专题11
已知不等恒成立,分离参数定最值
【题型综述】
不等式恒成立的转化策略一般有以下几种:①分离参数+函数最值;②直接化为最值+分类讨论;③缩小范围+证明不等式;④分离函数+数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数,缺点在于函数结构复杂,一般是函数的积与商,因为结构复杂,导函数可能也是超越函数,则需要多次求导,也有可能不存在最值,故需要求极限,会用到传说中的洛必达法则求极限(超出教学大纲要求);直接化为最值的优点是函数结构简单,是不等式恒成立的同性通法,高考参考答案一般都是以这种解法给出,缺点是一般需要分类讨论,解题过程较长,解题层级数较多,不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单,分类范围较小,分类情况较少,难点在于寻找特殊值,并且这种解法并不流行,容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低,这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时,实际上是从特殊到一般,由特殊几点到整个函数图像,实际是一种猜测。
俗话说,形缺数时难入微。
【典例指引】
例1
己知函数.(1)若函数在处取得极值,且,求;
(2)若,且函数在上单调递増,求的取值范围.解:(1),由题意可得:,又,所以.经检验适合题意.(2),在上单调递增在上恒成立在上恒成立
法一(分离参数+函数最值):则在上恒成立,令,下面求在上的最大值.,令,则.显然,当时,即单调递减,从而.所以,当时,即单调递减,从而.因此,.法二(直接化为最值+分类讨论):令,.令,①当时,所以,即在上单调递减.而,与在上恒成立相矛盾.②当时,则开口向上
(方案一):Ⅰ.若,即时,,即,所以在上递增,所以,即.Ⅱ.若,即时,此时,不合题意.(方案二):Ⅰ.若对称轴,即时,则在上为增函数,即,所以在上递增,所以,即.Ⅱ.若对称轴,即时,则,不合题意.法三(缩小范围+证明不等式):令,则.另一方面,当时,则有,令,开口向上,对称轴,故在上为增函数,所以在上为增函数,则,故适合题意.例2.(2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数.(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)若当时,求的取值范围.简析:(Ⅰ)的定义域为.当时,,所以曲线在处的切线方程为.(Ⅱ)法一(参考答案,系数常数化):在恒成立在恒成立,令,①当时,则)时,,故,在上是增函数,故有
②当时,则,由,故,在上是减函数,故有,故不适合题意.综上,实数的取值范围为
法二(直接化为最值):在恒成立,则
(导函数为超越函数);在为增函数,则(1)当即时,则(当且仅当时,取“”),故在为增函数,则有,故在恒成立,故适合题意.(2)当即
时,则,且,故在有唯一实根,则在为减函数,在增函数,又有,则存在,使得,故不适合题意.综上,实数的取值范围为.法三(分离参数):在恒成立在恒成立(端点自动成立),则设,令在为增函数,则在为增函数,又因,故实数的取值范围为
法四(缩小范围):在恒成立,且,则存在,使得在上为增函数在上恒成立,令.又当时,在为增函数,则(当且仅当(当且仅当时,取“”),故在为增函数,则有,故在恒成立,故适合题意.综上,实数的取值范围为.点评:当端点刚好适合题意时,则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则,缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。
2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线在点处的切线的斜率为1;
(1)若函数在上为减函数,求的取值范围;
(2)当时,不等式恒成立,求的取值范围.解:(Ⅰ)
由题知
∴,在上单减,∴在上恒成立
即在上恒成立,∴;
(Ⅱ)法一(直接化为最值)令,则在上恒成立,当即时,在上单减,∴,符合题意;
当时,在上单增,∴当时,矛盾;
当时,在上单减,上单增,而,矛盾;
综上,.法二(分离参数)在上恒成立(端点自动成立)
设,令
在上为减函数,则在上为减函数,又因,故实数的取值范围为
法三
(缩小范围):令,则在上恒成立,注意到,则存在,使得在上为减函数
在上恒成立,又有.则存在,使得在上为减函数[来源:学科网ZXXK]
在上恒成立,又有.又当时,则
[来源:学科网]
(1)若时,在上单减,∴,符合题意;
(2)若时,则,故在上单减,上单增,而,矛盾;[来源:学+科+网]
综上,实数的取值范围为
点评:(1)在端点处恰好适合题意,分离参数所得函数却在时得到下确界,值得留意.(2)缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性,则需要分类讨论,这时可以减少分类的层级数,缩短解题步骤。
(3)构造反例,寻找合适的特殊值,具有很强的技巧性。因函数分解为二次函数与对数函数之和,故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点,对数函数的零点为,而二次函数的零点为及,又知当时,零点,故易得,从而导出矛盾。
【扩展链接】
洛必达法则简介:[来源:学科网]
法则1
若函数和满足下列条件:(1)
及;(2)在点的去心邻域内,与可导,且;(3),那么.法则2
若函数和满足下列条件:(1)
及;(2),和在与上可导,且;(3),那么.法则3
若函数和满足下列条件:(1)
及;(2)在点的去心邻域内,与可导且;(3),那么.利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:
①将上面公式中的换成洛必达法则也成立。
②洛必达法则可处理型。[来源:学科网]
③在着手求极限以前,首先要检查是否满足型定式,否则滥用洛必达法则会
出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。
④若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。
【同步训练】
1.已知函数.(1)若,求证:当时,;
(2)若存在,使,求实数的取值范围.2.已知,是的导函数.
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)若在时恒成立,求实数的取值范围.
3.已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)设函数.若对于任意,都有成立,求实数的取值范围.
4.已知函数,.(Ⅰ)当时,求证:过点有三条直线与曲线相切;
(Ⅱ)当时,求实数的取值范围.5.已知函数().(1)当曲线在点处的切线的斜率大于时,求函数的单调区间;
(2)若
对恒成立,求的取值范围.(提示:)
6.已知函数在点处的切线方程为,且.(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)若在上恒成立,求正整数的最大值.7.已知函数,其中,.(1)若的一个极值点为,求的单调区间与极小值;
(2)当时,,且在上有极值,求的取值范围.8.已知函数.(1)求函数的图象在处的切线方程;
(2)若任意,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,证明:
.9.已知函数,为自然对数的底数).(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.10.设函数.(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)对任意的函数恒成立,求实数的取值范围.11.设函数,其中,是自然对数的底数.(Ⅰ)若是上的增函数,求的取值范围;
(Ⅱ)若,证明:
.12.已知函数()与函数有公共切线.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)若不等式对于的一切值恒成立,求的取值范围.
13.已知函数,.(1)求证:();
(2)设,若时,求实数的取值范围.