高中数学专题2.12 已知函数增或减，导数符号不改变（原卷版）

专题12

已知函数增或减，导数符号不改变

【题型综述】

用导数研究函数的单调性

（1）用导数求函数的单调区间

求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求，得函数的单调递增（减）区间．

一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数

一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数

（2）单调性的应用（已知函数单调性）

一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥。

常用思想方法：

函数在某区间上单调递增，说明导数大于或等于零恒成立．，而函数在某区间上单调递减，说明导数小于或等于零恒成立．

[来源:Zxxk.Com]

【典例指引】

例1．已知函数，．

⑴

若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；

⑵

若函数在区间上单调，求实数的取值范围．

例2．已知函数．（x＞0）

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围．

例3．已知函数．[来源:学科网ZXXK]

（1）若曲线在点处的切线的倾斜角为，求实数的值；

（2）若函数在区间上单调递增，求实数的范围

【同步训练】

1．已知函数．

（1）若的图像在处的切线与轴平行，求的极值；

（2）若函数在内单调递增，求实数的取值范围．

2．已知函数．

（1）若在上递增，求的取值范围；

（2）证明：．

3．已知函数．

（1）若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，求的表达式；

（2）若在上是减函数，求实数的取值范围．

4．设函数．

（1）若时，取得极值，求的值；

（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围．

5．己知函数，．

（I）求函数上零点的个数；

（II）设，若函数在上是增函数，求实数的取值范围．

6．已知函数的切线方程为y=3x+1．

(1)

若函数处有极值，求的表达式；

(2)

若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．

7．已知函数．

（1）若函数的图象在处的切线斜率为1，求实数的值；

（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围．

[来源:Zxxk.Com]

8．（本题15分）已知函数．

（I）若在处的切线方程为，求的值；

（II）若在上为增函数，求得取值范围．

[来源:Zxxk.Com]

9．已知函数

（I）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递减,求实数的取值范围．

10．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

11．已知函数

．

（Ⅰ）若在上单调递减，求的取值范围；

（Ⅱ）讨论的单调性．

[来源:Zxxk.Com]

12．已知函数．

（1）当时，判断的单调性；

（2）若在上为单调增函数，求实数的取值范围．