物理学的极限思想五篇范文

第一篇：物理学的极限思想

都是由点的基本公式出发，先计算线，再由线到面进行计算.1.4极限思想 物理中的一些物理量常常需要表达“间隔

”“段”的思想，而一些物理量需要表达“位置”“点”“刻”的思想，这是截然不同的两种思想，但两种思想的转化，就是极限思想的运用.例如，瞬时速度的提出.我们知道，平均速度ν軋 =r軆（t+Δt）-r軆（t軆Δt，它表示质点位移Δr軆与发生这一位移的时间间隔Δt之比，它仅提供一段时间内位置总变动的方向和平均快慢，却不能精细地刻画每一瞬时的情况显然，观察时间越短，平均速度越能精细地反映运动情况.当Δt逐渐减小时，Δr軆也逐渐变小，Δt→0时，比值Δr軆 Δt将无限接近于一确定的数值.我们定义质点在t时刻的瞬时速度就等于t至t+Δt时间内平均速度Δr軆/Δt当Δt→0时的极限，用ν軋表示

.即ν軋=limΔt→0ν軋=limΔt→0Δr軆Δt这就是极限思想一个典型的应用在物理学中应用极限思想的地方很多，比如感应电动势、静电力做功、弹性势能等的推导.1.5

第二篇：浅论高等数学中的极限思想（最终版）

浅论高等数学中的极限思想

谷亮

（辽宁铁道职业技术学院 辽宁 锦州 121000 中国）

摘要： 极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。

关键词：高等数学，极限，极限思想、教学

一、极限的概念

1、数列极限：设{xn}为一个数列，a为一常数，若0，总存在一个正整数N，使得

limxnaxna{x}nNn当时，有，称a是数列的极限。记作n

2、函数极限：设函数f(x)在点a的某去心邻域内有定义，A为一常数，若0，总存在一个正数，使得当的极限。记作xa0xa。

时，有

f(x)A，称A是当x趋向于a时函数f(x)limf(x)Axa,xa,x,x，极限的定义类似。自变量变化过程还包括：在数学发展的过程中,出于不同需要,还引进了不同意义下的极限概念,比如在集论中引进了集列的上、下极限的概念,在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，其本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。

二、极限思想的价值

极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。因此，极限思想具有由此及彼的创新作用，极限思想方法也广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。

生活中也有这样的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，„„如此这样，这张饼能吃得完吗？显然是永远吃不完的，虽然饼越来越小，但还是有的。只能说，这张饼的极限为零，但绝不是零。这就是一种极限思想的具体写照。

极限思想不仅非常重要，它也是学生难以理解掌握的重要概念，它贯穿整个数学体系，是一种非常重要的数学思想，它是人类发现并解决数学问题的非常重要手段，它能很好地展现出数学的思维之美，在高等数学的教学过程中起着相当重要的作用，恰当的应用极限思想不仅可以将一些问题简化，开辟解决问题的新途径，通过分析、总结、归纳得出极限概念中各变量具有的变化特征和内在练习，分析变化过程中的各种规律，还可以培养学生的数学思维，提高学生解决问题的素质能力，因此，使学生能够灵活运用极限思想有重要的意义。

三、将极限思想渗透到课堂教学中

1、课堂上介绍一些体现极限思想的典故

比如，中国古代的哲学家庄周在《庄子天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”，将木棰长度的变化归结为一个无限的过程中去研究，我国古代数学家刘徽割圆术中“割之弥细,所失弦少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”，他用圆的内接正n边形的边长代替圆的周长,n越大,正n边形的边长就越接近圆的周长，这都蕴涵了极限思想。通过这些有趣的小故事，小典故，不仅让学生回顾历史，从中体验和感受极限思想的妙处，还能激发学生学习高数的兴趣和积极性。

2、讲授新知识时渗透极限思想

在教学中，讲授新知识的同时体现极限思想，这样可以使学生对新知识有一个更好更深入的的理解，达到很好的教学效果。在教学中能够渗透极限思想的地方有很多，比如求曲线上任一点的切线斜率、圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形面积、曲顶柱体的体积等都是通过这种极限思想得以引入课题并解决问题的，还有空间集合体中圆柱、圆锥之间相互转化，圆锥是圆柱的上底逐渐缩小的一种极限状态，也体现了一种动态的极限思想。

3、体现极限思想的数学概念

高等数学中的许多概念都是利用极限来描述的，体现极限思想的数学概念比比皆是，不胜枚举，下面就举几个这样的例子：（1）函数连续的概念中就用到极限式：

xx0limf(x)f(x0)

（2）导数的概念中有极限式：

f(x0)limf(x0x)f(x0)ylimx0xx0x

（3）定积分的概念也是通过分划、取近似、求和、取极限得到的：abbf()xf(x)dxlim0ii1bbni

（4）无穷区间上的广义积分的定义也是通过有限区间的定积分取极限得到的：af(x)dxlimf(x)dxba，bbf(x)dxlimaf(x)dxa，0af(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dxa0

（5）级数的收敛性也是用极限式定义的：若级数

un1nlimsns{s}n的部分和数列的极限n存在，称级数un1n为收敛的，否则该级数称为发散的。

（6）无穷小的定义也是用极限来描述的：若有xalimf(x)0，称f(x)为此自变量的变化过程中的无穷小量。

（7）二元函数f(x,y)在有界闭区域D上的二重积分的定义也用到了极限，f(x,y)dlimf(,)Dd0iii1ni

（8）二元函数f(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分也是用极限定义的：Lf(x,y)dslimf(i,i)sid0i1n

（9）多元函数偏导数也是用极限来定义的，以二元函数为例，f(x,y)关于x的偏导数为：

f(x0x,y0)f(x0,y0)flimx(x0,y0)x0x，关于y的偏导数类似。

4、解决问题时利用极限思想

高等数学中的许多问题都是通过极限的思想方法来解决的，下面简单的举两个例子。（1）如何求平面上曲边梯形的面积？

计算梯形的面积公式是我们所熟知的，但曲边梯形面积是不能依此求得的，可以通过极限思想方法，利用无限分割，以直代曲、用无数个小矩形面积无限逼近曲边梯形的面积通过取极限最终来解决这个问题；（2）如何求圆面积？

我们可以设定情境，就是在不知圆面积公式的情况，是怎么考虑圆面积的，当然，也是利用极限思想方法，通过圆内接正多边形，无限增加内接正多边形的边数，利用内接正多边形的面积无限逼近圆面积的方法来解决的；

除了上述两个问题，还有解决物体的瞬时速度、平面曲线的弧长、曲顶柱体的体积等问题都是利用极限思想方法来解决的。教师可以在教学中恰当选取问题，让学生逐步紧跟教师思路，利用极限思想一步一步解决问题，不仅是教学效果事半功倍，还能增加学生对数学的学习兴趣，提高学生用极限思想方法解决相关问题的能力。

四、结束语

综上所述，极限思想是高等数学教学中的重点与难点，贯穿于整个高等数学体系，在教学中教师要有意识的将极限思想渗入其中，通过恰当的方法让学生更好的理解极限的概念和极限的思想方法，让学生体会到极限思想的作用和妙处，体会“以直代曲、化零为整、化圆为方、以不变代变、以有限找无限”等的极限思想，培养学生对数学的学习兴趣，提高学生应用数学知识，利用极限思想方法解决各种问题。

参考文献：

[1]陈刚、米平治.关于高等数学中的极限思想的研究 [J].工科数学.2001,6(17)[2]张魁元、赵建华，大学数学.北京：高等教育出版社,2004 [3]施红英.对微积分“极限”思想方法教学的思考[J].甘肃广播电视大学学报，2005（9）

第三篇：一分钟学会2014公务员考试：极限思想运用

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一分钟学会2014公务员考试：极限思想运用 极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用，极限思想无论是在国考还是省考当中，都是非常重要的思想，这种思想可以帮助我们解决很多的行测问题，所谓的极限思想，是指将一个问题极限化，考虑最极端的情况，忽略过程最后得到我们想要的结果。

我们来举一个例子：

例题1.有一艘船顺流从A港到B港，然后又逆流从B港赶回A港，所花的时间为T,问，当水流速度增大时，来回一趟所花的时间T将如何变化?

在这道题当中，没有任何一个真实值，列方程的方法是很难解决的，但是我们可以考虑极限思想。

也就是考虑最极端的情况，因为题目当中没有说水流到底增大到多少?我们可以假设水流速度增大到无穷大，那么这个如果船从A港赶到B港所花的时间基本为0，因为水流速度无穷大，但是如果从B港口往回赶的话，是无法赶回来的，因为水流速度太大了，已经超过了船速，所以也就是说所花费的时间将会是正无穷。

那来回一趟所花的时间为0+正无穷，也就是正无穷，那和原来的速度相比，时间肯定是变大了，这种极限思想是非常重要的一个思路，它忽略了过程量，直接指向了最极端的情况，所需要的情况也立马分析出来。

极限思想是一种将复杂问题简单化的思想，忽略了繁琐的过程，直指问题的核心，望同学们好好体会。

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第四篇：高中物理教学论文 论物理学之思想和方法

高中物理教学论文：论物理学之思想和方法

物理课改的目的：是通过对必要的物理基础知识的学习，发展个性、树立思想、掌握方法、培养素质、提高能力。“物理难学”是学生普遍认为的。怎样才能学好物理呢？我以为，认识物理学思想和掌握物理学方法是学好物理的保证。现就物理学之思想和方法谈谈自己的浅薄认识，供学生和同行老师商榷。

一、关于物理学思想

何谓物理学思想，物理学思想就是研究物质的运动形式、内在规律和物质基本结构的客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。这种思维活动是人的一种精神活动，是从社会实践中产生的。其内涵包括了物理科学本身的发展建立、物理学家的探索精神和研究方法以及我们学习物理的思想过程。狭义地说，就是学习物理过程而形成的符合物理体系、物理规律和物理逻辑、物理方法的结果。学会用物理思想去分析、解决物理问题。

我们认识物理学思想就是要知道它的发展史，要尊重客观事实，遵循自然规律。物理学是不同于其他学科的一门自然科学，就中学物理而言，它是以观察和实验为基础的学科。物理学有它自己的特点，通过了解物理学的发展历史不难知道，所派生出的物理学体系无不来源于自然，来于实践。它是自然界客观存在的东西，又与生产、生活息息相关，与社会发展密切联系。由此所起的作用是显而易见了。“物理”即事物的内在规律。它的运动形式、物质结构等物理变化、发展必定服从某种特定的规律。我们只有认识和掌握了物理规律，才能更好地认识自然，改造自然，创造美好社会为人类服务。

其次，认识物理学思想，是学习物理学家对物理科学的热爱和努力追求科学的严谨态度；学习他们不怕失败敢于胜利的精神；学习他们不畏艰辛勇于拼搏的工作作风；学习他们善于假设、实验、发现、创新的辨证思想；学习他们对物理的认识有着独创见解、并能自成体系的勇气和胆略；学习他们研究物理在表象、概念的基础上能进行抽象、模拟、分析、综合、判断、推理、总结等认识活动过程的思维方法。例如，牛顿运动三定律中的第一、二定律就是在伽利略的工作基础上由牛顿总结出来的。

认识物理学思想是学好物理的前提，因此，我们在学习物理过程中，始终要领会物理学思想，并能逐步转化为自己的思想。掌握科学方法，提高解决物理问题的能力是极其重要的。我们在了解物理学发展史的同时，不仅要学习物理学家的精神，而且要学习他们研究物理的方法。努力汲取物理学家的精华，推进物理教学的改革。“改”即修正错误，“革”即去除旧的东西，积极探索，勇于创新。掌握物理思想和研究方法，对学习好物理具有重大的意义。高中物理教学中的物理思想主要有：

1.观察、实验探究思想

2.数据图象处理思想

3.概念规律形成思想

用心爱心专心 1

4.科学设想、建立物理模型思想

5.数理思想

6.科学思维、科学态度和科学方法思想

7.“时空”和“守恒”思想

8.变量控制思想

9.求微、求真思想

10.创新思想

但基本思想是怎样研究物理和怎样应用物理两条。

二、关于物理学方法

所谓物理学方法，简单的说就是研究或学习和应用物理的方法。方法是研究问题的一种门路和程序，是方式和办法的综合。首先，学好物理要识记、理解物理概念、规律及条件，要解决描述物理问题，就要会对物理问题进行唯象的研究，然后进一步研究它的原因、规律，再寻求解决的方法。在中学物理课中我们只要注意到参考系、速度、质量、力、动量、能量、功等概念和牛顿运动定律、万有引力定律、动量守恒定律、动能定理、动量定理、动量守恒定律、机械能守恒定律等规律，以及时空观、物理模型、数学工具（矢量、图象、变化率）等在热学、电学、光学、原子物理学中的应用和分析、解决的方法，就会对此有所体会。研究物理的规律，也要从历史上看，学会从描述物理过程开始，判断什么物理问题说明用什么物理概念、物理量去描述物体的状态，用什么方程可以描绘物体的运动状况，变化关系，从而可以解决控制物理的问题。如：质点的位置、速度、加速度及其时间是描述运动学的物理量，匀变速直线运动公式，抛体运动公式，匀速圆周运动公式等，都是我们在研究运动学动力学问题时常常要用到的。从动力学角度看运动学概念、规律能加深理解，能知道它的本质。如：加速度是力产生的，它建立了运动学和动力学的联系；抛体运动是质点在恒力作用下的加速度恒定的曲线运动；简谐运动是质点在线性回复力作用下的运动等。又如：从动力学角度能判定运动独立性原理不存在，分运动的独立性是有条件的。可见，明确题设的物理情境，理解物理过程是解决物理问题的关键。教学过程必须始终贯穿物理思想和物理方法，这是授之渔和受之渔的根本。

三、方法论剖析

方法是沟通思想、知识和能力的桥梁，物理方法是物理思想的具体表现。研究物理的方法很多，如有观察法、实验法、假设法、极限法、类比法、比较法、分析法、综合法、变量控制法、图表法、归纳法、总结法、发散思维法、抽象思维法、逆向思维法、模拟想象法、知识迁移法、数学演变法等。运用方法的过程也是思维的过程，思维主要包括抽象思维和形象思维。下面谈谈高中物理教学中常见的一些思维方法及其运用：

实验法：实验法是利用相关的仪器仪表和设计的装置通过对现象的观测，数据的采集、处理、分析后得出正确结论的一种方法。它是研究、探讨、验证物理规律的根本方法，也是科学家研究物理的主要途径。正因如此，物理学是一门实验科学，也是区别于其它学科的特点所在。当然，其中也包括了观察法，观察实验应注意重复试验，去伪存真、去表抓本，去粗存精，数据观测正确，理论与实验的误差，理想与实际的差异，发现规律。

假设法：假设法是解决物理问题的一种重要方法。用假设法解题，一般是依题意从某一假设入手，然后运用物理规律得出结果，再进行适当讨论，从而找出正确答案。这种解题科学严谨、合乎逻辑，而且可拓宽思路。在判断一些似是而非的物理现象，一般常用假设法。科学家在研究物理问题时也常采用假设法。我们同学在解题时往往不敢大胆假设，不懂的怎样去创设物理图景和物理量，也就觉的无从下手了。还有一些题中的物理量较少，虽然结果只与其有关，但在分析物理过程中又需要一些新的物理量介入时，也要进行相关量的假设，最后可以再消去。

极限法：极限法是利用物理的某些临界条件来处理物理问题的一种方法，也叫临界（或边界）条件法。在一些物理的运动状态变化过程中，往往达到某个特定的状态（临界状态）时，有关的物理量将要发生突变，此状态叫临界状态，这时却有临界值。如果题目中出现如“最大、最小、至少、恰好、满足什么条件”等一类词语时，一般都有临界状态，可以利用临界条件值作为解题思路的起点，设法求出临界值，再作分析讨论得出结果。此方法是一种很有用的思考途径，关键在于抓住满足的临界条件，准确地分析物理过程。

综合法（也叫程序法）：综合法就是通过题设条件，按顺序对已知条件的物理各过程和各因素联系起来进行综合分析推出未知的思维方法。即从已知到未知的思维方法，是从整体到局部的一种思维过程。此法要求从读题开始，注意题中能划分多少个不同的过程或不同状态，然后对各个过程、状态的已知量进行分析，追踪寻求与未知量的关系，从而求得未知量。一般适用于存在多个物理过程的问题。

分析法：分析法是综合法的逆过程，它是从求未知到已知的推理思维方法。是从局部到整体的一种思维过程。其优点在于把复杂的物理过程分解为简单的要素分别进行分析，便于从中找出最主要的、最本质的、起决定性的物理要素和规律。具体是从待求量的分析入手，从相关的物理概念或公式中去追求到已知量的一种方法。要求这个量，必须知道那些量，逐步寻求直至全部找出相联系的物理过程和已知的关系，而后再从已知量写到未知量。综合法和分析法是最常用的解题思维方法。分析和综合又是相互联系的，没有分析也就没有综合。综合是以分析为基础，分析又是以综合为指导。

模拟法：模拟法是将题设中文字描述的物理过程、状态通过实物模型或图示模型形象地描绘出来以帮助思维分析的一种方法。它能直观的反映出物理过程，也有助于理解、分析、记忆物理过程。是一种化复杂为简单、化模糊为清晰的有效方法。尤其对一些空间问题、抽象情景，如运动的追踪、电磁场等问题的分析就显而易见了。注意的是在设置模型时必须相对的准确、形象，以免造成误解。

类比法：类比法是指通过对内容相似、或形式相似、或方法相似的一类不同问题的比较来区别它们异同点的方法。这种方法往往用于帮助理解，记忆、区别物理概念、规律、公式很有好处。通常用于同类不同问题的比较。如：电场和磁场，电路的串联和并联，动能和动量，动能定理和动量定理，单位物理量的物理量的形式（如单位体积的质量、单位面积的压

力）等的比较。而比较法可以是不同类的比较，更有广义性。比如数学中曲线的斜率在物理图象里表示的物理意义是不同的，应学会比较，有比较才能有区别。

控制变量法：其方法是指在多个物理量可能参与变化影响中时，为确定各个物理量之间的关系，以控制某些物理量使其固定不变来研究另外两个量变化规律的一种方法。它是研究物理的一种科学的重要方法。限于篇幅，以上方法略去举例说明。

在高中物理教学中，能量转化和守恒的观点是解决物理综合问题的重要方法之一。还有等量替换法、等效法等也常在高中物理中运用。

在教学中务必有意识地贯穿物理思想和物理方法，思想指导方法，方法体现思想。当然，随着科学的发展，物理学习的深入，新思想新方法会不断出现，只要我们不懈的努力，勇于探索，大胆创新，一定能为物理教学作出贡献。

第五篇：物理学中十大著名的思想实验

物理学中十大著名的思想实验

在物理学中，有一类特殊的实验：它们不需要购置昂贵的仪器，不需要大量的人力物力，需要的只是有逻辑的大脑；而这种实验却可以挑战前人的结论，建立新的理论，甚至引发人们对世界认识的重新思考。这种实验就是传说中的思想实验。历史上的许多伟大物理学家，都曾设计过发人深思的思想实验，伽利略、牛顿、爱因斯坦便是其中的代表，这些思想实验不仅对物理学的发展有着不可磨灭的作用，更是颠覆了人们对世界对宇宙的认识。这篇文章将从易到难地介绍一下物理学历史上的几个著名思想实验。

1.惯性原理

自从亚里士多德时代以来，人们一直以为力是运动的原因，没有力的作用物体的运动都会静止。直到伽利略提出了下面这一个家喻户晓的思想实验，人们才知道了惯性原理——一个不受任何外力(或者合外力为0)的物体将保持静止或匀速直线运动：

设想一个一个竖直放置的V字形光滑导轨，一个小球可以在上面无摩擦的滚动。让小球从左端往下滚动，小球将滚到右边的同样高度。如果降低右侧导轨的斜率，小球仍然将滚动到同样高度，此时小球在水平方向上将滚得更远。斜率越小，则小球为了滚到相同高度就必须滚得越远。此时再设想右侧导轨斜率不断降低以至于降为水平，则根据前面的经验，如果无摩擦力阻碍，小球将会一直滚动下去，保持匀速直线运动。

在任何实际的实验当中，因为摩擦力总是无法忽略，所以任何真实的实验都无法严格地证明惯性原理，这也正是古人没有得出惯性原理的原因。然而思想实验就可以做到，仅仅通过日常经验的延伸就可以让任何一个理性的人相信惯性原理的正确性，这一最简单的思想实验足以体现出思想实验的锋芒！

2.两个小球同时落地

仍是受亚里士多德的影响，伽利略之前的人们以为越重的物体下落越快，而越轻的物体下落越慢。伽利略在比萨斜塔上的著名实验人尽皆知，可是很多人不知道的是，其实在这之前伽利略已经通过一个思想实验证明了两个小球必须同时落地：

如果亚里士多德的论断是对的话，那么不妨设想把一个重球和一个轻球绑在一起下落。由于重的落得快而轻的落得慢，轻球会拖拽住重球给它一个阻力让它减速，因此俩球的下落速度应该会介于重球和轻球下落速度之间。然而，如果把两个球看成一个整体，则总重量大于重球，它应当下落得比重球单独下落时更快的。于是这两个推论之间自相矛盾，亚里士多德的论断错误，两个小球必须同时落地。有了上述思想实验，实际上两个小球同时落地就已经不仅是一个物理上成立的定律了，而是在逻辑上就必须如此。在这个例子中，思想实验起到了真实实验无法达到的作用：即便在我们高中所学的牛顿引力理论不适用的情形，两个小球同时落地依然是成立的！后面我会讲到广义相对论中的等效原理，这个思想实验在逻辑上的必然成立是爱因斯坦总结出等效原理的关键因素。

3.牛顿的大炮

如图，一门架在高山上的大炮以很高的速度向外水平地发射炮弹，炮弹速度越快，就会落到越远的地方。一旦速度足够快，则炮弹就永远也不会落地，而是会绕着地球作周期性的运动。

牛顿的这一简单的思想实验，第一次让人们认识到，原来月球不会掉到地上来（也不会飞走）的原因，正是导致苹果落地的引力！牛顿的引力理论促成了人们认识上的一个飞跃：天上的东西并不“神圣”，他们遵循的规律和地上的普通物体完全一致。

4.水桶实验

用长绳吊一水桶，让它旋转至绳扭紧，然后将水注入，水与桶暂时都处于静止中，这时显然液面水平。再突然使桶反方向旋转，刚开始的时候水面并未跟随着运动，此时水面仍然水平。但是后来，桶逐渐把运动传递给水，使水也开始旋转，就可以看到水渐渐离开其中心而沿桶壁上升形成凹面。运动越快，水升的越高。倘若此时突然让桶静止，水由于惯性仍将旋转，此时的液面仍为凹面。牛顿认为，水面的下凹，不是由水对周围的相对运动造成的，而是由水的绝对的、真正的圆周运动造成的，因此由水面的下凹就可以判断绝对运动的存在。

这一思想实验，是牛顿为了论证绝对空间的存在而设计出来的。然而，众所周知，牛顿的绝对时空观其实是错误的，也就是说这一思想实验其实是个失败的例子。这一谬误，在100多年之后才被哲学家兼物理学家马赫所指出。马赫认为，水面的凹陷，并不是由于水相对于“绝对空间”的运动，而是由于相对宇宙间的所有其他物体的运动，这些其他所有物体通过引力对水施加了作用。其中起决定性作用的物体则是遥远的天体，正是遥远的天体的“参考系拖拽”作用使得相对于它们旋转的液面发生了凹陷。马赫认为并不存在绝对空间，所有参考系等价。倘若能够使水面保持静止，而让所有遥远天体一同旋转，按照马赫的观点，静止水面将产生凹液面。我们显然无法做这样的实验，但是如果用几公里厚的水桶做上面的水桶实验，则人们便不能肯定牛顿对液面的平凹的判断了。后来，马赫的观点对爱因斯坦发明广义相对论产生了决定性的影响，马赫原理本身也随着广义相对论的逐渐证实而得到了广泛认可。

5.奥伯斯佯谬

在20世纪的宇宙大爆炸理论提出之前，人们对于宇宙的认识是朴素的：宇宙无限大、存在的时间无限长、宇宙处于稳恒态、宇宙中的星体分布在大尺度上均匀。然而那时的人们不知道的是，从这四条基本假设却可以逻辑地推出与事实明显相悖的结论——奥伯斯佯谬：

如果宇宙是稳恒，无限大，时空平直的，其中均匀分布着同样的发光体，由于发光体的照度与距离的平方成反比，而一定距离上球壳内的发光体数目和距离的平方成正比，这样就使得对全部发光体的照度的积分不收敛，黑夜的天空应当是无限亮的。

然而每天的黑夜总是如期降临，天空并不是一直无限亮着。这就说明以前我们对宇宙的认识存在问题。奥伯斯本人给出了一个解释，他认为宇宙中存在的尘埃、不发光的星体吸收了一部分光线。然而这个解释是错误的，因为根据热力学第一定律，能量必定守恒，故此中间的阻隔物会变热而开始放出辐射，结果导致天上有均匀的辐射，温度应当等于发光体表面的温度，也即天空和星体一样亮，然而事实上没有观察到这种现象。直到宇宙大爆炸理论的提出，奥伯斯佯谬才迎刃而解。根据大爆炸理论，宇宙诞生于150亿年前的一个大爆炸，到现在宇宙仍处在膨胀的过程当中，因此，宇宙的存在时间便是有限的，并且并非处在稳恒态。四条基本假设的两条已经不再成立，因此奥伯斯佯谬也自然被瓦解。

6.拉普拉斯妖

牛顿之后的时代，经典力学在描述世界上产生了巨大的成功，人们逐渐的相信世界是可以用物理定律机械地描述的。比较极端地，拉普拉斯就相信机械决定论，认为世间万物（包括人类、社会）都逃不过确定的物理定律的掌控。

“我们可以把宇宙现在的状态视为其过去果以及未来的因。如果一个智能知道某一刻所有自然运动的力和所有自然构成的物件的位置，假如他也能够对这些数据进行分析，那宇宙里最大的物体到最小的粒子的运动都会包含在一条简单公式中。对于这智者来说没有事物会是含糊的，而未来只会像过去般出现在他面前。”——拉普拉斯

拉普拉斯提到的“智能”，便是后人所称的“拉普拉斯妖”。倘若拉普拉斯妖是存在的，那这个世界也太可怕了：你我的行为全部都可以通过计算得出，我们的命运也全都被物理定律+初始条件严格的定出了，没有什么会是计算之外的，那生活还有什么乐趣可言！幸运的是，混沌理论和量子力学的发展，让拉普拉斯妖永远也不可能存在了。量子力学告诉我们，物理量都是有不确定性的，不可能无误差地精确测量。而混沌理论则表明，只要涉及3个及更多的物体，初始条件的极其微小的差别将导致最后结果的千差万别。从另一个角度来说，拉普拉斯妖是基于经典力学可逆过程的，然而真实的系统确实满足热力学第二定律（熵增原理）的不可逆过程。因此世界仍是充满不确定性充满了惊喜的，人也可以凭借自己的主观努力去改变自己的命运。

7.麦克斯韦妖

中学时我们都曾学过热力学第二定律（熵增原理）：孤立系统的不可逆过程熵总是在增加。“落叶永离，覆水难收；欲死灰之复燃，艰乎其力；愿破镜之重圆，冀也无端；人生易老，返老还童只是幻想；生米煮成熟饭，无可挽回...”这些都是熵增原理在实际生活中的反应，它现在也已经成为了物理学中最牢不可破的原理之一。然而当年麦克斯韦却曾提出过一个对熵增原理的诘难，非常令人困惑：

一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“麦克斯韦妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，系统的熵降低了。可以利用此温差，驱动热机做功，而这是与热力学第二定律相矛盾的。

对于这个诘难的反驳，可并不是一件轻松的事情。有人可能以为麦克斯韦妖在打开、关闭门的时候需要消耗能量，这里产生的熵增会抵消掉系统熵的降低。然而开关门消耗的能量却不是本质的，它可以任意降低到足够小。对于麦克斯韦妖的真正解释，直到20世纪才被揭开。关于熵的问题向来比较难懂，因此我直接引用赵凯华先生在《新概念力学·热学》中的话：“麦克斯韦妖有获得和存储分子运动信息的能力，它靠信息来干预系统，使它逆着自然界的方向进行。按现代的观点，信息就是负熵，麦克斯韦妖将负熵输入给系统，降低了它的熵。那么，麦克斯韦妖怎样才能获得所需的信息呢？它必须有一个温度与环境不同的微型光源去照亮分子，这就需要耗费一定的能量，产生额外的熵。麦克斯韦妖正是以此为代价才获得了所需的信息（即负熵）的，这额外熵的产生补偿了系统里熵的减少。总起来说，即使真有麦克斯韦妖存在，它的工作方式也不违反热力学第二定律。”

8.双生子佯谬

爱因斯坦的狭义相对论建立了全新的时空观，对于当时的人们来说难以接受。因此自从提出以来，狭义相对论就受到了各种诘难，其中最著名的当属双生子佯谬。但是无论如何诘难，狭义相对论都可以很完美的给出解释，所有的佯谬都被一一化解，研究这些佯谬可以更加深刻的理解狭义相对论的时空观。在狭义相对论中，运动的参考系时间会变缓，即所谓的动钟变慢效应。现在设想这样一个情景：有一对双胞胎A和B，A留在地球上，B乘坐接近光速的飞船向宇宙深处飞去。飞船在飞出一段距离之后掉头往回飞，最终降落回地球，两兄弟见面。现在问题来了：A认为B在运动的时候时间变慢，B应当比A年轻；而同样地，在B看来，是A一直在运动，是A的时间变慢了，A应当比B年轻才是。那么兄弟俩究竟谁更年轻呢？狭义相对论是否自相矛盾了？

事实上，理解双生子佯谬的关键，是要清楚A和B的地位并不对等：两人中只有B经历了加速过程，B在飞船掉头的时候不可避免的要经历一次加速。因此，只有A才是处在狭义相对论成立的惯性系当中，只有A的看法是正确的：当兄弟俩见面时，B比A更年轻。类似的效应已经被精密实验所证实了。其实

只要用狭义相对论做详尽的计算，也能够从B的角度理解为什么B比A更年轻，但是这不得不做繁琐的计算，这里就不给出了。至此我们可以放心地说，狭义相对论在这个问题上是没有包含矛盾的。但是出去旅游一圈的双胞胎兄弟居然回来就比较年轻了，这一点可是颠覆了大多数人的世界观的...可是这是事实，不信也得信呀！

9.等效原理

在中学里大家都学了质量的概念，然而事实上是有两种不同的质量的：惯性质量和引力质量。惯性质量是F=ma中的m，它是惯性大小的量度；引力质量是F=GMm/r^2中的m，它是引力大小的量度。之所以中学里并不对这二者进行区分，是因为这二者精确地相等。这一事实并不是理所当然的，而爱因斯坦正是通过这一神奇的事实，归纳出了广义相对论的一个基本假设：等效原理。

设想一个处于自由空间（没有引力作用）中的宇宙飞船，它以a=9.8m/s^2的加速度做加速直线运动。倘若里面的人扔出一个小球，小球由于惯性，将以9.8m/s^2的加速度落地；而这正如一个处于引力场中的惯性系所表现的那样。非惯性系中的惯性力正比于惯性质量，而引力则正比于引力质量。惯性质量与引力质量相等这一事实，导致了惯性力与引力这两种效应无法区分，这就是弱等效原理。爱因斯坦进一步推广，对于一切物理过程（不仅仅是力学过程），自由空间中的加速运动参考系，与引力作用下的惯性系，这二者在原则上完全不可区分，这就是强等效原理。

“引力场中一切物体都具有同一的加速度，这条定律也可表述为惯性质量同引力质量相等，它当时就使我认识到它的全部重要性。我为它的存在感到极为惊奇，并且猜想其中必有一把可以更深入了解惯性和引力的钥匙。”——爱因斯坦。

10.薛定谔的猫

薛定谔的猫恐怕是物理界最著名的一只虚构小动物了，它是量子力学的创始人之一——薛定谔为了说明量子力学并不完备而提出的：

把一只猫放进一个封闭的盒子里，然后把这个盒子连接到一个包含一个放射性原子核和一个装有有毒气体的容器的实验装置。设想这个放射性原子核在一个小时内有50％的可能性发生衰变。如果发生衰变，它将会发射出一个粒子，而发射出的这个粒子将会触发这个实验装置，打开装有毒气的容器，从而杀死这只猫。根据量子力学，未进行观察时，这个原子核处于已衰变和未衰变的叠加态，猫则处在死和活的叠加态，即“既死又活”（而不是很多人误解的“半死不活”、“要么死要么活”）。但是，如果在一个小时后把盒子打开，实验者只能看到“衰变的原子核和死猫”或者“未衰变的原子核和活猫”两种情况。现在的问题是：这个系统从什么时候开始不再处于两种不同状态的叠加态而成为其中的一种？在打开盒子观察以前，这只猫是死了还是活着抑或既死又活？这个实验的原意是想说明，如果不能对波函数塌缩以及对这只猫所处的状态给出一个合理解释的话，量子力学本身是不完备的。

薛定谔的猫是物理学家的一个噩梦，它把微观的量子力学效应放大到了宏观的日常生活，使得一切都变得十分诡异。对于薛定谔的猫的解释，涉及到了多种对量子力学的深刻哲学理解，本文就不详述了，如果你想搞清楚这只神奇的猫的命运，那么请到物理学院来学习吧！

后记：

思想实验是物理学史上伟大的智慧结晶，回顾一番足以看出其中闪耀的智慧光芒。望这些思想实验能够给读者带来对世界认识的启迪吧。