部分作业解答或提示参考 第一章 习题一14 证 由切比雪夫不等式

第一篇：部分作业解答或提示参考 第一章 习题一14 证 由切比雪夫不等式

部分作业解答或提示参考

第一章

习题一1.4

证（2）由切比雪夫不等式及E||0

P(||1/n)1P(||1/n)1nE||1

故P(0)P(||1/n)limP(||1/n)1。

n1n

（4）由切比雪夫不等式P(||n)E||/n及E||，得

P(||)P（习题二2.3

证对平稳序列{Xt}，任给整数k1，(X1,X2,,Xn)与(Xk,Xk1,,Xkn1)有相同的n阶自协方差矩阵。故由平稳序列{Xt}的n阶自协方差矩阵退化知，对任给整数k1，存在非零实向量b(b1,b2,,bn)使得 var[Tnk1

ik{||n})limP(||n)0。n1nbik1(Xi)]0。

不妨假设bn0，则有对任给整数k1，Xnk可由Xk,Xk1,,Xnk1线性表出。

（1）对mn1，Xn可由X1,X2,,Xn1线性表出，Xn1可由X2,X2,,Xn线性

表出，故Xn1可由X1,X2,,Xn1线性表出。

（2）假设对所有nmnk，Xm可由X1,X2,,Xn1线性表出。则对

mnk1，由于Xnk1可由Xk1,Xk2,,Xnk线性表出，由假设，Xnk1也可由X1,X2,,Xn1线性表出。

根据（1），（2），对任何mn，Xm可由X1,X2,,Xn1线性表出，即存在常数a0,a1,,an1，使得Xma0aiXni,i1n1a.s.。

习题四4.3

解 显然(Xt,Xs)服从二维正态分布，且EXtEXs0。

记t12kl,s12mn,其中0l11,0n11，则Xt12il,Xs12jn，这里00。

i0j0km

由于{t}是正态白噪声WN(0,2)，故

（1）当ln，即ts(mod12)时，t,scov(Xt,Xs)0；

（2）当ln0，即ts(mod12),t12k时，t,scov(Xt,Xs)min(k,m)2[min(t,s)2]； 12

12),t12k时，（3）当ln0，即ts(mod

t,scov(Xt,Xs)min(k1,m1)

所以

2([min(t,s)]1)2。12t,tt,s(Xt,Xs)~N(,Σ)，其中(0,0)T,Σ。s,st,s

第二章

习题二

1X2.5ttt1,Xttat1（其中a0.5)a

1jjC(z)az，证明 取1azj0

令tC(B)Xt, 则

2j(1a)atjtt

j1

由定理4.4，{t}为正态平稳序列。由定理7.4,f()|C(ei)|2fX()

|1122i2i/a

ae||1ae|2f()2

为常数，因而{t}~WN(0,2/a2)，故结论成立。（也可计算自协方差来证明）

习题三

3.2提示：当{Xt}与{Yt}的特征多项式满足A(z)B(z)时，是AR(p)序列。

习题五

5.4 提示：利用第一章7.4和第二章定理3.1。

Zt}仍然 {

第二篇：切比雪夫不等式教学

★★★1．设

求的最小值

★★★2．若a、b、c是三角形三边长，s是半周长。求证：Vn∈N，下式成立

解答或提示

．不妨令

由切比雪夫不等式

当且仅当

．设a≥b≥

c,则a+b≥a+c≥b+c,（）

第三篇：切比雪夫不等式及其应用(摘要)

天津理工大学2011届本科毕业论文

切比雪夫不等式及其应用

摘要

切比雪夫不等式是概率论中重要的不等式之一。尤其在分布未知时，估计某些事件的概率的上下界时，常用到切比雪夫不等式。另外，大数定律是概率论极限理论的基础，而切比雪夫不等式又是证明大数定律的重要途径。如今，在切比雪夫不等式的基础上发展起来的一系列不等式都是研究中心极限定理的有力工具。作为一个理论工具，切比雪夫不等式的地位是很高的。

本文首先介绍了切比雪夫不等式的一些基本理论，引出其概率形式，用现代概率方法证明了切比雪夫不等式并给出了其等号成立的充要条件。其次，从三大方面阐述了其在概率论中的应用，并且给出了切比雪夫大数定律和伯努利大数定律的证明。在充分了解切比雪夫不等式后，最后探索了其在生活中的应用，并且用切比雪夫不等式评价了IRR的概率风险分析。

关键词:切比雪夫不等式大数定律IRR

The Chebyster’s Inequality and Its Applications

ABSTRACT

In probability theory, the Chebyshev’s Inequality is one of the important inequalities.In particular the distribution is unknown, the Chebyshev’s Inequality is usually used when estimating the boundary from above or below of probability.In addition, the Law Of Large Numbers is the basis of the limit theory of probability.The Chebyshev’s Inequality is an important way to prove it.Now, a series of inequalities that are developed on the basis of the Chebyshev’s Inequality are a powerful tool for the Central Limit Theorem.As a theoretical tool, its status is very high.First, this article introduces some basic theory of the Chebyshev’s Inequality, it raises the Chebyshev’s Inequality’s form of probability and makes a prove for the Chebyshev’s Inequality with the method of modern probability.Furthermore, it gives the necessary and sufficient condition of the establishment of the equal sign.天津理工大学2011届本科毕业论文

Secondly, we introduces its five application in probability theory and gives theprove of the Chebyshev and Bernoulli Law Of Large Numbers.After the full understanding of the Chebyshev’s Inequality, finally, we explore its application in the life and give the probabilistic risk assessment of the IRR with the Chebyshev’s Inequality.Key Words：Chebyshev’s InequalityLaw Of Large NumbersIRR

第四篇：切比雪夫不等式证明

切比雪夫不等式证明

一、试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。

分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此

1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且

~XB(1000,1/2).因此

500

211000=×==npEX,250)

2答题完毕，祝你开心!

11（2

1000)1(=××==pnpDX,而所求的概率为

}500600500400{}600400{<<=<}100100{<<=EXXp

}100{<=EXXp

975.0

=≥

DX

.二、切比雪夫(Chebyshev)不等式

对于任一随机变量X,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,恒有p{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2或p{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2

切比雪夫不等式说明，DX越小，则p{|X-EX|>=ε}

越小，p{|X-EX|<ε}越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。

同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率p{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。

切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。

在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4

与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9

与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16

……

与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2

举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。

设(X,Σ,μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对於任意实数t>0，一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有

上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：

概率论说法

设X为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k>0，改进

一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：

这个分布的标准差σ=1/k，μ=0。

当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式：

证明

定义，设为集的指标函数，有

又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有pr(|Y|leopeatorname{E}(|Y|)/a。取Y=(X?μ)2及a=(kσ)2。

亦可从概率论的原理和定义开始证明。

第五篇：切比雪夫不等式解析,度量误差及推论

切比雪夫不等式解析，度量误差及推论

摘要：切比雪夫不等式表征了素数定理的计算误差极限，在孪生素数个数及偶数表为两个奇素数之和的表法个数的渐近函数误差估计中，可类比得到对应的表达式。

（1）切比雪夫不等式解析 由alim6a，xxlnx5x，则必有 lnx(x)设：(x)(x)x(x)(x)，，11a，lnxxlnxxlnxxlnxxlnx已知a092129，由切比雪夫不等式推知：

lnx对x的一维度量误差率的下极限是同理 设：(x)xlnxa1007871。

x，则必有 lnx(x)(x)6x(x)1a，，1xlnx5lnxxlnxxlnxxlnx已知a092129，由切比雪夫不等式推知：

lnx对x的一维度量误差率的上极限是

xlnx0105548。

另：因为lnx对x的一维度量误差极限是

6092129(092129)，5

则二维度量误差极限是

08487752642122223638

（2）一个推论

由偶数Ne6表示为两个奇素数之和的表法个数r2(Ne)，13202Ne及其渐近函数r2(Ne)ln2Nes(Ne)i2(pi1)，可与切比雪夫不等式类比。首先 pi2(Ne)，设：r2(Ne)r2r2(Ne)r(N)1，2e1。

r2(Ne)r2(Ne)r2(Ne)r2(Ne)s(Ne)i2因误差是由ln(Ne)对13202Nes(Ne)2(pi1)二维度量产生的，所以可表 pi2p113202(i)NNi2pi2r2(Ne)()(e)。显然，由切比雪夫不等式可知，e是lnNe对lnNelnNelnNe13202(i2s(Ne)偶数Ne的一维度量，产生的误差率的下极限是007871。s(Ne)i2pi1)pi2lnNe也是一维度量，而13202(pi1)Ne，产生的误差率绝对值必然007871。pi2由此推知，二维度量产生的总误差率的下极限

2。(1007871)2092129a2084877526同理可得，二维度量产生的总误差率的上极限为

636(10105548)2()2(092129)2()a2122223638。

525（3）结论：

084877526lim

参参考文献：

1初等数论：潘承洞

潘承彪著

1997,6月 北京大学出版社 2组合数学：屈婉玲

著

1997，9月

北京大学出版社 3王元论哥德巴赫猜想：李文林

1999,9月

山东教育出版社 4数学与猜想一，二卷：G·波利亚

2001,7月

科学出版社

5数论导引：G·H·Hardy，E·M·Wright 2008,10

人民邮电出版社 6华罗庚文集：（数论卷二）2010,5月

科学出版社

7代数数论：冯克勤

著

2000,7月

科学出版社

r2(Ne)122223638

Ner(N)2e