平方差公式教学案例分析

第一篇：平方差公式教学案例分析

平方差公式教学案例分析

一、设计理念

新课程的一个基本理念就是：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设计，从而提高课堂教学的效率．

把握知识核心是教师课堂设计的前提，只有教师本身对这节课的知识点吃得透，把握得准，然后在围绕着这个中心进行教学设计，这样的教学设计才能为学生创设更加真实的数学学习环境，也能激发学生积极参与的欲望，从而引起学生的兴趣和共鸣． 二 教材分析

（一）教学内容

本节属于《数学课程标准》（修改稿）中“数与代数”领域的内容，是学生在已经学习了多项式乘法的基础上，再一次应用乘法公式对多项式乘法进行简便运算的知识．平方差公式不仅是对乘法公式的进一步补充，它还为后面因式分解学习奠定了基础．

技能目标：掌握平方差公式，会运用平方差公式进行多项式的乘法运算及简便运算．

（二）、核心知识表述

平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．(三)、核心解析

平方差公式是基于多项式乘以多项式的法则而提出的特殊情况下的简便计算的法则，它是一种特殊的多项式乘以多项式．

（四）、教学重点及难点

（1）重点：平方差公式

（2）难点：构造图形来解释平方差公式，需要较强的综合运用数学的能力

（五）、学情分析

学生刚过多项式的乘法，学生在解题时由于思维定势，往往还是用多项式乘法的方法来作这节课的题目，因此在教学中要让学生体验应用平方差公式计算多项式乘法的简便性．

三、教学设计

（一）、创设问题情境引入新课 猜一猜：

（1）在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字（10以内）；（2）计算100与这个数的和，乘以100与这个数的差的积（屏幕打出，给学生半分钟思考、计算的时间）

师：同学们算得很投入，只要告诉我，你运算的结果，我就能马上说出你的幸运数字是几，信吗？并请两位学生来试验．

师：等我们学了今天的知识以后，大家也 能像老师一样，马上猜出其他同学的幸运数字了． [设计意图] 通过游戏使学生产生对新知识的强烈求知欲．在游戏的过程中，学生的思维是活跃的，注意力是高度集中状态，在游戏中能让学生获得知识，发展能力，提高学习兴趣．学生的兴趣和情境一下子被调动起来了，有4—5名已经预习过新课的学生，马上能够摸到题目中的门道，迅速的报出答案． 新课讲解

（二）、新课讲解

引出并推导公式

还记得多项式乘法吗？下面让我们运用多项式的乘法来进行计算：（如果有同类项进行合并）

通过观察思考相乘的两个多项式之间有什么特点？它们相乘的结果有什么规律？

（学生归纳，老师补充）

期望得到结论：1）多项式均为两项；2）这两项有一项相同，有一项互为相反数；3）它们乘积的结果都是这两个数的平方差．

归纳平方差公式： ．

（板书课题：5.4乘法公式——平方差公式）

师：请大家在自己的纸上利用多项式乘法的法则，推导一下这个公式．（学生到黑板上板演推导过程）下面老师这里有4块纸片，下面按图拼成两个不同的图形，我们分别计算出它们的面积：（指导学生通过拼图的方法推导平方差公式）

由左右两个图形面积相等，得 ．通过具体的图形验证，让学生了解和体验公式的几何意义． [设计意图] 通过具体问题，归纳总结出平方差公式

平方差公式是一种特殊的多项式乘以多项式，它可以用多项式乘以多项式的方法来证明．让学生通过推导公式来体验：原来两个二项式相乘他们的积有四项，而现在这两个特殊的二项式相乘，他们的积经过整理以后只有两项，这样大大降低了计算的量．

通过拼图的方式和学生一起探索平方差公式的由来，让学生对公式进行了解．同时给学生渗透数形结合的思想．

1．平方差公式是由多项式乘法直接计算得出的：

与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项．合并同类项后仅得两项．

2．这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差．公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．

只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式．例如

在运用公式的过程中，有时需要变形，例如，两个数就可以看清楚了．

3．关于平方差公式的特征，在学习时应注意：

（1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．

（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．

（3）公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式．

（4）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算．

（三）、教法建议

1．可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养学生观察、概括的能力．

2．通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即

(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．

这样得出平方差公式，并且把这类乘法的实质讲清楚了．

3．通过例题、练习与小结，教会学生如何正确应用平方差公式．这里特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1+2x)(1-2x)，(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2

↓ ↓ ↓ ↓ ↑ ↑

(a + b)(a-b)=a2-b2．

这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错．

另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性．

=1-4x2．

教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．

例2 计算(b2+2a3)(2a3-b2)．，变形为

解：(b2+2a3)(2a3-b2)

＝(2a3+b2)(2a3-b2)

＝(2a3)2-(b2)2

＝4a6-b4．

教师引导学生发现，只需将(b2+2a3)中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算．

课堂练习

运用平方差公式计算：

(l)(x+a)(x-a)；

(2)(m+n)(m-n)；

(3)(a+3b)(a-3b)；

(4)(1-5y)(l+5y)．

例3 计算(-4a-1)(-4a+1)．

让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演．

解法1：(-4a-1)(-4a+1)

=[-(4a+l)][-(4a-l)]

=(4a+1)(4a-l)

=(4a)2-l2

=16a2-1．

解法2：(-4a-l)(-4a+l)

=(-4a)2-l

=16a2-1．

根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果．解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果．采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案．

课堂练习

1．口答下列各题：

(l)(-a+b)(a+b)；

(2)(a-b)(b+a)；

(3)(-a-b)(-a+b)；

(4)(a-b)(-a-b)．

2．计算下列各题：

(1)(4x-5y)(4x+5y)；

(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；

教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法．

三、小结

1．什么是平方差公式？

2．运用公式要注意什么？

(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；

(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形．

四、作业

1．运用平方差公式计算：

(l)(x+2y)(x-2y)；

(2)(2a-3b)(3b+2a)；

(3)(-1+3x)(-1-3x)；

(4)(-2b-5)(2b-5)；

(5)(2x3+15)(2x3-15)；

(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；

2．计算：

(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)；(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)；

第二篇：教学案例-----平方差公式（模版）

鼓舞斗志

高效课堂

白云湖中学

钱玲

在平时的教学过程中，运用激励性的名言警句，从而调动学生学习的积极性、鼓舞学生的斗志是我的教学特色，收到了很好的效果。

我们班的每个学生都有自己的个人激励卡，并且定期更新。全班同学都能脱口而出很多催人奋进的句子，比如：“与其用泪水擦拭明天，不如用汗水拼搏今天”，“知识改变命运，学习成就未来”，“行为决定习惯，习惯形成性格，性格决定命运”，“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”，“每个人的内心深处都有两个自我，一个高尚，一个卑下；一个勇敢一个懦弱；一个善良，一个邪恶；一个勤奋，一个懒惰…...我们要用高尚战胜卑下；用勇敢战胜懦弱；用善良战胜邪恶；用勤奋战胜懒惰……”，“天将降于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，空乏其身，行佛乱其所为，所以动心忍性，增益其所不能。”……

平时我很留意积累名言警句，另外也启发引导学生自己去搜集名言警句。让这些名言警句成为学生的“打气筒”！

在学习《平方差

（一）》这一节课时，我又给同学们如下寄语：“选择逃避，失败会越来越多；选择放弃，借口会越来越多；然而，选择挑战，方法会越来越多；选择拼搏，成功会越来越多！”同学们听了后，倍受鼓舞。同时我让同学们大声的读出老师的这一段寄语。

在老师的激励下，同学们个个斗志昂扬，跃跃欲试，我顺势提出了今天这节课要完成的学习任务、学习目标。

师：老师这里有四道计算题：（1）（x+2）(x-2)

（2）(1+3a)(1-3a)

（3）(x+5y)(x-5y)

（4）(2y+z)(2y-z)谁会做？谁能到黑板上做一下？

同学们大部分都举起了手，很多同学几乎拿出了百米冲刺的架势，我随机点了4名同学上来做题。其他同学不约而同遗憾的“哎”了一声，然后就趴在自己的练习本上“刷刷”的做了起来。

师：看谁做得又快又准确？

师：同学们观察这几个算式，看看等式的左边有什么特征？等式右边的结果有什么特征？

生1：等式左边的多项式都是两项。

生2：等式左边多项式的两项有的项完全相同，有的项只是符号相反。生3：结果是平方差的形式。

生4：右边结果中相同的项的平方都是写在前面，符号相反项的平方都是写在后面。

师：同学们能不能直接口答（a+b）（a-b）结果？ 生：能！结果一定是a2-b2 师：嗯，很好！同学们很棒！那么我们就把（a+b）（a-b）= a2-b2叫做整式乘法的平方差公式。

师：同学们想一下，什么样的两个多项式相乘时用平方差公式？ 生5：两个多项式中有完全相同项。生6：两个多项式中有符号相反项。

生7：一个多项式是两数和，另一个多项式是这两个数的差。

师：那么当我们遇到两数和乘以这两个数的差的时候，就可以直接运用公式，把结果写成这两个数的平方差，但是同学们一定要注意：结果必须是相同项的平方减去相反项的平方。

师：老师相信同学们已经会用刚学的新公式做题了，下面我们小试牛刀，做3道题：

（1）（5+6x）（5-6x）

（2）（x-2y）（x+2y）（3）（-m+n）（-m-n）

选3个“小老师”到黑板上做。

师：同学们有没有注意到，在运用公式时我们还要注意什么？为什么第二个同学做错了？

生8:他没有给2y加上括号。应该是（2y）2

而他写成了2y2 师：第三个题，应该注意什么？

生9：给-m带上括号，不然会写错变成-m2.师：说得很好，希望同学们不但要有勇气、胆量、信心，还更要仔细！“彩虹风雨后，成功细节中”，很多时候“细节决定成败”！

在老师的点拨引导下，同学们在做题的时候大大减少了失误。在后来的当堂检测中，合格率超过了百分之九十。从而做到了“高效课堂-堂堂清”

学生是需要老师的鼓舞打气的，老师要珍惜每一次激励学生的机会，激励学生用知识改变自己的命运，用学习成就自己的未来。让每个学生释放出自己的正能量，绽放出自己的光彩！

第三篇：平方差公式教学反思

平方差公式教学反思 第四中学

孙磊

作为年轻教师的我，今年很荣幸在开学初参加学校数学教研组的讲课活动，我讲课的内容是北师大版七年级下册第一章第七节平方差公式，《平方差公式》是一节公式课，是各位老师非常熟悉的一个课题，对大家更熟悉，我深深感到一种压力。为此，我作了如下努力：

本节课我的设计理念是：遵循“三-四-五“教学模式，重组教材，恰当地创设情境、激发学生对数学的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断发现和提出问题，分析并解决问题，使学生在领悟数学对象本质的同时，真正经历知识的“生长过程”。例如：(1)联旧启新，导入新课里教学设计：计算下列各题，看谁做得又快又准?(1)(3a+1)(3a-1)(2)(x+2)(x-2)(3)(x+5y)(x-5y)(4)(y+3z)(y-3z)通过做这一组有梯度的与推导平方差有关的问题，让学生计算并比速度目的在于激发学生好奇争胜性，为建立公式搭建平台，为学生舒展灵性创设探究空间。(2)抓住学生的好胜性，放手让学生探究、讨论、猜想，凸显学生学习的主体地位。教学设计：由于前面的启发引导，学生的思维正处在活跃阶段，对获得公式的愿望十分强烈，于是引导小组进行讨论、分析公式特征结构。①等式左边的两个多项式有什么特点？学生活动探讨答案。②等式右边的多项式有什么规律？③你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？全班展示交流结果，引导学生得出平方差公式至此平方差公式浮出水面学生找到规律所在。教(3)趁胜追击，维系学生的学习兴趣，高涨学生学习的情绪。教学设计：经过前面的解释，学生对平方差公式有了进一步的理解，个个磨拳擦掌跃跃欲试，于是我出示问题三：此目的让学生熟悉公式，找准a、b，学会公式的应用。接着进一步出示问题，使学生独立思考，巩固公式，学会计算。

计算：

1、（2x+y)(2x-y)=

2、(9x+5y)(9x-5y)= 经过前面两个问题的引导，学生表现出了强烈的自信心，调动了学生的兴趣，接着出示思考问题，进一步激发学生的好奇心和求知欲.新课程倡导课堂应以学生为主体，教师只是引导者、促进者，然而很多时候我们教师却不肯放手，生怕自己不讲，学生就不会。本节课平方差公式的特点描述，以及能不能运用公式计算是难点和关键，所以在处理上但还有一些不足的地方：

(1)学生上台的时间把握的不够好，后面显得有点紧，以至于拔高题没能展示上。

(2)小组讨论后请代表出来发言不够完整时应让其他小组来补充，再由老师引导归纳总结。

（3）作为年轻教师，在贴近学生的基础上，还应该注意课堂教学语言的严谨和规范。多使用标准的数学语言和精确的数学语言。再有欠缺临场经验，以后在教学中我要不断提高处理临时性问题的能力。

（4）提问要明确，本节课中出现个别问题，提问比较模糊，使得学生很难掌握回答的方向。

这次的课堂教学实践给了我很大的启发。我将在以后的教学中不断该进，更好的提高课堂教学效率，更好的应用“三-四-五”教学模式。

第四篇：平方差公式教学反思

12.1.平方差公式教学反思

1.平方差公式的代数形式学生能够利用乘法法则马上推导出来，但是它的几何意义学生较难掌握．因此，在课堂上应该给学生更多的时间，让学生自己动手，亲手拼一拼，动一动手来验证平方差公式．通过拼图的方式和学生一起探索平方差公式的由来，让学生对公式进行了解．同时给学生渗透数形结合的思想．在此环节中各组把归纳总结出来的方法，派中心发言人在班内交流展示，其他组进行补充完善，如果概括的还不够全面，这时教师就要根据学生总结的情况加以引导、点拨、补充，从而使问题的结论正确呈现。

2.让学生体会平方差公式的特点：第一是直接运用公式，第二是交换两个括号或思考括号内各项的位置后再运用公式进行探究，第三个是平方差公式的灵活应用。通过做题学生归纳出平方差公式的运用技巧：

①两个括号内其中一组相同字母的符号相同，另一组相同字母的符号相反才能运用平方差公式；

②运用平方差公式的结果等于符号相同的字母的平方减去符号相反的字母平方．

在此环节中，对于重点难点学生在展示出现问题时，教师要及时地引导、点拨，进行拓展与变化，要在课堂中引起讨论，激发学生的思维，让学生从本质上解决问题。精讲点拨可以由教师讲，也可以由学生讲，是一个归纳、发展与提升的过程。

第五篇：平方差公式教学设计

第一章 整式的乘除平方差公式（第1课时）旧莫初级中学校 陆延艳

教学目标：

1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.教学重点：平方差公式的推导和应用

教学难点：用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式 教学过程

一、复习旧知，引入新课

1、回顾多项式与多项式相乘的运算法则

2、故事引入新课（课件出示

题目略）

二、探索规律，发现结论

1、看谁算得又对又快

计算下列多项式的积,你能发现什么规律?(1)(x+2)(x-2)= ___________;(2)(1+3a)(1－3a)=__________;(3)(x+5y)(x－5y)=_________.观察以上等式的左边与右边,你发现了什么规律？请用一句话归纳总结出等式的特点.2、验证猜想，得出结论 教师安排学生合作学习，分组验证，经历平方差公式推导归纳的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差公式：(a+b)(a−b)＝a2−b2 两数和与两数差的积，等于它们的平方差.三、巩固练习，讲解例题

1、找一找，填一填（用课件出示表格题目，让学生填写，并学会用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式）

2、判断下面计算是否正确

111（1）(x1)(x1)=x2

1（）

222（2）（3x－y）（－3x+y）=9x2－y2

（）（3）（m+n）（－m－n）=m2－n2

（）

3、教学例题

例1 利用平方差公式计算：

（1）（5+6x）（5－6x）；

（2）（x－2y）（x+2y）（3）（－m+n）（－m－n）巩固练习

利用平方差公式计算：

（1）（a+2）（a－2）；

（2）（3a+2b）（3a－2b）

例2 利用平方差公式计算：（1）(11xy)(xy)；

（2）（ab+8）（ab－8）

44巩固练习

利用平方差公式计算：（1）(x11y)(xy)；

（2）（－mn+3）（－mn－3）3

3（四）观察思考、拓展延伸

1、想一想

（a−b）（－a−b）=？你是怎样做的？

2、练一练

计算

1、（5m－n）（－5m－n）

2、（a+b）（a－b）（a2+b2）

（五）当堂达标、自我检测

利用平方差公式计算：（1）（－x－1）（1－x）（2）（0.3x+2y）（0.3x－2y）

111（3）(x)(x)(x2)

4（六）课堂小结、布置作业

1.平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2 公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差.2．应用平方差公式的注意事项： 1）注意平方差公式的适用范围 2）字母a、b可以是数，也可以是整式

3）注意计算过程中的符号和括号

3、作业：

1.教材习题1.9 第1题（2）、（4）、（6）；第2题

2.思考：你能用图形来验证平方差公式吗？