专题14
等或不等解存在,转化值域可实现
【题型综述】
导数研究方程的根或不等式的解集
利用导数探讨方程解的存在性,通常可将方程转化为,通过确认函数或的值域,从而确定参数或变量的范围;
类似的,对于不等式,也可仿效此法.
【典例指引】
例1.已知函数.
(1)若关于的方程在上有解,求实数的最大值;
(2)是否存在,使得成立?若存在,求出,若不存在,说明理由;
例2.已知函数的最大值为,的图象关于轴对称.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设,是否存在区间,使得函数在区间上的值域为?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
[来源:学*科*网]
例3.已知函数为常数
(1)当在处取得极值时,若关于x的方程
在上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;
(2)若对任意的,总存在,使不等式
成立,求实数的取值范围.
[来源:Zxxk.Com]
【同步训练】
1.设函数,已知曲线在点处的切线与直线平行.
(1)求的值;
(2)是否存在自然数,使得方程在内存在唯一的根?如果存在,求出;如果不存在,请说明理由.
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
2.已知函数.
(1)若函数在其定义域内为增函数,求实数的取值范围;
(3)设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
3.已知函数,其中
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若在上存在,使得成立,求的取值范围.
4.已知函数.
(1)若在上递增,求的取值范围;
(2)若,与至少一个成立,求的取值范围(参考数据:)
5.已知函数.
若,求函数的极值;
设函数,求函数的单调区间;
若在区间上不存在,使得成立,求实数的取值范围.
6.已知函数(为实常数).
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)讨论函数在上的单调性;
(3)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
7.已知,其中.
(1)求函数的极大值点;
(2)当时,若在上至少存在一点,使成立,求的取值范围.
8.已知函数()
(1)若,求的极值;
(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
9.已知函数,.
(1)求函数的单调区间;[来源:学#科#网Z#X#X#K]
(2)若关于的方程有实数根,求实数的取值范围.
10.已知函数,且直线是函数的一条切线.
(1)求的值;
(2)对任意的,都存在,使得,求的取值范围;
(3)已知方程有两个根,若,求证:
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[来源:Z*xx*k.Com]