习
题
2.1
什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,表示系统输出,表示系统输入,哪些是线性系统?
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。
2.2
图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中表示输入位移，表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题2.2)
解:
(1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有
即
(2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有
消除中间变量有
(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有
即
2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
图（题2.3）
解:(1)对图(a)所示系统,设为流过的电流,为总电流,则有
消除中间变量,并化简有
(2)对图(b)所示系统，设i为电流，则有
消除中间变量,并化简有
2.4
求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩,为圆周阻尼，J为转动惯量。
解：设系统输入为M（即），输出(即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
消除中间变量,即可得到系统动力学方程
2.5
输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)=
2x(t)+0.5(t)。
（1）求当工作点为=0,=1,=2时相应的稳态时输出值；
（2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x和y，写出新的线性化模型。
解:
(1)
将
=0,=1,=2分别代入y(t)=
2x(t)+0.5(t)中,即当工作点为=0,=1,=2时相应的稳态输出值分别为。
(2)
根据非线性系统线性化的方法有，在工作点附近,将非线性函数展开成泰勒级数,并略去高阶项得
若令,有
当工作点为时,当工作点为时,当工作点为时,2.6已知滑阀节流口流量方程式为，式中．Q为通过节流阀流口的流量；p为节流阀流口的前后油压差；为节流阀的位移量；c为疏量系数；w为节流口面积梯度；为油密度。试以Q与p为变量（即将Q作为P的函数）将节流阀流量方程线性化。
解：利用小偏差线性化的概念，将函数Q=F(，p)在预定工作点F(，)处按泰勒级数展开为
消除高阶项，有
若令，将上式改写为增量方程的形式
2.7
已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s)。
（1）
（2）
（3）
（4）
解：根据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学方程两边分别在零初始条件下进行拉式变换，然后求Y(s)/R(s)。
(1)
(2)
(3)
(4)
2.8
如图（题2.8）为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型，试以位移x为输入量，位移y为输出量，求系统的传递函数Y(s)/X(s)。
2.9
试分析当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。
解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为，,而闭环传递函数为,则
(1)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，(2)
当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为微分环节时，(3)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为积分环节时，2.10
证明图（题2.10）与图（题2.3（a）所示系统是相似系统（即证明两系统的传递函数具有相同形式）。
解：对题2.4(a)系统，可列出相应的方程。
对以上三式分别作Laplce别换，并注意到初始条件为零,即
则,得,得,得
即
则
将(4)式中的代入(9)式
再用(4)式与上式相比以消去,即得电系统的传递函数为
而本题中，引入中间变量x,依动力学知识有
对上二式分别进行拉式变换有
消除有
比较两系统的传递函数有
故这两个系统为相似系统。
2.11
一齿轮系如图（题2.11）所示。图中，、、和分别为各齿轮齿数；、、和表示各种传动轴上的转动惯量，、和为各轴的角位移；是电动机输出转矩。试列写折算到电动轴上的齿轮系的运动方程。
2.12
求图（题2.12）所示两系统的传递函数。
图（题2.12）
解：(1)由图(a)中系统，可得动力学方程为
作Laplce别换，得
则有
(2)由图(b)中系统,设i为电网络的电流，可得方程为
作Laplce别换，得
消除中间变量有
2.13
某直流调速系统如图（题2.13）所示，为给定输入量，电动机转速n为系统的输出量，电动机的负载转矩为系统的扰动量。各环节的微分方程：
比较环节
比例调节器
（为放大系数）
晶闸管触发整流装置
(为整流增益)
电动机电枢回路
(为电枢回路电阻,为电枢回路电感,为电枢电流)
电枢反电势
(为反电势系数)
电磁转矩
(为转矩系数)
负载平衡方程
(为转动惯量，为负
载转矩)
测速电动机
(为转速反馈系数)
试根据所给出的微分方程，绘制各环节相应的传递函数方框图和控制系数的传递函数方框图，并由方框图求取传递函数和。
2.14
试绘制图（题2.14）所示机械系统传递函数方框图。
2.15
若系统传递函数方框图为图（题2.15）。
(1)
求以为输入，当时，分别以、、、为输出的闭环传递函数；
(2)
求以为输入，当时，分别以、、、为输出的闭环传递函数；
(3)
比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论？
图(题2.15)
解:(1)求以为输入，当时:
若以为输出,有
若以为输出,有
若以为输出,有
若以为输出,有
(2)
求以为输入，当时:
若以为输出,有
若以为输出,有
若以为输出,有
若以为输出,有
(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递出数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数的分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。
2.16
已知某系统的传递函数方框图为图（题2.16），其中，为输入，为输出,N(s)为干扰，试问：G(s)为何值时，系统可以消除干扰的影响。
图（题2.16）
解：方法一：根据线性系统的叠加原理，令,N(s)为输入，系统的输出为
其中
令
有
方法二：令，N(s)为输入，则系统的传递函数方框图可以表示成图（题2.16.b）所示。
图（题2.16.b）
根据相加点前后移动的规则可以将其进一步简化成图（题2
.16.c）和图（题2.16．d）所示的形式。
图（题2.16.c）
图（题2.16.d）
因此，系统在N(s)为输入时的传递函数为
同样可得时，系统可消除干扰的影响。
2.17
系统结构如图(题2.17)所示，求系统传递函数。
2.18
求出（题2.18）所示系统的传递函数。
图(题2.18)
解：方法一：利用梅逊公式，可得
方法二：利用方框图简化规则，有图（题2.18.b）
图（题2.18.b）
2.19
求出图（题2.19）所示系统的传递函数。
图（题2.19）
解：根据方框图简化规则，有图（题2.19.b）
图（题2.19.b）
2.20
求出图（题2.20）所示系统的传递函数。
图（题2.20）
解：根据方框图简化规则，有图（题2.20.b）
图（题2.20.b）
2.21
设描述系统的微分方程为
(1)
(2)
试导出系统的状态方程。
2.22
RLC电网络如图（题2.22）所示，u(t)为输入，流过电阻的电流为输出，试列写该网络的状态方程及输出方程。
2.23
系统传函数方框图为图（题2.23），试列写该系统的状态方程及输出方程。
2.24
图（题2.24）为某一级倒立摆系统示意图。滑台通过丝杠传动，可沿一直线的有界导轨沿水平方向运动；摆杆通过铰链与滑台连接，可在沿直线平面内摆动。滑台质量为M，摆杆质量为m，摆杆转动惯量为J，滑台摩擦系数为c,摆杆转动轴心到杆质心的长度为L,加在滑台水平方向上的合力为u,滑台位置为x,摆杆与铅直向上的夹角为。
(1)
以为输入，为输出，列写系统的微分方程；
(2)
求系统的传递函数；
(3)
试列写该系统的状态方程及输出方程。
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