2008届高考数学一轮复习难点突破练习(25)——垂直与平行

第一篇：2008届高考数学一轮复习难点突破练习(25)——垂直与平行

高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

第一轮复习：高2008届数学难点突破练习二十五

垂直与平行

垂直与平行考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.难点：

已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直.(1)求证：AB1⊥C1D1；(2)求证：AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角.例题：

［例1］两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识。解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)线(外)∥面.或转化为证两个平面平行.证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键.证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB.∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形 ∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE.证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

∴AMAH ACABFNAH BFAB连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴MN∥平面BCE.［例2］在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。线面垂直、面面垂直的判定与性质.(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线.(1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C ∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C ∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C.∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点

∴AM=DE=CC1121AA1，∴AM=MA1.2垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：

1.平行转化

欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

2.垂直转化

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.练习题：

一、选择题

1.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（）A.8 B.3 8

C.3

D.42.在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，则（）A.a不和b垂直，但可能a∥b

B.a可能和b垂直，也可能a∥b C.a不和b垂直，a也不和b平行

D.a不和b平行，但可能a⊥b

二、填空题

3.设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号).①X、Y、Z是直线

②X、Y是直线，Z是平面

③Z是直线，X、Y是平面

④X、Y、Z是平面

4.设a,b是异面直线，下列命题正确的是_________.①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 ②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 ③过a一定可以作一个平面与b垂直 ④过a一定可以作一个平面与b平行

三、解答题

5.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.(1)求证：CD⊥PD;(2)求证：EF∥平面PAD;(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？

6.如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由.(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

7.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3.(1)若M为AB中点，求证：BB1∥平面EFM；(2)求证：EF⊥BC；

(3)求二面角A1—B1D—C1的大小.8.如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB= ∠C1CD=∠BCD=60°,(1)证明：C1C⊥BD；

(2)假定CD=2，CC1=的余弦值；

(3)当

3，记面C1BD为α,面CBD为β,求二面角α—BD—β的平面角2CD的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？ CC1

参考答案

难点：

1.(1)证明：∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1.(2)证明：连结D1D，∵D是AB中点，∴DD

1CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂线定理得BD1⊥AB1，又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD.(3)解：由(2)AB1⊥平面A1CD于O，连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=∴∠OCA=

AO1，AC2.6练习题：

一、1.解析：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=2，AO1=32，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H=4.3

答案：C

2.解析：如图，在l上任取一点P，过P分别在α、β内作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β,过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角.答案：C

二、3.解析：①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例.答案：②③ 4.④

三、5.证明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD.(2)取CD中点G，连EG、FG，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解：当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD

欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

证明：G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.6.(1)证明：

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形

∵A—BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形.(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH.面BCP⊥面EFGH，3a.27.(1)证明：连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM.(2)证明：取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得：AN⊥BC，又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME.∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，又EF平面EFM，∴BC⊥EF.(3)解：取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD为二面角A1—B1D—C的平面在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=角，易得∠A1QO=arctan15.8.(1)证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD

又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD.(2)解：由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角.在△C1BC中，BC=2，C1C==

333，∠BCC1=60°，∴C1B2=22+()2－2×2××cos60°22213.413,BC=1,C1O=,即C1O=C1C.2233作C1H⊥OC，垂足为H，则H是OC中点且OH=，∴cosC1OC=

23∵∠OCB=30°,∴OB=欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

(3)解：由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，当

CD=1时，平行六CC1面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com

第二篇：《平行与垂直》重难点突破

平行与垂直

教学目标：

知识与技能：理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊位置关系，初步认识平行线与垂线。

过程与方法：在观察、操作、比较、概括中，经历探究平行线和垂线特征的过程，建立平行与垂直的概念。

情感态度价值观：在活动中丰富学生活动经验，培养学生的空间观念和空间想象能力。教学重点：正确理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”的概念。教学难点：理解平行与垂直概念的本质特征。教学准备：多媒体课件、直尺、三角板、量角器等 教学过程：

一、情景导入

师：同学们，我们之前已经学过了直线的相关知识，那谁能说一说直线都有哪些特征？ 生：没有端点，可以向两端无限延长。

师： 我们一起来学习有关直线的知识——平行与垂直。（板书课题）

1、学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系。师：摸一摸平放在桌面上的白纸，你有什么感觉？（1）生交流汇报

（2）师：像这样很平的面，我们就称它为平面。（板书：平面）

我们可以把白纸的这个面作为平面的一部分，请大家在这个平面上任意画一条直线，说一说，你画的这条直线有什么特点？

（3）师：闭上眼睛想一想：白纸所在的平面慢慢变大，变得无限大，在这个无限大的平面上，直线也跟着不断延长。这时平面上又出现了另一条直线，这两条直线的位置关系是怎样的呢？会有哪几种不同的情况？

2.学生尝试

要求：把你想象的情况画在白纸上，注意一张纸上只画一种情况，想到几种就画几种，相同类型的不画。

二、探究新知

（一）观察分类，感受特征

1、展示作品

师：同学们的想象力真丰富！互相看一看，你们的想法一样吗？老师选择了几幅有代表性的作品，我们一起来欣赏一下。

如果你画的和这几种情况不一样，可以补充到黑板上。

不管哪种情况，我们所画的两条直线都在同一张白纸上。因为我们把白纸的面看作了一个平面，所以可以这样说，我们所画的两条直线都在同一平面。（板书：同一平面）

2、分类讨论

师：现在你们能给它们分分类吗？为了方便描述，我们先给作品标上序号，可以怎样分类？按什么标准分？

（1）先独立思考：我打算怎么分？为什么这么分？分几类？（2）再小组交流

3、学生汇报

师：哪一组愿意派代表来汇报一下？你们是怎么分的？分类的结果是什么？

各个小组交流分类情况。当学生在汇报过程中出现“交叉”一词时，教师随即解释：在数学上把这种交叉的关系叫作相交。（板书：相交）

师：还有没有不同的分法？能说一说你们是怎么想的吗？

学情预设：

（1）分两类：相交的一类，不相交的一类

（2）分三类：相交的一类，不相交的一类，快要相交的一类

（3）分四类：相交的一类，不相交的一类，快要相交的一类，相交成直角的一类。4．达成共识

教师：同学们现在出现了不同的分法，这些分法，你更赞同哪一种？把你的想法在小组内交流交流。

学生在小组内将两条直线再延长，．然后逐一讨论、分析，再次进行分类。教师：通过再次操作与讨论，对于第一次分类的结果，你们现在有什么想说的？ 指名汇报并说明理由。

教师：他的讲解能让你们信服吗？还有什么补充或建议吗？

学生通过讨论达成共识：看似不相交的两条直线延长后实际上是相交的，而出现相交成直角的这种情况是一种特殊的位置关系，也是相交。对于第三种分类，前面是按照两条直线相交与否为分类标准来分类的，而相交成直角是根据两条直线相交后所成角度来分类的，二者不是同一标准，所以这种分法是不正确的。从而达成分类的统一，即相交的一类、不相交的一类。（板书：相交，不相交）

小结：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和不相交两种情况，但在判断时我们不能光看表面，而要看他们的本质，也就是两条直线延长后是否相交。

（二）自主探究，揭示概念

1、揭示平行的概念（1）感知平行的特点

师：这两条直线真的不相交吗？怎样验证？

结合学生回答用课件演示两条直线无论怎样延长都不会相交的动态过程。（2）揭示平行的定义

师：像屏幕上这样的两条直线在数学上叫什么呢？（平行线）谁恩那个说一说什么是平行线？

课件出示：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。（板书：互相平行）

师：这里的“互相”是什么意思？ 生举例说明

教师：你认为在这句话中哪个词应重点强调？为什么？ 结合学生回答，教师举例：这两条直线互相平行吗？为什么？

学生体会“同一平面”和“互相平行”的含义。(3)介绍平行符号。

课件分别呈现3组不同位置的平行线

教师：这3幅图中的直线a与直线b都互相平行，我们用符号“∥”来表示平行，a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。

教师：用这样的方法来表示a平行于b，你们觉得怎么样？是呀，像这样来表示两直线互相平行，既形象又方便。(4)体验生活中的平行现象。

教师：生活中我们常常遇到平行的现象，你能举几个例子吗？（学生举例后教师可用多媒体课件适时补充一些生活中的实例。）2．认识垂直(1)感知垂直的特点。

教师：刚才同学们在画两条直线的位置关系时，还画了相交的情况。我们一起来看一看这些相交的情况。（课件或实物投影呈现几组典型的作品）观察一下这些相交的情况，你们发现了什么？（都形成了四个角，有的是锐角，有的是钝角；还有的比较特殊，四个角都是直角……）你怎么知道他们相交后形成的角是直角呢？请同学们量一量，刚才所画的两条相交直线组成的角分别是多少度？通过测量，你们又有什么新发现？（学生通过测量能够发现有一种情况比较特殊，所形成的四个角，每个角都是90°）（2）认识垂直的定义

师：如果两条直线相交成直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。课件呈现三组垂线

师：观察这里的三幅图，他们有什么相同点和不同点？根据刚才的比较，能尝试总结你的发现吗？（垂直要看两条直线相交是否成直角，而与怎样摆放无关）（3）介绍垂直符号

师：垂直和平行一样，也可以用符号表示，就是“⊥”（板书“⊥”）。这里的直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。（4）感受生活中的垂直现象

师：生活中我们还会常常遇到垂直的现象，你能举出生活中一些有关垂直的例子吗？（学生举例后教师用多媒体课件补充一些实例）

三、巩固练习

1、完成教科书第57页“做一做”

学生根据平行与垂直的特征快速判断，然后集体交流

2、完成练习十第1题

学生先独立尝试找一找，集体交流后，使学生体验到几何图形中也有互相垂直和互相平行的现象，并借助课件用不同颜色的线来分别呈现图形中互相平行或互相垂直的线段，加深学生的直观认识。

3、完成练习十第2题

课件出示游戏的操作规则和提示，学生全员参与游戏。让学生先按照操作提示摆一摆，接着启发学生想象：如果把小棒看作直线的画，会有多少条直线跟他们平行或垂直。然后让学生结合观察、想象，尝试总结发现的规律。

四、课堂总结

师：你有什么收获？还有什么疑问？ 师：在生活中找一找平行和垂直的现象。

板书设计：

垂直与平行

成直角 互相垂直

相交

不成直角

在同一平面内两条

直线的位置关系

不相交 互相平行

教学反思：

《数学课程标准》中指出：“在掌握基础知识的同时，感受数学的意义”提出了“重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学和理解数学”使学生感受到数学就在我们身边，感受到数学的趣味、作用。本节课是新课标人教版四年级上册第四单元第一课时的教学内容，这部分教材是在学生学习了直线与角的知识的基础上教学的，也是认识平行四边形和梯形的基础。由于垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，而且在生活中有着广泛的应用，无论是走在宽广的大街上，还是坐在明亮宽敞的教室里，环顾左右应该都不缺少垂直与平行的现象。对于小学四年级的孩子来说，他们应该都有这样的经验：哪些线是交叉的，哪些线是不交叉的。因此我们在课中要做的就是让学生体验在同一平面内，不交叉的两条直线叫做平行线，交叉里有一种特殊的叫做互相垂直，让学生的认识上升到思维的层面来。鉴于此，针对本课知识的特点和学生的实际，我精

心设计教案，把学生的自主探索与教师的适时引导有机结合，把知识点清晰地展现在学生的面前，使得教学过程零而不散，教学活动絮而不乱，学生在轻松愉悦的氛围中，提高了学习能力，增强了学习信心。

一、合理设置导课情景，突破知识难点本课的一个难点就是让学生理解同一个平面，和不同平面的区别。不同于以往是教学设计，我把这部分用生活中的例子不同的路面不同的平面来导课，即激发了学生的学习兴趣，又解决了一个学生认知上的难点，为后面平行和垂直的判断扫清了障碍。

二、整体呈现、逐步建构。新知的探究紧紧抓住“以分类为主线”展开活动。首先让学生画图初步感知同一平面两条直线的位置关系，再引导学生观察分类，通过操作、验证使学生逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，而相交中又有成直角和不成直角两种情况，最后，顺水推舟揭示概念。这样让学生通过动手实践、自主探索与合作交流的学习方式自主完成对知识的建构

三、注意创设生活情境，使数学学习更贴近学生。通过演示，引导学生观察和测量角的度数、发现在相交的两条直线中有不同的情况，然后引入垂直的概念，接着让学生找一找身边哪里有平行和垂直及出示校园图找平行与垂直的现象，将学生放置于生活情节中，进行相应方面的教学，并注重发挥评价的激励性作用，丰富学生的情感体验。

第三篇：高考数学重点难点26 垂直与平行

高中数学难点26 垂直与平行

垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.●难点磁场

(★★★★)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直.(1)求证：AB1⊥C1D1；(2)求证：AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角

●案例探究

［例1］两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.命题意图：本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识，属★★★★级题目.知识依托：解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)线(外)∥面.或转化为证两个平面平行.错解分析：证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键.技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB.∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形 ∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE.证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，∴AMAH ACABFNAH BFAB连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴MN∥平面BCE.［例2］在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，属★★★★★级题目.知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析：(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线.(1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C ∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C ∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C.∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点

11∴AM=DE=CC1AA1，∴AM=MA1.22●锦囊妙计

垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系： 1.平行转化

2.垂直转化

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（）83

43B.C.D.38342.(★★★★)在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，则（）A.a不和b垂直，但可能a∥b

B.a可能和b垂直，也可能a∥b C.a不和b垂直，a也不和b平行

D.a不和b平行，但可能a⊥b

二、填空题

3.(★★★★★)设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号).①X、Y、Z是直线

②X、Y是直线，Z是平面

③Z是直线，X、Y是平面

④X、Y、Z是平面

4.(★★★★)设a,b是异面直线，下列命题正确的是_________.①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 ②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 ③过a一定可以作一个平面与b垂直 ④过a一定可以作一个平面与b平行

三、解答题

5.(★★★★)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.(1)求证：CD⊥PD;(2)求证：EF∥平面PAD;(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？ A.6.(★★★★)如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由.(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明.7.(★★★★)如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3.(1)若M为AB中点，求证：BB1∥平面EFM；(2)求证：EF⊥BC；

(3)求二面角A1—B1D—C1的大小.8.(★★★★★)如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB= ∠C1CD=∠BCD=60°,(1)证明：C1C⊥BD；

(2)假定CD=2，CC1=的余弦值；

(3)当

3，记面C1BD为α,面CBD为β,求二面角α—BD—β的平面角2CD的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？ CC1

参考答案

难点磁场

1.(1)证明：∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1.(2)证明：连结D1D，∵D是AB中点，∴DD

1CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂线定理得BD1⊥AB1，又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD.(3)解：由(2)AB1⊥平面A1CD于O，连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的

角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=∴∠OCA=

AO1，AC2.6歼灭难点训练

一、1.解析：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=2，AO1=32，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H=4.3

答案：C

2.解析：如图，在l上任取一点P，过P分别在α、β内作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β,过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角.答案：C

二、3.解析：①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例.答案：②③ 4.④

三、5.证明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD.(2)取CD中点G，连EG、FG，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解：当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD 证明：G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.6.(1)证明：

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形

∵A—BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形.(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH.面BCP⊥面EFGH，3a.27.(1)证明：连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM.(2)证明：取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得：AN⊥BC，又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME.∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，又EF平面EFM，∴BC⊥EF.(3)解：取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD为二面角A1—B1D—C的平面在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=角，易得∠A1QO=arctan15.8.(1)证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD

又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD.(2)解：由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角.在△C1BC中，BC=2，C1C==

333，∠BCC1=60°，∴C1B2=22+()2－2×2××cos60°22213.4∵∠OCB=30°,∴OB=

13,BC=1,C1O=,即C1O=C1C.2233，∴cosC1OC= 23CD=1时，平行六面CC1作C1H⊥OC，垂足为H，则H是OC中点且OH=(3)解：由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，当体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.

第四篇：高考数学考点归纳 垂直与平行问题

高考网http://www.xiexiebang.com 高考数学考点归纳 垂直与平行问题

垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.●难点磁场

(★★★★)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直.(1)求证：AB1⊥C1D1；(2)求证：AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角.●案例探究

［例1］两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.命题意图：本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识，属★★★★级题目.知识依托：解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)线(外)∥面.或转化为证两个平面平行.错解分析：证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键.技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB.∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形 ∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE.证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，∴

AMAH ACABFNAH BFAB京翰教育http://www.xiexiebang.com/ 连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

高考网http://www.xiexiebang.com

∴MN∥平面BCE.［例2］在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，属★★★★★级题目.知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析：(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线.(1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C ∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C ∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C.∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点

∴AM=DE=CC1121AA1，∴AM=MA1.2●锦囊妙计

垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系： 1.平行转化

2.垂直转化

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进

京翰教育http://www.xiexiebang.com/

高考网http://www.xiexiebang.com 一步转化为线线垂直.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（）A.8 B.3 8

C.4 3

D.42.(★★★★)在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，则（）A.a不和b垂直，但可能a∥b

B.a可能和b垂直，也可能a∥b C.a不和b垂直，a也不和b平行

D.a不和b平行，但可能a⊥b

二、填空题

3.(★★★★★)设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号).①X、Y、Z是直线

②X、Y是直线，Z是平面

③Z是直线，X、Y是平面

④X、Y、Z是平面 4.(★★★★)设a,b是异面直线，下列命题正确的是_________.①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 ②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 ③过a一定可以作一个平面与b垂直 ④过a一定可以作一个平面与b平行

三、解答题

5.(★★★★)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.(1)求证：CD⊥PD;(2)求证：EF∥平面PAD;(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？

6.(★★★★)如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由.(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明.7.(★★★★)如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC

京翰教育http://www.xiexiebang.com/

高考网http://www.xiexiebang.com 上且满足BF∶FC=1∶3.(1)若M为AB中点，求证：BB1∥平面EFM；(2)求证：EF⊥BC；

(3)求二面角A1—B1D—C1的大小.8.(★★★★★)如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB= ∠C1CD=∠BCD=60°,(1)证明：C1C⊥BD；

(2)假定CD=2，CC1=(3)当3，记面C1BD为α,面CBD为β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值； 2CD的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？ CC1

参考答案

难点磁场

1.(1)证明：∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1.(2)证明：连结D1D，∵D是AB中点，∴DD

1CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂线定理得BD1⊥AB1，又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD.(3)解：由(2)AB1⊥平面A1CD于O，连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=∴∠OCA=AO1，AC2.6歼灭难点训练

一、1.解析：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=2，AO1=32，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H=

4.3京翰教育http://www.xiexiebang.com/

高考网http://www.xiexiebang.com

答案：C

2.解析：如图，在l上任取一点P，过P分别在α、β内作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β,过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角.答案：C

二、3.解析：①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例.答案：②③ 4.④

三、5.证明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD.(2)取CD中点G，连EG、FG，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解：当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD

证明：G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.6.(1)证明：

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形

∵A—BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形.(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH.面BCP⊥面EFGH，京翰教育http://www.xiexiebang.com/

高考网http://www.xiexiebang.com

3a.27.(1)证明：连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM.(2)证明：取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得：AN⊥BC，又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME.∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，又EF平面EFM，∴BC⊥EF.(3)解：取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=由三垂线定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD为二面角A1—B1D—C的平面角，易得∠A1QO=arctan15.8.(1)证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD

又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD.(2)解：由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角.33313，∠BCC1=60°，∴C1B2=22+()2－2×2××cos60°=.222413∵∠OCB=30°,∴OB=,BC=1,C1O=,即C1O=C1C.2233作C1H⊥OC，垂足为H，则H是OC中点且OH=，∴cosC1OC=

23在△C1BC中，BC=2，C1C=(3)解：由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，当菱形，同理可证BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.CD=1时，平行六面体的六个面是全等的CC1京翰教育http://www.xiexiebang.com/

第五篇：垂直与平行练习1

垂直与平行2

一、基础训练 l．画一画。

(1)画出已知直线的垂线。

(2)画出已知直线的平行线。

2．选 择。

(1)过直线外一点，画已知直线的垂线，这样的垂线可以画出()条。A．1 B．2 C．3 D．无数

(2)已知直线a与直线c互相平行，直线b与直线c互相平行。那么，直线a与直线b()。

A．互相平行 B．互相垂直 C．无法确定 3．过点A画已知直线的平行线和垂线。

4．画一个长4厘米、宽3厘米的长方形。

二、能力提高

l．过三角形内的一点分别向三条线段作垂线。

2．画一条与下面直线距离为2厘米的平行线。