方程教学案例与分析

第一篇：方程教学案例与分析

“尝试”方程 别样“口味”

【案例位臵】青岛版五年级上册第四单元

【目标定位】

1、结合具体情境理解方程的产生的必要性，引导学生转变思维方式，实现由“算数思维”向“代数思维”的转变；

2、在实现思维转变的过程中，渗透方程函数思想，体会对比、数形结合等数学方法；

3、在解决问题的过程中，学生体验数学的魅力，感受数学与生活的联系。

【重、难点定位】

学生思维方式的转变，“代数思维”的渗透 【课前热身】

课前游戏：说反义词，感受——“顺”“逆”存在 多——（少）大——（小）高——（矮）增多——（减少）上升——（下降）

我比xxx高10厘米——xxx比老师矮10厘米 我比xxx重10千克——xxx比老师轻10千克 【新课实施】

一、问题引入，对比——“顺”“逆”思维 师：今天到场的学生30人，我所任教的班级比今天到场的学生多20人。我所任教的班级有多少人？ 生：30+20=50

师：为什么选择“加法”呢？

生：老师任教的班级比我们多，所以就用加法呀！

师：平时给你们上数学课的老师年龄是35岁，她比我大5岁。今年我多少岁？ 生：35-5=30

师：不是“大”吗，怎么成“减”了呢？

生：是“大”啊，但是反过来就是“老师您比我们老师小5岁”，不就得减嘛。

师：看来虽然都是一个简单算式解决的问题，在脑子里的思考方式是不一样的。第一个是简单的顺向思考问题，而第二个问题则需要逆向思考。

【设计意图】：在以往的教学中，教师往往忽视在学生脑海中对平时简单数学问题的一种“归臵”，一上课就从简单问题入手去研究方程，让很多孩子一头雾水，明明很简单的算式就能解决的问题，我为何再去理解“等量关系”，再去学个方程，于是后来的努力在孩子们的抵触心理下立马“事倍功半”。我在教学初加上这个环节，归臵了孩子常见问题中实际是两种不同的思考方式，一种是顺向思考，另一种是逆向思考。而问题就是在逆向思考中发现的。对比了两种思维方式，为孩子学得更清楚做好了准备。

二、探求新知，接受——“代数思维”

1、借助顺向思考，感受复杂数量关系

师：今天到场学生30人，会议安排听课的老师是学生的10倍还多8人。听课的老师有多少人？ 生：30x10+8=308

师：我觉得里面的信息挺复杂呀，同学们怎么就这么快解决了呢？ 生：虽然信息很多，但是他说老师的人数是学生的10倍还多8人，学生人数我们知道，用学生人数乘10再加上多出来的8人，不就是要求的教师人数嘛。

（师可出示此题的数量关系，为了直观可采用图形式）

师：那咱们可以这样认为，即使信息再多，只要是顺着这个关系式思考，都是比较简单的，那么大家想挑战可能会出现在哪类问题中？ 生：逆向思考的问题！

【设计意图】：这个问题的答案相信学生会脱口而出，但是我们的算式实际是借助于什么样的等量关系列出的呢？学生之前未作思考，我就利用这个简单问题让孩子们清楚该题中有两个数量（学生人数和教师人数），而它们的关系是：学生人数x10+8=教师人数。而这个等量关系式太抽象我们可以先借助于图形让孩子更好地理解。

2、借助一系列逆向思考问题，感受寻求“新工具”的迫切

师：今天听课老师是368人，是专家人数的9倍还多8人。专家有多少人？

生1：(368-8)÷9 生2：368÷9-8

（在这里同学们的反应势必慢下来，而且意见肯定会发生分歧，出现这种现象都是非常正常的，这意味着孩子们用算术法解决这样的问题是有难度的）

师：我发现同学们的反应慢了而且意见也不一致了，这说明挑战出现了！怎么办？ 生：解决它

师：我们先看看为什么会出现困难，这个题好像好刚才差不多呀，都是几倍还多多少呀，刚才很顺利，现在怎么就麻烦了呢？

生：虽然这个也是谁是谁的几倍还多多少，可是这次我们不知道专家有多少人，而是知道后面的教师人数呀，那么我们需要倒回去呀！（其实孩子们未必就能像我们设想的一样表述那么清晰，但是这个问题势必会刺激学生关注题目中的数量关系，去分析怎么就出困难了呢？尽管孩子们的语言不会准确，但他们的意思肯定都指向对题目中数量关系的分析，这就足够了！）

师：其实同学们的意思我听明白了，（结合课件中的图形演示）虽然这个问题和刚才的类似，但是这次我们知道了教师人数，但不知道前面的专家人数，所以我们需要倒回去做出逆向思考。那么就在“往回倒时”同学们有了困难。

【设计意图】学生对题目中相等的数量关系的理解和感悟重要吗？相当重要，但是我们怎样把孩子们的眼光从他们惯性的去寻求结果上转移到对数量关系的分析上需要老师的智慧，明确告诉孩子：你们找找题目中的数量之间的关系？孩子们会很茫然，但是如果我们把问题换成：“明明和刚才差不多的问题，怎么这个就困难了呢？”这个离孩子们很近的问题来激发他们去用自己的语言表述题目中的数量关系，即使他们说不准确或者并不像我们需要的那么清晰又怎么样呢？至少孩子们主动地去需求了题目中的数量关系，而不是接受和模仿。生：从这个图上我们可以看出应该先减后除。（借助图形孩子们应该理解了算术法解决的正确方法，不做过多处理。）

师：其实生活中还会不会有这种需要我们倒回去的麻烦问题呢？ 生：肯定有！

（出示：今天在宾馆就餐的教师128人，安排了10桌还多8人，每桌有多少人？）

师：咱先来判断一下这是不是个麻烦问题

生：根据这个问题我们应该知道每桌人数x10再加上多出来的8人就是一共就餐的人数，但是一共就餐的人数我们知道，可是每桌人数不知道，所以是个麻烦问题！

（教师可根据孩子们的意思适时总结，出现数量关系，并且标出已知量，和未知量，让孩子清晰看到这是个逆向思考问题。）

师：其实生活中这样的问题很多，甚至还有比这个更麻烦的倒不回去的问题，我们面对这样的问题，会有一种梦想，如果……

（让孩子们看到生活中同类问题会有很多很多，从而激发他们抽取同类问题的共性，找到此类问题的难点，继而激发他们建立新的数学模型，找到新的数学工具的欲望）生：如果也能把他们变成顺着思考的该多好啊！师：对呀

生：可是我们前面有不知道的数呀!那怎么办呀

生：我们可以用字母来代替呀！用a或者其他字母都行呀！

师：对呀，不过为了交流方便人们习惯用x来代表这个不知道的量。生：可是这样的式子还是没算出数来呀！

师：这样的式子我会解（教师把最后的结果写在后面）

【设计意图】无疑前面的所有工作都是这一环节的铺垫，方程函数思想的接受对于孩子们来说是个很大的转弯，也是个很大的难点，我认为也是方程教学最该完成的思想方法上的目标。

3、体验感悟“新工具”的便利，总结方程特征和定义

师：既然我们研制出这么好的式子帮我们解决这些麻烦问题，咱们就来感受一下他的便利（出示问题：一个排球28元，学校购买了一个排球和两个足球共花了138元。问：一个足球多少元钱？）生：28+2x=138

师：这样的式子这么好用，咱们给起个名字吧 生：……

师：其实这样的式子就是咱们听说的方程。那么你认为什么是方程呢？ 生:……

师：含未知数的等式就是方程。为什么含未知数，为什么得是等式？ 生：……

三、练习巩固

1、判断哪些式子是方程

【设计意图】：对知识目标的检查

2、看图列方程

【设计意图】：对知识目标的检查

3、拓展问题

有两个数甲数和乙数，它们的和是190，差是50.这两个数分别是多少？

【设计意图】：对思想方法目标实现的检测

四、总结提升

1、你知道吗：《九章算术》是我国著名的数学著作，在收有的246个数学问题中，方程术是最高的数学成就。而直到1559年,法国数学家布脱才发明了与方程术相似的算法,比起我国,晚了一千六百多年。

你认同——方程术是最高的数学成就，这句话吗？为什么？

2、解决问题的两种工具：算式和方程，分别适合于哪些问题？

3、这节课我们只是简单认识了方程，那么同学们认为关于方程还需要学习什么？（如何解方程……）

【课例反思】以上是我对“方程”教学的一次大胆尝试，从同仁们的反应来看，“风味”十分独特，这节课尽管存在一些问题，但我想从这样尝试中看看其中的收获

1、首先从学生的反映看，在这节课中，出现了很多我们想听到的声音，比如：在我问“你认为什么是方程呢？”孩子们回答“有字母的式子”“就是解决一些很难的逆向思考问题时列的式子”……在我给出方程的标准定以后，我又追问孩子们“你认为为什么要含字母？”孩子们回答：“因为我们有一个数不知道，但我们又想把它放在前面”“因为我们想把那种需要逆回来的问题顺着题目意思思考”……在最后我介绍了方程术的课外小知识，特别强调“方程术是最高成就”你认为这句话过分吗？孩子们回答：“不过分，方程让我以前很多头疼的问题变得很简单了”“用方程来解决那种复杂的逆向思考问题简单多了”……在整个教学过程中也许老师和学生的语言并不是那么严谨，但我认为对“方程”这种数学模型的感悟十分到位，有时内心的准确感悟是不是比语言的精确表述更重要呢？、从数学建模的规律看。顾沛教授谈到基本的数学思想有三种，数学抽象思想，数学推理思想和数学建模思想。而和本节课相关的方程思想就是数学建模思想派生出来的下一步思想。所以我认为方程思想的的渗透应该遵循数学建模的规律，那就是先让孩子们从不同的问题中抽象出一类相同的困难或问题，然后找到一种工具解决这类问题，再把这种工具符号化，模型化，最后再建立的这种新模型投射到生活中，去解决更多的问题。而我对“方程”教学的尝试基本遵循了这样的规律。

3、从数学的教学起点看，我想这也是很多教师没有注意到的一点，我们都知道方程教学这一体系的知识点很多，比如：等量关系，列方程，解方程，用方程解决问题等，我们都知道对于方程来讲等量关系的寻找尤为重要，所以学方程必须先学等量关系，这已经成为教师的一种思维定式，很难破除。但教师可以想想，重要的东西是不是必须作为起点呢？从一个简单问题开始让孩子们找等量关系，只能让孩子一头雾水，以后就得步步跟着教师的引导走，很难实现学生的能动和思考，而我们从方程的必要性入手，让孩子们充分感知当我们面对一类共性的困难时才找到了方程这种好工具，然后再体会要列方程就必须依赖于题目中的等量关系的寻找。

第二篇：“函数与方程思想”案例分析

教学设计案例分析

——“函数与方程思想”案例

一．主题

函数与方程是中学数学的重要概念，他们之间有着密切的联系；函数与方程的思想是中学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题。函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值，解（证）不等式，解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是历年高考的重点和热点。

1.函数的思想

用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识。

2.方程的思想

在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决。

3.函数的思想与方程的思想的关系

在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决。对于函数，当

时，就转化为方程，也可以把函数

看作二元方程，函数与方程可相互转化。

4.函数与方程的思想在解题中的应用

（1）函数与不等式的相互转化，对函数，当

时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。，当

时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。

时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。

（2）数列的通项与前

项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。

项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。

（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决。这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。

（4）立体几何中有关线段，角，面积，体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切。

二．背景

此案例的背景主要是：这是一堂与函数与方程思想有关的中学数学课，虽然本节教材是实施新的课程改革，但是这节内容与老教材的内容基本一致。选用此案例的原因是虽然该案例的授课老师授课时是一节平常课，采用的上课方式是组讨论式，但是该授课老师以前曾有过用此节内容开公开课的经历，当时采用的上课方式是普通的启发式教学。通过此案例我们可以将其进行分析比较，进而得到结果。

三．情景描述

四．教学反思研究

五．教学设想

第三篇：10简易方程教学案例

《简易方程》教学案例

[案例] 在教学完方程的意义与解简单方程后，我布置了课本中这样的一道练习：根据题中的数量关系列出方程，并求出方程的解。检查学生作业，有两种解法引起了我的注意。

其中图2：一架录音机原价X元，优惠45元，现价128元。列方程：X=45+128。图3：一盒圆珠笔12枝，X元/枝，每盒18元。有学生这样解答：

18÷X=12

解：18÷X×18=12×18

X=216 于是在讲评时我把这两个方程逐一写在黑板上。学生看到这两个方程开始议论纷纷。师：对于这两位同学的解法大家有什么想说的？ 生1：X=45+128不是方程，他把X单独放在一边了。生2：是方程，只要含有未知数，又是等式就是方程。

生3：老师我觉得应该把这个方程改为X－45＝128或者X－128＝45才是正确的。（有的学生没有表态，带着疑惑的表情。）

师：从方程的意义来看X=45+128，它含有未知数，也是等式，它应该是方程。如果从这个方程表示的等量关系上看，它又是什么意思呢？

生：原价＝优惠价＋现价

师：是的，这道题要求原价，根据数量关系原价等于现价与优惠价的和，方程X=45+128实际上就是过去我们学过的算术法的算式。因此在列方程解答实际问题时，我们一般不列这样的方程。刚才那位同学说的把X单独放在一边就是这个意思。（我这么一说，下面学生有的点头，有的发出“哦”的声音。）

师：那么18÷X=12这个方程呢？ 生：这个是对的。

接着我在这个方程下面继续板书那位同学的解法，刚一写完，有的同学就笑了，“老师，一盒笔才18元，一枝笔怎么216元了啊！”

师：是啊，一枝笔怎么比一盒笔还贵了呢？可方程是对的，那问题出在哪呢？ 生1：老师，我知道是她算错了，方程两边不应该同时乘18。生2：那同时除以18也不对啊！师：那其他同学是怎么列方程的？ 生：12X=18。

师：首先我们要肯定这位同学列的方程是对的，18÷X=12用除法列方程，而12X=18用乘法列方程，一般来说，同一数量关系，用乘法列方程比用除法列方程更容易思考，在解答上也更简便。因此今后遇到这种情况，应选择乘法方程进行解答，对于18÷X=12的解法现在我们暂不学习，以后大家会接触到。

我以为讲到这里应该是可以结束了，没想一学生（生3）站起来说：“老师，这个方程可以解答的，只要在方程两边同时乘X就可以了。”这话一出，学生们又议论开了，“这样一来不是方程的左边X就没了？”我一看这样式，心想不讲清楚是不行了，干脆按那位同学的意思继续板书：18÷X×X=12×X

18＝12X 生3：现在只要把这个方程的左右两边换过来就成了12X=18，也就是我们的乘法方程了。

我满意地点着头，其他同学也恍然大悟：“原来是这样啊！”

师：这位同学真了不起！正因为这种解法有难度，所以我们现在暂时不学，而采用乘法方程来解答这样的问题，今后大家在列方程解答实际问题时应该注意这一点。

反 思：

方程是个比较抽象的概念，对于刚接触方程的小学生来说，由于长期用算术方法解决问题形成的定势，所以在列方程解决问题时，往往容易受到算术法思路的干扰，列出形如X＝a±b或X＝ab这样的方程，另一方面由于学生对列方程解决问题时，未知数要以一个字母为代表和已知数一起参加列式运算这一点也不是很理解，所以就容易出现象 X=45+128这样的失误。另外列方程解答问题具有优越性，但在一步计算的问题中这种优越性体现得并不是很明显，学生往往更习惯于用算术的思维去思考问题，我想这应该也是导致学生列出X=45+128这类方程的一个原因。要让学生学会列方程解决实际问题，并在解决问题中感受方程的优越性，这需要有一个过渡和适应的过程。当学生的练习中出现以上情况，我们应该在肯定其正确的前提下说明一般情况不列这样的方程。为了避免算术思路对列方程解决实际问题的影响，教学中应注意进行对比，区别两者在思考方法上的不同，使学生理解把X单独放在一边所列的方程实际上是应用了算术法的思考方法，这样的方程是没有意义的。

对于学生2在方程解答上的错误，我们不能单纯地理解为计算的粗心马虎，18÷X=12是一个正确的方程，只是目前来说这类方程的解答学生还没有学习。分析该生的思路，我们不难看到她应用的是逆思考的方法，由于这类方程在变形和算理解释上比较麻烦，所以在小学阶段暂不出现，而是采用“以乘代除”的方法来列方程解答。虽然在例题的讲解中我对这样的问题也作了说明，但仍然无法避免学生出现类似现象。因为对于分析问题能力

相对较差的学生来说，要在几种等量关系中选择一种容易计算的列方程，部分学生觉得有困难。再看学生的解答过程，我们还能发现学生把18÷X=12与X÷18＝12的方程混淆了，另外在学生的思维意识中，等式性质中提到的同时加上（或减去）、同时乘以（或除以）一个相同的量，应该指的是数字，所以学生没有想到也可以是字母，这也正是此类方程解答的困难所在。教学参考书中明确指出在小学阶段暂不出现形如a－X＝b和a÷X＝b这类方程，但由于一学生的错误和另一学生的创新思维，却使课堂有了新的生成，虽然解答过程不在要学的范围内，但如果这样的讲解能使部分疑惑的同学解惑，我想这样的方式应该也是可取的。

课后当我再次回想课堂上的情景时，我又有了这样的困惑：对于解方程这部分内容，新教材与旧教材比较，新教材运用等式的性质解方程，的确是降低了计算的难度，也有利于加强中小学数学教学的衔接，但由于部分类型的方程在小学阶段没有出现，学生只能选择当前能够计算的思路列方程，这样对拓展学生的思维来讲是不是带有一定的局限性？

第四篇：方程的意义教学案例

《方程的意义》教学案例

教学目标：

1.知识目标：使学生在具体情境中理解与掌握方程的意义，认识方程和等式之间的关系，使学生初步理解等式的基本性质。

2.能力目标：使学生在观察、思考、分析、抽象、概括的过程中，经历将现实问题抽象成等式与方程的过程，体会方程是刻画现实世界的数学模型，发展学生思维的灵活性。

3.情感态度与价值观：使学生在积极参与数学活动的过程中，加强数学知识与现实世界的联系，培养学生认真观察、善于思考的学习习惯与数学应用意识，渗透转化的数学思想。教学过程：

一、认识等式与方程

1、出示例1天平图（两边没有砝码）

提问：这是什么？它有什么作用？

2、在天平的两边放上砝码（50＋50=100）

提问：你看到天平怎样？天平平衡，说明什么？

你能用式子表示两边物体之间的质量关系吗？（50＋50=100或50×2=100）为什么中间用等号？

指出：像这样表示相等关系的式子就是等式。

3、现在老师把左边的一个砝码换成70克，天平会怎样？哪边重？你能用式子表示它们之间的关系吗？（50＋70＞100）

4、现在老师如果把左边托盘中的一个50克的砝码换成X克的砝码，你会有什么想法？

（50＋X＞100

50＋X=100

50＋X＜100）

5、出示例2天平图

你能用式子表示两边物体之间的质量关系吗？

（X＋50＞100

X＋50=150

X＋50＜200

2X=200）

6、出示观察和操作得到的8道不同的式子。让学生分组讨论对8道式子进行分类。（提示：要按一定的标准进行分类。）指名分类，要求说出分类标准。

7、对“是等式的”与“含有字母的”式子进行再次分类。“是等式的”分为“不含有字母的等式”、“含有字母的等式”。“含有字母的”分为“含有字母的等式”、“ 含有字母的不等式”

观察“是等式的”中“含有字母的等式”与“含有字母的” 中“含有字母的等式”发现了什么？这些式子有什么共同的特征？

8、师小结：像这样含有未知数的等式是方程。你能举出一些方程吗？（先指名说，后同桌互说。）

9、揭示课题：认识方程。

二、认识等式与方程关系

1、哪些是等式？哪些是方程？

（1）6＋X=14（2）36－9=27

（3）60＋23＞70（4）8＋X（5）50÷2=25（6）X＋4＜14

（7）Y－28=35

（8）25－20=X＋1 等式有：

方程有：

2、判断。（正确的打“√”，错误的打“×”。）（1）所有的方程都是等式。

（）（2）所有的等式都是方程。

（）

3、请同学们在作业本上画图表示方程与等式的关系。

指名回答，作品展示。

出示集合图表示方程与等式的关系。

三、介绍我国古代运用方程的思想方法的历史。（文字与录音）

四、实践应用，拓展外延。

1、看图列方程。（略）

2、其实，在我们日常生活中，经常用方程来表示数量之间相等的关系。我们的生活离不开衣、食、住、行，下面请看题：（逐题进行，指名列方程。）（1）衣

为了庆祝“六一”儿童节，我班有12人参加舞蹈演出，每件舞蹈服b元，一共花了960元。（2）食

小明的早餐是一杯牛奶X克，一袋面包200克，牛奶和面包一共500克。（3）住

同学们参加夏令营活动，一个房间住5个人，Y个位房间能住45人。（4）行

一辆公共汽车从外国语学校开往大车站，车上原有X人，在我们解放路小学站有10人下车，8人上车，车上还剩20人。

3、挑战题。

哥哥有60张卡片，弟弟有20张卡片，哥哥借给弟弟X张后，两个人的卡片一样多了，你能写出方程吗？

五、全课总结。

通过这节课的学习，你有哪些收获？

第五篇：抛物线及其标准方程”教学案例

市教案设计一等奖

高中数学“情境·问题·反思·应用”

——“抛物线及其标准方程”教学案例

梁

家

斌

（江苏省金湖中学，江苏 金湖 211600）

摘要：通过几何画板及Fash的演示，使学生直观感受抛物线的形成过程，然后学生运用类比的方法，自主研究、合作交流等方式得出抛物线的定义、标准方程，最后反思应用。

关键词：抛物线；标准方程；教学 1 教学设计

1.1 教学内容分析

圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。本章对抛物线的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是完全可以接受的，讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出抛物线的定义、标准方程，最后反思应用。本课是高二数学§8.5的第一课时，它是学习抛物线的性质及其应用的基础。抛物线的定义很简单但非常重要，学习时要注意和椭圆、双曲线的第二定义相联系，为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备。由椭圆、双曲线、抛物线的定义可以看出，它们都是平面内与一个定点的距离和它到一条直线的距离之比为常数e的点的轨迹，随着e的变化，轨迹的图形发生变化，既可从中得到圆锥曲线的统一定义，又可对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。在由抛物线的定义导出它的标准方程时，可先让学生考虑怎样选择坐标系，在导出方程的过程中，设焦点到准线的距离是p，这就是抛物线方程中参数p的几何意义，所以p的值永远大于0。1.2 数学情境的创设

笔者上这一节课的时间是2003年12月10日上午第二节，当时的背景是淮安市高

一、高二数学研讨会在我校举行，围绕新课改的精神，如何进行课堂教学上的一节公开课。笔者设置了以下的数学情境：

前面我们一起研究了椭圆、双曲线的定义，标准方程，几何性质，大家想一想：椭圆、双曲线的第二定义的内容是什么？

与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？

师生一起利用几何画板进行动画演示得出e=1，指出此时曲线是抛物线。1.3 教学目标

根据教学大纲和考试说明，结合数学情境的创设，确定本节课的素质教育目标是： ⑴知识教学目标：理解和掌握抛物线的定义与标准方程。

⑵能力训练目标：掌握抛物线的定义及其标准方程，掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系，培养学生数形结合、分类讨论、类比的思想。

⑶德育渗透目标：根据圆锥曲线的统一定义，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。2 教学过程 2.1 创设情境

师：前面我们一起研究了椭圆、双曲线的定义，标准方程，几何性质，大家想一想：椭圆、双曲线的第二定义的内容是什么？

生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？

师生一起利用几何画板进行动画演示得出e=1，指出此时曲线是抛物线。

（通过几何画板的演示，由e的变化揭示课题，通过研究e的值，得到抛物线，再观察抛物线的点满足的条件，由学生归纳抛物线的定义，生动、直观。）2.2 探索研究

1、实验、演示，观察猜想。几何画板课件演示：

学生观察 ① 动点M到焦点F的距离|MF|与动点M到定直线l的距离d之间的关系；② 观察追踪动点M得到的轨迹形状。

探索出当e ＝1时动点M的轨迹为抛物线，进而给出抛物线的定义。

2、抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.3、求抛物线的标准方程。师：下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程，过F作准线的垂线，垂足为K，设｜MK｜＝p，如何建立直角坐标系？

先让学生思考，独立建立直角坐标系，教师巡视，从学生中归纳出以下几种解法，视频展台展出。

y2＝2px－p2(p＞0)

y2＝2px＋p2(p＞0)

y2＝2px(p＞0)

师：选择哪一种方程作为抛物线的标准方程？并说明理由。

生：将方程y2＝2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程，因为此时方程最简洁，顶点是原点。师：很好！我们把方程y2＝2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程，它表示焦点在x轴的正半轴上，坐标是(p/2,0),准线方程是x＝－p/2。（Flash动画演示）

强调：① p的几何意义；

② 已知抛物线的标准方程y2＝2px（p>0），迅速写出它的焦点坐标、准线方程； ③ 已知抛物线的焦点F（p/2，0）或准线方程x＝－p/2（p>0），迅速写出其标准方程。练习：已知抛物线的标准方程是y2＝6x，则焦点坐标是________；准线方程是_____________。生：焦点(3/2, 0)，准线方程是x＝－3/2。

4、讨论四种位置上的抛物线标准方程

利用Fash，设置一个旋转按钮将焦点在x轴正半轴上的抛物线（上图）逆时针旋转分别得到下列图形，由学生说出标准方程，焦点坐标及准线方程。

图形

标准方程：y2＝－2px（p>0）

x2＝2py（p>0）

x2＝－2py（p>0）焦

点：F(－p/2,0)

F(0，p/2)

F(0，－p/2)准线方程：x＝p/2

y＝－p/2

y＝p/2 师：观察上面的图与表格，观察、归纳，寻找异同？ 生：相同点 ① 顶点为原点； ② 对称轴为坐标轴；

③顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为p(p＞0)。不同点 ①一次项变量为x（或y），则焦点在x（或y）轴；若系数为正，则焦点在正半轴上，系数为负，则焦点在负半轴上；

② 焦点在x（或y）轴的正半轴上，开口向右（向上），焦点在x（或y）轴的负半轴上，开口向左（向下）。

（学生先归纳，师然后点评）

师：知道抛物线的标准方程，如何写出焦点坐标与准线方程？

生1：先确定焦点的位置，然后根据表格写出焦点坐标与准线方程。

生2：先观察方程的结构，若一次项变量为x，则焦点的横坐标是一次项系数的1/4，纵坐标为0；若一次项变量为y，则焦点的纵坐标是一次项系数的1/4，横坐标为0。2.3 反思应用

例1 已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程.生：因为焦点在y轴的负半轴上，并且所以所求抛物线的标准方程是x2=－8y.变：

⑴抛物线的标准方程是y2=－6x，则它的焦点坐标是＿，准线方程是＿＿＿； 生：焦点(－3/2,0)，准线方程x＝3/2 ⑵抛物线的标准方程是y=－x2/8，则它的焦点坐标是＿，准线方程是＿； 生：焦点(0，－2)，准线方程x＝2 ⑶抛物线的焦点F(0,3)，则它的标准方程是________； 生：x2＝12y ⑷抛物线的准线方程是y＝3,则它的标准方程是＿＿＿＿＿＿； 生：x2＝－12y ⑸抛物线的焦点在x轴上，且过点(－3,2)，则它的标准方程是_____； 生：由抛物线过点(－3,2)，且焦点在x轴上，设方程为y2＝－2px(p>0), 将点(－3,2)代入方程得p＝－4/3，所以方程为y2＝－4x/3。

师：大家想一想，在椭圆（或双曲线）中，若椭圆（双曲线）经过两个点，求它的标准方程时，我们是如何设方程的？

生：一般化，设mx2＋ny2＝1(m>0,n>0)师：这里能否一般化？

生2：能！∵抛物线的焦点在x轴上，∴设方程y2＝mx(m≠0)将点(－3,2)代入方程得m＝－4/3，所以方程为y2＝－4x/3。例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程 ⑴过点(－3,2)；

生：设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点的坐标代入得

y2 ＝－4x/3或 x2＝9y/2 ⑵焦点为直线l：2x＋y－4＝0与坐标轴的交点。生：先求出直线与坐标轴的交点（2,0）或（0,4），故标准方程为y2 ＝8x或 x2＝16y 例3 点P(2,y)为抛物线y2＝8x上的一点，F是它的焦点，则|PF|＝______，y＝_____。

生：由抛物线y2＝8x知准线方程x＝－2，根据抛物线的定义知|PF|等于点P到准线的距离4，将点的坐标代入方程有y＝±4。

师：解决这类问题，首先心中要有一个图形，利用定义求解是关键。变：若点Q为抛物线的一点，⑴若|QF|＝4，则点Q的坐标是_________； 生：(2,±4)⑵|QF|的最小值是_______； 生：2 ⑶若A(3,4),则|QA|＋|QF|的最小值是____，此时点Q的坐标是_______。生：5；（2,4）2.4 归纳总结

师：下面请同学们回忆一下，这节课学习的主要内容？

生：⑴抛物线的定义、焦点、准线、标准方程等基本知识及其相互联系； ⑵理解p的几何意义，即焦点到准线的距离，p>0；

⑶掌握用坐标法求曲线方程的方法，要注意选好坐标系的恰当位置。师：用到了哪些数学思想方法：

生：坐标法、数形结合、待定系数法、定义法 师：一起观看表格，并填充（表在几何画板上）3 回顾反思

这堂课受到听课教师和学生的好评，主要是因为把学习的主动权交给学生，利用几何画板创设情境，使得学习内容直观、生动，抓住解析几何的核心─数形结合。3.1创设情境是上好课的基础

利用几何画板从学生已有的知识进行迁移，采用类比的方法让学生主动学习、合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力。3.2恰当引导学生提出数学问题

在上课前需要事先预想学生可能会提出的问题以及可能提出的解决方法，但是也不能忽视学生的发散思维，在讲授过程中并不是每一个环节都能按照教师预想的步骤进行，对于课堂上突发性的问题，教师要能自如地应对。比如，在如何建立直角坐标系求方程时，有一个学生提出以FK为y轴，FK的中垂线为x轴，虽然与我们的过程不一致，也要加以肯定与鼓励，其实从另一个角度来看，反而是一件好事，为我们后面谈其它三种形式埋下引子。3.3 变式训练，提高学生解题能力与思维深度

在本例中，我们围绕例1进行变式训练，师生围绕几个典型问题展开了充分的讨论，学生在质疑、讨论、总结的过程中，理解了抛物线的定义与标准方程，形成了自己的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发了学生的智慧源泉，实现了举一反

三、触类旁通的效果。3.4 教师的反思