第一篇：椭圆的定义数学教案(精)
椭圆的定义数学教案
教学目标：
1、椭圆是圆锥曲线的一种，是高中数学教学中的重点和难点，所以这部分内容中的知识点学生必须达到理解、应用的水平；
2、利用投影、计算机模拟动点的运动，增强直观性，激励学生的学习动机，培养学生的数学想象和抽象思维能力。教学重点：对椭圆定义的理解，其中a>c容易出错。教学难点：方程的推导过程。教学过程：（1）复习
提问：动点轨迹的一般求法？
（通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内
容与原来所学知识之间的内在联系。并为后面椭圆的标准方程的推导作好准备。）（2）引入
举例：椭圆是常见的图形，如：汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图，天体中，行星绕太阳运行的轨道等等；
计算机：动态演示行星运行的轨道。
（进一步使学生明确学习椭圆的重要性和必要性，借计算机形成生动的直观，使学生印象加深，以便更好地掌握椭圆的形状。）（3）教学实施
投影：椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示）
常数一般用2 表示。（讲解定义时要注意条件：）
计算机：动态模拟动点轨迹的形成过程。
提问：如何求轨迹的方程？
（引导学生推导椭圆的标准方程）
板书：椭圆的标准方程的推导过程。（略）
（推导中注意：1）结合已画出的图形建立坐标系，容易为学生所接受；2）在推导过程中，要抓住“怎样消去方程中的根式”这一关键问题，演算虽较繁，也能迎刃而解；3）其中焦点为F1（，0）、F2（c,0）, ；4）如果焦点在 轴上，焦点为F1（0，）、F2（0,c），只要将方程中，互换就可得到它的方程）
投影：椭圆的标准方程：
（）
（）
投影：例1平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程
（由椭圆的定义可知：所求轨迹为椭圆；则只要求出、、即可）
形成性练习：课本P74：2，3（4）小结
本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:
①椭圆的定义中，②椭圆的标准方程中,焦点的位置看 , 的分母大小来确定
③、、的几何意义（5）作业
P80：2，4（1）（3）
第二篇：椭圆的定义及其标准方程教案
§14.2椭圆的定义与标准方程
一、教材分析
本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。
二、教学目标
（一）知识目标
1、理解并掌握椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念；
2、掌握椭圆的标准方程；
（二）能力目标
培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
（三）德育目标
1、使学生认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的；
2、使学生通过运动规律，认清事物运动的本质。
三、教学重、难点及关键
1、重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。
2、难点：椭圆标准方程的推导。
3、关键：突破难点要抓住“建立坐标系”和“化简方程”两个环节。
四、教学方法
主要采用探究实践、启发与讲练相结合
五、教具
主要采用多媒体课件
六、教学过程
1、创设情景、引入概念
（多媒体演示）展示相应的图片，让学生在感受美的同时也了解到本节课所要研究的图形——椭圆。
提问：这些图片中的实物的形状是什么的图形？ 学生回答：椭圆
请同学再列举一些椭圆形的例子，教师指出椭圆在生活中很常见，今天我们就一起学习----椭圆（给出课题）。
教师指出：通过前面的学习知道，圆是平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹，那么椭圆又是满足什么条件的点的轨迹呢？我们一起来探究。
2、新知探究、形成概念
利用多媒体演示椭圆的画法。
依据多媒体演示的画法，请学生思考：图中哪些量是不变的，哪些量是可变化的，试着用自己的语言说一说怎样形成椭圆？
让学生拿出课前准备的纸板、细绳、图钉，根据自己得出的椭圆画法，试着用手中的工具画出椭圆。让学生动手，使其尝试到成功的喜悦，同时提醒学生注意绳长要大于两图钉之间的距离。
教师启发、提问，并由学生归纳出椭圆的定义。定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。其中两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距，记为2c。
提问：若令M为椭圆上任意一点，可否把定义用数学表达式写出？
学生思考回答：|MF1|+|MF2|=2a 教师指出：此式称为定义式，其应用非常广泛。
3、标准方程的猜测与推导
依据多媒体的动态数据来猜测椭圆的方程
问：请你猜测一下椭圆的方程？
x2y2学生:（221，a>b>0）
ab
根据一般的求轨迹方程步骤推导椭圆的方程。
(1)建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系。
(2)设点: 设M（x，y）是椭圆上任意一点，因|F1F2|=2c，则F1(-c,0)，F2(c,0)（学生回答）
(3)列式: 让学生自己列出：|MF1|+|MF2|=2a，并将其坐标化后得：xc2y2xc2y22a
(4)化简：(过程可以简略，不作要求)
x2y2教师指出：方程221ab0叫做椭圆的标准方程，其焦点
ab在x轴上，焦点坐标为F1(-c,0)，F2(c,0)且a2b2c2 启发：若把坐标系中的x轴、y轴的位置互换，椭圆的焦点位置如何？方程形式又如何？
y2x2让学生合理猜想，得出：221
ab教师指出此方程同样可用上述方法进行推导。思考：如何依据标准方程判断焦点的位置？
学生观察后可得出：含x2，y2的分式的分母谁大，焦点就在那个轴上。
五秒快速练习：判断下列椭圆的焦点位置？
x2y2y2x21、
12、1
152053y2x2x2y23、
14、1
111825244、知识应用
例1:已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10,求椭圆的标准方程.先给学生提示，再让学生自己动手做，并抽取两位同学所做的进行讲评,最后课件给出标准答案。例2:求下列椭圆的焦点和焦距
x2y2(1)1；
（2）2x2y216
54分析：解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪条坐标轴上。学生先做，然后课件给出正解。
分组练习：求椭圆的焦距与焦点坐标？
x2y2①1 156x2y21 ②251693,0，焦距2c6焦点坐标为0,12，焦距2c24焦点坐标为请学生给出结果，体会成功的喜悦。同时给出练习③9x225y2225让学生独立完成，并对学生所做的进行讲评。
5、归纳小结
（1）知识小结：引导学生归纳，最后教师给出知识结构图。（2）方法小结：（教师小结）
①用坐标法研究曲线；
②用运动、变化的观点分析问题；
6、作业：练习册相应的练习。
第三篇：一个探究性问题的教学设计—椭圆的定义
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一个探究性问题的教学设计----椭圆的定义
浙江省义乌市上溪中学 李耀华
现行教材增加了一些探究性的问题，促使学生亲自动手去发现、提出、解决一些数学问题，有利于增强学生的综合素质。个人认为，开展探究性问题的教学目的并不在于获得一个具体的数学结论或答案，而在于整个学习过程给学生所带来的积极影响，也就是研究数学的一种思路、方法。没有固定的模式，没有可以借鉴的经验，要开展这样的探究性问题的教学，一切都是“摸着石头过河”。本文就是利用《几何画板》软件对椭圆的定义进行发散思维的一个教学设计，也是对开展数学探究性问题作一些思考和探索。
【教学目的】
使学生明确探求点的轨迹的思维出发点，理清这类轨迹问题的思路，高屋建瓴的把握轨迹问题的来龙去脉。【教学辅助工具】
网络教室，一人一机，《几何画板》软件 【教学方法】
问题教学法。一题多变，发散思维，引导学生参与，激发学生创新，发挥现代信息技术在高中数学教学中的作用。【教学过程】
1、引入
求曲线的方程、通过方程来研究曲线是解析几何的两大任务。今天与同学们共同讨论一个问题：如何探求点的轨迹。
问题是数学的心脏，思维先从问题开始。来看一个具体问题：
问题：C是圆A内的一个定点，D是圆上的动点，求线段CD的中垂线与半径AD的交点F的轨迹方程。
用几何画板作出图1，拖动主动点D在圆A上转动或者制作点D在圆A上运动的动画按钮，跟踪点F，我们会发现，轨迹是一个椭圆，分析已知条件，不难知道原因：|FA||FC||FA||FD|R（为定值），且有|AC|R。
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（图1）
建立点F的轨迹方程。取线段AC的中点为原点O，直线AC为x轴，建立直角
x2y2坐标系。设|AC|2c,|AD|2aR，则由椭圆定义得到椭圆的方程221。（其
ab中b2a2c2,ab0）
2、一题多变，发散思维
变式1：探求点E的轨迹。（让学生先猜测，用几何画板演示，从而发现结论，再说明理由）学生追踪点E的轨迹后，发现其轨迹是一个圆（图2）。
11分析：连接AC，取其中点G，连GE，可知，|GE||AD|R（为定值），221所以点E的轨迹是以G为圆心，R为半径的一个圆。
2（图2）
变式2：放宽对E点的限制，设E为CD上任意一点，探究点E的轨迹。（受变《中学数学信息网》系列资料 www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》
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式1的启发，学生猜测出点其轨迹还是一个圆，但是圆心和半径发生了变化）。过E作AD的平行线，交AC与K，追踪点K（图3），发现轨迹是以K为圆心，|CE|R|CD|长为半径的圆。
分析： |KE||CE|，易见 |KE|为定值，因此轨迹为圆。
|AD||CD|
（图3）
教师引导学生归纳小结：通过刚才两个变式的训练，我们发现要找到点的轨迹，需从两方面下手：一是找出约束动点变化的几何条件；二是找出影响动点变动的因素。
变式3：探求CF的中点G的轨迹。（这时学生的思维马上会发生迁移，运用类比的思想方法，猜测出点G的轨迹是一椭圆）。学生追踪线段CF的中点G的轨迹，发现是一椭圆（图5）。
11分析：取AC中点H，连HG，则|HG||GC|(|AF||FC|)R(为定值).2
2（图4）
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变式4：放宽对G点的限制，设G为CF上任意一点（不是C）,探求其轨迹（受变式2的启发，学生会想到用三角形相似）。追踪其轨迹,仍为一椭圆（图5）.分析：作GH//AF,交AC于H,则
|HG||GC||HC||HC|(|AF||FC|)R(为定值)|AC||AC|
（图5）
变式5：在直线CD上取一点E，过E作CD的垂线EQ，与直线DA(或其延长线)交于Q，探求Q的轨迹。（学生纷纷猜测不是圆就是椭圆，教师引而待发）发现分别为“鸭蛋形”（图6）、“导弹形”（图7）.其轨迹方程可利用极坐标求得，为非常规方程，这里不做进一步阐述。
（图6）
（图7）
这一系列的变式训练可极大调动学习数学的主观能动性，这样的数学实验也符合中学生的好动、喜新、求变的心理特征，学生在极富挑战性的实验过程中建构起自己《中学数学信息网》系列资料 www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》
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3、自导自演，激发创新
我们不光要善于解决问题，总结经验与方法，并运用这些经验与方法曲解决新的问题，更重要的是敢于提出问题，发现更多的问题。（为了进一步激发学生的探索欲望，此时可以对条件作进一步的改变或者放宽，让学生自己寻求答案，教师巡视，随时给予指导）可能会出现下面的一些情况：
①将点C移到圆外，研究图1中点F的轨迹（此时点F为CD中垂线与直线AC的交点）（双曲线，图8）
（图8）
②在直线EF上任意取一点S,发现其轨迹为一个圆（如图9）
（图9）
③通过改变点C在圆内和圆外的位置可以发现：图2中E的轨迹圆与图1中的《中学数学信息网》系列资料 www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》
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椭圆和图8中的双曲线都是相切的（如图
10、图11）
（图10）
（图11）
4、教师小结，布置作业
通过一系列的发散思维训练，学生已基本掌握探求一个点的轨迹思维的出发点有两个：（！）找出约束动点变动的几何条件；（2）找出影响动点变动的因素。抓住这两点，就抓住了问题的本质。【教学反思】
①本文开始提出的问题是一道常见的轨迹题，过去没有更深入的研究，这里借助《几何画板》的“在动态中保持设定的几何关系不变”的软件特征深入研究了这道题目，另一方面，通过一题多变，发散思维，扩大到发现、归纳这类问题的解题规律，引导学生举一反三，迁移知识与方法，努力提高科学素养。
②利用计算机软件的交互性，让学生亲身实践，参与知识的发现过程，可以极大地鼓舞学生学好数学的勇气和信心。
③更重要的是让学生知道：“授之以鱼，不如授之以渔”。培养会学习的孩子是我们教育的目标。
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第四篇：数学学科德育教案之椭圆的定义
数学学科德育教案
之椭圆的定义
知识与技能：理解椭圆的定义；理解椭圆的焦点、焦距的意义；
过程与方法：通过完成游戏“巧手折椭圆”，培养学生的发散思维和实践能力； 情感态度与价值观：通过观看FLASH《“神舟”五号太空之行》，培养学生强烈的爱国义精神和民族自豪感；通过完成游戏“百发百中”，提高学生学习数学的兴趣，增强学习数学的自信心与自觉性；通过完成游戏“巧手折椭圆”，培养学生的团结协作精神与竞争意识；通过对椭圆定义的研究，进行辩证唯物主义教育；
教学过程：
一、创设情景，培养学生的团结协作精神及实践能力
上课一开始，我为了调动学生学习的积极性，激发他们学习的热情，将全班分成若干个小组，每组4人，要求每个小组在事先准备好的圆上画上圆心,然后在圆内任取一点F(不能取O),用笔在F的位置做上记号。把圆纸片翻起一角，使圆周正好通过F，再抹平纸片，得到一条折痕L（为了看得清楚，也不妨用笔把直线L描出来）。这样继续折下去，就得到折痕。看谁折得最快，而且得到的图案最漂亮。
一声令下后，每个小组的成员都忙碌起来了，有的组先围在一起商量再动手画，而有的组则是先尝试再总结。在游戏中，他们都非常地投入，非常地团结，以最快的速度、最好的质量完成了作品。当我宣布比赛结果时，获奖的小组同学异常高兴，用击掌来表示胜利。
目的：通过这个游戏，充分体现了学生合作交流、实践体验的学习方式，培养了学生间的协作精神与竞争意识。
二、观看动画，激发学生民族自豪感
在得到椭圆这个图像后，为了他们能更好地了解椭圆的形成过程及在现实生活中的应用。我自己利用FLASH设计制作了关于“神舟”五号从发射到升空，然后绕地飞行的动画片，并配上了相关的解说词。随着飞船的升空，同学们的心情也随之激动起来了。这是我国第一艘载人飞船。它的发射成功标志着我国成为继美国、俄罗斯之后的第三个有能力宇宙飞船的国家。这一刻，任何的言语都是多余的了。在场的每个人都在为自己是一个中国人而感到自豪，为我们国家的日益强大而感到骄傲。
目的：结合我国在科技、经济等各方面的最新动态，让学生增强民族自豪感，自尊心和自信心，从而转化为为祖国建设刻苦学习的责任感和自觉性，同时，也培养学生不畏艰难，艰苦奋斗，刻苦钻研的精神。
三、引出概念，利用类比进行辩证唯物主义教育
由于飞船运行的轨迹很明显就是椭圆，所以，当同学们看到FLASH动画演示时，他们感叹到：那是一个多么美丽的椭圆啊！那么这个轨迹是如何形成的呢？椭圆又是怎样定义的呢？我拿出事先准备的教具，选一个学生，让他将一段长为2a的绳子，把它的两端都固定在图板上的一点O，将笔套在绳子里拉紧绳子，使笔尖P移动一周。结果得到的轨迹就是从O为圆心，以A为半径的一个圆。这是我们已经学过的轨迹问题。我再让他将这段这段绳子的两个端点分别固定在图板上的不同两点F1，F2（<2a），将笔套在绳子里拉紧绳子，使笔尖P移动一周。这时笔尖P画出来的图形就是一个椭圆了。到此，椭圆的定义通过游戏，动画演示，教具演示等活动就形象、自然地演示出来了。它就是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞ |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示）。目的：通过动手操作，利用与圆作类比，体现了数学知识间的紧密联系与相互作用，构成了物质的运动、变化与发展，能有效地进行辩证唯物主义教育。
四、利用游戏提高学生学习数学的兴趣
为了增加趣味性，激发大家对椭圆的探索，我让他们每组选出一个代表上来完成一个叫做“百发百中”的小游戏，它要求用硬纸做一个椭圆形的盒子，并且在椭圆形盒底的一个焦点上放一粒纽扣，作为子弹，在另一个焦点出竖立一个钢笔套，作为靶子。你需要瞄准，把纽扣子弹沿着盒底面内的任何方向弹射出去，经过盒壁反射后，都一定命中靶子。
结果，大家的热情一浪高过一浪，许多人进行了尝试。这时，我就提出最后一个问题：把纽扣子弹沿着盒底面内的任何方向弹射出去，经过盒壁反射后，为什么都一定命中靶子呢？课后思考。这时，正好一节课结束，学生带着这个问题，带着思考，带着探究的热忱下课了。他们在课后为解决这个问题而进行了激烈的讨论，也为后面的内容做了很好的准备。
目的：通过这个小游戏，不但大大提高了学生学习数学的兴趣，增强了学习数学的自信心与自觉性，而且又为下一节课作好了铺垫，使学生对下一节课充满了无限的期望。
第五篇：古怪的定义初中数学教案
“自然数和正偶数一样多，因为将n和2n对应就可以得到自然数到正偶数的一个一一对应。既然每一个不同的自然数都对应而且只对应一个不同的正偶数，所以自然数和正偶数一样多。”许多朋友会这样说，这当然是对的；但是也有许多朋友会觉得奇怪，并非所有的自然数都是正偶数，而所有的正偶数却都是自然数，它们怎么会一样多呢？特别是，自然数的个数应该是正偶数的两倍才对！
关于用一一对应的方法来判断两个集合之间的大小关系，已经有许多文章谈过了，我只在这里再简单地重复一遍：
给定两个集合a和b，1)如果存在a到b的一个单射f:a→b（也就是说a和b的一个子集有一一对应），那么我们称a的“基数”（或“势”）不大于b的“基数”，简称a不大于b，或a中元素个数不多于b中元素；
2)如果存在a到b的一个一一对应f:a→b，那么我们称a和b的“基数”相同，简称a和b一样大，或a中元素个数和b中元素个数相同；
3)（施罗德-伯恩斯坦定理）如果a不大于b，且b不大于a，那么a和b一样大。
由这个定义可以得出一些推论：
1)任何一个无限集都至少和自然数集合一样大；
2)两个集合的并集同这两个集合中比较大的那个一样大，特别地，两个同样大小的集合的并集和它们本身一样大；
3)两个集合的积集同这两个集合中比较大的那个一样大。
但是这种判断集合大小的方法得出的结论，比如说上面所说的“自然数和正偶数一样多”，甚至于“自然数和有理数一样多”，或者“一条直线上的点的个数和一个平面上的点的个数一样多”，总会让不熟悉集合论的人感到很别扭，一个集合的一部分怎么会和自己一样大？欧几里得的第五公理说：“整体大于部分。”在《几何原本》中，公理的地位要高于公设，前者是“放之四海而皆准”的，而后者却只是几何（也就是当时的数学）中的“不证自明”的命题。欧几里得也搞错了？数学家们为什么不按照符合大家直觉的方法来规定集合的大小？他们似乎喜欢故意发明出一些和常识相悖的稀奇古怪的概念和方法，让人上当后自己却在暗地里窃窃偷笑别人的不高明。
这可就冤枉了数学家们，如果有既符合常识和直觉，又严格且有用的关于集合大小的定义，数学家一定是非常乐意接受的。但是如果这种“常识”只是象爱因斯坦所言的，是“十八岁以前所积累的偏见”，那么就不适合于作为严格的数学定义了。我想首先讨论一下数学家被迫采用一一对应的方式来比较集合大小的原因。
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