大学 概率论与数理统计 练习卷

2012－2013学年第2学期《概率论与数理统计》期末试题（A卷）

姓名

学号

学院

专业

题号

一

二

三

四

五

六

七

八

总分

得分

评卷人

注意：

一、填空题（每空3分，共15分）。

1、设X服从参数为λ的泊松分布，且，则=

12、设为来自总体的简单随机样本,为样本均值,为样本方差,则服从的分布是

.3、设随机变量与相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则

1/9

.4、设随机变量和的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据契比雪夫不等式

5、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=

二、（10分）从5双尺码不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：

（1）所取的4只中没有两只成对；（2）所取的4只中只有两只成对（3）所取的4只都成对

（1）（2）1-（3）

三、(10分)玻璃杯成箱出售，每箱20只。

已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率

；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。

解：设事件表示“顾客买下该箱”，表示“箱中恰好有件次品”。则，，。

由全概率公式得

由贝叶斯公式

四、（15）设二维随机变量的概率分布为

其中、、为常数，且的数学期望，记.求

(1)、、的值;

(2)的概率分布;

(3).解

(1)由概率分布的性质可知，即.由,可得.再由,解得.解以上关于、、的三个方程可得,.(2)的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则

所以的概率分布为

0

0.2

0.1

0.3

0.3

0.1

(3)

.五、（15）设随机变量的概率密度为

令,为二维随机变量的分布函数.求(1)的密度函数;

(2)

;

(3)

.解

(1)的分布函数为

当时,.当时,当时,当时,.所以的概率密度为

(2)

故

(3)

六、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。

已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？

解：设第K户居民每天用电量为度，1000户居民每天用电量为度，10，=。再设供应站需供应L度电才能满足条件，则

即，则L=10425度。

七、（10分）化肥厂用自动打包机装化肥，某日测得8包化肥的重量（斤）如下：

98.7

100.5

101.2

98.3

99.7

99.5

101.4

100.5

已知各包重量服从正态分布N（）

（1）是否可以认为每包平均重量为100斤（取）？

（2）求参数的90%置信区间。

解、需要检验的假设

检验统计量为，计算可得：，故接受原假设。

（2），n=8

查表得，故置信区间为

八、（15分）

设总体的密度函数是，其中>0是参数。样本来自总体X。

(1)

求的矩估计；

(2)

求的最大似然估计；

(3)

证明是的无偏估计，且是的相合估计（一致估计）。

解：（1），或：，（2）似然函数：，，令，（3），是的无偏估计，，是的相合估计