【题型综述】
导数研究方程的根或不等式的解集
利用导数探讨方程解的存在性，通常可将方程转化为，通过确认函数或的值域，从而确定参数或变量的范围；
类似的，对于不等式，也可仿效此法．
[来源:Zxxk.Com]
【典例指引】
例1．已知函数．
（1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；
（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；
【思路引导】
（1）方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；（2）假设存在，可推导出矛盾，即可证明不存在．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
例2．已知函数的最大值为，的图象关于轴对称．
(Ⅰ)求实数的值；[来源:Z*xx*k.Com]
(Ⅱ)设，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【思路引导】
(Ⅰ)
由题意得，可得在上单调递增，在上单调递减，可得的最大值为，可得。由的图象关于轴对称，可得。
(Ⅱ)由题知，则，从而可得在上递增。假设存在区间，使得函数在上的值域是，则，将问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根的问题，即在区间上是否存在两个不相等实根，令，可得在区间上单调递增，不存在两个不等实根。
问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根，即方程在区间上是否存在两个不相等实根，令，则,设,则，故在上递增，学&科网
故，所以，故在区间上单调递增，故方程在区间上不存在两个不相等实根，综上，不存在区间使得函数在区间上的值域是．
点睛：（1）解决导数综合题时，函数的单调性、极值是解题的基础，在得到单调性的基础上经过分析可使得问题得以解决。
（2）对于探索性问题，在求解的过程中可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则说明假设不成立；若无矛盾出现，则说明假设成立，从而说明所证明题成立。
例3．已知函数为常数
（1）当在处取得极值时，若关于x的方程
在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（2）若对任意的，总存在，使不等式
成立，求实数的取值范围．
【思路引导】
（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围．
当时，所以在区间上单调递减，此时
所以不可能使恒成立，故必有，因为
若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求
若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是．学&科网
点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题．在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会．
【同步训练】
1．设函数，已知曲线在点处的切线与直线平行．
（1）求的值；
（2）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．
【思路引导】
（1）求出的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得；
（2）求出、的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1．
又，所以存在，使．
因为，所以当时，当时，学&科网
所以当时，单调递增，所以时，方程在内存在唯一的根．
点睛：本题考查函数的单调性、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运算能力，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．
2．已知函数．
（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
【思路引导】
（1）由题意得导函数在其定义域内恒非负，再根据二次方程恒成立条件得实数的取值范围；（2）将不等式有解问题，利用参变分离法转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值，即得实数的取值范围．
则原问题转化为在上至少存在一点，使得，即．
①时，∵，∴，，则，不符合条件；
②时，由，可知，学&科网
则在单调递增，整理得．
综上所述，．
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．
3．已知函数，其中
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围．
【思路引导】
（1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为，故可以根据的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间．（2）若不等式
在上有解，那么在上，．但在上的单调性不确定，故需分
三种情况讨论．
（2）若在上存在，使得成立，则在上的最小值小于．
①当，即时，由（1）可知在上单调递增，在上的最小值为，由，可得，②当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上的最小值为，由，可得
；学&科网
③当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为，因为，所以，即，即，不满足题意，舍去．
综上所述，实数的取值范围为．
点睛：函数的单调性往往需要考虑导数的符号，通常情况下，我们需要把导函数变形，找出能决定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类讨论．又不等式的恒成立问题和有解问题也常常转化为函数的最值讨论，比如：“在上有解”可以转化为“在上，有”，而“在恒成立”可以转化为“在上，有”．
4．已知函数．
（1）若在上递增，求的取值范围；
（2）若，与至少一个成立，求的取值范围（参考数据：）
【思路引导】
（1）由题意可得在，上递增，又在上递增，故或，解得或，即为所求。（2）结合（1）中结论及条件可得。分，和两种情况可求得或．
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增
∴，又，∴，当，即时，显然成立；学&科网
当，即时，可得或，∴或
∵，∴，∴或
综上或．学&科网
所以的取值范围为。
点睛：已知函数单调性求参数取值范围的方法
（1）若函数的单调区间容易求出，可转化为集合间的包含关系，在此基础上得到关于参数的不等式（组）求解。
（2）若函数的单调区间不易求出，可利用在所给区间上恒成立解决，解题时可根据分离参数的方法求解出参数的范围。
5．已知函数．
若，求函数的极值；
设函数，求函数的单调区间；
若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围．
【思路引导】
（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值（2）先求导数，求导函数零点，讨论与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点,使得成立时实数的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）单调性可得实数的取值范围，最后取补集得结果，∴；
当时，在上递减，在上递增
令，则
在递减，无解，即无解；学&科网
综上：存在一点,使得成立，实数的取值范围为：
或．
所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为．
点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题．
6．已知函数(为实常数)．
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)讨论函数在上的单调性;
(3)若存在,使得成立,求实数的取值范围．
【思路引导】
(1)求出切线的斜率，即可得出切线方程；(2)
[1,e]，分、三种情况讨论导数的符号，即可得出结论；(3)分、三种情况讨论函数的单调性并求出最值,则易得结论．
⑶当时,在上单调增,的最小值为
当时,在上单调减,在上单调增,的最小值为．[来源:学,科,网Z,X,X,K]
因为学&科网
．
当时,在上单调减,的最小值为,学&科网[来源:Z_xx_k.Com]，综上,7．已知，其中．
（1）求函数的极大值点；
（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围．
【思路引导】
（1）求导，对进行四类讨论，得到极大值的情况；（2）在上至少存在一点，使成立，等价于当时，结合（1）的单调性情况，求，得到的取值范围．
8．已知函数（）
（1）若，求的极值；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【思路引导】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为，成立，设，根据函数的单调性求出a的范围即可．
试题解析：
（2）存在，使得成立，等价于，（）成立
设
则
令，解得：
（舍），；
①当，在递减
∴
令，解得：
学&科网
②当时，在递减，在递增
∴与矛盾
综上，9．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．
【思路引导】
（1）函数求导，从而得单调区间；
（2）方程有实数根，即函数存在零点，分类讨论函数的单调性，从而得有零点时参数的范围．
（2）由题得，．
依题意，方程有实数根，即函数存在零点．
又．
令，得．
当时，．
即函数在区间上单调递减，而，．
所以函数存在零点；
点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
10．已知函数，且直线是函数的一条切线．
（1）求的值；
（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；
（3）已知方程有两个根，若，求证:
．
【思路引导】
（1）对函数求导，设直线与函数相切与点，根据导数的几何意义可得，解得，求出；（2）对任意的，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；（3）根据题意得,两式相减得，所以，令，则，则，令，对求导，判断的单调，证明．
(2)
由（1）得，所以，当，时，所以在上单调递减，所以当，时，，当时，所以在上单调递增，所以当时，依题意得，所以，解得．
(3)
依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为
点击咨询