇：2018理数高考真题

精品

2018年普通高等学招生全国统一考试

（全国一卷）理科数学

一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=，则|z|= A、0 B、C、1 D、22、已知集合A={x|x-x-2>0}，则

A= A、{x|-12} D、{x|x-1}∪{x|x2}

3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是：

A、新农村建设后，种植收入减少。

B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

4、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5= A、-12 B、-10 C、10 D、12

325、设函数f（x）=x+(a-1)x+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为： A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x

6、在A、C、ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则---+ B、D、---=

7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

精细；挑选；

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A、8.设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为 A.5 B.6 C.7 D.8

9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 的直线与C交于M，N两点，则

·

=

B、C、3 D、2 A.[-1，0）B.[0，+∞）C.[-1，+∞）D.[1，+∞）

10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则

A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3

11.已知双曲线C：-y²=1，O为

坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则∣MN∣= A.B.3 C.D.4

12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若x，y满足约束条件

则z=3x+2y的最大值为.14.记Sn为数列｛an｝的前n项和.若Sn=2an+1，则S6=.15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作

精细；挑选；

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答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.（1）求cos∠ADB；（2）若DC=18.（12分）

如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把∆DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BP.（1）证明：平面PEF（2）求DP与平面

，求BC.⊥平面ABFD；

ABFD所成角的正弦值.19.（12分）

设椭圆C： +y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.20、（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P（0

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（P），求f（P）的最大值点。

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为P的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i）（ii）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX： 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

.的单调性； 存在两个极值点, ,证明：

.21、（12分）已知函数（1）讨论（2）若

精细；挑选；

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（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为p²+2p-3=0.（1）求C₂的直角坐标方程:（2）若C₁与C₂有且仅有三个公共点，求C₁的方程.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.（1）当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集；

（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.精细；挑选；

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成功就是先制定一个有价值的目标，然后逐步把它转化成现实的过程。这个过程因为信念而牢固，因为

平衡而持久。

生活才需要目标，生命不需要目标。

就像驴子面前吊着个萝卜就会往前走。正因为有那个目标，你才有劲儿往前走。在做的过程中，你已体验到生命是什么。问题是，没有几个人，能够在没有目标的情况下安详当下。因为没有目标，他都不知

道要做什么。

穷人生活的成本，要比富人高多了。

穷人考虑价钱而不考虑价值，最后什么都得不到。富人考虑价值并且果断决定，于是他获得了最好的机会。

这就是为什么穷人越穷，富人越富的原因。

精细；挑选；

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精细；挑选；

第四篇：2014年高考总结理数

2014年高考新课标Ⅰ卷理数试题评析及备考总结

一、理数试题分析

今年的数学试题考查非常全面，几乎涵盖了高中所学的所有主要内容，而且没有超出大纲和考试说明的题目。试卷对课程中新增内容和传统内容中的重点部分进行了充分的考查,真正体现了新课程理念。试题灵活有深度，但没有偏题怪题。与前两年相比有较大变化, 卷子总体难度不大，与去年相比略微下降。选择题和填空题较去年容易。第17题由前两年的三角函数改为数列，难度有所下降，这是备考时预料到的情况。18题考了数学中比较冷的知识正态分布，还有样本方差、样本平均数，以前考的可能性几乎为零。还有很多非常小、非常偏的知识点，以往在数学中考查的可能性都很小很小，以后备考中也要重视。而第20题解析几何又回归到直线与圆锥曲线。21题导数题难度也比去年略微下降。24题考查均值不等式，也是一个新的特点，以前都是考查解不等式。

二、备考的建议

1、从今年的数学试题来看，一、二轮备考要注重知识的全面复习，对各个考点要逐个加强，对于一些较冷的知识点要重视。

2、注重培养学生的思维能力和数学思想方法。考试时，谁的思维更严谨，平时的数学思想积累得更多一些，问题转化得更灵活一点，可能就能占到一定的优势。

3、强调答题的规范性，叙述的严谨性。告诫学生有些时候你未必非得按照标答格式一步步走，但只要前后叙述的有逻辑、有道理，没有任何逻辑上的漏洞，就没有什么大的问题。注重思维的逻辑性，弄清楚题目背后的道理，公式的选用，选择到底该用什么语言去组织。还有一点，就是严谨性、细节的问题，毕竟高考是选拔性考试，只要是考试都会牵扯分值设计的问题，要考虑怎么去拿到小分，要避免一些细节性的如叙述不严谨等失误可能会被扣掉一分。

罗高数学组2014、06、12

第五篇：2012年高考数学理(陕西)

2012年陕西省高考理科数学试题

一、选择题

1.集合M{x|lgx0}，N{x|x4}，则MN（）A。(1,2)B。[1,2)C。(1,2] D。[1,2] 2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

y1x D。yx|x|

2A。yx1 B。yx C。

23.设a,bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数A。充分不必要条件 B。必要不充分条件

abi为纯虚数”的（）

C。充分必要条件 D。既不充分也不必要条件 4.已知圆C:xy4x022，l过点P(3,0)的直线，则（）

A。l与C相交 B。l与C相切 C。l与C相离 D.以上三个选项均有可能 5.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱角的余弦值为（）

55253ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线

BC1与直线

AB1夹A。5 B。3 C。5 D。5

6.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为mmA。x甲x乙，甲乙 mmB。x甲x乙，甲乙 mmC。x甲x乙，甲乙 mmD。x甲x乙，甲乙

第1页（共5页）

m甲，m乙，则（）7.设函数f(x)xe，则（）

A。x1为f(x)的极大值点 B。x1为f(x)的极小值点 C。x1为f(x)的极大值点 D。x1为f(x)的极小值点

8.两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）

A。10种 B。15种 C。20种 D。30种

9.在ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若ab2c，则cosC的最小值为（）

222x321A。2 B。2 C。2 D。

12

10.右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）

N1000 4N1000 M1000 4M1000 PA。

PB。

PC。

PD。

二。填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.观察下列不等式

112232 133112253，142112213253

第2页（共5页）„„

照此规律，第五个不等式为。

212.(ax)展开式中x的系数为10，则实数a的值为。513.右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米。

lnx,x0f(x)2x1,x0，D是由x轴和曲线yf(x)及该曲线在点14.设函数(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则zx2y在D上的最大值为。

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A。（不等式选做题）若存在实数x使|xa||x1|3成立，则实数a的取值范围是。

EFDB，B。（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB。

C。（坐标系与参数方程）直线2cos1与圆2cos相交的弦长为。

三、解答题

16.（本小题满分12分）

f(x)Asin(x6)1函数（A0,0）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2，（1）求函数f(x)的解析式；

(0,)f(2（2）设 2，则)2，求的值。

17.（本小题满分12分）设an的公比不为1的等比数列，其前n项和为

Sn，且

a5,a3,a4成等差数列。

（1）求数列an的公比；

kN（2）证明：对任意，Sk2,Sk,Sk1成等差数列。

第3页（共5页）

18.（本小题满分12分）

（1）如图，证明命题“a是平面内的一条直线，b是外的一条直线（b不垂直于），c是直线b在上的投影，若ab，则ac”为真。

（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

19.（本小题满分12分）

C1:x2已知椭圆4y12，椭圆的方程；

C2以

C1的长轴为短轴，且与

C1有相同的离心率。

（1）求椭圆C2（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆

20.（本小题满分13分）

C1和

C2上，OB2OA，求直线AB的方程。

某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

第4页（共5页）

从第一个顾客开始办理业务时计时。

（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望。

21。（本小题满分14分）设函数fn(x)xbxcn(nN,b,cR)

（1）设n2，b1,1,1c1，证明：fn(x)在区间2内存在唯一的零点；

|f(x)f2(x2)|4x,x（2）设n2，若对任意12[1,1]，有21，求b的取值范围；

1,1fn(x)xnx,x,,xn（3）在（1）的条件下，设是在2内的零点，判断数列23的增减性。

第5页（共5页）