角的概念的推广(教学设计)（5篇）

第一篇：角的概念的推广(教学设计)

§2 角的概念的推广

【教学目标】

1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角；

2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法； 3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法.【教学重点】

1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念； 2.初步学会终边相同的角的表示方法.【教学难点】

终边相同的角的集合的表示方法.【教学方法】

六环节分层导学法

【课前准备】

（学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查.学生预习教材P6-8相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线.（小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，共同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。

（检查反馈）

学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题： 1)书写不够规范，角的单位“°”容易漏写； 2)思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件； 3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练； 4)概念辨析缺乏方法.完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠.【教学过程】

一、导入新课

初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题：（1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？（2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？（3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？

（4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？ 学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念.教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性.之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角.【板书】角的概念的推广

二、展示评价

学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价.展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题.三、导引探究

教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法.探究1：判断角所在象限

例1 在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：

（1）480°；

（2）-760°；

（3）932°；

归纳小结：判断角α所在象限的方法：先在0°~360°之间，找出与所求角终边相同的角β，因为α与β终边相同，因此只需判断角β所在象限，即为角α所在象限.跟踪训练1：象限角的概念：

第一象限角的集合可表示为____________

______； 第二象限角的集合可表示为_________

________ _； 第三象限角的集合可表示为

； 第四象限角的集合可表示为

.跟踪训练2：锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？ 探究2：终边相同的角的表示方法

例2 写出与60°终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素写出来.归纳小结：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合

S={β|β=α+k×360°，k∈Z}.跟踪训练3：在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用0°~360°表示）

四、当堂检测

学生独立完成导学案巩固提高部分，教师巡视学生完成情况，检测学生学习效果.五、课堂小结

师生共同回顾本节课的相关概念，总结解题方法 1.正角、负角、零角 2.象限角和终边相同的角

3.角所在象限的判定和终边相同的角的表示方法

六、作业布置

习题1-2

第2，3题 【教学反思】

本节课是北师大版必修4第一章第二节的内容，是在初中的基础上进一步学习角的概念，是学好三角函数的基础.本节课使用的方法是六环节分层导学法，由学生先课前预习，完成导学案，小组进行交流学习，课堂由学生展示和教师引导的课堂探究以及当堂检测组成.由于学生课前预习的过程中存在较大的问题，自主学习能力较差，学习的主动性不够，获取信息的能力较弱，导致学生课前完成的导学案问题较多，影响了课堂展示评价环节的进行，再加上教师对六环节分层导学模式的应用不够熟练，导致课堂评价展示环节流于形式，变成教师的“满堂解释”，导引探究部分，教师引导学生对角所在象限的判断和终边相同的角的表示方法进行探究，学生基本能掌握两种方法，但理解不够，动手能力还不好.最后由于时间把握不好，当堂检测部分未能按时完成.这节课基本上完成了教学任务，但是没能很好的体现六环节分层导学模式，今后在教学中将会对这种教学模式进行进一步的探究，以期能熟练应用这种教学模式进行教学，提升教学效率.

第二篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇 31 角的概念的推广

角的概念的推广

教材分析

这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．

教学目标

1.通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义． 2.理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法．

3.通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系．

任务分析

这节课概念很多，应尽可能让学生通过生活中的例子（如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等）了解引入任意角的必要性及实际意义，变抽象为具体．另外，可借助于多媒体进行动态演示，加深学生对知识的理解和掌握．

教学设计

一、问题情境 ［演 示］ 1.观览车的运动．

2.体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作． 3.钟表秒针的转动． 4.自行车轮子的滚动． ［问 题］ 1.如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？

2.在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角？ 3.钟表上的秒针（当时间过了1.5min时）是按什么方向转动的，转动了多大角？ 4.当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角？

显然，这些角超出了我们已有的认识范围．本节课将在已掌握的0°～360°角的范围的基础上，把角的概念加以推广，为进一步研究三角函数作好准备．

二、建立模型

1.正角、负角、零角的概念

在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角．

2.象限角

当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与ｘ轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．

3.终边相同的角

在坐标系中作出390°，－330°角的终边，不难发现，它们都与30°角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°～360°角与k个（k∈Z）周角的和，即

390°＝30°＋360°，（k＝1）； －330°＝30°－360°，（k＝－1）．

设S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，则390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此时k＝0）．容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中的任一元素均与30°角终边相同．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与α终边相同的角，都可以表求成角α与整数个周角的和．

三、解释应用 ［例 题］

1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．（1）－150°．

（2）650°．

（3）－950°5′．

2.分别写出与下列角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素写出来．

（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′． 3.写出终边在y轴上的角的集合．

解：在0°～360°范围内，终边在ｙ轴上的角有两个，即90°，270°．因此，与这两个角终边相同的角构成的集合为

S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有与270°角终边相同的角构成的集合为

S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝ ｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝． 于是，终边在y轴上的角的集合为

S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．

注：会正确使用集合的表示方法和符号语言． ［练习］

1.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．

（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°． 2.辨析概念．（分别用集合表示出来）

（1）第一象限角．（2）锐角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角． 3.一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为．

4.终边在x轴上的角的集合为；终边在第一、三象限的角的平分线上的角集合为．

四、拓展延伸

1.若角α与β终边重合，则α与β的关系是；若角α与β的终边互为反向延长线，则角α与β的关系是． 2.如果α在第二象限时，那么2α，是第几象限角？

注：（1）不能忽略2α的终边可能在坐标轴上的情况．

（2）研究在哪个象限的方法：讨论k的奇偶性．（如果是呢？）

点 评

这篇案例运用多媒体展示了生活中常见的实例，极易激发学生学习的兴趣和热情．在对知识的探讨过程中，特别注意了知识的形成过程，重点突出．例题的设置比较典型，难易度适中．练习题注重基础，但也有一定的梯度，利于培养学生灵活处理问题的能力，并为学生学习以后章节做了较好的铺垫．

第三篇：学案1 角的概念的推广与弧度制

学案1 角的概念的推广与弧度制

【考纲解读】

1.理解任意角和弧度的概念； 2.能正确进行弧度与角度的换算.【基础回顾】 1．角的概念：

角可以看成一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，按旋 方向可分为_________、_________、_________.2．象限角：

第一_____________;第二____________;第三____________;第四____________;3．象界角：

x轴非负半轴上___________;x轴非正半轴上___________;x轴上___________;y轴非负半轴上___________;y轴非正半轴上___________;y轴上___________;坐标轴上_______.4．终边相同的角：

所有与角终边相同的角，连同角在内，可以构成一个集合________或________.7．弧度制的定义： 5．角的度量：

角度与弧度的换算关系

①360______rad； ②1______rad； ③1rad______.6．扇形的弧长、扇形的面积公式：

设扇形的弧长为l，圆心角大小为rad，半径为r，则l________，扇形的 面积为S______________.【基础练习】

1．885化成2k(02,kZ)的形式是

． 2．已知为第三象限角，则所在的象限是 ． 23．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，这个圆心角所在的扇形的面积是___________． 【典型例题】 1． 写出终边在直线yx上角的集合S．

2． 如图，30，300，OM,ON分别是角，的终边.（1）求终边落在阴影部分（含边界）的所有角的集合；（2）求终边落在阴影部分、且在0，360上所有角的集合；（3）求始边在OM位置，终边在ON位置上所有角的集合.y M O xN 3． 若角是第三象限角，则, 2,2的终边落在何处？

4． 一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？

第四篇：角教学设计

第二单元 角 第一课时 教学设计

课 题

1、射线、直线和角 教 学目 的 让学生经历画图、观察和交流等活动，认识射线、直线及相互间的联系，能区分线段、直线和射线；了解两点确定一条直线，体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。让学生加深对角的认识，并结合角的图形认识表示角的符号，知道角的记法和相应的读法。教材分析

重点 认识射线、直线及相互间的连线

难点 体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。教具 电脑投影

教 学过程

一、认识射线和直线。

1、认识射线。

谈话导入：这里的夜景美不美？美在哪？（光线、直直的、长长的）你会画这些射线吗？夜景灯射出的光线都可以看作射线。动手试着画一画，再集体交流。

讲述：把线段的一端无限延长，就得到一条射线。（先画一条线段，再将一端端点擦除将其延长。）让学生通过想像体会无限延长。提问：请你和同桌说说什么是射线？

2、认识直线。

讲述：把线段的两端都无限延长，就得到一条直线。（板书：直线）提问：你会画直线吗？

学生自己画一画，然后交流在画的过程中是怎样体验无限延长的。

3、比较。

提问：射线、直线和线段相比，有什么不同点？有什么相同点？ 小组讨论，再集体交流。完成板书：

相同点 不同点

线段 直 有两个端点 有限长 射线 有一个端点 无限长 直线 ─— 的 没有端点 无限长

4、两点确定一条直线。

提问：经过一点能画几条直线呢？ 学生动手画一画后集体交流。结论：经过一点，可以画无数条直线。问：那么经过两点呢？ 学生动手画一画后集体交流。结论：经过两点只能画出一条直线。

指出：生活中常常应用两点确定一条直线的知识。你能找出这样的例子吗？ 学生自由交流，举例，教师随机指导。

5、认识两点间的距离。出示图：aAaA

谈话：这里画了连接两点的三条线，哪一条最短？ 学生思考判断，指名交流。

连接这两点的其他线段与这条比，长度怎样？ 讲述：两点间的所有连线中线段最短，连接两点的线段的长叫做两点间的距离。

二、进一步认识角

1、角的组成。

你会从一个点起画两条射线吗？画一画，看看画成的是什么图形？ 学生独立画一画后交流。（板书：角）

从一点起画两条射线，可以组成一个角。指出角的顶点和两条边。你能根据自己的体会说说角是怎样的图形吗？ 学生体会角的两边无限延长。

谈话：我们认识角，不光要看到它的顶点和两条边，还要看到两条边夹的这些部分，所有画角时还应把这些部分表示出来。（在学生画的两个角内画弧）

2、角的记法和读法。学生自学、汇报。

三、完成书上的练习作业

练习与测试p15 板书设计

1、射线、线段、直线和角

图示 相同点 不同点

射线 线段 直线（略）

符号：∠

角： 计作：∠1 读作：角一 后记 本节课中让学生动手画一画，从中体会经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线，明确两点确定一条直线。注意强调角的两条边都是射线，是无限长的，使学生对角的认识在原有基础上得到提升。

四年级数学上册

第二单元

教

角

学 设 计

职素青 2012/9/24

第五篇：任意角的概念突出重点突破难点教学设计

任意角的概念突出重点突破难点教学设计

一：教材选择：普通高中课程标准实验教科书人教社A版

数学必修4

二、教学重、难点

重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学情分析

初中的学习使学生知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.四、教学设想

【创设情境】

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.借助实物增强情景引入，突破学生的陌生感，使数学教学现实，走近生活.【探究新知】

1．初中时，我们已学习了0360角的概念，它是如何定义的呢？

[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即转体2周），“转体1080（”即转体3周）等,都是遇到大于360的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750；图1.1.3(2)中，正角210，负角150,660；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角.为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.在学生原有静态角的基础上，利用多媒体增强动态感，推广角的概念、引入大于周角和负角落实思维的发展，学会运用运动变化的观点认识事物.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的30角、210角分别是第一象限角和第二象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.把角的概念从生活形态过渡到教育形态，进一步的转变为数学形态.4.[展示投影]练习:(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三，那么7k(kZ)天后的那一天是星期几? 7k(kZ)天前的那一天是星期几? 100天后的那一天是星期几? 5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果32的终边是OB,那么328,392角的终边也都是OB,而328321360,39232(1)360.设S{|32k360,kZ},则328,392角都是S的元素,32角也是S的元素.因此,所有与32角终边相同的角,连同32角在内,都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与32角终边相同.一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合

S{|k360,kZ},即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.6.[展示投影]例题讲评

例1.在0360范围内，找出与－95012'角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360是指0360）

例2.写出终边在y轴上的角的集合.例3.写出终边在直线yx上的角的集合S,并把S中适合不等式360

720的元素写出来.利用例题突出重点，突破难点.7.[展示投影]练习教材P5第3、4、5题.注意:（1）kZ；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.8.学习小结

(1)你知道角是如何推广的吗?(2)象限角是如何定义的呢?(3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗? 会写终边落在x轴、y轴、直线yx上的角的集合.利用生生，师生之间交流反思，进一步巩固重、难点.五、评价设计

1．作业：习题1.1 A组第1,2,3题．

2．多举出一些日常生活中的“大于360的角和负角”的例子，熟练掌握它们的表示，进一步理解具有相同终边的角的特点．.