分部积分法教案

第一篇：分部积分法教案

分部积分法

教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。重点：分部积分法及其应用

难点：在分部积分法中，要恰当的选取u和v 教学方法：讲练法 0 回顾

上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。

凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；

f(x)dxf[(x)]'(x)dx

f[(x)]d[(x)] f(u)du

令u(x)



F(u)C

F[(x)]C第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换x(t)，使得难求的积分易求

f[(t)]'(t)dt f(x)dx令x(t)f[(t)]d(t)

F[(t)]C

F(x)C1引入

用我们已经掌握的方法求不定积分xcosxdx

分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。

②凑微法失效。xcosx

③第二类换元积分法 解：不妨设 cosxt

原方程tarccost则xarccost

11t2dt更为复杂

所以凑微法和第二换元积分法都失效。

反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u、v为两个函数）已知：

(uv)'u'vuv' 对上式两边积分得：uvu'vdxuv'dx 移项得：

uv'dxuvu'vdx

观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：uv'dx中v’为导数形式。故，我们可以尝试来解一下上面的积分。

xcosxdx先要化的和要求积分的形式一样

x(sinx)'dxxsinxx'sinxdxxsinxcosxC

真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。公式

2.1定理

设函数uu(x)和vv(x)及都具有连续的导数，则有分部积分公式：

uv'dxuvu'vdx（或udvuvvdu）

说明：①两函数的积分等于将其中一个放在d里后，里外相乘减去换位的积分。

②内外积减去换位“积”。

③步骤：a、放d中，b、套公式。

2.2 例 1求不定积分xsinxdx

解: xsinxdx

①放d中②套公式xsinxdxxd(cosx)

xcosxcosxdxxcosxsinxC U、V的选取问题

x

例 2 求不定积分exdx 

解：

exxdx1exd(x2)112x 2xxexde2211x2exexx2dx22容易发现使用分部积分公式后，变得更加复杂了，是我们的公式用错了吗？不妨换个角度看问题：

xexdx

xdexxexexdxxexexC

发现问题解决了，问题出在哪里？观察发现，这两种做法的不同之处在于把谁放在d里，换句话说就是则样选择u和v的问题，由上面的例看出运用分部积分公式时恰当的选择u和v是十分重要的，选对了可以轻松解题，选错了，轻则解题复杂，重则解不出结果。那么应该如何选取u和v的呢？

我们来看一下公式udvuvvdu，要把v放在d中首先要对v积分，所以v要便于积分；而u要进行求导，所以u便于求导；实际上关键是v，v定了，u怎然定了。所以U、V选取的原则是：v便于积分，u便于求导。

例3 求不定积分xlnxdx

分析：对于x和lnx来说明显的x便于积分，故选lnx 做u xlnxdx1lnxd(x2)2121 xlnxxdlnx

2211x2lnxxdx2211x2lnxx2C2实际上在选取v时是相对的，两个函数中更便于积分的做v，我们列出了一个积分从难到易顺序：反、对、幂、三、指；一般在做题的时候我们选取后面的做v.4 例题讲解

例 4 求不定积分lnxdx

分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作1lnx即可。

解： lnxdxlnxdx

xlnxxdlnxxlnxxC

结论：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。

2x

例 5 求不定积分xedx  解：

xedxxde22xxx2ex2xexdx再次使用分部积分公式x2ex2xdexx2ex2(xexexdx)x2ex2xexexC结论：分部积分公式是可以重复使用的。

x

例 6求不定积分esinxdx



解：

esinxdxsinxde

xxxesinxecosxdxexsinxexcosxexsinxdxx

x好像进入了死胡同，实则不然，令esinxdxI,则上式变为：

IexsinxexcosxI

则2Iesinxecosxxx

I1x(esinxexcosx)C

2问题得以解决。故要灵活的处理问题。小结

1、分部积分的公式

2、U、V的选取

3、灵活的使用公式

第二篇：高等数学(上册)教案20 分部积分法（最终版）

第4章 不定积分

分部积分法

【教学目的】：

1.理解分部积分法；

2.能熟练地运用分部积分法求解不定积分。

【教学重点】： 1.分部积分法。

【教学难点】：

1.分部积分法应用中u和v的选择。

【教学时数】：2学时 【教学过程】：

我们在求积分时，经常会遇到被积函数是两类不同函数乘积的不定积分，这类积分用我们上一节学习的换元积分法很难求出来，这一节我们就学习解决这类积分的积分方法：分部积分法．

设uu(x),vv(x)有连续的导数，由(uv)'u'vuv'，得uv'(uv)'u'v两边积分，有uv'dx(uv)'dxu'vdx 即

udvuvvdu ① 式①称为分部积分公式，使用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法．

利用分部积分公式解题的关键是如何恰当的选取u和dv，选取原则是：

（1）v要容易求出．

（2）vdu要比原积分udv易求得．

下面通过例子说明分部积分公式适用的题型及如何选择u和dv： 例1 求xcosxdx．

解 令 ux,dvcosxdx,则vsinx，于是

xcosxdxxd(sinx)xsinxsinxdxxsinx(cosx)C

xsinxcosxC．

此题若令ucosx,dvxdx,则v12x，于是 2121212xcosxdxcosxdxcosxxxd(cosx)222121xcosxx2sinxdx． 221这样新得到的积分x2sinxdx反而比原积分xcosxdx更难求了．所以在2分部积分法中，uu(x)和dvdv(x)的选择不是任意的，如果选取不当，就得不出结果．

例2 求xexdx．

解 设ux,dvexdx，则vex，于是

xxxxxxxedxxdexeedxxeeC． 注：在分部积分法中，u及dv的选择有一定规律的．当被积函数为幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，往往选取幂函数为u．

例3 求x2lnxdx．

11解 为使v容易求得，选取ulnx,dvx2dxdx3，则vx3，于是

322xlnxdx113133lnxdxxlnxxd(lnx)3331111x3lnxx2dxx3lnxx3C． 3339

例4 求arctanxdx．

解

设uarctanx,dvdx，则vx，于是

arctanxdxxarctanxxd(arctanx)xarctanxxxarctanx1dx1x2

11122d(1x)xarctanxln(1x)C． 221x2注 1如果被积函数含有对数函数或反三角函数，可以用考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u．

注2 在分部积分法应用熟练后，可把认定的u，dv记在心里在而不写出来，直接在分部积分公式中应用． 例6 求exsinxdx．

解 exsinxdxexd(cosx)excosxexcosxdx

excosxexd(sinx)excosxexsinxexsinxdx．

移项，得2exsinxdxex(sinxcosx)2C1，故 exsinxdx1xe(sinxcosx)C． 2注1 如果被积函数为指数函数与正（余）弦函数的乘积，可任选项其一为u，但一经选定，在后面的解题过程中要始终选项其为u．

注2 有时求一个不定积分，需要将换元积分法和分部积分法结合起来使用．（如下例）

例7 求exdx．

解 先去根号，设xt，则xt2,dx2tdt，于是

exdxet2tdt2tdet2tet2etdt

2tet2etC2exx1C．

例8 已知f(x)的一个原函数是(1sinx)lnx，试求xf'(x)dx． 解 由题意知f(x)dx(1sinx)lnxC，得

f(x)[f(x)dx]'[(1sinx)lnxC]'cosxlnx1sinx x所以 xf(x)xcosxlnx1sinx． 故 xf'(x)dxxf(x)f(x)dx

xcosxlnx1sinx(1sinx)lnxC．

【教学小节】：

通过本节的学习，学会使用分部积分法计算不定积分。

【课后作业】：

能力训练 P117 1（1、3、6、7、9）

第三篇：分部验收会议议程

中国移动河南公司郑州分公司高新区通信枢纽楼工程(B区)

分部验收会议议程

1、主持人介绍参加验收会议的单位及验收人员。

2、建设单位领导讲话。

3、主持人宣读验收方案

4、五大责任主体汇报工程建设情况。

4.1、勘察单位——郑州华豫岩土有限公司汇报工作情况。

4.2、设计单位——中国建筑北京设计研究院（土建、安装）、佛山市兴发幕墙门窗有限公司（外装）、河南省集美装饰设计工程有限公司（内装）、核工业第五研究设计院（人防）汇报工作情况。

4.3、施工单位——广厦建设集团有限公司（主体单位）、河南中建七局有限公司（外装单位）、河南昊鼎装饰工程有限公司（内装一标）、郑州市康利达装饰工程有限公司（内装二标）、郑州市第一建筑有限公司（内装三标）、河南金卓装饰有限公司（内装四标）、河南省太平洋工程有限公司（空调通风）、北京新神剑经济技术发展公司（智能弱电）、深圳卓宝（虹吸）汇报工作情况。

4.4、监理单位——河南省工程建设监理中心汇报及质量评估报告工作情况。

4.5、建设单位——河南移动通信有限责任公司郑州分公司汇报工作情况。

5、分组（观感组、安装组、实测实量组、资料核查组）进行工程实体检验及工程技术资料核查。

6、各验收组组长汇报验收结论及验收情况。

7、验收领导小组组长统一验收意见，主持人宣布验收结论，并在工程分部验收报告上签字。

8、监督部门宣布监督意见。

9、备案部门发备案通知书。

第四篇：分部工程验收报告

监理工作报告

工程名称：四川省罗江县垒水河流防洪治理工程

重庆精佳工程设计咨询有限公司

罗江垒水河流防洪治理工程

2017年12月

监理工作报告

一、工程概况

1.1工程名称：四川省罗江县万安镇垒水河流防洪治理工程

1.2建设地点：罗江县万安镇境内

1.3工程规模：新建防洪堤工程4372.15米（左右岸）;加高加固段261米（左岸）；河道清淤、疏浚1.8km；工程总投资12213349元。

1.4工程建设项目实施相关单位名录：

（1）、建设单位：罗江县河道管理处

（2）、质监单位：四川省德阳市罗江县水利工程质量监督站

（3）、设计单位：四川省都江堰勘察设计院

（4）、地勘单位：四川省都江堰勘察设计院

（5）、监理单位：重庆精佳工程设计咨询有限公司

（6）、施工单位：四川杰新建设工程有限公司

二、验收内容及范围

本次验收范围为四川省罗江县万安镇垒水河流防洪治理工程分部工程验收共计7个分部工程，即右岸K0+000—K0+900（含141个单元工程）、右岸K0+900——K1+824.1（含147个单元工程）、左岸K0+000--—K0+900（含147个单元工程）、左岸K0+900—K1+735.74（含104个单元工程）、左岸K1+735.74——K2+548.8（含144个单元工程）、左岸K2+837.53—K3+078.85（含35个单元工程）、穿堤建筑物(涵管、涵洞）及下河车道（含285个单元工程），共计1003个单元工程；

三、分部工程开工时间

开工时间为2016年11月17日，完工时间为2017年10月15日。

四、分部工程建设内容

堤基清理、土方开挖、现浇砼基础、现浇砼护坡、堤身填筑、马道现浇砼路沿、马道现浇砼、现浇砼网格、生态砼护坡、生态种植土回填、现浇砼压顶、堤顶现浇砼路沿、现浇砼框格、现浇砼排水沟、现浇砼梯步、原槽料回填护脚、河道疏浚、管涵、涵洞、下河车道及下河梯步。

五、施工过程

本工程于2016年11月17日正式破土动工开挖，至2017年10月15日完成所有分部工程工作内容，分部工程主要由现浇砼基础、现浇砼护坡、马道现浇砼、生态砼护坡、堤背网格护坡砼、现浇砼排水沟组成，现浇基础、砼护坡、马道现浇砼、堤背网格砼均采用等级为C20砼进行浇筑；该分部工程砼护坡、生态砼护坡边坡比均为1:1.6，堤背护坡边坡比为1:1.5；马道现浇砼为宽度2米厚20cm的C20砼；堤身采用砂卵石进行分层回填碾压。施工前对现场待施工区域进行定位放线工作，经各方复查无误后进行机械施工；施工过程中采用挖掘机进行表土清除工作，表土清除完毕后采用自卸车若干拉运砂卵石回填进行堤身回填碾压工作，第一道施工工序将砂卵石填料分层碾压填筑至马道标高；填筑完毕后按照设计坡比要求进行修整边坡工作，边坡修整完毕后进行基础开挖施工及坡面砼施工；基础开挖过程中在右岸K0+200——300、K0+600——700、左岸K0+500——600、左岸K1+800——850处部分基础基底为中风化基岩，经业主、设计、监理、施工共同查看决定对该部分基础进行开槽（槽宽50cm，深度50cm），将基础砼置于该基岩上。

整个施工过程中，施工单位严格按照设计图纸、水利工程相关技术规范和经监理工程所批准后的方案进行精心施工，监理单位跟踪检查，确保了该部分工程顺利完成；各项验收、检查资料齐全，未出现任何质量、安全事故。

施工过程中在监理单位见证情况下，施工单位对原材料、中间产品进行取样，送哪个检测单位检测工程进行检测，共计检测

压实度报告、水泥报告 份、钢筋 检测报告份、混凝土检测报告 份，检测结果全部满足设计要求，质量全部合格。

施工过程中监理单位对该分部工程委托四川德成工程检测公司对原材料、中间产品进行压实度、水泥、砂、石、报告、钢筋、混凝土进行抽样检测，共计报告87份检测报告，检测结果全部满足设计要求，质量全部合格。

监理单位复核意见：

监理单位对施工过程进行全程旁站监理，对本次验收的7个分部工程，共计1003个单元工程质量评定进行复核，复核意见：1003个单元工程质量全部合格，其中优良为 个，优良率为，施工过程中未发生质量事故，中间产品质量合格，原材料质量合格，同意施工单位自评意见，本次验收分部工程（7个）质量等级为合格。同意通过本次分部工程验收。

重庆精佳工程设计咨询有限公司

罗江垒水河河流防洪防洪治理

工程监理部 2017年12月6日

第五篇：分部报告35号

企业会计准则第35号--分部报告

第一章 总则

第一条 为了规范分部报告的编制和相关信息的披露，根据《企 业会计准则——基本准则》，制定本准则。

第二条 企业存在多种经营或跨地区经营的，应当按照本准则规 定披露分部信息。但是，法律、行政法规另有规定的除外。第三条 企业应当以对外提供的财务报表为基础披露分部信息。对外提供合并财务报表的企业，应当以合并财务报表为基础披露 分部信息。

第二章 报告分部的确定

第四条 企业披露分部信息，应当区分业务分部和地区分部。第五条 业务分部，是指企业内可区分的、能够提供单项或一组 相关产品或劳务的组成部分。该组成部分承担了不同于其他组成部分 的风险和报酬。

企业在确定业务分部时，应当结合企业内部管理要求，并考虑下 列因素：

（一）各单项产品或劳务的性质，包括产品或劳务的规格、型号、最终用途等；

（二）生产过程的性质，包括采用劳动密集或资本密集方式组织 生产、使用相同或者相似设备和原材料、采用委托生产或加工方式等；

（三）产品或劳务的客户类型，包括大宗客户、零散客户等；

（四）销售产品或提供劳务的方式，包括批发、零售、自产自销、委托销售、承包等；

（五）生产产品或提供劳务受法律、行政法规的影响，包括经营 范围或交易定价限制等。

第六条 地区分部，是指企业内可区分的、能够在一个特定的经 济环境内提供产品或劳务的组成部分。该组成部分承担了不同于在其 他经济环境内提供产品或劳务的组成部分的风险和报酬。企业在确定地区分部时，应当结合企业内部管理要求，并考虑下 列因素：

（一）所处经济、政治环境的相似性，包括境外经营所在地区经 济和政治的稳定程度等；

（二）在不同地区经营之间的关系，包括在某地区进行产品生产，而在其他地区进行销售等；

（三）经营的接近程度大小，包括在某地区生产的产品是否需在 其他地区进一步加工生产等；

（四）与某一特定地区经营相关的特别风险，包括气候异常变化 等；

（五）外汇管理规定，即境外经营所在地区是否实行外汇管制；

（六）外汇风险。

第七条 两个或两个以上的业务分部或地区分部同时满足下列 条件的，可以予以合并：

（一）具有相近的长期财务业绩，包括具有相近的长期平均毛利 率、资金回报率、未来现金流量等；

（二）确定业务分部或地区分部所考虑的因素类似。

第八条 企业应当以业务分部或地区分部为基础确定报告分部。业务分部或地区分部的大部分收入是对外交易收入，且满足下列条件 之一的，应当将其确定为报告分部：

（一）该分部的分部收入占所有分部收入合计的10%或者以上。

（二）该分部的分部利润（亏损）的绝对额，占所有盈利分部利 润合计额或者所有亏损分部亏损合计额的绝对额两者中较大者的 10%或者以上。

（三）该分部的分部资产占所有分部资产合计额的10%或者以 上。

第九条 业务分部或地区分部未满足本准则第八条规定条件的，可以按照下列规定处理：

（一）不考虑该分部的规模，直接将其指定为报告分部；

（二）不将该分部直接指定为报告分部的，可将该分部与一个或 一个以上类似的、未满足本准则第八条规定条件的其他分部合并为一 个报告分部；

（三）不将该分部指定为报告分部且不与其他分部合并的，应当 在披露分部信息时，将其作为其他项目单独披露。

第十条 报告分部的对外交易收入合计额占合并总收入或企业 总收入的比重未达到75%的，应当将其他的分部确定为报告分部（即 使它们未满足本准则第八条规定的条件），直到该比重达到75%。第十一条 企业的内部管理按照垂直一体化经营的不同层次来 划分的，即使其大部分收入不通过对外交易取得，仍可将垂直一体化 经营的不同层次确定为独立的报告业务分部。

第十二条 对于上期确定为报告分部的，企业本期认为其依然重 要，即使本期未满足本准则第八条规定条件的，仍应将其确定为本期 的报告分部。

第三章 分部信息的披露

第十三条 企业应当区分主要报告形式和次要报告形式披露分 部信息。

（一）风险和报酬主要受企业的产品和劳务差异影响的，披露分 部信息的主要形式应当是业务分部，次要形式是地区分部。

（二）风险和报酬主要受企业在不同的国家或地区经营活动影响 的，披露分部信息的主要形式应当是地区分部，次要形式是业务分部。

（三）风险和报酬同时较大地受企业产品和劳务的差异以及经营 活动所在国家或地区差异影响的，披露分部信息的主要形式应当是业 务分部，次要形式是地区分部。

第十四条 对于主要报告形式，企业应当在附注中披露分部收

入、分部费用、分部利润（亏损）、分部资产总额和分部负债总额等。

（一）分部收入，是指可归属于分部的对外交易收入和对其他分 部交易收入。分部的对外交易收入和对其他分部交易收入，应当分别 披露。

（二）分部费用，是指可归属于分部的对外交易费用和对其他分 部交易费用。分部的折旧费用、摊销费用以及其他重大的非现金费用，应当分别披露。

（三）分部利润（亏损），是指分部收入减去分部费用后的余额。在合并利润表中，分部利润（亏损）应当在调整少数股东损益前确定。

（四）分部资产，是指分部经营活动使用的可归属于该分部的资 产，不包括递延所得税资产。

分部资产的披露金额应当按照扣除相关累计折旧或摊销额以及 累计减值准备后的金额确定。

披露分部资产总额时，当期发生的在建工程成本总额、购置的固 定资产和无形资产的成本总额，应当单独披露。

（五）分部负债，是指分部经营活动形成的可归属于该分部的负 债，不包括递延所得税负债。

第十五条 分部的日常活动是金融性质的,利息收入和利息费用 应当作为分部收入和分部费用进行披露。

第十六条 企业披露的分部信息，应当与合并财务报表或企业财 务报表中的总额信息相衔接。

分部收入应当与企业的对外交易收入（包括企业对外交易取得 的、未包括在任何分部收入中的收入）相衔接；分部利润（亏损）应 当与企业营业利润（亏损）和企业净利润（净亏损）相衔接；分部资 产总额应当与企业资产总额相衔接；分部负债总额应当与企业负债总 额相衔接。

第十七条 分部信息的主要报告形式是业务分部的，应当就次要 报告形式披露下列信息：

（一）对外交易收入占企业对外交易收入总额10%或者以上的地 区分部，以外部客户所在地为基础披露对外交易收入。

（二）分部资产占所有地区分部资产总额10%或者以上的地区分 部，以资产所在地为基础披露分部资产总额。

第十八条 分部信息的主要报告形式是地区分部的，应当就次要 报告形式披露下列信息：

（一）对外交易收入占企业对外交易收入总额10%或者以上的业 务分部，应当披露对外交易收入。

（二）分部资产占所有业务分部资产总额10%或者以上的业务分 部，应当披露分部资产总额。

第十九条 分部间转移交易应当以实际交易价格为基础计量。转 移价格的确定基础及其变更情况，应当予以披露。

第二十条 企业应当披露分部会计政策，但分部会计政策与合并 财务报表或企业财务报表一致的除外。7 分部会计政策变更影响重大的，应当按照《企业会计准则第28 号——会计政策、会计估计变更和差错更正》进行披露，并提供相关 比较数据。提供比较数据不切实可行的，应当说明原因。企业改变分部的分类且提供比较数据不切实可行的，应当在改变 分部分类的，分别披露改变前和改变后的报告分部信息。分部会计政策，是指编制合并财务报表或企业财务报表时采用的 会计政策，以及与分部报告特别相关的会计政策。与分部报告特别相 关的会计政策包括分部的确定、分部间转移价格的确定方法，以及将 收入和费用分配给分部的基础等。

第二十一条 企业在披露分部信息时，应当提供前期比较数据。但是，提供比较数据不切实可行的除外。