高中数学专题2.10 已知不等恒成立，讨论单调或最值（原卷版）

专题10

已知不等恒成立，讨论单调或最值

【题型综述】

不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：

①分离参数＋函数最值；

②直接化为最值＋分类讨论；

③缩小范围＋证明不等式；

④分离函数＋数形结合。

通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。

【典例指引】

例1．设是在点处的切线．[来源:学。科。网]

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）设，其中．若对恒成立，求的取值范围．

例2．函数.（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若且满足：对，都有，试比较与的大小，并证明.例3．已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【同步训练】

1．已知函数.（1）当，求的图象在点处的切线方程；

（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.2．已知函数，若曲线和曲线在处的切线都垂直于直线．

（Ⅰ）求，的值．

（Ⅱ）若时，求的取值范围．

3．已知函数．

（I）求曲线在点处的切线方程．

（II）求证：当时，．

（III）设实数使得对恒成立，求的最大值．

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

4．已知函数（其中）在点处的切线斜率为1．

（1）用表示；

（2）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；[来源:Z&xx&k.Com]

（3）在（2）的前提下，如果，证明：

．

5．已知函数（）．

（1）若在处取到极值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

（3）求证：当时，．

[来源:学科网]

6．已知函数，其中．

（1）若，求函数在上的值域；

（2）若，恒成立，求实数的取值范围．

7．已知函数．

（1）当时，求在区间上的最值；

（2）讨论函数的单调性；[来源:Z。xx。k.Com]

（3）当时，有恒成立，求的取值范围．

8．已知．

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．

9．已知函数（）．

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

10．已知函数，直线的方程为．

（1）若直线是曲线的切线，求证：对任意成立；

（2）若对任意恒成立，求实数是应满足的条件．