对数函数的图像与性质教案

第一篇：对数函数的图像与性质教案

对数函数的图象与性质（第一课时）

数学科组 林荣界

一、教学目的：

1．了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系； 2．会求对数函数的定义域；

3．渗透类比应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力

二、教学重点：对数函数的图象与性质

三、教学难点：对数函数与指数函数间的关系.四、教学过程：

第二篇：《对数函数的图像与性质》说课稿

作为一名教学工作者，常常需要准备说课稿，说课稿有助于提高教师理论素养和驾驭教材的能力。怎样写说课稿才更能起到其作用呢？以下是小编精心整理的《对数函数的图像与性质》说课稿，欢迎大家分享。《对数函数的图像与性质》说课稿1

一、说教材

1、教材的地位和作用

函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本函数之一．本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数在生产、生活实践中都有许多应用．本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数等提供了必要的基础知识．

2、教学目标的确定及依据

根据教学大纲要求，结合教材，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：

(1)知识目标：掌握对数函数的图像与性质；初步学会用

对数函数的性质解决简单的问题．

(2)能力目标：渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法，培养学生观察、分析、归纳等逻辑思维能力．

(3)情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流，培养学生严谨的科学态度，欣赏数学的精确和美妙之处，调动学生学习数学的积极性．

3、教学重点与难点

重点：对数函数的图像与性质．

难点：对数函数性质中对于在《对数函数的图像与性质》说课稿与《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况函数值的不同变化．

二、说教法

学生在整个教学过程中始终是认知的主体和发展的主体，教师作为学生学习的指导者，应充分地调动学生学习的积极性和主动性，有效地渗透数学思想方法．根据这样的原则和所要完成的教学目标，对于本节课我主要考虑了以下两个方面：

1、教学方法：

(1)启发引导学生观察、联想、思考、分析、归纳；

(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法；

(3)渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法．

(4)用探究性教学、提问式教学和分层教学

2、教学手段：

计算机多媒体辅助教学．

三、说学法

“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身．本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

(1)探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出对数函数的图像与性质。

(2)主动式学习：学生自己归纳得出对数函数的图像与性质。

四、说教程

1、温故知新

我通过复习y＝log2x和y＝log0.5x的图像，让学生熟悉两个具体的对数函数的图像。

设计意图：这与本节内容有密切关系，有利于引出新课．为学生理解新知清除了障碍，有意识地培养学生分析问题的能力．

2、探求新知

研究对数函数的图像与性质．关键是学生自主的对函数《对数函数的图像与性质》说课稿和《对数函数的图像与性质》说课稿的图像分析归纳，引导学生填写表格(该表格一列填有《对数函数的图像与性质》说课稿在《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况下的图像与性质)，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，归纳总结出《对数函数的图像与性质》说课稿的图像与性质．

在学生得出对数函数的图像和性质后，教师再加以升华，强调“数形结合”记忆其性质,做到“心中有图”．另外，对于对数函数的性质3和性质4在用多媒体演示时,有意识地用(1)(2)进行分类表示,培养学生的分类意识．

设计意图：教师建立了一个有助于学生进行独立探究的情境，学生通过观察、联想、思考、分析、探索，在此过程中，这充分体现了探究定向性学习和主动合作式学习．

3、课堂研究，巩固应用

例1主要利用对数函数《对数函数的图像与性质》说课稿的定义域是《对数函数的图像与性质》说课稿来求解．

例2利用对数函数的单调性，比较两个同底对数值的大小．在这个例题中，注意第三小题的点拨，选择和中间量0或1比较，第四小题要分底数《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况．

例3 解对数不等式，实际是例2的一种逆向运算，已知对数值的大小，比较真数，任然要使用对数函数的单调性。

设计意图：通过这个环节学生可以加深对本节知识的理解和运用，在此过程中充

分体现了数形结合和分类讨论的数学思想方法．同时为课外研究题的解决提供了必要条件,为学生今后进一步学习对数不等式埋下伏笔．

4、巩固练习

使学生学会知识的迁移,两个练习紧扣本节内容，利用课堂研究中体现的重要的数形结合和分类讨论的数学思想方法，学生课后完全有能力解决这个问题．

5、课堂小结

引导学生进行知识回顾，使学生对本节课有一个整体把握．从两方面进行小结：

(1)掌握对数函数的图像与性质，体会数形结合的思想方法；

(2)会利用对数函数的性质比较两个同底对数值的大小，初步学会对数不等式的解法，体会分类讨论的思想方法．

6、作业：p97习题3，4，5

选做题 6题

一、说教材

1、教材的地位和作用

函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一.本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解.对数函数在生产、生活实践中都有许多应用.本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识.2、教学目标的确定及依据

根据教学大纲要求，结合教材，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：

(1)知识目标：理解对数函数的意义;掌握对数函数的图像与性质;初步学会用对数函数的性质解决简单的问题.(2)能力目标：渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法，培养学生观察、分析、归纳等逻辑思维能力.(3)情感目标：通过指数函数和对数函数在图像与性质上的对比，使学生欣赏数学的精确和美妙之处，调动学生学习数学的积极性.3、教学重点与难点

重点：对数函数的意义、图像与性质.难点：对数函数性质中对于在a>1与0

二、说教法

学生在整个教学过程中始终是认知的主体和发展的主体，教师作为学生学习的指导者，应充分地调动学生学习的积极性和主动性，有效地渗透数学思想方法.根据这样的原则和所要完成的教学目标，对于本节课我主要考虑了以下两个方面：

1、教学方法：

(1)启发引导学生实验、观察、联想、思考、分析、归纳;

(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法;

(3)渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法.2、教学手段：

计算机多媒体辅助教学.三、说学法

“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身.本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

(1)类比学习：与指数函数类比学习对数函数的图像与性质.(2)探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出对数函数的图像与性质.(3)主动合作式学习：学生在归纳得出对数函数的图像与性质时，通过小组讨论，使问题得以圆满解决.

一、说教材：

1。教材的内容、地位及编排依据

［内容、地位］本节教材内容主要研究： ⑴对数函数的图象及其基本性质;⑵利用对数函数的图象及其性质来解决一些与对数有关的问题。这节教学内容是在学生学过函数的基本性质、指数、指数函数以及对数的基础上再来学习的，可以说它是上述内容的延续和发展，同时也为数学在实际应用中提供了一种新的`函数模型。因此本节内容起到了一种承上启下的作用。

［编排依据］主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力。

2。教学目标的确定和确定目标的依据

根据对数函数及其相关知识历来在高考中的地位以及新课程标准的要求、学生的认知水平，确定教学目标如下：

（1）知识目标：使学生理解对数函数的定义并了解其图象的特点；

（2）能力目标：培养学生动手操作的能力以及自主探究数学问题的素养；

（3）德育目标：培养学生勇于探索和创新的精神以及优化他们的个性品质；

（4）情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流。

3。教学的重点、难点、关键： ［重点］掌握对数函数的概念及其图象，使学生能初步自觉地、有意识地利用图象研究对数函数的性质。［难点］理解和掌握对数函数的概念，图象特征，区分01和a1不同条件下的性质。［关键］认识底数a与对数函数图象之间的关系。

二、说教法与学法

教法：1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足。因此本节课采用探究性教学、提问式教学和分层教学。2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持，同时也为了培养学生的动手操作能力，所以采用计算机辅助教学，以突出重点和突破难点。

学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了三种学法：

（1）自主性学习法：根据作图的常规方法画出对数函数的图象；

（2）探究性学习法：通过分析、探索得出对数函数的性质；

（3）巩固反馈法：检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。

三、采用教具：

多媒体辅助教学

1通过flash软件直观的呈现出对数函数的图象，使学生对其有丰富的感性认识；

2为学生展现自己的才华提供了平台。

四、说教学程序

1、导入新课：

由2。2。1的例题6（即考古学家是如何估算出土文物或古遗址的年代）引入，让学生利用计算器计算并填写下表。略

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8.《对数函数的性质》教学反思

9.对数函数的性质教学反思

第三篇：指数函数和对数函数性质与图像的练习题解读

指数函数和对数函数性质与图像的练习题

指数函数的性质与图像

一、选择题

1、使x2＞x3成立的x的取值范围是（）

A．x＜1且x≠0 C．x＞1

a

b

cB．0＜x＜1 D．x＜1

d

2、若四个幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是（）

A．d＞c＞b＞a

B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b

D．a＞b＞d＞c

3、在函数y＝

132，y＝2x，y＝x＋x，y＝1中，幂函数有（）2x

B．1个

xA．0个

C．2个

D．3个

4、如果函数f（x）＝（a2－1）在R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）

A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2

C．｜a｜＞3

D．1＜｜a｜＜2

x－

25、函数y＝a

＋1（a＞0，a≠1）的图象必经过点（）

B．（1，1）

C．（2，0）

D．（2，2）A．（0，1）

x6、函数y＝a在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y＝3ax－1在［0，1］上的最大值是（）

A．6

xB．1

C．3

D．

27、设f（x）＝()，x∈R，那么f（x）是（）

A．奇函数且在（0，＋∞）上是增函数

B．偶函数且在（0，＋∞）上是增函数

C．函数且在（0，＋∞）上是减函数

D．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数

8、下列函数中值域为正实数的是（）

A．y＝512x1

2B．y＝()

31x

C．y＝()－1 12x

D．y＝1－2x

9、函数y＝ －x＋1＋2的图象可以由函数y＝（1x）的图象经过怎样的平移得到（）2A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

10、在图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝（bx）的图象只可为（）a

11、若－1＜x＜0，则不等式中成立的是（）

A．5＜5＜0.5xx－xxx x

B．5＜0.5＜5 D．0.5＜5＜

5x

－x

xx－xC．5＜5－＜0.5

x

二、填空题

12、函数y＝－2－x的图象一定过____象限．

x－113、函数f（x）＝a14、函数y＝3－x＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是___________．

与__________的图象关于y轴对称．

1x2115、已知函数f（x）＝()

3三、解答题

16、已知幂函数f（x）＝x，其定义域是____________，值域是___________．

13p2p22（p∈Z）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）．

对数函数的性质与图像

一、选择题

1、log5(a)2（a≠0）化简得结果是（）

B．a2

12A．－a

C．｜a｜

D．a

2、log7［log3（log2x）］＝0，则x

A．

等于（）

C．B．

12312

2D．

133

3、log

n1n（n＋1－n）等于（）

B．－1

C．2

D．－2 A．1

1)的定义域是（）

4、函数f（x）＝log1(x－ A．（1，＋∞）C．（－∞，2）

B．（2，＋∞），2] D．（15、函数y＝log1（x2－3x＋2）的单调递减区间是（）A．（－∞，1）C．（－∞，B．（2，＋∞）D．（3）

23，＋∞）

26、若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，则

A．4

C．1或4

y的值为（）x

1B．1或

D．

47、若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝log2a（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（）

A．（0，C．（1）

2B．（0，1）21，＋∞）

D．（0，＋∞）228、函数y＝lg（－1）的图象关于（）

1－x

A．y轴对称

C．原点对称

B．x轴对称 D．直线y＝x对称

二、填空题

9、若logax＝logby＝－则xy＝________．

10、若lg2＝a，lg3＝b，则log512＝________．

11、若3＝2，则log38－2log36＝__________．

12、已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．

13、函数f（x）的图象与g（x）＝（单调递减区间为______．

14、已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（则不等式f（log4x）的解集是______．

三、解答题

15、求函数y＝log1（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．

31logc2，a，b，c均为不等于1的正数，且x＞0，y＞0，c＝ab，2a

1x）的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）的31）＝0，216、设函数f（x）＝23－2x＋lg，3x＋53＋2x

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；

（3）已知函数f（x）的反函数f1（x），问函数y＝f1（x）的图象与x轴有交点吗?

－

－

若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．

第四篇：对数函数及其性质

对数函数及其性质（说课稿）

2.2对数函数及其性质

各位老师，大家好！今天我说课的内容是人教版必修

（一）对数函数及其性质第一课时,下面，我将从教材分析、教法分析、学法分析、教辅手段、教学过程、板书设计等六个方面对本课时的教学设计进行说明.一、教材分析

1、教材的地位和作用

函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一．本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的拓展和延伸，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识．

2、教学目标的确定及依据

结合课程标准的要求，参照教材的安排，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，我制定了如下的教学目标：

(1)知识与技能：进一步理解对数函数的意义，掌握对数函数的图像与性质，初步利用对数函数的图像与性质来解决简单的问题。

(2)过程与方法：经历探究对数函数的图像与性质的过程，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力；渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法。

(3)情感、态度与价值观：在活动过程中培养学生的数学应用意识，感受获得成功后的喜悦心情，养成积极合作、大胆交流、虚心学习的良好品质。

3、教学重点与难点

重点：对数函数的意义、图像与性质．

难点：对数函数性质中对于在 与 两种情况函数值的不同变化．

二、教法分析

本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础，鉴于这种情况，安排教学时，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，并在教学过程中渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法。

三、学法分析

本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

(1)类比学习：与指数函数类比学习对数函数的图像与性质．

(2)探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出对数函数的图像与性质．

四、教辅手段

以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主，以多媒体演示为辅的教学方法进行教学。

五、教学过程

根据新课标我将本节课分为下列五个环节：创设情境，引入新课；探究新知，加深理解 ；讲解例题，强化应用；归纳小结，巩固双基；布置作业，提高升华。

（一）创设情境，引入新课

本节课我是从在指数函数一节曾经做过的一道习题入手的。这样以旧代新逐层递近，不仅使学生易懂而且还体现了指对函数间的密切关系。我的引题是这样的： 引题：一个细胞由一个分裂成两个，两个分裂成四个„„依此类推，（1）求这样的一个细胞分裂的次数x与细胞个数y之间的函数关系式。（2）256个细胞是这个细胞经过几次分裂得到的？那么要得到1万，10万„个第一问学生很容易得出是指数函数：y=2x。再看第二问，通过思考学生分析出这是个已知细胞个数求分裂次数的问题即：已知y求x的问题，即:x=log2y,紧接着问学生：这是一个函数吗？将知识迁移到函数的定义，即对于任意一个y是否都有唯一的x与之相对应，为了方便学生理解，可以借助指数函数图像加以解释。得出x=log2y是一个函数，但它又和我们平时所见过的函数形式上不一样，我们习惯上用x来表示自变量，y来表示函数，所以可将它改写成y=log2x，这样的函数称为对数函数。这便引出了本节课的课题。

这样设计不仅学生容易接受而且虽然在过程中没有用反函数的概念，但却体现了求指数函数反函数的过程，这为后面学习反函数的概念做了铺垫。由于有了之前学习指数函数的基础，学生很容易就可归纳总结出：对数函数的一般形式：y=logax(a>0且a≠1)，并求出定义域（0，+∞）。由于对数函数是形式定义，所以让学生记住这个形式是由为重要的，可以让学生观察解析式的特点并可归纳总结出三条：

1、对数符号前系数为1；

2、底数是不为0的正常数；

3、真数是一个自变量x的形式。为了加深学生的记忆，我这里安排了一道辨析题：判断下列函数是否为对数函数：

这样学生就对对数函数的概念有了更准确的认知与理解。

（二）探究新知，加强理解

得到了对数函数的解析式，学生自然而然就会想到该研究它的图像了。我的想法是这样的：一方面描点法画图是学生需要熟练掌握的一类重要的画图方法，而且学生对自己画出的图像和归纳总结的知识记忆会更加深刻，所以我决定将课堂交给学生让他们自主探究，然后同学间互相讨论，并根据图像归纳出对数函数的性质。另一方面，研究对数函数图像主要是研究底数a对图像的影响，以及底数互为倒数的两个函数图像间的关系。所以我将所研究的问题分为以下3组：第一组：和 第二组： 和 第三组： 和。并且我将全班学生每6人分为一组，由组长负责分配，每个学习小组要把这3组图都画出来，画完后，组内讨论各组图像间的关系或特点并归纳总结出来。这样做的好处是：

1、可以大大节省画图时间，提高课堂效率；

2、这样相当于全班每一位同学，都对对数函数的这三组图像有了初步的感性认识，3、培养了学生团结协作，归纳总结及交流的能力。讨论完后，让几个组的学生代表将本组所画图像及归纳总结的规律用实物投影一一展示，教师将学生归纳总结出的共性的规律提炼出来，并问学生：这是通过具体的对数函数总结出的规律。那么是否适用于一般的情况呢？这时就需要教师用多媒体演示来辅助教学了。我是用几何画板做了一个底数a变化时图像也随着变化的课件。通过底数a的变化，会出现不同的对数函数图像，学生会发现无论a怎样变化，图像的特点与由特殊函数总结出的规律一样，所以可以由特殊推出一般结论。还可以得出对数函数图像其实分为以下两类：a>1和0

a>1 0

图

像

定义域

（0，+∞）值域

R 单调性

在 上为增函数

在 上为减函数 奇偶性

非奇非偶函数

至此，对数函数的图像及性质就由教师引导，学生自主探究归纳总结出来。下面 就是应用性质来解题了。

（三）讲解例题，强化应用 在这一部分我安排了2道例题。例1：求下列函数的定义域: 例2：比较下列各组数中的两个值的大小: 例1是对对数型函数定义域的考查。目的是让学生掌握形如：的函数求定义域只需f(x)>0即可。例2是比较两个对数值大小的问题。前两道题是直接利用函数单调性来比较，第3道题是为了让学生注意当底数不确定时，要有分类讨论的意识，第4道题是更上一层，底数真数都不相同时应如何处理，这四道题是层层深入，逐渐加深难度，通过这种变式教学可充分调动学生的解题积极性，调动他们的思维。

（四）归纳小结，巩固双基

归纳小结是巩固新知不可缺少的环节。本节课我让学生自主归纳，目的是培养学生的概括能力、语言表达能力，还能使学生将本节课的知识做简要的回顾。然后教师再将学生的发言做最后的小节。可以总结为：

在知识方面：（1）学习了对数函数的图像及其性质；（2）会应用对数函数的知识求定义域；（3）会利用对数函数单调性比较两个对数的大小。

思想方法方面:体会了类比、由特殊到一般、分类与整合、分类讨论的思想方法。

（五）布置作业，提高升华

最后一个环节是布置作业，这是一节课提高升华的过程，也是检验学生是否掌握了本节课的知识和思想方法的关键。本节课我安排了两个作业。必做题和思考题，其中思考题是让学生思考既然本节课我们一直是通过指数函数来研究对数函数的，那么他们之间有怎样的关系呢？

通过以上各个环节，不仅学生掌握了对数函数的定义与性质，还调动了学生自主探究与人合作的学习积极性，很好地完成了教学任务。

第五篇：三角函数的图像与性质 教案

三角函数的图象与性质

教学目标

1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质．

2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、3．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．

重点难点

重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题．

难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度．

教学过程

三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 1．三角函数的定义域

这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在y轴上的角．

函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角．

(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 例

1求下列函数的定义域：

π](k∈Z)．

形使函数定义域扩大． 的某些区间与-3≤x≤3的交集不空，这些区间可以通过k取特殊值得到．注意不要遗漏．

(3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果)．

是

[

]

所以选C． 2．三角函数的值域

(1)由|sinx|≤

1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥

1、|secx|≥1．

(2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． 常用的一些函数的值域要熟记．

③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)． 例

4求下列函数的值域：

(2)y=3cos2x+4sinx ①x∈R；

④x是三有形的一个内角．(3)y=cosx(sinx+cosx)；

(5)y=sin(20°-x)+cos(50°+x)．

若把上式中的sinx换成cosx，解法、答案均与上面相同．

sinx=0时，ymax=3，所以y∈[-4，3]；

(5)解法一

将cos(50°+x)变为sin(40°-x)，和差化积得 y=2sin(30°-x)·cos10°∈[-2cos10°，2cos10°]．

解法二

用正弦、余弦的两角和与差的公式展开，得 y=(sin20°cosx-cos20°sinx)+(cos50°cosx-sin50°sinx)=(sin20°+cos50°)cosx-(cos20°+sin50°)sinx =(sin20°+sin40°)cosx-(sin70°+sin50°)sinx =2sin30°·cos10°·cosx-2sin60°·cos10°·sinx

=2cos10°·sin(30°-x)∈[-2cos10°，2cos10°]．

评述

以上是求三角函数值域的几种基本情况，它们的共同点在于，经过三角变换，都要转化为四种基本三角函数的值域．

求tanβ的最大值．

解

α为锐角，tanα＞0，所以

3．三角函数的周期性

(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：

①周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f(x)的周期．

②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值． 因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π．

同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π．

因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π．

同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π．

(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用

①函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接．

②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化．

③因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可．

例6 求下列函数的周期：

上式对定义域中任一个x成立，所以T=π；

4．三角函数的奇偶性，单调性

研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间．

[

]

A．②

B．①②

C．②③

D．①②③

原点不对称，所以函数①既非奇函数又非偶函数；②因为f(-x)=-f(x)，所

但是周期函数，T=2π．因此选C．

评述

在判定函数是奇函数或是偶函数时，一定要注意函数的定义域，一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称．因此对①，不能根据f(-x)+f(x)=0就判定①为奇函数．

原来的函数既不是奇函数，也不是偶函数．因此在研究函数性质时，若将函数变形，必须保持变形后的函数与原来的函数是同一个函数，例8

给出4个式子：①sin2＞cos2＞tan2；②sin2＞sin3＞sin4；③tan1＞sin1＞cos1；④cos1＞cos2＞cos3．正确的序号是______．

而(0，π)是y=cosx的递减区间，所以④正确．

例9

函数y=-cosx-sin2x在[-π，π)的递增区间是______．

评述

研究函数的性质首先要注意函数的定义域．

[

] A．是增函数

B．是减函数

C．可以取得最大值M

D．可以取得最小值-M

5．三角函数的图象

(1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象．

(2)函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx

图象的对称中心分别为

∈Z)的直线．

例1

2画出下列函数在一个周期的图象：

解(1)T=π．

如图10．

(2)T=2π．如图11．

[

]

最大或最小值的即是，所以选A．

(4)三角函数图象的平移变换，伸缩变换．

一个周期的图象，则图象的解析式为______．

还可以这样研究：

二、综合题分析

例17

方程sinx=log20x根的个数是______．

分析

在同一坐标系中作出y=sinx、y=log20x的图象．

(2π，4π)，(4π，6π)中，两图象分别有1个、2个、2个交点，因此方程根的个数为5个．

例18

已知函数y=sinx·cosx

+sinx+cosx，求y的最大、最小值及取得最大、最小值时的x值．

解

令sinx+cosx=t．

(k∈Z)时，ymin=-1；

求：(1)函数的取值范围；

(2)函数的递减区间． 解

sin3x·sin3x+cos3x·cos3x

实数．

π](k∈Z)． 的最小正周期．

有一动点P，过P引平行于OB的直线交OA于Q，求△POQ面积的最大值及此时P点的位置．

解

如图13．

设∠POB=θ∈(0°，120°)，则∠QPO=θ．

能力训练

2．设θ是第二象限角，则必有

[

]

[

]

A．y=tanx

B．y=cos2x

4．函数f(cosC)=cos2C-3cosC，则f(sinC)的值域是

[

]

5．(1)函数y=cos(tanx)的定义域是______，值域是______；

(7)设a=tan48°+cot48°，b=sin48°+cos48°，c=tan48°+cos48°，d=cot48°+sin48°．将a，b，c，d从小到大排列的结果是______．

6．将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标扩大两倍，纵坐标不变，然 的图象完全相同，则函数y=f(x)的表达式是______．

7．(1)已知sinα+sinβ=1，则cosα+cosβ的取值范围是______；(2)已知3sin2α+2sin2β=2sinα，则sin2α+sin2β的取值范围是______． 8．求下列函数的周期：(1)y=cot2x-cotx；

(3)y=cos3x·cos3x-sin3x·sin3x．

9．求函数y=sin4x+cos4x-2cos2x的周期、最大值和最小值．

11．设f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)，求使f(x)为偶函数的充分必要条件．

数a的取值范围．

实数m的取值范围．

答案提示

1．B

2．C

3．D

4．B

(3)奇函数，R

(7)d-b=cot48°-cos48°=tan42°-sin42°＞0，所以d＞b；c-

7．(1)设cosα+cosβ=x，则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=2+2cos(α

3]

11．sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ)=sin(x+θ)+sin(x-θ)

-2sinx·sinθ=2sinx·cosθ

cos(x+θ)-cos(x-θ)-sinθ=cosθ

14．设sinθ=t∈[0，1]，题目变成t2-2mt+2m+1＞0对t∈[0，1]

设计说明

三角函数的每一条性质都要求记忆和理解，每一个函数的图象也要求熟练掌握，因此在复习时，首先以一些小题为主，使学生把每一条性质都弄清楚．由于在研究性质时必然要涉及三角变换，而这一点对学生来说是难点，所以在复习时不要由于三角变换削弱了性质的复习．

在复习这部分内容时，应抓住核心的两点：三角函数的图象和三角函数的周期性．