最小二乘法小结

第一篇：最小二乘法小结

最小二乘法原理

1.介绍部分

最小二乘法是获得物理参数唯一值的标准方法，具体是通过这些参数或者在已知数学模型中与这些参数相关的参数的多余观测值来求得。

最小二乘法最早是由高斯提出，用来估计行星运行轨道的。

1.1 数理统计和最小二乘法

物理量总是不能被精确测定。总是存在一个限定的测量精度，超过这个精度，相关的数学模型和测量仪器的分辨率这两者之一或者全部将会无能为力。超出这个精度，多余观测值之间会产生差异。

我们常常希望获得超过该限定精度的测量值，在不知道真值的情况下我们只能估计真值。一方面我们想要估计出唯一的值，另一方面，我们想要知道这个估计有多好。最小二乘法就是这样一个估计，它基于最小化差值的平方和。

最小二乘法相比其他传统的方法有三个优点。其一，它既可以应用在线性数学模型上也可以应用在非线性数学模型上；其二，它和统计量算术平均值有关；其三，最小二乘法在很多领域是通用的。

物理量的值的唯一统计估计称为点估计。无论频率函数是否知道，我们都可以作物理量的点估计并且可以衡量它与真值趋近程度。另外两种估计，区间估计以及假设检验，它们只能在相应的频率函数已经确定的情况下进行。

1.2 线性代数和最小二乘法

（nontrivial=nonzero，非平凡解就是指非零解）现有线性方程组

A X= L

（1-1）

X是未知数向量，L是常数向量，A是系数矩阵，[A:L]是增广矩阵。该方程组有唯一非零解仅当

L ≠ 0（非齐次方程组），（1-2a）r(A)= X的维数，（1-2b）r([A:L])= r(A)。

（1-2c）

当没有多余等式时，准则（1-2b）意味着A是方阵且非奇异，它的逆矩阵是存在的，这样方程组的解就表达成

X = A L

（1-3）

当存在多余等式时，A将不是方阵，但是AA是方阵且非奇异，这样方程组的解就表达成

X =(AA)

T-1T-1 A L。

（1-4）

TL的元素对应于物理量观测值，基于上述数学讨论，如果没有多余观测量（即没有多余的等式），则未知量将只有唯一的非零解。如果存在多余观测量，它们之间将互相不一致，因为观测存在误差。这样（1-2c）准则就无法满足，也就不存在唯一解。我们只能对结果做一个唯一的估计。从而引入了最小二乘准则。

因为观测误差的存在，使得方程组（1-1）左右矛盾，为此引入一个向量来抵消这个矛盾，从而使方程组成立。于是有

A X-L = V

（1-5）

V称为残差向量。引入X作为X的最优估值，这样最小二乘准则表达为 ^VV(AXL)(AXL)min

（1-6）

估值X称为最小二乘估值。由式（1-4）可得 ^^^T^T^X(ATA)1ATL，（1-7）

观测误差或残差的最优估值由下式得出 ^VAXL。

（1-8）

这些估值称为简单最小二乘估值，或者称为等权最小二乘估值。

组成L的物理量观测值不总是等精度的（比如采用了不同的观测仪器或者不同的观测条件），因此我们给每个观测量分配一个已知的权重，由这些元素构成的矩阵称为权阵P。这样，先前的最小二乘准则调整为 ^^VPVmin。

（1-9）

未知量估值调整为 ^T^X(ATPA)1ATPL

(1-10)^如果P作为观测值的估量协方差阵的逆阵，那么最小二乘估计就是最小方差估计；如果观测误差是正态分布，那么最小二乘方差估计就是最大似然估计。考虑更一般的情形，此时观测量未知参数的非线性方程相关

F(X)LV

(1-11)或者，观测量与未知参数的方程非线性相关

F(X,LV)0

(1-12)

1.3 数字计算机和最小二乘法

从实际出发，矩阵求逆以及矩阵乘法都要求海量的计算步骤。在大型快速计算机发明以前，除非绝对必要，一般是不会去做这样的尝试。然而测量网坐标的最小二乘估计就是这样的必要情况。以前的大地测量学家在简化步骤创新方法上做出很多努力，计算机发明之后这项工作显得没原来那么重要了。然而计算机也不能同时计算多达数千个方程，因此，如今大地测量学家把精力放在改进算法上，以便将一个大问题拆分成许多小问题，再逐一解决。

1.4 高斯和最小二乘法

以下是对高斯一段引文的翻译

“如果用于轨道计算的天文观测值和其他量是完全正确的，则轨道要素也是严格准确的，而无论是从三个或者四个观测值上推导出来（到目前为止轨道运动确实按照开普勒定律在进行），因此，如果使用其他观测值，则轨道要素可能被确定但不准确。但是，因为我们的所有测量值和观测值都只是真值的近似，那么依赖于它们的所有计算也一定是正确的，关于具体现象的所有计算的最高目标一定是近似与真值的，只要接近到可实用的程度。但这只能通过将多于确定未知量所必要的观测量进行适当组合来完成。这个问题只有当轨道的大概知识已经获得的情况下才能处理，这个大概的知识之后将得到改正以便以尽可能最精确的方式满足所有的观测值。”

从这段写于150年前的话可以总结出以下观点 a、数学模型可能不完整，b、物理测量值存在矛盾，c、从矛盾的物理测量值出发进行计算就是为了估计出真值，d、多余测量值将会减小测量值矛盾的影响，e、在最终估值前需要使用大概的初值，f、通过一种方法最小化测量值之间的矛盾值，从而改正初值（高斯所指的最小二乘法）。

2.统计学定义和概念

2.1 统计学术语

统计学，统计量，变量，连续变量，离散变量，常量。一般的测量结果都是连续变量，计算结果是离散变量。随机变量，包含一个值域（跟普通变量相同）和一个概率函数。

总体（population），个体（individual），样本，随机样本（通常样本指的都是随机样本）。样本空间，样本点和事件在使用中分别代替总体，个体和随机样本。分组（class），分组界限，组距，组频率，相对频率。

*没有哪一个关于概率的定义是被所有统计学家所接受的。经典的定义是，等可能取自总体的一个个体落入组A的概率Pr(A)等于所有落入A的个体占总体的分数。这是一个间接定义，因为等可能实际上就是等概率，因此是用概率自己定义了自己。有两种办法来解决这个问题，但都不是完全令人满意的。第一种，定义概率Pr(A)为从总体中选择一个个体，在n次（当n趋于无穷）选择中，个体落入组A的相对频率。第二种，接受“概率”是一个不可定义的概念，仍然称适用于概率的规定为公理。

2.2 频率函数（概率密度函数）

累积频率函数（分布函数，累积分布函数，累积概率函数），频率分布（p26）。频率分布的两个重要特点：集中趋向，离中趋势（离散度）。频率分布两个次重要特点：偏斜度，峰度。

集中趋向的度量方法包括：算术平均值，中位数，众数（mode），几何平均数以及调和平均数。

离散度的度量方法包括：标准差，平均偏差以及极差（range）。期望值及其相关性质。

n阶原点矩，以及n阶平均值矩（我们习惯称为n阶中心矩）的期望，其中二阶中心矩称为方差。

随机变量X矩量母函数（moment generating function）定义

M(t)E[etx]etx(x)dx

，（2-10a）

一个分布的任何矩都可以直接从矩量母函数中推导出来，例如，一阶原点矩

E[x]又如，方差（二阶中心矩）

2dM(t)dtt0M(0)

，（2-10b）

'2E[x2]2M''(0)[M'(0)]，（2-10c）

2.3 多元随机变量频率函数（联合密度函数）

引入随机变量向量

x1xX2

xn多元随机变量频率函数定义

(X0)dx1dx2dxnPr(X0XX0dX)

，（2-11）

其中

x10dx10dxx22X0

，dX 0dxnxn各个不等式同时成立。

多元变量累积频率函数（联合累积分布函数）定义

(X)(X)dx1dx2dxn。

（2-12）

00x10xn

Pr(XX)引入随机变量的统计独立。

0多元随机变量函数的期望，以及多元随机变量分布的均值都与一元情况类似。引入协方差阵X（也称方差-协方差阵），包括方差i及协方差ij的定义和计算方法。

2ij引入相关系数ij，若xi与xj统计独立，则它们的相关系数ij为0，因此协方差ij和相关系数是用来衡量两个随机变量是统计独立还是相关的。

2.4 协方差律

假定随机变量Y与随机变量X线性相关，即

YCX

则有

UYCUX

，CYT

。CX上式即称为协方差律，或者协方差传播律。如果Y与X非线性相关，即

YF(X)

将其运用泰勒级数展开，使原函数线性化，依然可以得到上述结论，只是此时的系数C应该变成

C FXX0。

2.5 点估计

引入统计量（期望，方差）。

引入总体统计量（用希腊字母表示），样本统计量（用拉丁字母表示）。

统计估计是统计学方法的一个分支，通过从总体中所取样本的认识来推及总体的性质。引入估计量（即点估计量），用样本统计量（即估计量）的值去推导总体统计量的值。最常用的估计量是样本均值x2112xs(xx)和样本方差。iinin1i样本统计量本身也是随机变量，存在一个对应的分布（称样本分布），因此从同一个总体中取出的不同样本的统计量的值通常是不等的。

2样本均值的期望等于总体均值，样本均值的方差等于。

n样本方差的期望等于，即等于总体的方差。

引入无偏估计量，表示该估计量的样本分布的均值等于它所估计的总体统计量，因此样本均值和样本方差都是无偏估计量。引入最小方差估计量和最大似然估计量。22.6 区间估计和假设检验

区间估计，若

Pr(e1e2)

称区间e1,e2为的100%置信区间，表示有100%的时候可以认为落在e1,e2内是正确的。

假设检验，即先对总体做出某种假设，然后通过样本值来检验，以决定接受或者拒绝该假设。引入显著性水平，即犯第一类错误（假设正确但是被拒绝）的概率。

引入检验功效(1-)，其中是指犯第二类错误（假设错误但是被接受）的概率。//小结三种统计估计，点估计不需要假定总体分布，区间估计和假设检验则需要假定或者确定总体分布。

3.统计分布函数

引入一元随机变量，多元随机变量。

特殊的分布：正态分布（normal），卡方分布（chi-square），t分布，F分布。

3.1 正态分布

3.1.1 正态分布函数

累积分布函数，概率分布函数（略）。

3.1.2 矩量母函数

xab2t2bt）M(t)exp[at]

（推导过程关键令yb2由前章知

M'(0)a

2M''(0)[M'(0)]2b2

（文章缺失了P30-31）

n(0,1)分布的图像的一些特征：

1）关于纵轴x0对称，2）在x0处取得最大值3）x轴是水平渐近线，4）拐点在x处。

1，23.1.5 关于正态分布的计算

引入正态分布计算表

使用n(0,1)分布的表解来查找结果的基本公式

Pr(xc)N(cu)

Pr(c1xc2)N（c2u)N(c1u)

3.1.6 多元随机变量正态分布

m维多元随机变量正态概率密度函数 (X)Cexp[(XU)TX(XU)21]

其中X是随机变量向量，U是相应的均值向量，X是协方差阵。

常数

C[det(X)]1/2(2)m/21

3.2 卡方分布

3.2.1 分布函数

引入伽马函数

()y1eydy

0其中0。

（-1）!。当1时，(1)1，当1时，()(1)(1)上式令yx/，且0，则有

()()0x1x1exp()dx

从而

101x1xexp()dx

()上式满足累积分布函数的要求，对应的概率密度函数（p.d.f）为

(x)1x1xexp();(0x)()

0 其它

上式即为关于参数和的伽马分布的概率密度函数。当数为 2，且2，其中是正整数，此时该伽马分布就称为卡方分布，它的概率密度函(x)1()222x(1)2xexp();(0x)

0 其它

其中的称为自由度。

上述的服从卡方分布的连续随机变量缩写为2()。

3.2.2 矩量母函数

公式（推导过程略）

M(t)则有

1

(12t)2M'(0)

2M''(0)[M'(0)]22

3.2.3 卡方分布的图像

性质：

a）x0时，值为0，b）最大值在区间0x内，c）x轴正方向是一条渐近线，d）在最大值每边各有有一个拐点。

3.2.4 关于卡方分布的计算

引入卡方分布计算表。基本公式

Pr(x)2P2P1()2220x(1)2xexp()dx;(0x)

22222Pr(PxP)Pr(xP)Pr(xP)1221

3.3 t分布（学生氏分布）

3.3.1 分布函数

令随机变量服从标准正态分布n(0,1)，以及随机变量服从卡方分布2(v)，规定它们是相互独立的，则它们的联合概率密度函数为

12(,)exp()22

0 其它

令

1()222(1)2-exp()，

20t

引入变形等式

 1/2(/)tu u引入雅各比式

u1/2t(u)1/2utu()J()1/2 210tu则新的概率密度函数为

(t,u)(,)J1(2)1/2()2/22u(1)2ut2u1/2exp[(1)]()2

t 0u

0

其它

将上式中的u积分掉，可得

(t)前提是令

1,(t)2(1)/2()1/2()(1t)2[(1)/2]t 1/2(/)可知t分布是由自由度唯一确定的。

3.3.2 t分布的图像

性质：

1）(t)在区间-t上有值，2）(t)在t0处取得最大值，3）t轴是它的水平渐近线，4）在最大值两侧分别有一个拐点。

3.3.3 关于t分布的计算

引入t分布计算表 基本公式

Pr(xtP)(t)dt

tP

3.4 F分布

3.4.1 分布函数

设有两个随机变量u和均服从卡方分布，自由度分别是1和2。则它们的联合概率分布函数为 (u,)1(12)(22u)2(12)/2(121)(221)0ue(u)/2 

0

0 其它

令

f引入变形等式 u/1 /2u/1u/2 z引入雅各比式

uu1z1f()()1zfz2 J2201fz则新的概率密度函数为

(f,z)(u,)det(J)1(12)(22)2(121zf(21)(21)zfz()zexp[(11)]12222)/212

将z积分掉就能得到f的边缘概率密度函数

(f)[(12)/2](1/2)1/2(12)(22)f1/21,(0f)(12)/2(11f/2)

0 其它

随机变量fu/1服从F分布，简写为F(1,2)。/2值得注意的是

1FP(1,2)F1P(2,1)

3.4.2 F分布的图像

性质类似于卡方分布。

3.4.3 关于F分布的计算

引入F分布计算表 基本公式

Pr(xFP)(f)df

0FPPr(FP1xFP2)Pr(xFP2)Pr(xFP1)

1FP(1,2)

F1P(2,1)

4.随机变量函数的分布

统计量是含有一个或多个随机变量的函数，这些随机变量的参数都是已知的，前文提到的样本均值和样本方差都是统计量。

4.1 标准化的正态随机变量分布

给定随机样本X1，X2„„Xn，这里的Xi相互独立，且Xin(,)，则有

d2X

n(0,1)

d4.2 样本均值的分布

给定随机样本X1，X2„„Xn，这里的Xi相互独立，且Xin(,)，则有

d2Xn(,d2n)用矩量母函数证明。

4.3 标准正态化样本均值的分布

给定样本均值Xn(,d2n)，则有

Xdn(0,1)/n

4.4 标准正态化随机变量平方的分布

给定Xn(,)，则有 d2(X)2(1)

121/22d用累积密度函数证明，附带证明出()。

4.5 若干卡方随机变量和的分布

给定随机样本y1，y2„„yn，yi相互独立，且服从yi(i)，则有

d2y(12n)i1nd2用矩量母函数进行证明。

4.6 若干标准正态化随机变量和的分布（p71）

给定随机样本x1，x2„„xn，xi相互独立，且服从xin(,)，则有

d2(1nxi2d)2(n)



4.7 样本方差函数的分布

d(xix)22给定样本方差s，其中xin(,)，则有

n112nn1s22证明的关键

1nxixd2n1

22xi1n2然后运用矩量母函数。

2n1s2nx

224.8 正态化样本均值比值的分布

已知

2a)xn,n，db)xdn0,1, /nc)

则有 n1s2d2n1.2xdtn1 s/n

4.9 来自同一总体的两个样本方差比值的分布

已知

a)n11s12d2n211

b)

则有 n21s22d2n221 s12dFn11,n21 2s2

4.10 多元随机变量标准二次型的分布

已知二次型XT1m1XmmXT，其中X是一个由m个零均值正态分布的随机变量组成的向量，m1Xmm是方差协方差阵。

则有

XT1m1XmmdXT2m m1（该证明过程有待琢磨）

4.11 随机变量函数分布总结

见表中（略）单变量区间估计和假设检验

5.1 介绍

（前章回顾）

关于区间估计，通常需要做估计的统计量是包含在关于它的（有时还包括其它一些）统计量的函数中，不过其它的统计量的值都是可以计算出来的，因此可以通过对不等式的运算得到关于要求统计量的估计区间。

关于假设检验，引入“零假设”和“备择假设”的概念，置信区间用以确定零假设是否应该被拒绝，如果假设被拒绝，那么就称为该检验的显著性水平；如果假设未被拒绝，那么就不能对该假设，假设检验以及显著性水平做出申明。

5.2 单一测量值Xi的检验（关于均值和方差）

d已知单一测量值Xi，且XinXc时，则X,，当Prc2ii的置信区间为

cXic

这个置信区间用来检验假设

H0:XiXH

5.3 均值的检验（关于一个观测值Xi和方差）

2考虑一个观测值Xi，且Xin区间为

dXc时，则的置信,，当Prc2iXicXic

这个置信区间用来检验假设

H0:H

25.4 均值的检验（关于一个样本均值X和方差/n）

当

X Prcc/n则的置信区间为

Xc1/2Xc1/2

nn这个置信区间用来检验假设

H0:H

25.5 样本均值X的检验（关于均值和方差/n）

当 XPrcc

/n则X的置信区间为

 cXc1/21/2nn这个置信区间用来检验假设

H0:XXH

5.6 均值的检验（关于一个样本均值X和方差s）

2当

XPrtPtP

s/n则的置信区间为

 XtXtPP1/21/2nn这个置信区间用来检验假设

H0:H

5.7 样本均值X的检验（关于均值和样本方差s）

2当

XPrttPs/nP 则X的置信区间为

tP1/2XtP1/2

nn这个置信区间用来检验假设 H0:XXH

5.8 方差的检验（关于均值和若干测量值X1,X2,„„Xn）2当

2n2X2PrP1iP2 1则的置信区间为 2n2Xi212P2这个置信区间用来检验假设

2Xi1n2P1

H0:22H

5.9 方差的检验（关于样本方差s）

当 222n1s22PrP2 2P1则的置信区间为 2n1s2n1s22 22P2P1这个置信区间用来检验假设

H0:22H

5.10 样本方差s的检验（关于方差）

当 222n1s22PrP2 2P1则s的置信区间为 222222sP2P1

n1n1这个置信区间用来检验假设

H0:s2s2H

5.11 两个方差比值2/1的检验（关于样本方差s1和s2）

2222当

s12/12PrFFP2 P1s2/222则22/12的置信区间为

222s22s2FFP22 P122ss111这个置信区间用来检验假设

22H0:2/122/1221H

5.12 两个样本方差比值s当

222/s212的检验（关于方差和）

s12/12PrFFP2 P1s2/222则s1/s2的置信区间为 2212s1212FP122FP22

22s2这个置信区间用来检验假设

22H0:s12/s2s12/s2H

5.13 两个方差比值22/12的检验（关于若干来自两个样本的测量值）

当

PrFP1则222Xi11n112n1X1n2i2222n2FP2

/12的置信区间为

nFP11n2Xi21n11n2222n2FP11n222Xi21n1n22Xi1

2Xi11这个置信区间用来检验假设

22H0:2/122/12H

5.14 单一变量置信区间的总结

见表中（略）最小二乘点估计：线性数学模型

线性数学模型

AXLV

其中，nL1称为观测向量，它是一个列向量，元素是观测值；nV1称为残差向量，它是一个列向量，元素未知的测量误差；uX1称为解向量，是我们想要作点估计的对象，它的元素是未知参数；nAu是已知的，称为设计矩阵。注意这里有n个观测值和u个未知量。只有当存在多余观测，即nu时，才能进行最小二乘估计。nu称为多余观测数，或者称为自由度。此外，每一个观测值L都有对应的权，这些权构成了权阵P。

6.1 X的最小二乘无偏估计

最小二乘准则

VPVmin

将VAXL带入，得到 ^^^T^^^AXLPAXLmin

求极值

T^2AXLPA0 ^X通过移项和分离得到 TAPAXATPL0

该式称为法方程。

如果APA，称为法方程矩阵，是非奇异的，那么X将会有一个唯一最小二乘估计值，即 T^TXATPA如果 ^1ATPL

^EXX 那么称X是X的无偏估计量。在这里，X是X的无偏估计量的条件是 ^^EV0

^（由EV0可证得ELAX，继而证得EXX）



6.2 权阵P的选择

易证得观测值L和观测误差真值V具有相同的协方差阵，但并不意味着

L^。V(L表示L的协方差阵，V^表示V的协方差阵)

^因为方差越大表示对应的观测精度越低，而我们希望这样的观测值权重越小，所以，权阵可以定义为

PL1

在进行最小二乘估计之前，必须先定权，由上式可知需要知道协方差阵中的各个对应的方差和协方差，这些值我们可以从采用的测量仪器和测量方法获知。但是我们常常只能得到一个相对值，所以协方差阵要带上一个比例因子，可令

Q

L20相对协方差阵势我们知道的，但是方差因子0不知道。因此，我们令

2PQ10L12

将上式带入XAPA^^T1ATPL中，可得

1L1XAATATLA

1由此未知量全部被消去。

6.3 X的最小化方差点估计

若存在

XBL

则称X为X的一个线性估计。

^。^比X的X是X的最小化方差估计，它是一个线性无偏估计，其协方差阵为XX^^^任何其他线性无偏估计都要“小”。衡量矩阵的大小我们需要某种准则，为此引入矩阵“迹”的概念，它适用于方阵，是一个标量，是该方阵对角元素的和。这样，我们定义的最小化方差条件可以表示为

^)min Trace(X接下来我们将寻找满足该条件的方阵B。由前文知，当EV0时，X是无偏的，即有

^^EXX 由方程线性条件XBL可得 ^E[X]E[BL]BE[L]BAX

因此 ^BAI

则

所以问题变成

T BBXL^^)TraceTrace(X(BLBT)min

在约束条件BAI0下，采用拉格朗日极值法，令

BLBT2(BAI)K

其中K为待定系数，然后有

Tr()0 B由矩阵迹的性质，我们可以得到

Tr()Tr(BLBT)2Tr(BAK)2Tr(k)

Tr(BLBT)B(LTL)2BL

BTr(BAK)KTAT

BTr(K)0 B因此有

Tr()2BL2KTAT0 B或者可以写成

1BKTATL

进一步有

1BAIKTATLA

11KT(ATLA)11T1B(ATLA)AL

最后得到

ˆBL(AT1A)1AT1L XLL上式就是求解X的最小方差估计。

1对比前述，可知当PL时，最小二乘估计就是最小方差估计。

6.4 最大似然点估计

当V服从正态分布时，X的最大似然估计等价于最小二乘估计。

6.5 X的方差和协方差的无偏点估计

我们有 方差无偏估计

ˆTPVˆVˆ 

nu202T1ˆˆ(APA) ˆ0X协方差无偏估计

T ˆˆˆEXXXXX的协方差阵为

Xˆˆ是一个无偏估计量，亦即E(Xˆ)X。当E(V)0时，X由前述知

ˆ(ATPA)1ATPL X由协方差传播律可得

TX)1ATPLPA(ATPA)1 ˆ(APA

(APA)AP0PPA(APA)

20(ATPA)1

T1T21T12ˆˆˆ0是0的无偏估计，则ˆ0因此，当且仅当(ATPA)1是Xˆ的无偏估计。X22从前述可知，只需证明

ˆTPVV1ˆTPV2 ˆ)EE(EV0nunu20已知法方程为

ˆATPL ATPAX变形可得

ˆL)0 ATP(AXˆL)TPA0(AX由法方程，又可得

ˆTATPA LTPAX根据以上关系，可得

ˆTPVˆ(XˆX)TATPA(XˆX)VTPVV其中

VAXL

ˆAXˆL V（注：证明

YTAYTrace(YYTA)

TTTT因为YAY是标量，所以Tr(YAY)YAY,所以Tr((YA)Y)Tr(Y(YA))，所以 TYTAYTrace(YYTA)）

所以，ˆTPVˆTrace(VVT21)Trace((XˆX)(XˆX)T2ˆ1)V0V0X所以，ˆTPVˆ)2ETrace(VVT1)2ETrace((XˆX)(XˆX)Tˆ1)E(V0V0X

ˆX)(XˆX))Trace(EVV)Trace(E(X212ˆX)(XˆX)Tˆ1)0Trace(EVVTV)0Trace(E(XX20T1V20T1ˆX因此，如果有n个观测值和u个未知量，则有

ˆTPVˆ)2Trace(1)2Trace(ˆˆ1)E(V0VV0XX2 0(TraceInTraceIu)2 0(nu)

得证。

ˆˆ。ˆ0，以及X因此，本节我们分别定义了0的无偏估计ˆ的无偏估计X22 最小二乘点估计：非线性数学模型

三个环节：线性化、法方程、最小二乘点估计。

7.1 非线性数学模型的线性化

数学模型的分类：参数法、条件法、组合法。泰勒级数展开。

7.2 线性化举例

两个例子：直线拟合（组合法）、测角三角形（参数加条件）。

7.3 导出法方程

组合法模型

ˆBVˆW0 AX运用拉格朗日乘数法导出法方程。

7.4 导出法方程解的显式

过程类似带参数的条件平差，不详述。7.5 导出协方差阵

过程类似带参数的条件平差，不详述。多变量区间估计和假设检验

8.1 介绍

多变量的区间估计是对单变量区间估计的一个推广，令常见的分布函数带有多个随机变量。多变量的假设检验将给出一些量的置信区间（假设观测量都服从正态分布）。

8.2 方差因子检验

在组合法模型中，自由度为ru；在参数法模型中，nu。则有

2ˆTPVˆˆ0VdˆT1Vˆ2V2()L200上述卡方随机变量的概率为

2ˆ02P(2P)

02P12则，关于0的置信区间为

22ˆ0ˆ02202

P1P22ˆTPVˆˆTPVˆVV220 2P1P2以上置信区间用于检验零假设

22H0:0(0)H

需要注意的是，拒绝零假设除了因为0的假设值不正确，还可能是由于： 1）数学模型缺陷；

2）残差向量中的随机变量不服从正态分布。

上述两条也可以作为零假设来进行检验，但要记住一次只能对一个量进行检验。

8.3 两个方差因子比值的检验

统计量为

2ˆ01()1()/1222ˆ0(0)1()1/(0)1dF(1,2)222ˆ0ˆ02()2()2/(0)2)/22(0)2其中1n1u或者1r1u，2n2u或者2r2u。则随机变量的概率

22ˆ0()1/(0)1P(FP12FP2) 2ˆ0)2/(0()222关于(0)2/(0)1的置信区间为

222(ˆ0ˆ0)2(0)2()2FFP2P1ˆ2 22ˆ(0)1(0)1(0)1被检验的零假设为

22(0)2(0)H0:222(0)1(0)1H

2ˆ的偏差 08.4 当方差因子已知时检验参数X与其估值X统计量为

d2ˆX)Tˆ1(XˆX)(X(u)X其中

2Xˆ0QXˆ

则随机变量的概率为

ˆX)Tˆ1(XˆX)2) P(0(XPX被检验的零假设为

H0:XXH

也就是当计算值 ˆX)Tˆ1(XˆX)2(XPX时，零假设被拒绝。

2ˆ的偏差 08.5 当方差因子未知时检验参数X与其估值X统计量为

ˆX)Tˆ1(XˆX)(X2(u)/uddX2F(u,)2ˆ0()/(2)/0

整理可得

ˆX)TˆX)ˆˆ1(X(XXu其中

2ˆˆˆQXˆ 0XdF(u,)

则随机变量的概率为

P(0相关的置信区间为

ˆX)TˆX)ˆˆ1(X(XXuFP)

ˆX)TˆX)ˆˆ1(X(XX0FPu

这个置信区间的范围由超椭球面方程给出

ˆX)TˆX)uF ˆˆ1(X(XPX其中，uFP为长椭球面方程常数。

ˆ描述的位置，则上述方程变为 将坐标系原点平移到向量Xˆˆ1XuF XTPX考虑二维情形，即u2，则有

ˆˆ1X2F XTPX或者 x1这是一个椭圆方程。类似的，在三维情形下

2x1ˆ12ˆ12x222FP 2xˆˆ21221ˆˆ1X3F XTPX或者

22x1ˆ12ˆ13ˆ12222x23FPˆ21ˆ2ˆ23x32 22xˆ31ˆ32ˆ331x1x2这是一个椭球方程。注意在上述两个例子中，方程中含有交叉乘积项，这是因为主对角元以

ˆˆ的一外的元素并不为零。可以通过将坐标系旋转角使得较差乘积项为零，这个角由X个特征向量的元素计算得到。这个特征向量给出了最大和最小方差的方向，后者就是特征值。例如，在二维情形下，经过上述旋转变换，可以得到椭圆方程

y1被检验的零假设为

20y1ˆmaxy22FP 2ˆymin201H0:XXH

也就是当计算值

ˆX)TˆX)2 ˆˆ1(X(XPX时，零假设被拒绝。分割数学模型

并非所有的最小二乘估计问题都能方便地用组合法模型来表达，需要对该模型做一些补充。这里仅介绍四种分割模型的策略。

本章在阐述四种补充的使用时考虑它们在卫星定位中的应用。我们假设观测值L已经通过某些手段从一个或者多个地面站获得。这些观测值跟地面站坐标以及卫星坐标都是相关的，它们共同构成了未知参数X。

9.1 剔除“麻烦”的参数

卫星的坐标某种程度上来说是一个“麻烦”的参数，我们希望将它们从解中分离出来，因此我们将X分割为地面站坐标，记为X1，以及卫星坐标，记为X2。则组合法模型变为

F(X1,X2,L)0

其中

X1X10X1

0X2X2X2

X1X10X1

观测值L的权阵为

21P0L

运用泰勒级数展开将其线性化，得到

WA1X1A2X2BV0

或者

WAXBV0

其中AA1XA2，X1。

X2在最小二乘原则下，导出法方程

ˆTPVˆ2KˆT(WAXˆˆˆV11A2X2BV)

ˆTP2KˆTB0 2VˆVˆBTKˆ0 PVˆTA0 2K1ˆX1ˆ0 A1TKXˆ2KˆTA20 2AT2Kˆ0

则法方程为

PBT00B0AVˆ02A1K0AT20ˆ0W0AT100Xˆ2Xˆ0 010用第七章的方法消去上述方程中的Vˆ，得 BP1BTA2A1ATKˆW200Xˆ020 AT100Xˆ10进一步消去方程中的Kˆ，得 AT2(BP1B)1A2ATBP1B)1AT12(1ˆ1AT1)11(BPBA2AT1B)1AXA(ˆ22BPB)WT1B)1W1(BP1X1A1(BP上式可以简化写作

N21ˆN22NNXU212ˆ2U0

11X11消去Xˆ2，可得 Xˆ1(N11N12N122N21)1(U1N12N122U2)将Xˆ1回代，可得 Xˆ2N122(N21Xˆ1U2)

进一步，可得

Kˆ(BP1BT)1(A2Xˆ2A1Xˆ1W)VˆP1BTKˆ 最终

Xˆ1X01Xˆ1 0 ˆX0Xˆ X222

9.2 附加观测值

假设有两组观测值，来自相同的地面站

F1(X,L1)0 F2(X,L2)0

其中

XX0X

L1L1V1 L2L2V2

且，观测值L1的权阵为P10L1，观测值L2的权阵为P20L2。将两个非线性函数线性化，效仿上一节，可得

2121W1A1XB1V10 W2A2XB2V20

合并

WAXBV0

其中

AA1

A2B1B0同上一节，法方程为

0 B2P10B1000P20B20B1T000A1T0TB200TA200A1A20ˆV01ˆ0V2ˆW10 K1ˆK2W2Xˆ0ˆ，可得 消去V1P20B2001TB1P1B10A1TTB200TA20A1A20ˆV02ˆK1W10 ˆKW22ˆ0Xˆ，可得 消去V21TB1P1B10TA10TB2P21B2TA2A1A20ˆKW11ˆK2W20 ˆX0ˆ，可得 消去K1TB2P21B2TA2ˆW2KA22ˆAT(BP1BT)1W0 T1T1A1(B1P111111B1)A1Xˆ，可得 最后消去K2ˆ(AT(BP1BT)1AAT(BP1BT)1A)1(AT(BP1BT)1WAT(BP1BT)1W)X***22222进一步，可解出

ˆ(BP1BT)1(AXˆW)K222222ˆ(BP1BT)1(AXˆW)K111111ˆP1BTKˆ V2222ˆP1BTKˆ V1111最后

ˆX0Xˆ X

9.3 未知参数间附加约束条件

数学模型

F(X,L)0

F(X)0

（附加约束条件）将上述模型线性化，可得

W1A1XBV0 W2A2X0

合并

WAXBV0

其中

AA1

A2B0 B00求解法方程，令

ˆTPVˆ2KˆT(WAXˆBVˆ)2KˆT(WAXˆV111222)

ˆ求导，并令其为零，可分别得到 ˆ和X分别对VˆBTKT0 PV1ˆATKˆ0 A1TK122则法方程为

PBTB00A1T000A10A200TA20ˆV0ˆWK110 ˆX0ˆKW22ˆ，可得 ˆ、Kˆ、X同前面的处理手法，依次消去V1ˆ(A(AT(BP1BT)1A)1AT)1(WA(AT(BP1BT)1A)1AT)BP1BT)1W)K22112221111ˆ(AT(BP1BT)1A)1(ATKˆAT(BP1BT)1W)X112211ˆ(BP1BT)1(AXˆW)K111ˆP1BTKˆ V1ˆX0Xˆ X

9.4 未知参数定权

数学模型

F(X,L)0

线性化可得

WAXBV0

这里与前文发生变化的是，残差向量变成VPX，权阵变成了V0其中

P21V0L

P21X0X0

X0是未知参数的先验协方差阵。

上述数学模型可以合并为

WBV0

其中

BBA

在

VˆTPVVˆXˆTPXXˆmin 准则下，令

VˆTPVVˆXˆTPXXˆ2KˆT(WAXˆBVˆ)分别对Vˆ和Xˆ求导，并令其为零，可分别得到 PˆBTVVKT0 PXXˆATKT0 则法方程为

0P。X PV0B0PXABTAT0ˆV0ˆ00 XˆKWˆ，可得 ˆ、X同前文处理手法，依次消去Vˆ(BP1BTAP1AT)1W KVXˆP1ATKˆ XXˆP1BTKˆ VV需要注意的是，这样的结果并不令人满意，因为PX有可能退化成奇异矩阵，这样它的逆矩阵就不存在，上述解也就没法给出，所以要想办法消去解中的PX。令

1PVB0ˆ，可得 ˆ、K依次消去VBT0AT0APXˆV0ˆKW0 ˆX0ˆ(PAT(BP1BT)1A)1AT(BP1BT)1W XXVVˆ(BP1BT)1(AXˆW)KVˆP1BTKˆ VVˆX0Xˆ X

**10 逐次最小二乘估计

为了解决超大型方程组，考虑将其分解成若干个小的方程组，当然这样处理后得出的结果必须服从原方程组的解。引出逐步最小二乘法的概念。

10.1 序贯最小二乘表达

参数数学模型 F(X)L0

线性化，得到

AXVW0

应用最小二乘原则，得到法方程

PI0Vˆ0I0AKˆW0 0AT0Xˆ0 将其分解

Pk10I000PVˆk1k0I0VˆkI000Ak1Kˆ0I00Akk1ˆKk00ATk1ATk0Xˆ首先，令PkAkWk0，则有法方程

Pk1I0ˆV0I0Ak1Kˆk10ATk10Wk1k1Xk1ˆ0则有解

Xˆk1N1k1Uk1 Kˆk1Pk1(Ak1Xˆk1Wk1)Vˆk1Ak1Xˆk1Wk1

其中

N1T-1k1(Ak1Pk1Ak1)UTk1Ak1Pk1Wk1

重组法方程

00Wk1Wk0

00 Pk10I000Pk00II00TAk1000Ak10Ak0I0TAk0ˆV0k1ˆ0 VkˆWk10Kk1ˆ0XkKˆWkk消去Vˆk1和Vˆk，得 P1k1Ak10ATKˆWk1k10ATkXˆk100AkP1kKˆkkWk消去Kˆk1，得 NATk1kXˆUk1AkP1kKˆkkW0 k消去Xˆk，得 (P11TkAkNk1Ak)Kˆ1kWkAkNk1Uk10

又

Xˆk1N1k1Uk1 则

Kˆ(P1kkAkN1k1ATk)1(AkXˆk1Wk)

将Kˆk回代到法方程，得 XˆkXˆk1N1k1ATkKˆk VˆkP1kKˆk 接下来要给出协方差阵的序贯表达式，令

XˆXˆ1kC1C2k

Wk其中

CIN1T(P11T11k1AkkAkNk1Ak)Ak C1T11T12Nk1Ak(PkAkNk1Ak)

0由协方差传播律

NXC2ˆC11kk1Nk100C1TT 1PkC21T1T

C1Nk1C1C2PkC2

令

1Nk ˆ1Xk1Pk1Wk

乘开得到

11T11T11Nk1Nk1Nk1Ak(PkAkNk1Ak)AkNk1

且有

ˆTPVˆKˆTP1Kˆ Vkkkkkk

10.2 卡尔曼滤波方程

电气工程中的最优控制问题。不仅状态空间向量（相当于平差中的未知参数向量）的估值会因为新数据参与到最小二乘估计中而发生改变，这些向量本身的实际值也会随时间发生变化。因此，在最优控制问题中，存在两个随时间变化的因子，其一，状态空间向量的真值是连续变化的；其二，新观测的数据是连续积累的，且状态空间向量新值的新估值从这些新观测数据中获得。

状态向量的时间依赖性由下面的数学模型表达

xk1k1,kxkwk

其中，x是状态空间向量（即解向量），（即k1,k是第k次与第(k1)次状态之间的过渡函数对象模型）。wk是对象白噪声序列（残差向量）。将状态向量和观测数据之间的数学模型线性化，可得

zkHkxkvk

其中，zk是观测值向量（即闭合差向量），Hk是设计矩阵，vk是观测值白噪声序列（即残差向量）。wk与vk的协方差阵分别表示为Qk和Qk。则卡尔曼最小二乘估计问题可以描述为：采用所有数据z0，z1···zj对状态xi进行估计（不一定是最小二乘估计），估计量记为xi/j，则问题为

ˆk/k； a)使用所有数据包括当前数据zk求出当前状态xk的最小二乘估计xˆk1/k1相关； b)将该估计仅表达成与当前观测值zk以及前一个最优估计xc)确保这个解跟同时处理所有数据z0，z1···zj获得的解一样严密。

当缺少新数据时，预测估计可以表示为

ˆk/k1k,k1xˆk1/k1 x卡尔曼方程可以表述为

ˆk/kk,k1xˆk1/k1KkzkHkk,k1xˆk1/k1 xTTKkPk/k1Hk(HkPk/k1HkRk)1

Pk/k1k,k1Pk1/k1kT,k1Qk1 Pk/kPk/k1KkHkPk/k1

ˆk/k1误差的协方差阵，Pk/k为最小二乘估计xˆk/k其中，Kk为增益矩阵，Pk/k1为预测估计x误差的协方差阵。

忽略状态向量的时间，并做一些符号转换

则前述方程可以重新表述为

ˆXˆK(WAXˆXkk1kkkk1)

1T1T11KkNk1Ak(AkNk1AkPk)

11Nk1Nk1KkAkNk1

可以看出，这些表达式跟前一节的表达式是完全等价的，尽管Kk的定义并不相同。

第二篇：最小二乘法的简单例子

我给你个最小二乘拟合的例子自己体会一下：

下面给定的是乌鲁木齐最近1个月早晨7:00左右(新疆时间)的天气预报所得到的温度数据表，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。

(2008年10月26~11月26)

天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

温度 9 10 11 12 13 14 13 12 11 9

天数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

温度 10 11 12 13 14 12 11 10 9 8

天数 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

温度 7 8 9 11 9 7 6 5 3 1

下面应用Matlab编程对上述数据进行最小二乘拟合Matlab程序代码：

x=[1:1:30];

y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1];a1=polyfit(x,y,3)%三次多项式拟合%

a2= polyfit(x,y,9)%九次多项式拟合%

a3= polyfit(x,y,15)%十五次多项式拟合%

b1= polyval(a1,x)

b2= polyval(a2,x)

b3= polyval(a3,x)

r1= sum((y-b1).^2)%三次多项式误差平方和%

r2= sum((y-b2).^2)%九次次多项式误差平方和%

r3= sum((y-b3).^2)%十五次多项式误差平方和%

plot(x,y,'*')%用*画出x,y图像%

hold on

plot(x,b1, 'r')%用红色线画出x,b1图像%

hold on

plot(x,b2, 'g')%用绿色线画出x,b2图像%

hold on

plot(x,b3, 'b:o')%用蓝色o线画出x,b3图像%

第三篇：年终小结

时间如梭，转眼间又将跨过一个之坎，回首望，虽没有轰轰烈烈的战果，但也在集团公司的领导与部门领导的正确指导下顺利的完成了今年的财务工作。按说，我们每个追求进步的人，免不了会在年终岁首对自己进行一番盘点。这也算是对自己的一种鞭策吧。

回想这一阶段工作，再和其他财务经理相比，还存在许多的问题，希望在04年的工作中能够不断改进，不断提高，努力做到适岗。第一． 财务工作距财务管理的要求还有很大的差距。阳城的财务工作更多的还是会计工作，仅仅停留在事中记帐、事后算帐，对事务发展的预见性不够，不能将工作做在前面，往往是碰到问题解决问题，而不能做到防患于未然；另外，作为财务负责人对企业经营活动的参与不够主动，不能深入的掌握其经营活动的特性，只能是按照公司或领导的要求报送数据、资料，在对企业经营进行分析时往往会将企业实际丢在一边，只是按照理论上的指标去计算、去解释。所以这方面的工作距领导的要求还相差太远。第二． 会计工作中仍有许多待改进之处去年集团公司财务管理部下发了《大华集团财务管理制度》以及组织我们学习了财政部《会计工作基础规范》，对我们的会计工作提出了具体的要求。但在实际工作中还存在许多不足之处，尤其在一些小问题的执行上不够坚决，在对一些已形成习惯做法的问题处理上，改变起来还有一定困难。第三． 管理工作的形式化、表面化有很多的日常管理工作作的还不够细致、深化，往往只拘于形式或停留在表面，没有起到真正的管理作用，对照制度的要求，还存在问题，针对这种管理中存在的问题如何将管理工作做细作深，应是今后工作中的又一重点。第四． 缺乏沟通，对相关信息掌握不到位财务工作是对企业经营活动的反映、监督，对本部门以外的信息应及时了解，目前部门之间的协作没有问题，就是对财务暂时没用或是不相关的信息、知识没有主动与其他部门进行沟通、了解，到用时都不知该找谁；另外和公司领导的沟通还存在问题，对领导的工作思路及对财务工作的要求还不能完全掌握，以至于使自己的工作有时很被动。二． 鉴于工作中存在的几个问题以及个人的一些想法，计划在2004年的工作中重点应在以下问题几个方面进行改进、提高：1． 在做好日常会计核算工作的基础上，还是要不断学习业务知识，针对自己的薄弱环节有的放失；同时向其他公司做的好的财务主管学习好的管理、经验，提高自身的综合管理能力。积极参与企业的经营活动，加强事前了解，掌握经营活动的第一手资料，加强预测、分析工作，按照集团公司要求，认真做好财务计划工作。在日常工作中按照财务计划，监督企业对资金进行合理、有效地使用，使企业效益最大化。在实际经营活动中发生与计划数较大差异时，及时与领导沟通，分析查找原因，根据差异及其产生原因采取行动或纠正偏差，或调整已有计划，同时也为日后的计划安排积累经验。2． 力求会计核算工作的规范化、制度化按照财政部《会计工作基础规范》和《大华集团财务管理制度》的要求，做好日常会计核算工作。只有按照《工作规范》、《财务制度》做好日常会计核算工作，做好财务工作分析的基础工作，才能为领导提供真实有效的、具有参考价值的财务分析及决策依据。也争取在大华集团被评为财务信用A类企业之后，阳城公司也能尽早获得这一荣誉。3． 做深、做细日常财务管理工作在接下来的一年，我计划多花一些时间，多研究研究财务软件及销售软件中的功能模块，尽可能使现有的功能得到充分利用，让阳城的财务管理工作更上一个台阶，起到真正的控制、管理作用。4． 不断吸取新的知识，完善自身的知识结构，提高政策水平对财务知识以外的与房地产业、建筑业有关的知识掌握不够，有时也会影响到自己的财务工作。所以在平时，除了加强自身的学习外，要多向其他部门的同事请教，尤其在工作中碰到非财务专业的业务事项时，不能单以自己的理解，应在彻底搞清楚之后，进行处理。5． 加强内、外部的沟通，搜集有关信息在新的一年中，对内需要财务和各部门之间经常进行沟通，形成一种联动效应，对企业的各种信息作一个动态的掌握，对不同时期的各种信息资料不断更新，掌握每一项目的进展、最新的信息。对外加强与地方财税部门之间的联系，及时掌握有关政策信息，既依法纳税又合理避税，为企业合法经营做好参谋。除了我们自身的努力外，给集团财务部提两点建议：首先，从集团外部请老师，针对我们工作中共同的弱点，举办一些专题讲座、培训，关键是理论在实践中如何运用，如何提高财务管理水平。另外，也经常组织一些内部的学习交流，把先进的管理经验让我们大家学习、分享。其次，对于公司财务制度，是否能够也给项目公司的领导及部门经理进行学习，让他们认为必须按制度进行管理，如何按制度进行管理，否则，仅仅财务上对他们进行要求执行起来太难。最后，在今后的工作中，希望领导能一如既往地大力支持财务工作，我也会在工作中尽我所能，不遗余力地作好财务工作。

三、今年主要工作

四、存在的主要问题及今后工作目标

财务部门作为公司的一个主要职能监督部门，“当好家、理好财，更好地服务企业”是我们财务部门应尽的职责。在公司加强管理、规范经济行为、提高企业竞争力等等方面我们负有很大的义务与责任。只有不断的反省与总结，管理工作才能得到提高！一年来财务工作虽然取得了较好的成绩，但还存在着一些问题，有很多应做而未做、应做好而未做好的工作，主要表现在以下几个方面：

1、进一步加强财务管理：

新的一年里，我们将进一步加强财务管理，实现财务管理科学化，核算规范化，费用控制全面化，强化监督度，细化工作，切实体现财务管理的作用。使得财务运作趋于更合理化、健康化，更能符合局（公司）发展的步伐。

切实做好多品种盐账务处理。加强原始票据管理，对报销票据不符实际，不符合真实性要求的，坚决予以拒绝。要进一步落实费用管理责任，严格奖惩，加大对各单位费用的管理、控制力度，严格按有关管理规定执行。

企业管理的核心是财务管理，新的一年里我们加强以资金管理为中心。资金管理一直是我们的工作重点，通过细化管理，理顺流程，实现资金平衡，减少资金沉淀，从而达到公司的成本有效控制、实现增收节支。

2、进一步加强预算管理：

预算收入是我局完成各项工作任务，实现事业发展和工作正常运转的重要保证，进一步强化对下属单位的预算约束，严格控制一般性支出的增长。

同时要加强对局的事业费管理，控制好专项资金的使用，做到专款专用。整理好年内应追加预算项目，及时上报县财政，争取经费追加。

3、进一步加强财务分析：

财务分析工作虽然已展开，但仍处在账面、报表层面上的说明分析，分析深度不够。为提高财务分析能力，把财务分析纳入日常工作中去，我们将量化分析具体的财务数据，并结合企业总体战略，为企业决策和管理提供有力的财务信息支持；及时做好财务分析资料的收集，加强学习，提高财务分析能力，做到较全面地反映一定时期的财务情况。

4、加强会计队伍建设，提高会计信息质量。

会计工作贯穿于企业经营活动的全过程，要按照《会计法》、《企业会计制度》的规定，要以前总理朱熔基同志提出的“诚信为本，操守为重，遵守准则，不做假帐”的要求为职业准则，加强会计人员的政治思想教育、职业道德教育，真实反映会计信息，保证会计信息质量。要加强会计人员从业资格管理，重视和支持会计人员的继续教育和业务培训，全面提升会计人员综合素质，努力建设一支忠于职守，坚持原则，业务过硬、结构比较合理的会计队伍。

新的一年里，我们将向财务精细化管理进军，精细化财务管理需要“确保营运资金流转顺畅”、“确保投资效益”、“优化财务管理手段”等，这样，就足以对公司的财务管理做精做细。要以“细”为起点，做到细致入微，通过行使财务监督职能，拓展财务管理与服务职能，实现财务管理“零”死角，努力挖掘财务活动的潜在价值。实现企业利润最大化。

回顾即将过去的这一年，在公司领导及部门领导的正确指导下，我们的工作着重于内部费用的控管、成本、费用的核算以及对集团下属各公司的财务制度的完善、紧跟公司各项工作部署。在核算、账务处理方面做了应尽的责任。为了总结经验，发扬成绩，克服不足，现将2011年个人工作总结

一、费用的规范管理：

（1）严格按照集团内部费用的规范管理制度对费用进行控制，如小车费用定补到位，差旅费、业务招待费根据不同的省市进行定额补助，填制费用单据时查看发票是否齐全是否有效以及其他费用是否合理，分门别类的核算到每个部门，为方便下年做财务预算时核定每个部门的各种费用打下基础更能清楚的了解每个部门所发生的每一笔费用。

二、会计的基础工作：

(1)规范记账凭证的编制，严格对原始凭证的合理性进行核查，看账实是否相符。强化会计档案的管理，使每一份合同每一份协议甚至公司内部上传下达的每一份文件都逐一装订成册，以便日后备查等。

（2）按规定时间及要求编制集团公司所需要的财务报表，以便领导能及时准确的了解公司内部资金、费用、成本、利润等情况。

（3）每月按时申报各项税金。在集团公司的年中税务审查中积极配合领导完成了往年公司的税务稽查工作。

（4）不断加强对公司固定资产的管理，每个办公室添置什么样的固定资产都按领导签字的申购报告及实物发票入账，核实到每个部门，每个责任人，登记成册入档，以便备查。到期的以及出售给其他单位的固定资产经过固定资产管理模块进行报废处理或者清理处理。

（5）每月按时核算职工的工资及费用，准备无误的统计集团公司及下属各公司的贷款情况，为领导提供最新最准的公司资金信息。

三、财务核算与管理工作

（1）按领导要求对尧治河村宾馆的门市部及餐饮部不定时进行盘点，核算门市部及餐饮部的收入、成本及费用，以便能够及时准确的掌握其经营动态。同时提出了对门市部经营管理的见议，以便日后核算与管理。

（2）正确计算营业税款及个人所得税，及时、足额地缴纳税款，积极配合税务部门使用新的税收申报软件，保持与税务部门的沟通与联系，取得他们的支持与指导。

（3）由于公司以往内部往来管理不严产生漏洞的缺陷，倒至账面数额过大，占用了公司的大部分资金流量，在陆续结算工程欠款的同时，加大了对往来账务的核对与清查，对年限过长的客户往来进行了仔细的核对。

（4）10月份根据公司去年的利润将2011的分红款核算并分配到位。支付分红款时严格按照领导交办的事项，将有欠款的扣回后再予以支付。

（5）积极配合工程部对去年及今年的马绵河公路及其它工程进行验收核算。

四、努力完成领导交办的临时性工作

作为基层工作者，我充分认识到自己是一个执行者，无论何时何地领导交办的工作从不讨价还价都能及时并努力的去完成，遇到问题努力去询问，争取让领导满意。

新的一年意味着新的起点、新的机遇、新的挑战，我决心再接再厉，努力学习业务知识，在公司领导及部门领导的正确指导下更上一层楼。

第四篇：小结

教师个人三年发展规划小结

李玉梅

“百舸争流，逆水行舟，不进则退”。要想使自己不断地前进，必须要付出一定的努力，要不断的扎实自己的专业技能，提高自己的业务水平，下面是我三年的个人专业发展情况作第一阶段小结：

一、学习方面

（一）自学方面

1、研究每一学期所教教材，完成学期教材解读.2、阅读了教育教学方面的书籍，如肖川教授撰写的《教育的理想与信念》，萧启宏先生撰写的《信仰字中求》，教育家李镇西写的《做最好的老师》，《教育工作漫谈》、《汉字学基础》、《陶行知教育名篇》、《小学语文教师》、《小学语文教学》、方舟的《小学六年，从1年级到6年级全知道》等。

3、经常听新闻和上网了解最新时事资讯，扩充课堂的知识容量和新意。

（二）向他人学习

1、充分利用学校为我们搭建的学习的平台，积极参与学习、讨论。抓住一切听课和学习的机会，多观摩青年教师的课，向骨干教师学习，并对自己的教学活动及时进行反思，及时总结自己在教育教学工作中的成功与不足，取长补短，使自己的教学水平逐步提高。

2、积极参加各类培训。

二、教学实践方面

1、积极参加集体备课及个人备课

在集体备课的过程中，了解到了研究问题的基本方法，听了一些权威教师的公开展示课，以及专家的点评课，收获颇多。在组内备课过程中，能够做到认真研究教学教法，认真备学生，向40分钟要效率，从课堂的效果看取得了满意的效果。

2、经常写教后感，教学反思，记录教学心得，每学期都有论文上交。

3、认真完成学校交代的各项任务。

4、在教学中使计算机能与所学课程整合，已经能够独立制作比较实用的PPT教学课件，但flash等课件还不能制作。

5、积极参加国培。

三、协同合作方面

与全校新教师互助互利共同成长，与学片教师共同成长，共同发展。

四、学生管理方面

积极响应教育政策，成立了家委会。积极召开班队会、家长会。学生多次获得校级奖励，本班级也多次被评优。

五、运动训练方面

平时忙于工作但不忘锻炼，积极参加学校组织的各类体育活动，寓教于乐。

六、科学研究反面

平时做到勤思考、勤记录、勤观摩、勤交流，但很遗憾还没有论文发表，继续努力。

七、专业发展方面

积极教研、积极参加各种培训、积极函授中专学历。

以上是我对这三年个人发展情况的一点小结。以后的工作中我会一如既往，认认真真做事，踏踏实实工作，为学生家长负责，为学生的未来负责。我成就学生，也一样成就自己。

第五篇：小结

小结

通过这次的实习，我对自己的专业有了更为详尽而深刻的了解，也是对这几年大学里所学知识的巩固与运用。从这次实习中，我体会到了实际的工作与书本上的知识是有一定距离的，并且需要进一步的再学习。虽然这次实习的业务多集中于比较简单的前台会计业务，但是，这帮助我更深层次地理解银行会计的流程，核算程序提供了极大的帮助，使我在银行的基础业务方面，不在局限于书本，而是有了一个比较全面的了解。尤其是会计分工，对于商业银行防范会计风险有着重要的意义，其起到了会计之间相互制约，互相监督的作用，也有利于减少错误的发生，避免错帐。俗话说，千里之行始于足下，这些最基本的业务往往是不能在书本上彻底理解的，所以基础的实务尤其显得重要，特别是目前的就业形势下所反映的高级技工的工作机会要远远大于大学本科生，就是因为他们的动手能力要比本科生强。从这次实习中，我体会到，如果将我们在大学里所学的知识与更多的实践结合在一起，用实践来检验真理，使一个本科生具备较强的处理基本实务的能力与比较系统的专业知识，这才是我们学习与实习的真正目的。

经过半个月的实习，自己的体会真是不少，我总结为四点：

一、学习是个循序渐进的过程。任何企业公司的发展都是从小到大、从不熟到熟悉,这次实习也了解到了以前只存不贷的邮政储蓄如今发展成即存又贷的邮政储蓄银行,这个演变的过程和我们学习的过程都是同样的道理,学习没有任何捷径可走，更不能存在侥幸心理；必须脚踏实地、一步一个脚印的。

二、细节决定成败。整个业务办理的过程中最突出的一个词就是仔细，所以其中有很多次的审查、审批。银行是一个注重细节的企业，所以出现那怕一点小小的错误，就可能导致整个业务的失败。小额信贷业务最重要的就是讲究核实证件的有效性和授信调查的准确性，决不能因为贷款额度小就马虎大意。假如忽视了无数笔小额贷款，这就将造成一笔无限大的贷款的损失。因此，无论在学习或是生活中，我们都不能忽视细节的重要性，别让细节毁了自己！

三、理论实际的结合是分析、解决问题的关键。在授信调查的过程中，如何运用自己的知识和交谈能力与客户沟通是业务是否成功的关键。不可避免的是一些比较保守的客户不愿意透露自己具体的经济状况，这时就需要信贷员凭借自己所知道的知识与拥有的能力来分析、解决问题。如果一个信贷员的知识面不广，对于客户所经营的行业只是一知半解的话，那么就很难判断客户是否拥有贷款的条件。所以说，了解各方面的知识并且能结合实际操作就显得尤为重要，自己如何将所学的知识与实际问题相联系将成为以后学习的一个重要项目，正所谓学以致用。如果无法将学到的知识运用到分析、解决问题当中，那么问题何以解决?

四、学习永无止荆任何事物的发展都是持续不断的，就像邮储银行目前虽然只经营小额贷款，但将来必定会出现大额抵押贷款、委托贷款等等多形式的贷款。我们的学习更是如此，有这么一个成语：学无止尽，但有部分人读完大学就以为不用学习了，其实这是非常错误的理解。真正接触社会以后，自己就会发现自己还是多么的“无知”，还有太多太多的东西需要我们去学习，并且我们的学习是无时不刻的，许许多多不起眼的小事往往暗藏着大道理，这就需要我们细心去体会和学习，活到老、学到老！

伴随着暑假一天一天过去，我的第一次实习体验也结束了。这次的实习为我以后的职业定向起到了明示作用，并让我了解到了进入社会工作以后将面临的种种问题以及各级之间关系该如何处理。俗话说，千里之行始于足下，这些最基本的业务往往是不能在书本上彻底理解的，所以基础的实务尤其显得重要，特别是目前的就业形势下所反映的高级技工的工作机会要远远大于大学本科生，就是因为他们的动手能力要比本科生强。因此，我现在需要学习的东西还有很多，虽然只有那么短短的半个月，但学到的东西却是一生受用的，为我未来的“目的地”提供了指路标。