极限岁月

第一篇：极限岁月

极限岁月

我是一个平凡的人，我的故事也是平凡的故事。

很小的时候，我不知道什么叫优秀和平庸。

但我，却打心里认为我跟别人不同。我不用努力学习，每次总是第一名。

连我的嗅觉，我很远就能闻到妈妈为我炒的辣椒炒肉。

我甚至以为，我是龙的传人，我有一次皮肤

病，有些地方脱了皮。

但我以为那是龙在换鳞。

我盲目的认为自己是一个优秀的人

换来的是自己的放纵和不羁。

我足足用了几年来弄明白我和别人都是一样的只不过是智商稍高一点而已

当我意识到这一点后，我开始努力做到和别人不同

抽烟，喝酒，打群架，在学校做老大

经历过两次教训之后，我的目标没有变

我依然要做到和别人不同，但方向变了。

我总是渴望更高的目标，不管会不会“孤独的飞鹰总是愈来愈高”

我以为人生就是要实现自己的精彩。不管是高的好的还是低的坏的目标

所以，当我有了一次重大的决定自己的权利时，我选了军校......

二

我踏进学校的第一天我就想退学

但是懒惯了的我也懒的去退学

于是我就不得不去习惯这儿的一切

我是太懒了，懒得去挣拖束缚

懒得去摆拖每天的早操，军姿和正步

懒得去卸下学员干部的重任

好多事懒得去想，只有去做

好多故事懒得以后回忆，只好现在写下来

三

“为什么要这样啊？”征已经在哭嚎了。

他们在一班的宿舍里，阿伟，凌云，小源，阿好都在，在桌上凌乱的摆着几个空饭盒，里面装着不知什么样的残羹剩汁，饭盒旁是几个空空的“红星二锅头”的瓶子和几袋花生。此外，每个人的手上还拿着一瓶。

“大家别这样，如果要开我的话，让我开开心心地走，不要为我留泪”凌云抬起了头，自己的眼泪却已经挂在眼角。

“大家不要再喝了，我们还有很多事要做的。”阿伟在安慰刘征。征把头埋进自己的怀里，好象也要把自己的悲伤埋进心里一样。阿伟伸出手去，抚摩着征的头，却惊愕地发现这个铁汉子的泪水已经留出来了。

小源嘴里也骂着什么，但眼水一样不争气的留了下来。

阿伟也不知道是在跟谁说了，“凌云不会走的，凌云不会走的，大家怎么了，不要留这种不值钱的眼泪。”他走来走去的，说了一句，“我去买包烟。”

他走出房门，顺手把门拉上，却发现自己的眼泪已经不争气的留了下来，他擦了擦脸，强迫自己的面部肌肉做了一个笑的动作，义无返顾的朝着小卖部走去，他走的有点壮烈，因为他去买烟，口袋里却一分钱也没有。

四

当全队要重新整编的消息传来的时候，所有的人的木了。

有谁愿意跟以前拳脚相见的人同住一间房子，有谁愿意离开自己朝夕相处的弟兄。可是，有两个人还是邪邪的笑。

一个是阿伟，他对他的好兄弟凌云边说边笑边动手，“以后见了你，见一次打你一次，现在是各为其主了，不要怪我心狠手辣！”

另一个人是英侃，他居然在中队长面前口出狂言，“妈个*，又跟于雷一个班，真讨厌”。

所有的人都颤抖了，他欺负人家还不够，他们班的暗号就是“于雷吃屎！”可是中队长只是笑了笑，因为英侃实在是太可爱了。

然后大家就聚在一块谈论英侃的壮举：他82天不洗澡的队记录，他用来洗脚的牙膏的品牌，他怎样一个下午花掉一千元，他能压垮床的体重。

大家都乐着，好象都忘了整编一样，没有人去提，没有人愿意去提！

五

英侃喝多了，他跟着刘征和志平一块儿在五班喝的，三人都喝的晕头了，刘征和志平躺在自己的床上就睡了，英侃也不行了，于是，他只有趴在阿坚的床上睡了，哎哟！阿坚的床没有枕头，好不舒服！天花板怎么在动啊，我没有喝多吧？

没有枕头好不爽啊，偷别人一个，拿谁的，刘哥不能惹，小源也不行，他发火了不借给我钱吃饭怎么办，小寒吧，他丫整天笑的跟他妈卖*似的。肯定不会发火。我偷，我拿，我抽……

啊，枕头拿过来了，小寒呢？

英侃看上去有些迷茫，刚才还在这的，怎么一眨眼就没了，不管了，我睡觉，先。

他回过头来，要上床睡觉，却好象忘了一点，兔子也有咬人的时候。小寒就站在他的身后。

英侃不知道，他只是看见七，八个小寒

第二篇：函数极限

《数学分析》教案

第三章 函数极限

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第三章 函数极限

教学目的：

1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限

和，并能熟练运用；

4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。教学重（难）点：

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。

教学时数：16学时

§ 1 函数极限概念（3学时）

教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。

教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。

教学重点：函数极限的概念。

教学难点：函数极限的定义及其应用。

一、复习：数列极限的概念、性质等

二、讲授新课：

（一）时函数的极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例4 验证

例5 验证

例6 验证

证 由 =

为使

需有

需有

为使

于是, 倘限制 , 就有

例7 验证

例8 验证(类似有

（三）单侧极限:

1．定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

我们引进了六种极限:.以下以极限，为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th 4 若使，证 设

和都有 =

(现证对 都存在, 且存在点 的空心邻域)，有

註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有

5.6.以

迫敛性:

”为“ 举例说明.”, 未必

四则运算性质:(只证“+”和“ ”)

（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例8

例9

例10 已知

求和

补充题:已知

求和（）§ 3 函数极限存在的条件（4学时）

教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则 运用。

教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限

为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：

Th 1 设函数在,对任何在点

且的某空心邻域

内有定义.则极限都存在且相等.(证)

存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为

单调趋于

.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.7 《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

教学难点：两个重要极限的证明及运用。

教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一．

（证）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 证明极限 不存在.二.证 对

有

例6

特别当 等.例7

例8

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

三． 等价无穷小：

Th 2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3(等价无穷小替换法则)

几组常用等价无穷小:（见[2]）

例3 时, 无穷小

与

是否等价? 例4

四.无穷大量:

1.定义:

2.性质:

性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:

无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大

习题 课（2学时）

一、理论概述：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例7.求

.注意 时, 且

.先求

由Heine归并原则

即求得所求极限

.例8 求是否存在.和.并说明极限

解;

可见极限 不存在.--32

第三篇：生命极限

谁为孩子的生命买单?

少年儿童是这个社会的弱势群体，他们周围处处暗藏着危机!孩子是娇嫩的花苞，是祖国的未来，是早上初升起的太阳。有了孩子，家才算完整，有了孩子，家才更有生机，有了孩子，生活才更有奔头。然而，就在这些娇小的身躯周围暗藏着危机!拐卖儿童防不胜防，孩子掉进深井、跌落夹缝、溺水而亡、电击致残等等一幕幕悲惨地画面时常出现在生活中，播放在荧幕上，父母伤心欲绝，泣不成声。

最近木木男性保健社区报上刊登了一则为生命极限——拯救孩子的文章例举了近年来的一些案例。2013年4月21日下午，河北黄骅市闫庄子村一男童坠入8米深机井，幸好路人及时发现下井进行救援，落井男童才被救出。

2013年4月18日下午，唐山遵化新店子镇康各庄村一名两岁的儿童掉入30米深井中，被卡在5米处，经遵化消防奋力营救，孩子才被成功救出。

2013年4月13日平乡县贾周章村一名5岁男童落入深井，经过三个小时消防队员、村民的合力营救，终于将男童救出。

2012年10月30日下午，兰州七里河区林家庄一待建工地突发意外，一名10岁男童在工地玩耍时落入一处深32米的桩基井中。经七里河公安分局下西园派出所、七里河消防中队救援人员近半小时的努力，男孩才成功获救。

2012年7月16日，在漯河火车站，一位2岁多女童在火车发动前夕掉入火车车体与站台之间的夹缝中难以脱身，千钧一发之际，一位消防战士将身体探入夹缝，费力将其救起。

2012年7月2日下午，在南宁市济南路桂登商场，一名9岁的男孩在玩耍时，不小心从商场二楼的手扶电梯掉进电梯夹缝中，坠落到一楼。事发后，男孩被送往附近医院救治。

2011年10月17日下午，位于220国道菏泽市牡丹区王浩屯镇观音王村的田地里，一名三岁男孩和同伴玩耍时不慎落入废弃的机井内，幸好井中水不深，经当地村民和消防队员的奋力营救，男童才得以脱险。2011年8月13日下午，在白银区四龙镇黄河岸边，3个小孩玩耍时在黄河中遇险，其中仅有一名小孩获救，另两名小孩溺水身亡。

2011年7月14日，地铁南京南站发生一名5岁小女孩在上车时失足踏空，跌入列车与站台之间的缝隙中，幸亏被及时拉出，只是受了皮外伤。

2011年6月3日晚，通州区马驹桥镇南堤村一名11岁男童不慎落入这口15米深的废弃竖井中，经过3个多小时的紧张救援，孩子最终被消防员拉出竖井。但遗憾的是，男孩不幸夭折。

2010年4月25日，九江市九湖公路第三水厂旁一名8岁小女孩在玩耍时，不幸被卡在两房之间一个仅有20厘米宽的墙缝中。经消防官兵三个小时的奋力营救，终于救出女童。

2009年1月27日晚上4岁多的男孩径直掉进居民楼外墙和楼下院坝之间一段3米深、宽不足1米的夹缝中，进过群众齐力营救，才将孩子安全救出。

2007年6月10日中午，平谷区黄松峪镇大东沟村，一名8岁男童游玩时，不慎落入村口路边的大口井中，溺水身亡。

2003年1月27日下午，广州市黄埔区南岗镇一名5岁儿童玩耍时，不幸被夹在两墙之间的夹缝中。经干警和消防人员经过1小时的共同努力，儿童才得以救出。

2002年6月7日下午，家住6楼的一名三岁半男童独自在家时，掉进阳台防盗网的空隙，小脑袋被卡在铁栏间，身体悬在半空中，痛苦挣扎，哇哇直哭。被居民发现后立刻通知小区保安队，几名保安人员及时赶到，将悬在半空长达20分钟的孩子救起。

2001年2月27日晚，一名小男孩夹在40米高楼顶楼楼梯间，经过消防官兵近50分钟的拼死努力，小男孩才被成功营救。

这些案例触目惊心，孩子父母撕心裂肺的痛哭，我们在同情之余可否想过为什么意外会频频发生?父母大意，社会安全隐患的存在，使孩子的安全处处受到威胁。为人父母，切不可因工作而忽略对孩子的照顾，孩子没了安全感，挣再多的钱又有什么用呢?社会也应加强安全隐患的排除，对废弃的矿井、水井、废坑等要及时的处理掉，该掩埋，该加盖的都要做到位。对水域加护，竖立警告牌，父母、学校要加强对孩子的安全教育，特别是加深对危险的认识，让孩子分清善与恶，好与坏，安全与危险。最大限度保证孩子的人身安全，让他们在安全的环境下，快乐健康的成长起来。谁为孩子的生命买单?请记住孩子的生命是无价的!

第四篇：高等数学-极限

《高等数学》极限运算技巧

(2009-06-02 22:29:52)转载▼ 标签： 分类： 数学问题解答

杂谈 知识/探索

【摘 要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。【关键词】高等数学 极限 技巧

《高等数学》极限运算技巧

《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

一，极限的概念

从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！

从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。

二，极限的运算技巧

我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。1，连续函数的极限

这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。2，不定型

我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。

第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：

需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：

等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。

当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。

在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：（1），“∞/∞ ”形式

如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：

，这道题中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。

如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。（3）“ ”形式

这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

这种形式的解决思路主要有两种。

第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。比如： 这道题的基本接替思路是，检验形式是“式，最后直接套用公式。

第二种是取对数消指数。简单来说，“

”，然后选用公式，再凑出公式的形

”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：

可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。三，极限运算思维的培养

极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。

（本文著作权归个人所有，如需转载请联系本人。）

第五篇：函数极限

习题

1.按定义证明下列极限:

(1)limx6x5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x2x

x251;(4)lim(3)lim2xx1x2

(5)limcos x = cos x0 xx04x2=0;

2.根据定义2叙述limf(x)≠ A.xx0

3.设limf(x)= A.,证明limf(x0+h)= A.xx0h0

4.证明:若limf(x)= A,则lim| f(x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0

5.证明定理3.1

6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

2x;x0.(3)f(x)=0;x0.1x2,x0.

7.设 limf(x)= A,证明limf(xxx01)= A x

8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0

习题

1． 求下列极限：

x21（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;x02x2x1x22

x21x113x;

lim(3)lim;(4)

x12x2x1x0x22x3

xn1(5)limm(n,m 为正整数)；（6）lim

x1xx41

（7）lim

x0

2x3x2

70；

a2xa3x68x5.（a>0）;(8)lim

xx5x190

2． 利用敛性求极限：(1)lim

x

xcosxxsinx

;(2)lim2

x0xx4

xx0

3． 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：

xx0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

xx0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

xx0

（3）lim

xx0

f(x)A

=(当B≠0时)g(x)B

4． 设

a0xma1xm1am1xam

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1

b0xb1xbn1xbn

试求 limf(x)

x

5． 设f(x)>0, limf(x)=A.证明

xx0

xx0

lim

f(x)=A，其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0

x0

7.设limf(x)=A, limg(x)=B.xx0

xx0

(1)若在某∪(x0)内有f(x)< g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？

（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x)> g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）：(1)lim 

x0

x

x11

lim;(2);nnx0x1xx1x

xx2xnn

(3)lim;(4)lim

x0x0x1

x1

x

(5)lim

x

x(提示：参照例1)

x

x0

x0

x0

9．（1）证明：若limf(x3)存在，则limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，试问是否成立limf(x)=limf(x2)?

x0

x0

x0

习题

1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.n

n

2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在n

[a,+)上有上(下)界.3.(1)叙述极限limf(x)的柯西准则;

n

(2)根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.n

n

4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都

n

n

存在,则所有这极限都相等.提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0xu

x0

0xun(x0)

inff(x)

6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.xx0

7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0

x

8.证明定理3.9

习题

1.求下列极限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x0x0sinx2x

(3)lim

x

cosxx



tanxsinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x0x0xx

sin2xsin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

xxaxxa

;(4)lim

x0

tanx

;x

cosx2

(9)lim;(10)lim

x0x01cosxx11

sin4x

2.求下列极限

12x

(1)lim(1);(2)lim1axx(a为给定实数);

nx0x

x

(3)lim1tanx

x0

cotx

;(4)lim

1x

;

x01x

(5)lim（x

3x22x1);(6)lim(1)x(,为给定实数)

n3x1x

3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限:(1)limnsin

n



x0n





x2

xxcos1 2n22



n

;(2)

习题

1． 证明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinxO(x)(x→0);

+

(3)x1o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 为正整数)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 应用定理3.12求下列极限：

x21x(1)lim(2)lim x01cosxxxcosx

x3． 证明定理3.13

4． 求下列函数所表示曲线的渐近线：

13x34

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx2x

5． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1x

(3)tanxsinx;(4)

x24x3

6． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：

(1)

x2x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r

时的无穷大量。

9． 设 f(x)~g(x)(x→x0)，证明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

总 练习题

1． 求下列极限：

1

(x[x])lim([x]1)(1)lim;(2)

x3

x1

(3)lim（x

axbxaxbx)

xxa

(4)lim

x

(5)lim

xxa

x

(6)lim

xxxx

x0

(7)lim

nm,m,n 为正整数 nx11xm1x

2． 分别求出满足下述条件的常数a与b：

x21

(1)limaxb0 xx1

x(3)limx

(2)lim

xxx2

x1axb0

x1axb0

x2

3． 试分别举出符合下列要求的函数f：

(1)limf(x)f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的xx0

局部保号性有矛盾吗？

5． 设limf(x)A，limg(u)B，在何种条件下能由此推出

xa

gA

limg(f(x))B?

xa

6． 设f(x)=x cos x。试作数列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 证明：若数列{an}满足下列条件之一，则{an}是无穷大数列：

(1)limanr1

n

(2)lim

an1

s1(an≠0,n=1,2,…)

nan

n2

n2

8． 利用上题（1）的结论求极限：

(1)lim1

n

11(2)lim1

nnn

9． 设liman，证明

n

(1)lim

(a1a2an) nn

n

(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限：

(1)limn!(2)lim

n

In(n!)

nn

11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明：若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)A，则有

n

f(x0－0)=

supf(x)A

0xU(x0)

12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)A。证明：f(x)A，x∈(0,+∞)

x

13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)f(1)lim

x0

x

证明：f(x)f(1)，x∈(0,+∞)

14.设函数f定义在(a,+∞)上，f在每一个有限区间内(a,b)有界，并满足

x

lim(f(x1)f(1))A证明

x

lim

f(x)

A x