13、1《不等式》教学设计

第一篇：13、1《不等式》教学设计

《不等式》教学设计

教学目标：

知识与技能：理解不等式的定义，能够用不等式表示数量之间的不等关系。过程与方法：经历从具体问题情境中建立不等式模型的过程，发展学生的符号感。

情感态度、价值观：通过从具体问题情境中建立不等式模型的过程，体会数学与生活的密切联系，渗透从生活中学数学，到生活中用数学的思想。.教材分析：

本节主要学习不等式的定义及用不等式表示数量之间的不等关系。教材首先安排了实际生活中不等关系的“观察与思考”；之后围绕生活问题进行“一起探究”列出不等式；接着是“做一做”，通过代入具体数值得出不等式的解集，然后给出不等式的定义；最后是用不等式表示数量之间的不等关系的例题。对于例题中的“不小于”、“至少”等术语，学生可能会弄混淆，可以采用通过结合具体实例理解、小组讨论、师生总结方法等方法，使学生形成正确的认识。

教学重点：

1、理解不等式的定义。

2、能够用不等式表示数量之间的不等关系。教学难点：

“不小于”、“至少”等术语与不等号之间的对应关系。教学流程：

一、创设情境

1、投影出示需要用一元一次方程解决的实际生活问题

有大、小两辆卡车从甲地向乙地运货.大卡车的行驶速度为55km/h，小卡车的行驶速度为65km/h，大卡车比小卡车早出发1h.小卡车开出多少小时后追上大卡车？

师生共同分析，列方程解决问题：

解：设小卡车开出x小时后追上大卡车，根据题意列方程，得： 65x=55(x+1)解得，x=5.5 所以，小卡车开出5.5小时后追上大卡车.2、质疑导入

如果将上面问题中的“追上”二字换成“超过”，如何解答。导出本节课题——不等式。

二、探究新知

（一）解决问题

1、学生思考65x与55(x+1)之间的大小关系，列出不等式

2、小组合作完成“做一做”

3、师生交流。

4、教师给出不等式的定义。

5、教师引导学生深入思考：结合65x=55(x+1)与65x>55(x+1),思考不等式与方程之间的区别。

（1）方程用等号连接，而不等式用不等号连接。

（2）一个方程的解的个数通常是确定的，而不等式的解通常有无数个。

（二）不等式表示数量之间的不等关系的应用

1、出示简单问题，找学生口答。用不等式表示：

（1）y的3倍不于8.（2）m与n的差小于2.2、重点突破难点。

在实际问题中，数量之间的不等关系有可能是“不小于”等。（1）学生思考以下实际生活语句的含义： ①张叔叔的月收入超过2000元 ②李大爷的月收入不足1000元 ③王老师说：“小明这次数学考试你成绩至少80分” ④小明考试结束后，对同学小亮说：“我这次数学考试最多70分”（2）师生交流： 超过→大于；

不足、低于→小于；

至少、不低于、不小于→大于或等于； 最多、不超过、不大于小于或等于； 正数→大于0； 负数→小于0；

非负数→大于或等于0； 非正数→小于或等于0.三、应用新知 用不等式表示：

（1）m与10的和不小于m的一半.（2）汛期，湖水平均每天上涨8cm，现在的水位是340cm，警戒水位是460cm，x天后湖水将超过警戒水平.（3）x与-5的差是非负数.四、当堂检测 基础训练： 用不等式表示：

（1）x的2倍与3的和小于15.（2）y的一半与1的差是正数.（3）x与8的和比x的8倍大.（4）3x与1的和不大于6.（5）长为a，宽为a-2的长方形的面积小于边长为a+1的正方形的面积.能力测试：

小明家距新华书店的路程是8km，他于星期日骑车前往书店购书，上午8：30出发，先以15的速度行驶了x h，后以18km/h的速度行驶，结果，他在9：00之前赶到了书店，请你列出不等式.五、回顾总结

学生谈本节课的收获，教师进行强调。课后反思

本节教学设计有以下两方面的特点：

一、注重衔接知识间的联系，在学生的已有知识经验基础上进行建构新知。本节课一开始，由用一元一次方程解决实际问题引出用不等式表示实际问题中的不等关系。这样处理过渡自然，一方面解决了列不等式的难点，同时也突出了方程与不等式之间的联系。

二、注重联系生活实际，轻松学习数学。

对于“不少于”等术语与不等号之间的对应关系，是本节课的一个难点。本节教学设计通过结合生活语言，理解含义，抽象概括，学生理解起来轻松自然，提高了课堂教学效果。

第二篇：不等式教学设计

§9.1 不等式教学设计 教材分析：

本节内容主要有：不等式及其解集、不等式的性质。教材首先以实际问题为例，结合问题中的不等关系，引出不等式及其解集的概念；然后类比一元一次方程，引出一元一次不等式的概念.为进一步讨论不等式的解法，教材接着对不等式的性质进行了讨论，得出不等式的三个性质，并运用它们解简单的不等式.解不等式就是求出对其中未知数的大小的限制，有了这样的目标，再加上对不等式性质的认识，解不等式的方法就能很自然的产生.这一节的框架结构与一元一次方程的相应部分类似，教学中可以类比方程、等式的性质来讨论不等式、不等式的性质等.【课时分配】2课时 §9.1.1不等式及其解集 【教学重点与难点】

教学重点：正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上.教学难点：正确理解不等式解集的意义.【教学目标】

1.知道不等式概念，能正确表示不等式的解集；

2、经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想.【教学方法】

采用启发诱导、实例探究、小组合作的教学方法，揭示知识的发生和形成过程．这种教学方法以“生动探索”为基础，先“引导发现”，后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的过程中充分发挥自己的观察力、想像力和思维力.【教学过程】

一、创设情境 导入新课

（设计说明：通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，培养学生的观察能力，激发他们的学习兴趣。）

问题：

1、两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏．现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了．这是什么原因呢?

2、一辆匀速行驶的汽车在11：20时距离A地50千米。要在12：00以前驶过A地，车速应该具备什么条件? 分析：若设车速为每小时x千米，能用一个式子表示吗? 从时间上看，这个车速行驶50千米所用时间不到小时，列式为：；从路程上看，以这个车速行驶小时的路程要超过50千米，列式为：.（教学说明：问题1中，原来的平衡状态被破坏了，产生了一种不等关系；问题2中汽车当然是跑得越快越好，但显然汽车的速度又必须在某一个速度以上。如何表示这两种状态呢?我们知道相等关系可以用等式来表示，那么，不等关系又怎样表示呢?引导学生列出，两个式子，像这样的式子叫做不等式，这节课我们来研究不等式的相关知识，由此导入新课。）

二、师生互动，探索新知

（一）不等式、一元一次不等式的概念

1、不等式的定义

问题1：请同学们举出一些不等式的例子，试着给出不等式的定义.如：5〉3，-1〈0，x≠0等都是不等式。用“＜”或“＞”表示大小关系的式子叫做不等式；用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

问题2：用不等式表示下列数量关系：

①a比1大；②x的4倍与5的和是负数；③a是非负数；④x与4的和最多为6；

学生容易列出：①a〉1；②4x＋5〈0；③a0；④x＋46.其中③④可能有点困难，在学生独立思考的基础上，相互讨论得出正确答案。

补充说明：用“”、“”表示不等关系的式子也是不等式。问题3：下列式子中哪些是不等式?(1)a＋b=b＋a(2)-3>-5(3)2m≠n（4）x＋3〈6（5）x1(6)2x-3 很明显（2）、（3）、（4）、（5）是不等式。注意：有些不等式含有未知数，有些不含未知数。

（教学说明：通过实例让学生对不等式有个初步感知，在有了感性认识的基础上举出不等式的例子，再给出不等式的定义，由具体到抽象，层层递进，符合学生的认知规律。为了使不等式的定义更完善，出示了问题2，教师要特别说明“”、“”的含义。

五种不等号的读法及意义：

（1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大哪个小；

（2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大；（3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小；

（4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边“不小于”右边；（5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边“不大于”右边．）

2、一元一次不等式

上述不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数．我们把那些类似于一元一次方程，含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．

（教学说明：

1、一元一次不等式与一元一次方程有很多类似的地方，所以这里采取类比教学的方法学习一元一次不等式；

2、让学生在上述不等式中找出一元一次不等式，特别注意：不是一元一次不等式，因为未知数x在分母中，通过后面有关分式的学习可知，这里x的次数是-1.）

（二）不等式的解、不等式的解集和解不等式

问题1：当x分别取下列数值时，不等式x＋3〈6是否都成立?-4，3.5, 4,-2.5, 3, 0, 2.9 经过学生验证得出并不是所有的数都适合上述不等式.我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如上面问题中-4，-2.5,0,2.9均是不等式x＋3〈6的解，而3.5,4,3则不是不等式x＋3〈6的解。

问题2：你能找出不等式x＋3〈6的其它解吗?它到底有多少个解?你从中发现了什么规律? 讨论后得出：

用小于3的任何数替代x，不等式x＋3〈6 均成立；用大于3或等于3的任何数替代x，不等式x＋3〈6均不成立，这就是说，任何一个小于3的数都是不等式x＋3〈6的解，这样的解有无数个.因此x〈3表示了能使不等式x＋3〈6成立的x的取值范围，叫做不等式x＋3〈6的解的集合，简称不等式x＋3〈6的解集，记作x〈3.最后请学生总结出不等式的解集及解不等式的概念： 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．

（教学说明：让学生充分发表意见，并通过计算、动手验证、动脑思考，初步体会不等式解的意义以及不等式解与方程解的不同之处．处理不等式的解与解集的关系时可以通过一些通俗的事例使学生认识到不等式的解集包括了不等式的全体的解，解集中任何一个数都是不等式的一个解.）

（三）用数轴表示不等式解集

例题： 在数轴上表示下列不等式的解集(1)x>-1;(2)x≥-1;(3)x<-1;(4)x≤-1 分析:按画数轴,定界点,走方向的步骤答 解:

注意:1.有等号画实心圆点,无等号画空心圆圈 2.大于向右走,小于向左走.（教学说明：通过数轴表示，可以直观反映不等式的解集，这正体现了数形结合的思想，通过学习，使学生熟练掌握不等式解集的表示，做到能将解集的数学式子表示与几何图形表示互相“翻译”.）

三、巩固训练，熟练技能：

1、指出下列关系式中的不等式：

（1）1〉0（2）a≤20（3）2y＋1（4）1≠3-4k（5）3x＋20=0

2、用不等式表示下列数量关系(1)a与1的和是正数;(2)y的2倍与1的和大于3;(3)x的一半与x的2倍的和是非正数;(4)c与4的和的30%不大于-2;(5)x除以2的商加上2,至多为5;(6)a与b两数的和的平方不可能大于3.3、下列说法中正确的是()A.x=3是不等式2x>1的解 B.x=3是不等式2x>1的唯一解;C.x=3不是不等式2x>1的解;D.x=3是不等式2x>1的解集

4、如图,表示的是不等式的解集,其中错误的是()

5、在数轴上表示下列不等式的解集(1)x>3(2)x<2(3)y≥-1(4)y≤0(5)x≠4（教学说明：练习1是巩固不等式的定义的，通过这一题让学生对不等式、方程、代数式三个概念辨析清楚；练习2是不等式应用的基础，可以类比列方程和列代数式的方法，来列不等式，关键是把“是正数”“大于”“是非正数”“不大于”等翻译成数学符号.练习3考察了学生对不等式的解和解集的理解，练习4、5考察了不等式的解集在数轴上的表示，是数形结合的体现，注意实心圆点与空心圆圈的区别，向左还是向右画线也要考虑清楚.）

四、总结反思，情意发展

（设计说明：设计了以下三个问题，让学生围绕这三个问题，先反悟，后谈自身的收获和疑问，最后师生共同归纳总结）

1.什么是不等式?什么是不等式的解、不等式的解集和解不等式? 2.不等式的解和不等式的解集有何区别? 3.在数轴上表示不等式解集时应注意什么?（教学说明：通过对以上三个问题的思考引导学生回顾整节课的学习历程，巩固所学知识，不断完善自己的认识，形成完整的知识结构.）

五、课堂小结

1．本节主要学习了不等式、不等式的解和解集、不等式解集的表示方法 2．主要用到的思想方法是类比思想和数形结合思想。3．注意的问题:（1）不等式的解集是个范围，而不等式的解是这个范围中的个体（2）画数轴表示不等式的解集时要注意方向和空心、实心之分．

六、布置课后作业：

1、课本123页练习

2、课本128习题9.1的1、2、3题（教学说明：进一步巩固本节课所学知识.）

七、拓展练习

1、下列数值中哪些是不等式>50的解?哪些不是? 76，73，79，80，74.9，75.1，90，60

2、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来：（1）x＋3>6（2）2x< 8（3）x－2>0

3、不等式x< 5有多少个解?有多少个正整数解?

4、写出一个不等式，使它的某一个解是100.（教学说明：这是一组提高性练习，练习3可以借助数轴来理解，这样形象直观，练习4是个开放性题，答案不唯一，只要满足某一个解是100即可.）

【评价与反思】

本课设置了丰富的实际情境，比如跷跷板游戏、爆破问题等，研究这些问题，可以使学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效模型．

教学中要突出知识之间的内在联系．不等式与方程一样，都是反映客观事物变化规律及其关系的模型．在教学中，类比已经学过的方程知识，引导学生自己去探索、发现、甄别，从而得出一元一次不等式、不等式的解与解集的意义．

教学过程也是学生的认知过程，只有学生积极地参与教学活动才能收到良好的效果．因此，本课采用启发诱导、实例探究、讲练结合的教学方法，揭示知识的发生和形成过程．这种教学方法以“生动探索”为基础，先“引导发现”，后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的过程中充分发挥自己的观察力、想像力和思维力，再加上多媒体的运用，使学生真正成为学习的主体。

第三篇：不等式教学设计

9.1 不等式

教材分析：本课由实际问题中的不等关系引出不等式的概念；类比方程的解，明确不等式解和解集的概念，以及不等式解集的两种表示方法。

教学目标：了解不等式概念，理解不等式的解和解集。教学重难点：不等式及解集概念的理解。教学过程： 一：引出新知。

现实世界中存在大量的数量关系，包括相等关系和不等关系。用等式（包括方程），我们可以研究相等关系，而研究不等关系需要用本章的不等式，如引言中选择购物商场问题.二：探索新知。

问题1 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 km，要在12：00之前驶过A地.你能用式子表示出车速应满足的条件吗？

1、汽车在12:00之前驶过A地的意思是什么？ 从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则 以这个速度行驶50 km所用的时间不到。

从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶的路程要超过50 km。

2、如何用式子表示以上不等关系？ 设：车速为x km/h． 从时间上看： 从路程上看：

（1）对于不等式 而言，车速可以是80 km/h吗？78 km/h呢？75 km/h呢？72 km/h呢？

（2）类比方程的解，什么叫不等式的解？

使不等式成立的未知数的值.（3）不等式还有其他解吗？如果有，这些解应满足什么条件？

一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．（4）除了用不等式表示取值范围，还有其他表示方法吗？ 数轴

三、运用新知。例1 请用不等式表示：

（1）是负数；

（2）与5的和小于-7；

（3）的一半大于3.例2 直接说出不等式的解集，并在数轴上表

示出来.四、归纳总结（1）什么叫不等式？

（2）什么叫不等式的解？不等式的解和方程的解的区别？（3）什么叫不等式的解集？不等式的解和不等式的解集的区别？

五、布置作业

教科书习题9.1 第1、2、3题。

第四篇：均值不等式教学设计

3.2均值不等式

教学目标

（一）知识与技能：明确均值不等式及其使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题.（二）过程与方法：通过对问题主动探究,实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程.（三）情感态度与价值观：通过问题的解决以及自身的探索研究领略获取新知的喜悦.教学重点：均值不等式的推导与证明，均值不等式的应用.教学难点：均值不等式的应用 教学过程

创设情境如图,AB是圆的直径，D是CAB上与A、B不重合的一点，AD=a,DB=b,过点D作垂直于AB的弦CD，连AC,BC,AaODbB则CD=＿＿,半径OC=＿＿＿＿E 讨论 :(1)CD OC(2)文字叙述（几何意义）：(3)试用含a、b的表达式来表示上述关系 注意：（1）当 时，(2)a、b的取值范围

探求新知：均值不等式的内容及证明

均值定理：

证明：（比较作差法）

变形应用：（1）

（2）

讨论释疑：

牛刀小试：已知x0,则x1x 例

1、已知ab0，求证：baab2并推导出式中等号成立的条件

例

2、求函数f(x)x22x3x(x0)的最值，以及此时x的值

精炼巩固：

t2 1.设t0,则函数f(t)4t1的最小值为此时t的值 2.已知正数a,b满足ab1,则ab有最值为

点拨提高：

总结本节课的你的收获。

课堂小测：.已知正数a,b满足ab1,则1a1b有最值为。2.设x3,则函数f(x)(x3)2x3的最小值为此时x的值3.已知a、bR,求证：(a11a)(bb)4

课堂小测：.已知正数a,b满足ab1,则1a1b有最值为。2.设x3,则函数f(x)(x3)2x3的最小值为此时x的值3.已知a、bR,求证：(a11a)(bb)4

课堂小测：

.已知正数a,b满足ab1,则1a1b有最值为。2.设x3,则函数f(x)(x3)2x3的最小值为此时x的值3.已知a、bR,求证：(a11a)(bb)4

课堂小测：

.已知正数a,b满足ab1,则1a1b有最值为。2.设x3,则函数f(x)(x3)2x3的最小值为此时x的值3.已知a、bR,求证：(a11a)(bb)4

第五篇：基本不等式教学设计

基本不等式教学设计

10141510244 数学与应用数学 钟林

课题：人教A版必修5第3章4节，基本不等式

【教学目标】

1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想。

2.进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力。3.结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想。

4.借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生

ab领会运用基本不等式ab的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最

2值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

【重点难点】

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式abab的证明过程。

2难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。

【教学设计】

（一）问题导入

欣赏2002年国际数学家大会会徽，会徽是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能发现它是什么图形构成的吗？请根据会徽探索一些常见相等或不等关系。

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，a,b。

22ab那么正方形的边长为。

于是，4个直角三角形的面积之和S12ab。正方形的面积S2a2b2。由图可知S2S1，即a2b22ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形EFGH缩为一个点，这时 a2b22ab

所以a2b22ab。

探究二：如下图所示的梯形中，EF是梯形ABCD的中位线，梯形ABGH相似于梯 形GHDC。

梯形ABCD的上底是a，下底是b。让同学们自主研究GH和EF的大小关系。

ab因为EF是中位线，所以EF，2由相似，可以得出GHab，同样因为相似，有

AGABa，GDGHb又因为ab，所以AGGD，即AGAE，ab。2显然，当AB逐渐趋近CD的时候，GH也逐渐向EF靠近，当AB=CD的时候，即ABCD是矩形的时候，GH与EF重合。

ab即，当且仅当ab时，ab。

2ab所以，ab，当且仅当ab时，等号成立。

2所以GHEF,即ab

（二）概念深入

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：

若a,bR，则a2b22ab。（当且仅当a=b时，等号成立）

ab。（当且仅当a=b时，等号成立）2请同学们运用代数法证明： 作法一（作差法）： 若a,bR，则aba2b22ab(ab)20ab2ab22

当且仅当a=b时，等号成立。且发现这里且a和b可以是全体实数、单项式、多项式。

作法二（分析法）：

要证明abab，2只需证明ab2ab，即证ab-2ab0，即为a-b20，该式显然成立，所以，当ab时取等号。

于是有这样的结论：

称ab为a,b的几何平均数；称基本不等式abab为a,b的算术平均数，2ab又可叙述为： 2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

作法三（几何法）：

如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b．过点C作 垂直于AB的弦DE，连接AD,BD。从而有CDab,ODab。2ab。2ab当且仅当C点与圆心O点重合时，即a=b时，ab

2故再次证明：

aba0,b0,ab，当且仅当a=b时，等号成立。

2ab也说明了ab的几何意义：半径不小于半弦。

2由于直角三角形COD中，直角边CD<斜边OD，即ab

（三）例题讲解

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）

对于x,yR，（1）若xyp（定值），则当且仅当xy时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当xy时，xy有最大值。

4（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神。）

1例2.求yx(x0)的值域。

x1变式1.若x2，求x的最小值．

x21在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示yx(x0)的函数

x图象，使学生再次感受数形结合的数学思想。

ab并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式ab的三个限制

2条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

（四）归纳小结&课后作业 基本不等式：

若a,bR，则a2b22ab。（当且仅当a=b时，等号成立）

ab。（当且仅当a=b时，等号成立）2（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法。

作业：A组第4题，B组第1题，第2题

若a,bR，则ab