高中数学培优材料1：平面几何(梅涅劳斯定理)

第一篇：高中数学培优材料1：平面几何(梅涅劳斯定理)

国光中学数学培优系列讲座——竞赛二试系列讲座

高中数学培优讲座

第一讲：平面几何——梅涅劳斯定理、塞瓦定理

在中国数学奥林匹克(CMO)的六道试题中，以及国际数学奥林匹克（IMO）的六道试题中，都至少有一道平面几何试题的存在。同样，在每年十月份进行的全国高中数学联赛加试的三道试题中，必有一道是平面几何题，占全国高中数学联赛总分300 分中的50 分，因此有人曾说：“得几何者，得一等奖”。除了在初中的课本中已经介绍的重要定理之外，在数学竞赛中，平面几何问题还要用到许多著名的定理，现择其应用较广的几个介绍如下.（一）梅涅劳斯定理

定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.三点，则：

FB

DC

EA

1.1）不过顶点的直线与三角形3 边的关系有两种情况：①若直线与三角形的一

边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；②直线与三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个.（2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1 的等式.（3）这个定理反映了形与数的转化，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等于“1”；反过来，若比值等于“1”成立时，可证“三点共线”（逆定理也成立）.B点到分点

分点到C点

C点到分点

分点到A点

1.（1）简易证法一：（平行线分线段成比例）过A作AG//BC交DF延长线于G，∵AG//BC，∴

AF

AG，CE

CD

FBBDEAAG，∴

AF

FBCEEABDCDAGBDCDAGBDCD1，∴AFFBBDDCCEEA1.国光中学数学组 黄晓琳 邮箱：ymhc100@163.com 手机：***QQ：35984906

3（2）简易证法二：（垂线构造线段成比例）分别过A、B、C作AA'、BB'、CC'垂直

已知直线，由直角三角形相似比，易知

AFAA'BDFBBB'、DC

BB'CC'、CE'EA



CCAA'，∴

AFAA'FB

BDDC



CEEA



BB'BB'CC'CC'

AA'



1.（3）其它证法：三角形面积比、正弦定理等方法涉及后面解三角形知识（置后）.（常用于证明三点共线）如果有三点D、E、F分别在三角形ABC的三边

或其延长线，且满足：

AFFB

BDDC

CEEA

1，则三点D、E、F在同一直线上.（2）角元形式的梅涅劳斯定理：如果一直线顺次与三角形ABC的三边BC、AC、AB

或其延长线交于

D、E、F

三点，则三点DEF共线等价于

sinBADCBEsinACFsinDAC



sinsinEBA



sinFCB



1.例题1：已知过ABC顶点C的直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，求证：

AEAFED

2FB

.证明：直线CEF截ABD，由梅涅劳斯定理，得：AFBC2CDFBCDDEEA

1，又BC，∴

AFDE1，则AEAFFB

EA

2ED

2FB

.[注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等.变式练习１：在△ABC 中，AG是角平分线，D是BC

中点，DG⊥AG交AB于E，交

AC延长线与F，求证：BE=CF=

2(ABAC)．

F

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例题2：已知过ABC重心G的直线分别交边AB、AC及CB延长线于点E、F、D，求证：

BEEA

CFFA

1.证明：连接AG并延长交BC于M，则BMCM，∵DEG截ABM，∴由梅氏定理得，BEEAAGGMMD

DB

1；

同理：CFFA

AGGMMDDC



1∴

BEGMEA

AG

DBMD，CF

FAGM

AGDCMD，∴BE

CF

GM(DBDC)GMDBDCEAFAAGMDAGMD12211，即BEEACF

FA

1.变式练习２：（塞瓦（Ceva）定理）在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交

对边于D、E、F，求证：

AFBDCEFB

DC

EA

1．

例题1：若ABC的A的外角平分线交边BC延长线于P，B的平分线交边AC于Q，C的平分线交边AB于R，则P、Q、R三点共线.证明：由三角形内、外角平分线定理知：

BPBAPC



CA，CQQA

BCAB，ARCARB



CB，则

ARBPCQCAP

RB



PC

QA

CB



BACA



BCAB

1，故P、Q、R三点共线.国光中学数学组 黄晓琳 邮箱：ymhc100@163.com 手机：***QQ：35984906

3变式练习１：（帕斯卡（Pascal）定理）圆内接六边形ABCDEF的三双对边的延长线交

于三点P、Q、R，则这三点共线．（此线称为帕斯卡线）

例题2：（莱莫恩（Lemoine）定理）过任意ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线.证明：∵CR是⊙O的切线，∴RAC∽RCB，∴

RA

RC

RC

RB



ACCB，R

RA

则RBRARCRCAC

2RB(CB)，同理：

BPAB2

CP

（AC)，CQQA

（BC2

BA)

∴

ARCA2

RB



BPPC



CQQA

（CB)（BACA)（BCAB)1，故P、Q、R三点共线.变式练习2：（西姆松（Simson）定理）若从△ABC的外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．（此线常称为西姆松线）.

第二篇：高中数学联赛平面几何重点——梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理证明

梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长 线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。证明定理

证明一

过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 证明二

过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=

1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

梅涅劳斯(Menelaus)定理

证明三

过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'

所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=

1证明四

λ

连接BF。（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）=1此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。第一角元形式的梅涅劳斯定理

如图：若E，F，D三点共线，则

(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积

该形式的梅涅劳斯定理也很实用

第二角元形式的梅涅劳斯定理

在平面上任取一点O，且EDF共线，则

（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)

记忆

ABC为三个顶点，DEF为三个分点

(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=

1（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1

空间感好的人可以这么记：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1

数学意义

使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。实际应用

为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。

我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。

例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。

另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。

从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：

方案 ① ——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。

按照这个方案，可以写出关系式：

（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。

现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。

从A点出发的旅游方案还有：

方案 ② ——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是有：

方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式：

（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。从A出发还有最后一个方案：方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：

（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。

我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。

值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。

不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。

还可以从逆时针来看，从第一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶点的距离，以此类推，可得到三个比例，它们的乘积为1.现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。

第三篇：2013高中数学奥数培训资料之梅涅劳斯定理

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料

（内部资料）

平面几何的几个重要的定理

一、梅涅劳斯定理：

定理1：若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边BC、CA、AB或它们 的延长线分别交于P、Q、R，则

BPCQ

PCQAAR

RB

1证：设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线

l的垂线的长度，则：

BP

PCCQARBhC

QARBh

hhA

ChAh1B

注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；

例1：若直角ABC中，CK是斜边上的高，CE是ACK的平分线，E点

在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF//CE。证：在EBC中，作B的平分线BH

则：EBCACK

HBCACE

HBCHCBACEHCB90

即：BHCE EBC为等腰三角形 作BC上的高EP，则：CKEP 对于ACK和三点D、E、F依梅涅劳斯定理有： CD DAAE

EKKF

FC

1于是KFEK

FC＝AECKEP

ACACBPBK

BCBE

KFBK

FC＝BE

依分比定理有：KF

KC＝BK

KE

FKBCKE

BF//CE

【练习1】从点K引四条直线，另两条直

和A1、B1、C1、D1，试证：

ACBC

:

线分别交这四条直线于ADBD

A1C1B1C

1:A1D1B1D1

三点，并且CQQA

ARRB

1，A、B、C、D

定理2：设P、Q、R分别是ABC的三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的P、Q、R三点中，位于

ABC边上的点的个数为0或2，这时若

BPPC



求证：P、Q、R三点共线；

证：设直线PQ与直线AB交于R，于是由定理

BPPC又

CQQAAR

'

'

'

1得：

RB



1AR

'

'

BPPC

CQQA

ARRB

1RB

'

＝

ARRB

由于在同一直线上的'

P、Q、R三点中，位于ABC边上的点的个数也为

'

0或2，因此R与R或者同在AB线段上，或者同在'

'

AB的延长线上；

设ARAR,''

若R与R同在AB线段上，则R与R必定重合，不然的话，这时ABARABAR,即BRBR,于是可得

这与

ARBR

＝

ARBR

''

'

'

ARBR



ARBR

矛盾

R与R同在AB的延长线上时，'

类似地可证得当R与R也重合'

综上可得：P、Q、R三点共线；

注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；

例2.点P位于ABC的外接圆

证明点A1、B1、C1共线

证：易得：

BA1CA1AB1AC

1

BPcosPBCCPcosPCBCPcosPCAAPcosPACAPcosPABPBcosPBA,CB1

BC

将上面三条式子相乘，且PACPBC,PABPCB,PCAPBA180

可得

BA1CA1



CB1AB1



ACBC

＝1，依梅涅劳斯定理可知

A1、B1、C1三点共线；

【练习

2】设不等腰ABC的内切圆在三边

AB上的切点分别为

BC、CA、D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上；

【练习3】已知直线AA1，BB1，CC1相交于O，直线AB和

A1B1的交点为C2，直线BC与B1C1的交点是A2，直线AC与A1C1的交点是B2，试证：A2、B2、C2三点共线；

【练习4】在一条直线上取点

E、C、A，在另一条上取点

B、F、D，记直线AB和ED，CD和AF，CD和AF，EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：L、M、N共线

练习1的证明

证：若AD//A1D1，结论显然成立；

若AD与A1D1相交与点L，则把梅涅劳斯定理分ADLDLDBD

LD1A1D1BKB1K

A1KAKLD

111

ADBCA1C1B1D1

1

ACBDA1D1B1C1LCAC

AKA1K

A1C1LC

别用于A1AL和B1BL可得：BCLC

LC

1

B1C1



B1KBK

1

B1D1

将上面四条式子相乘可

ACADACAD:11:11

BCBDB1C1B1D1

练习2的证明

证：ABC被直线XFE所截，由定理

又AEAF同理可得：

1BXXCEABD

＝

BXXC



CEEA



AFFB

1

代人上式可得：＝

DCAF

AZZB

＝

FBCE

CYYA

将上面三条式子相乘可

BXCYAZ

1

XCYAZB

2可得X、Y、Z三点共线

又X、Y、Z都不在ABC的边上，由定理

练习3的证明

证：设A2、B2、C2分别是直线BC和B1C1，AC和A1C1，AB和A1B1的交点，对所得的三角形和在它

们边上的点：

OAB和(A1，B1,C2),OBC和(B1，OA1AA

1CA2BA

21

CCOC

ABCB

C1,A2),OAC和(A1，C1,B2)应用梅涅劳斯定理有：AA1OA1

OB1BB



BCAC

1

OCCC



BB

OB1

BCAC



CA2BA2ABCB

1





1

将上面的三条式子相乘由梅涅劳斯定理可知



A2,B2,C2共线

练习4的证明

证：记直线EF和CD，EF和AB，AB和CD的交点分别为U、V、W，对UVW，应用梅

涅劳斯定理于五组三元UEVEWAVA

VLWLUCWC

WDUDVEUE

11

VAWAWBVB



点(L,D,E),(A,M,F),(B,C,N),(A,C,E),(B,D,F)，则有UFVFUDWD

WMYMVFUF

11

UNVN

WCUC

VBWB

1



将上面五条式子相乘可

VLWMUN1,点L,M,N共线

WLUMVN

第四篇：高中数学常用平面几何名定理

高中数学常用平面几何名定理

定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理

四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

定理2 Ceva定理

定理3 Menelaus定理

定理4 蝴蝶定理定理

内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

定理5 张角定理

在△ABC中，D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松线）

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

定理7 Eular line：

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半

定理8 到三角形三定点值和最小的点——费马点

已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

定理9 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心

定理10到三角形三顶点距离的平方和最小的点是三角形的重心 在几何里,平面是无限延展的,是无大小的,是不可度量的,是无厚度的,通常画平行四边形来表示平面

0、勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。

1、欧拉（Euler）线：

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半

2、九点圆：

任意三角形三边的中点.三条高线的垂足.垂心与各顶点连线的中点,这9点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

3、费尔马点：

已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

4、海伦（Heron）公式：

在△ABC中，边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，若p＝0.5*（a＋b＋c），则△ABC的面积S＝√ p*(p-a)(p-b)(p-c)

5、塞瓦（Ceva）定理：

在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F，则 ；其逆亦真

6、密格尔（Miquel）点：

若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

7、葛尔刚（Gergonne）点:

△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。

8、西摩松（Simson）线：

已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。

9、黄金分割：

把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项,这样的分割称为黄金分割

11、笛沙格（Desargues）定理：

已知在△ ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真。

12、摩莱（Morley）三角形：

在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则三角形DDE是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。

13、帕斯卡（Paskal）定理：

已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF延长线交于点H，边CD、FA延长线交于点K，则H、G、K三点共线

14、托勒密（Ptolemy）定理：

在圆内接四边形中，AB•CD＋AD•BC＝AC•BD15、阿波罗尼斯（Apollonius）圆

一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”

16、梅内劳斯定理

梅内劳斯定理（Menelaus’ theorem）的表述：如果一条直线和三角形ABC的三边或其延长线分别交于点P、Q、R，则有，BP/PC·CQ/QA·AR/RB=-

1此定理得逆命题也成立。

17、布拉美古塔（Brahmagupta）定理：

在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边

第五篇：高中数学联赛平面几何定理

①鸡爪定理：设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。

由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2 ∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ 同理，∠ICJ=90° ∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径 ∵AK平分∠BAC ∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB ∴KB=KI ∵IBJC四点共圆 且 KB=KI=KC ∴点K是四边形IBJC的外接圆的圆心（只有圆心满足与圆周上超过三个以上的点的距离相等）∴KB=KI=KJ=KC 鸡爪定理逆定理：设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K。在AK及延长线上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的内部，J在△ABC的外部。则I是△ABC的内心，J是△ABC的旁心。证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。

取△ABC的内心I'和旁心J’，根据定理有KB=KC=KI'=KJ' 又∵KB=KI=KJ ∴I和I'重合，J和J’重合 即I和J分别是内心和旁心。

②蝴蝶定理：设S为圆内弦AB的中点，过S作弦EF和CD。设CF和DE各相交AB于点M和N，则S是MN的中点。

过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF 证法1:霍纳证法

∴ES/CS=ED/FC 根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2 ∴ES/CS=EL/CT 又∵∠E=∠C ∴△ESL∽△CST ∴∠SLN=∠STM ∵S是AB的中点所以OS⊥AB ∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）同理，O，T，M，S四点共圆

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON ∴∠SON=∠SOM ∵OS⊥AB ∴MS=NS ③西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分别连FE、FD、BP、CP.易证P、B、D、F和P、F、C、E分别共圆，（四点共圆）

在PBDF圆内，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圆内∠ABP+∠ACP =180度，∴∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圆内 ∠PFE=∠PCE②

而∠ACP+∠PCE=180°③ ∴∠DFP+∠PFE=180°④，即D、F、E共线。反之，当D、F、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆。④九点圆：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆。作图如下:△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点为N, 垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R(思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°)证明:(由中位线)PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥LD ∴PMDL共圆。

(由中位线)PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR ∴PMRDL五点共圆。PE为Rt△AHE斜边中线 ∴∠PEA=∠PAE 同理∠LEC=∠LCE所以∠PEL=180°—∠ADC ∴∠LEP等于90°

∴PEMRDL六点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径 ∴PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心 下证 九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点

O为外心，OL平行等于AH一半(小定理)所以OL平行等于PH OLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点。

⑤托勒密定理：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, 所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD(2)(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)⑥三弦定理：圆上一点A,引出三条弦AB(左)、AC(右)、及中间弦AD,BC与AD交于P，则： ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。

证明如下;连BD、CD, 由圆的相交弦定理→△ABP∽△CDP→AB/CD=AP/CP→AB·CP=CD·AP→

AB·CP-CD·AP=0→同理→AC·BP-BD·AP=0, 所以有AB(AB·CP-CD·AP)=0, AC(AC·BP-BD·AP)=0,两式相加→AB·AB·CP + AC·AC·BP=AB·CD·AP +AC·BD·AP=AP(AB·CD+AC·BD)=AP·BC·AD⑴(托氏定理)。

由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB/AP), →

(ABsin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB·AB/AP)⑵, 同理有, 由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→(ACsin∠BAP/ sin∠BAC)=(BP/BC)·(AC·AC/AP)⑶, 由⑵+⑶→

(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP)/ sin∠BAC=(AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP,由⑴→

(AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP=AD, 所以(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP)/ sin∠BAC=AD, 所以,ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。证毕。