【题型综述】
不等式恒成立的转化策略一般有以下几种:①分离参数+函数最值;②直接化为最值+分类讨论;③缩小范围+证明不等式;④分离函数+数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数,缺点在于函数结构复杂,一般是函数的积与商,因为结构复杂,导函数可能也是超越函数,则需要多次求导,也有可能不存在最值,故需要求极限,会用到传说中的洛必达法则求极限(超出教学大纲要求);直接化为最值的优点是函数结构简单,是不等式恒成立的同性通法,高考参考答案一般都是以这种解法给出,缺点是一般需要分类讨论,解题过程较长,解题层级数较多,不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单,分类范围较小,分类情况较少,难点在于寻找特殊值,并且这种解法并不流行,容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低,这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时,实际上是从特殊到一般,由特殊几点到整个函数图像,实际是一种猜测。
俗话说,形缺数时难入微。
【典例指引】
例1
己知函数.(1)若函数在处取得极值,且,求;
(2)若,且函数在上单调递増,求的取值范围.法二(直接化为最值+分类讨论):令,.令,①当时,所以,即在上单调递减.而,与在上恒成立相矛盾.②当时,则开口向上
(方案一):Ⅰ.若,即时,,即,所以在上递增,所以,即.Ⅱ.若,即时,此时,不合题意.法三(缩小范围+证明不等式):令,则.另一方面,当时,则有,令,开口向上,对称轴,故在上为增函数,所以在上为增函数,则,故适合题意.学科&网
例2.(2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数.(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)若当时,求的取值范围.法二(直接化为最值):在恒成立,则
(导函数为超越函数);在为增函数,则(1)当即时,则(当且仅当时,取“”),故在为增函数,则有,故在恒成立,故适合题意.(2)当即
时,则,且,故在有唯一实根,则在为减函数,在增函数,又有,则存在,使得,故不适合题意.综上,实数的取值范围为.学科&网
法三(分离参数):在恒成立在恒成立(端点自动成立),则设,令在为增函数,则在为增函数,又因,故实数的取值范围为
法四(缩小范围):在恒成立,且,则存在,使得在上为增函数在上恒成立,令.又当时,在为增函数,则(当且仅当(当且仅当时,取“”),故在为增函数,则有,故在恒成立,故适合题意.综上,实数的取值范围为.学科&网
点评:当端点刚好适合题意时,则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则,缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。
2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线在点处的切线的斜率为1;
(1)若函数在上为减函数,求的取值范围;
(2)当时,不等式恒成立,求的取值范围.当时,在上单减,上单增,而,矛盾;
综上,.法二(分离参数)在上恒成立(端点自动成立)
设,令[来源:学科网ZXXK]
在上为减函数,则在上为减函数,又因,故实数的取值范围为
(2)若时,则,故在上单减,上单增,而,矛盾;学科&网
综上,实数的取值范围为
点评:(1)在端点处恰好适合题意,分离参数所得函数却在时得到下确界,值得留意.(2)缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性,则需要分类讨论,这时可以减少分类的层级数,缩短解题步骤。
(3)构造反例,寻找合适的特殊值,具有很强的技巧性。因函数分解为二次函数与对数函数之和,故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点,对数函数的零点为,而二次函数的零点为及,又知当时,零点,故易得,从而导出矛盾。
【扩展链接】
洛必达法则简介:
法则1
若函数和满足下列条件:(1)
及;(2)在点的去心邻域内,与可导,且;(3),那么.法则2
若函数和满足下列条件:(1)
及;(2),和在与上可导,且;(3),那么.法则3
若函数和满足下列条件:(1)
及;(2)在点的去心邻域内,与可导且;(3),那么.利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:
①将上面公式中的换成洛必达法则也成立。
②洛必达法则可处理型。
③在着手求极限以前,首先要检查是否满足型定式,否则滥用洛必达法则会
出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。
④若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。
【同步训练】
1.已知函数.(1)若,求证:当时,;
(2)若存在,使,求实数的取值范围.[来源:学.科.网Z.X.X.K]
【思路引导】
(1)由题意对函数求导,然后构造函数,结合函数的性质即可证得题中的结论;
(2)结合题意构造函数,结合其导函数的性质可得实数a的取值范围是.设h(x)=(x≥e),则h’(x)=
u=lnx-,u’=在[e,+∞)递增。
x=e时,u=1->0,所以u>0在[e,+00)恒成立,h’(x)>0,在[e,+00)恒成立,所以h(x)[e,+∞)递增
x≥e,时h(x)min=h(e)=ee
需ea>eea>e学科&网
2.已知,是的导函数.
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)若在时恒成立,求实数的取值范围.
【思路引导】
(Ⅰ)求函数f(x)的导数g(x),再对g(x)进行求导g’(x),即可求出的极值;(Ⅱ)讨论以及时,对应函数f(x)的单调性,求出满足在时恒成立时a的取值范围.
【详细解析】
当时,由()可得().,故当时,于是当时,不成立.综上,的取值范围为.学科&网
3.已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)设函数.若对于任意,都有成立,求实数的取值范围.
【思路引导】
(Ⅰ)
求出,可得切线斜率,根据点斜式可得切线方程;(Ⅱ)讨论三种情况,分别令得增区间,得减区间;
(Ⅲ)对于任意,都有成立等价于恒成立,利用导数研究函数的单调性,求出其最大值,进而可得结果.【详细解析】
(3)当,即时,在上恒成立,所以函数的增区间为,无减区间.综上所述:
当时,函数的增区间为,减区间为;
当时,函数的增区间为,减区间为;
当时,函数的增区间为,无减区间.(Ⅲ)因为对于任意,都有成立,则,等价于.令,则当时,..因为当时,所以在上单调递增.所以.所以.所以.学科&网
4.已知函数,.(Ⅰ)当时,求证:过点有三条直线与曲线相切;
(Ⅱ)当时,求实数的取值范围.【思路引导】
(1),设直线与曲线相切,其切点为,求出切线方程,且切线过点,可得,判断方程有三个不的根,则结论易得;
(2)
易得当时,设,则,设,则,分、两种情况讨论函数的单调性并求出最小值,即可得出结论;
法二:
(1)同法一得,设,求导判断函数的单调性,判断函数的零点个数,即可得出结论;
(2)同法一.【详细解析】
(Ⅱ)当时,即当时,当时,学科&网
设,则,设,则.(1)当时,从而(当且仅当时,等号成立)
在上单调递增,又当时,从而当时,在上单调递减,又,从而当时,即
于是当时,在上单调递增,又,从而当时,即学科&网
于是当时,综合得的取值范围为.当变化时,变化情况如下表:
极大值
极小值
恰有三个根,故过点有三条直线与曲线相切.(Ⅱ)同解法一.学科&网
5.已知函数().(1)当曲线在点处的切线的斜率大于时,求函数的单调区间;
(2)若
对恒成立,求的取值范围.(提示:)
【思路引导】
(1)考查函数的定义域,且,由,得.分类讨论:
当时,的单调递增区间为;
当时,的单调递减区间为.(2)构造新函数,令,则,分类讨论:
①当时,可得.②当时,.综上所述,.【详细解析】
②当时,令,得.当时,单调递增;当时,单调递减.所以当时,取得最大值.故只需,即,化简得,令,得().令
(),则,令,所以在上单调递增,又,所以,所以在上单调递减,在上递增,而,所以上恒有,即当时,.综上所述,.学科&网
6.已知函数在点处的切线方程为,且.(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)若在上恒成立,求正整数的最大值.【思路引导】
(Ⅰ)由函数的解析式可得,结合导函数与极值的关系可得,无极大值.(Ⅱ)由题意结合恒成立的条件可得正整数的最大值是5.【详细解析】
.∴在区间上递增,在区间上递减,又∵
∴当时,恒有;当时,恒有;
∴使命题成立的正整数的最大值为.学科&网
7.已知函数,其中,.(1)若的一个极值点为,求的单调区间与极小值;
(2)当时,,且在上有极值,求的取值范围.【思路引导】
(1)求导,由题意,可得,下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤求解即可;
(2)当时,求导,酒红色的单调性可得,进而得到.又,分类讨论,可得或时,在上无极值.若,通过讨论的单调性,可得,或,可得的取值范围.【详细解析】的单调递增区间为,单调递减区间为,.的极小值为.8.已知函数.(1)求函数的图象在处的切线方程;
(2)若任意,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,证明:
.【思路引导】
(1)
求导,易得结果为;
(2)
原不等式等价于,令,令,分,三种情况讨论函数的单调性,则可得结论;
(3)
利用定积分求出m的值,由(2)知,当时,则,令,求导并判断函数的单调性,求出,即在上恒成立,令,则结论易得.【详细解析】
且时,∴递增,∴
(不符合题意)
综上:
.9.已知函数,为自然对数的底数).(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.【思路引导】
(1),分、两种情况讨论的符号,则可得结论;(2)
当时,原不等式可化为,令,则,令,则,进而判断函数的单调性,并且求出最小值,则可得结论.【详细解析】
(1)
①若,在上单调递增;
②若,当时,单调递减;
当时,单调递增
10.设函数.(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)对任意的函数恒成立,求实数的取值范围.【思路引导】
(1)把代入函数解析式,求导后得到函数在点处的切线的斜率,然后利用直线方程的点斜式得答案;(2)由,得,求出函数的导函数,导函数在处,的导数为零,然后由导函数的导函数在上大于零求得的范围,就是满足函数恒成立的实数的取值范围.【详细解析】
(1)当时,由,则
函数在点处的切线方程
为
即
[来源:学科网]
11.设函数,其中,是自然对数的底数.(Ⅰ)若是上的增函数,求的取值范围;
(Ⅱ)若,证明:
.【思路引导】
(I)由于函数单调递增,故导函数恒为非负数,分离常数后利用导数求得的最小值,由此得到的取值范围;(II)将原不等式,转化为,令,求出的导数,对分成两类,讨论函数的最小值,由此证得,由此证得.【详细解析】
(Ⅱ)
.令(),以下证明当时,的最小值大于0.求导得
.①当时,;
②当时,令,则,又,取且使,即,则,12.已知函数()与函数有公共切线.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)若不等式对于的一切值恒成立,求的取值范围.
【思路引导】
(1)函数与有公共切线,函数与的图象相切或无交点,所以找到两曲线相切时的临界值,就可求出参数的取值范围。(2)等价于在上恒成立,令,x>0,继续求导,令,得。可知的最小值为>0,把上式看成解关于a的不等式,利用函数导数解决。
【详细解析】[来源:Z#xx#k.Com]
(Ⅰ),.
∵函数与有公共切线,∴函数与的图象相切或无交点.
当两函数图象相切时,设切点的横坐标为(),则,(Ⅱ)等价于在上恒成立,令,因为,令,得,极小值
所以的最小值为,令,因为,令,得,且[来源:学科网ZXXK]
极大值
所以当时,的最小值,当时,的最小值为,所以.
综上得的取值范围为.
13.已知函数,.(1)求证:();
(2)设,若时,求实数的取值范围.【思路引导】
(1)即证恒成立,令求导可证;(2),.又,因为时,恒成立,所以,所以只需考虑。又,所以下证符合。
【详细解析】
②当时,