第一篇：直线与椭圆相交中点四边形面积2013全国
直线与椭圆相交
xy2．[2013·新课标全国卷Ⅱ]平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋1.右焦点的63
1直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.2
C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值． 22x＋y－3＝0，2．解：由x2y2 1，633x3，x＝0，解得或 y＝3.3y＝－3
6因此|AB|＝33由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n3），3
设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
y＝x＋n，2222由xy得3x＋4nx＋2n－6＝0，＝163
－2n±2（9－n）于是x3，43242因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝2|x4－x3|＝9－n.318 62由已知，四边形ACBD的面积S9－n.296当n＝0时，S取得最大值，最大值为36所以四边形ACBD.3
第二篇：中点四边形猜想与证明
中点四边形猜想与证明
大连市第四十四中学初二八班***
猜想：四边形中点连线为平行四边形
即：如图1-1，在四边形ABCD中，E、F、G、H为四边中点
求证：四边形EFGH为平行四边形
证明：如图∵E、F为AD、AB的中点
∴EF//BD（三角形的中位线平行于第三边）
同理：HG//BD
∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
同理：EH//FG
∴四边形EFGH是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行
四边形）
FH
图1-1图1-2 B
那么：由已知条件：EF=HG=1/2BDFG=EH=1/2AC(三角形中位线定理)因为“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以当EF=GF时，即1/2BD=1/2AC，即BD=AC时，平行四边形EFGH是菱形
猜想：当一个四边形的两条对角线相等时，其中点四边形是菱形。
例如：矩形的对角线相等
则：如图1-2，在矩形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。
求证：四边形EFGH是菱形
证明：∵E、F为AD、AB的中点
∴EF=1/2BD（三角形的中位线等于第三边的一半）
同理：HG=1/2BD
∴HG=EF=1/2BD（等量代换）
同理：EH=FG=1/2AC
∴四边形EFGH是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行
四边形）
∵AC=BD
∴1/2AC=1/2BD
即：EF=GF
∴平行四边形EFGH是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
同理上结论思路：
由已知条件：EF//HGFG//EH(三角形中位线定理)
因为“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，所以当∠EFG=90°时，即∠1=90°，即∠AOB=90°时，平行四边形EFGH是矩形。
猜想：当一个四边形两对角线互相垂直时，其中点四边形为矩形。
例如：菱形的对角线互相垂直。
则：如图1-3，在菱形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。
求证：四边形EFGH是矩形
证明：∵E、F为AD、AB的中点
∴EF//BD（三角形的中位线平行于第三边）
同理：HG//BD
∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
同理：FG//AC；EH//FG
∴四边形EFGH是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行
四边形）
∵四边形ABCD是菱形
∴∠AOB=90°（菱形的对角线互相垂直）
∴∠FNO=∠AOB=90°（两直线平行，内错角相等）
∴∠EFG=∠FNO =90°（两直线平行，同位角相等）
∴平行四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
BF
H
图1-3图1-
4那么：因为正方形同时是矩形和菱形，所以满足同时使中点四边形为矩形和菱形的四边形，其中点四边形则可能是正方形。
猜想：当一个四边形的两对角线相等且互相垂直时，其中点四边形是正方形。
例如：正方形的对角线相等且互相垂直。
则：如图1-4，在正方形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。
求证：四边形EFGH是正方形
证明：∵E、F为AD、AB的中点
∴EF//BD；EF=1/2BD（三角形的中位线平行于
第三边且等于第三边的一半）
同理：HG//BD；HG=1/2BD
∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
HG=EF=1/2BD（等量代换）
同理：EH//AC//FG；EH=FG=1/2AC
∴四边形EFGH是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行
四边形）
∵四边形ABCD是正方形
∴∠AOB=90°（正方形两对角线互相垂直）
AC=BD（正方形两对角线相等）
∴∠FNO=∠AOB=∠FNO =90°
（两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同位角相等）
1/2AC=1/2BD
即：EF=GF
∴平行四边形EFGH是正方形
（有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形）
2010/4
第三篇：海伦公式与四边形面积公式
海伦公式与四边形面积公式
2007年08月01日 星期三 00:43 我们知道，已知三角形的三条边长度a，b，c（2p＝a+b+c），就可以由海伦公式得到三角形的面积：
所以：已知圆内接三角形的三边长，其面积公式为海伦公式。事实上，对于圆内接四边形，已知其四边形的四边长（不妨设其为a，b，c，d，2p＝a+b+c+d），也可以求其面积，而且公式的形式与海伦公式相类似：
证明：
设圆内接四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，设∠BAD=θ，则∠BCD=180°-θ，设其对角线BD＝x，由余弦定理有：
联立两式解得：
第四篇：教辅：高考数学二轮复习考点-直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线
考点十五 直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线
一、选择题
1．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是()
A．1
B．－2
C．1或－2
D．－
答案 A
解析 ①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得解得m＝1，故选A.2．(2020·广州综合测试)若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是()
A．[－3，＋∞)
B．(－∞，－3]
C．(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
答案 D
解析 圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心为(－1,2)，半径为2，由题意可知圆心到直线kx－y＋1＝0的距离d＝≤2，化简，得32＋≥0，故k∈(－∞，＋∞)．故选D.3．(2020·山东菏泽高三联考)已知双曲线－＝1的一条渐近线上存在一点到x轴的距离与到原点O的距离之比为，则实数a的值为()
A．2
B．4
C．6
D．8
答案 B
解析 由题意，得该双曲线的一条渐近线的斜率为＝，则＝，解得a＝4.故选B.4．(2020·山东泰安四模)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p＝()
A．1
B．
C．2
D．2
答案 B
解析 由题意，得在抛物线上，代入抛物线的方程可得1＝，∵p>0，∴p＝，故选B.5．(2020·衡中高三质量检测一)已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()
A．m>n且e1e2>1
B．m>n且e1e2<1
C．m
D．m 答案 A 解析 由于椭圆C1与双曲线C2的焦点重合，则m2－1＝n2＋1，则m2－n2＝2>0，∵m>1，n>0，∴m>n.∵e1＝＝，e2＝＝，∴e1e2＝＝＝＝>1，故选A.6．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线() A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 答案 B 解析 如图所示，因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据抛物线的定义可知|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.7．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，() A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x D．若m＝0，n>0，则C是两条直线 答案 ACD 解析 对于A，若m>n>0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，因为m>n>0，所以<，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m＝n>0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，此时曲线C表示双曲线，由mx2＋ny2＝0可得y＝± x，故C正确；对于D，若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝，y＝±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选ACD.8．(多选)(2020·山东潍坊6月模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆的内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是() A．|QF1|＋|QP|的最小值为2－1 B．椭圆C的短轴长可能为2 C．椭圆C的离心率的取值范围为 D．若＝，则椭圆C的长轴长为＋ 答案 ACD 解析 因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确；若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1，又＋>1，则点P在椭圆外，故B错误；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以＋<1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋<1，即a2－3a＋1>0，解得a>＝＝，所以>，所以e＝<，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故C正确；若＝，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，所以＋＝1(a>1)，即a2－11a＋9＝0(a>1)，解得a＝＝＝，所以＝，所以椭圆C的长轴长为＋，故D正确．故选ACD.二、填空题 9．(2020·山东省实验中学高三6月模拟)以抛物线y2＝2x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 答案 2＋y2＝1 解析 抛物线y2＝2x的焦点为，准线方程为x＝－，焦点到准线的距离为1，所以圆的圆心为，半径为1，故圆的标准方程为2＋y2＝1.10．(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________． 答案(3,0) 解析 在双曲线C中，a＝，b＝，则c＝＝3，则双曲线C的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为＝.11．(2020·河南开封高三3月模拟)已知F1，F2是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，点M在E上，且∠F1MF2＝，则△F1MF2的面积为________． 答案 3 解析 由题意，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，则m＋n＝2a，由余弦定理可得，4c2＝m2＋n2－2mncos＝(m＋n)2－mn＝4a2－mn，又c2＝a2－3，∴mn＝12，∴△F1MF2的面积S＝mnsin＝3.12.(2020·株洲第二中学4月模拟)如图，点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆x2＋(y－1)2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则△AFB周长的取值范围是________． 答案(4,6) 解析 ∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，圆x2＋(y－1)2＝4的圆心F(0,1)，半径R＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝yA＋1，|AB|＝yB－yA，∴△AFB的周长为|FB|＋|AF|＋|AB|＝2＋yA＋1＋yB－yA＝3＋yB，∵1 三、解答题 13．过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA.(1)求弦OA的中点M的轨迹方程； (2)延长OA到N，使|OA|＝|AN|，求点N的轨迹方程． 解(1)设M的坐标为(x，y)，则A(2x,2y)，因为点A在圆x2＋y2－8x＝0上，所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0.又点O与A不重合，所以x≠0.因此，点M的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(x≠0)． (2)设N(x，y)，∵|OA|＝|AN|，∴A为线段ON的中点，∴A，又A在圆x2＋y2－8x＝0上，∴2＋2－4x＝0，即x2＋y2－16x＝0.又点O与A不重合，所以x≠0.因此，点N的轨迹方程为x2＋y2－16x＝0(x≠0)． 14．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的离心率； (2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程． 解(1)因为椭圆C1的右焦点为F(c,0)，所以抛物线C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.不妨设A，C在第一象限，因为椭圆C1的方程为＋＝1，所以当x＝c时，有＋＝1⇒y＝±，因此A，B的纵坐标分别为，－.又因为抛物线C2的方程为y2＝4cx，所以当x＝c时，有y2＝4c·c⇒y＝±2c，所以C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|，得4c＝，即3·＝2－22，解得＝－2(舍去)，＝.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故椭圆C1：＋＝1，所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，c)，(0，－c)，C2的准线方程为x＝－c.由已知，得3c＋c＋c＋c＝12，解得c＝2.所以a＝4，b＝2，所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝8x.一、选择题 1．(2020·山东济南二模)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，点P在抛物线上且横坐标为4，则|PF|＝() A．2 B．3 C．5 D．6 答案 C 解析 将x＝4代入抛物线方程得P(4,4)，根据抛物线定义得|PF|＝4＋＝4＋1＝5.故选C.2．(2020·湖北荆州高三阶段训练)某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为() A.r＋R B．r＋R C.r＋R D．r＋R 答案 A 解析 椭圆的离心率e＝∈(0,1)(c为半焦距，a为长半轴长)，设该卫星远地点离地面的距离为n，如图： 则n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝，c＝，所以n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.故选A.3．(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为() A．4 B．5 C．6 D．7 答案 A 解析 设圆心为C(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.4．(2020·山东潍坊高密二模)已知双曲线－＝1的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为() A.B． C． D．2 答案 A 解析 双曲线－＝1的一条渐近线的倾斜角为，tan＝，所以该条渐近线方程为y＝x，所以＝，解得a＝，所以c＝＝＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝.故选A.5．(2020·山西太原五中3月模拟)若过椭圆＋＝1内一点P(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为() A．8x＋9y－25＝0 B．3x－4y－5＝0 C．4x＋3y－15＝0 D．4x－3y－9＝0 答案 A 解析 设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，P为AB的中点，因为A，B在椭圆上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减，得＋＝0，因为x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，可得＝－，则所求直线的斜率k＝－，因为该直线过点P(2,1)，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，整理，得8x＋9y－25＝0.故选A.6．(2020·山东淄博二模)当α∈时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的轨迹不可能是() A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 答案 B 解析 当α∈时，0 A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为y＝±x C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值 D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为 答案 AC 解析 对于双曲线C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，所以双曲线C的离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x，A正确，B错误；设点P的坐标为(x0，y0)，则x－＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为·＝＝，C正确；当动点P在双曲线C的左支上时，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，＝＝＝≤＝，当且仅当|PF1|＝2时，等号成立，所以的最大值为，D错误．故选AC.8．(多选)(2020·山东威海三模)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则() A．抛物线的准线方程为x＝－1 B.＋＋＝0，则||，||，||成等差数列 C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1 D．若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 答案 ABD 解析 把点B(1,2)代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；因为A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(0,2)，＝(x2－1，y2)，又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，即||，||，||成等差数列，故B正确；因为A，F，C三点共线，所以直线斜率kAF＝kCF，即＝，所以＝，化简得y1y2＝－4，故C不正确；设AC的中点为M(x0，y0)，因为|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确．故选ABD.二、填空题 9．(2020·深圳调研二)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足|OF|＝|FP|，则C的方程为________． 答案 ＋＝1 解析 根据对称性知P在x轴上，因为|OF|＝|FP|，故a＝2c，又a2＝3＋c2，所以a＝2，c＝1，故椭圆C的方程为＋＝1.10．(2020·浙江高考)设直线l：y＝kx＋b(k＞0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝________，b＝________.答案 － 解析 由题意，两圆圆心C1(0,0)，C2(4,0)到直线l的距离等于半径，即＝1，＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝，b＝－.11.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a 解析 由题意可知D是抛物线y2＝2ax(a>0)的焦点，且D，又正方形DEFG的边长为b，所以F，因为F在抛物线上，所以b2＝2a，即b2－2ab－a2＝0，所以2－－1＝0，解得＝1＋或1－，因为0 解析 如图所示，设PnFn1，PnFn2与圆Gn分别切于点Bn，Cn.根据内切圆的性质可得，|PnBn|＝|PnCn|，|BnFn1|＝|AnFn1|，|AnFn2|＝|CnFn2|，又点Pn是双曲线En右支上一动点，∴|PnFn1|－|Fn2Pn|＝＝，∴|AnFn1|－|AnFn2|＝.∴an＋cn－(cn－an)＝.∴an＝.∴a1＋a2＋…＋a2020＝＝.三、解答题 13．(2020·山东济南二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点和下顶点分别为A，B，|AB|＝2，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2.(1)求椭圆C的方程； (2)已知M为椭圆C上一动点(M不与A，B重合)，直线AM与y轴交于点P，直线BM与x轴交于点Q，证明：|AQ|·|BP|为定值． 解(1)由题意可知解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：A(－4,0)，B(0，－2)，设M(x0，y0)，P(0，yP)，Q(xQ,0)，因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以x＋4y＝16，由A，P，M三点共线，得＝，即yP＝，同理可得xQ＝.所以|AQ|·|BP|＝|xQ＋4|·|yP＋2| ＝|·| ＝||＝16.所以|AQ|·|BP|为定值16.14．(2020·福建高三毕业班质量检测)已知定点F(0,1)，P为x轴上方的动点，线段PF的中点为M，点P，M在x轴上的射影分别为A，B，PB是∠APF的平分线，动点P的轨迹为E.(1)求E的方程； (2)设E上点Q满足PQ⊥PB，Q在x轴上的射影为C，求|AC|的最小值． 解 解法一：(1)设坐标原点为O，因为PA∥BM，所以∠APB＝∠PBM，因为PB是∠APF的平分线，所以∠APB＝∠MPB，所以∠MPB＝∠PBM，所以|BM|＝|PM|，因为M为线段PF的中点，|BM|＝，所以2|BM|＝|PA|＋1，因为|PF|＝2|PM|＝2|BM|，所以|PF|＝|PA|＋1，因为P为x轴上方的动点，所以点P到点F的距离等于点P到直线y＝－1的距离，所以动点P的轨迹E是顶点在原点，焦点为F(0,1)的抛物线(原点除外)，设E的方程为x2＝2py(p>0，x≠0)，则＝1，所以p＝2，所以E的方程为x2＝4y(x≠0)． (2)设点P，Q，所以点B，＝，＝，所以·＝－(x2－x1)－＝－·(x2－x1)[8＋x1(x2＋x1)]＝0，因为x2≠x1，且x1≠0，所以8＋x1(x2＋x1)＝0，所以x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋|| ≥2＝8，当且仅当x1＝±2时，等号成立，所以|AC|的最小值为8.解法二：(1)设点P(x0，y0)，y0>0，x0≠0，所以点B，所以|AB|＝，因为PB是∠APF的平分线，所以点B到直线PF的距离d＝|AB|，因为直线PF的方程为y－1＝x，整理，得(y0－1)x－x0y＋x0＝0，所以d＝，所以＝，整理，得x＝4y0(x0≠0)，所以动点P的轨迹E的方程为x2＝4y(x≠0)． (2)设点P，Q，所以点B，所以kPB＝＝，因为PQ⊥PB，所以直线PQ的方程为y－＝－(x－x1)，即y＝－x＋2＋，代入E的方程得x2＋x－8－x＝0，所以x1x2＝－8－x，即x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋|| ≥2 ＝8，当且仅当x1＝±2时，等号成立，所以|AC|的最小值为8. 椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计说明 甘肃省张掖市实验中学 雒淑英 一．本课数学内容的本质、地位及作用分析： 本节课是《全日制普通高级中学教科书（必修）·数学》（人民教育出版社中学数学室编著）第二册（上）第八章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时。 用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线。圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线。在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。 解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在第七章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在第八章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。 本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。 根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。二．教学目标分析： 按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标： 1．知识与技能目标： ①理解椭圆的定义。 ②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。2．过程与方法目标： ①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。②巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。 ③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生利用数学思想方法分析和解决问题的意识。3．情感态度价值观目标： ①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识。 ②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣。 ③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风。 ④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。 ⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信 心。 三．教学问题诊断： 1．教学的第一个问题可能是椭圆是怎样画出的。教学中通过椭圆与圆的关系，让学生观察与操作，利用水杯及细绳建立直观的概念，要鼓励学生大胆操作。 问题解决方案一：学生可能提出将圆柱形水杯换成圆锥。（解释方法一致）问题解决方案二：两定点距离、绳长与图形的关系，通过操作，完善定义。2．教学的第二个问题是椭圆标准方程的推导与化简中含有两个根式的等式化简。 问题解决方案：由于用两边同时平方法化简较为繁琐，有些学生完成可能的有困难，老师要及时加以指导。如果学生有能力掌握，可运用方案二“等差数列法”或方案三“三角换元法” 降低难度。 3．教学的第三个问题可能是竖椭圆方程的得出。 问题解决方案：可以利用类比“化归”的思想，通过翻折和旋转的方式实现图形变换，从而利用焦点在x轴上椭圆的标准方程得到焦点在y轴上椭圆的标准方程，避免繁琐、重复的推导过程。四．教法特点以及预期效果分析： 本节课采用启发式与试验探究式相结合的教学方式。 在启发式教学过程中，以问题引导学生的思维活动。教学设计突出了对问题链的设计，教学中，结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。 通过学生试验的方法进行教学。本节课主要是通过直观感知、操作确认归纳出椭圆的定义。在试验中注重数学的逻辑性和严谨性。本节课立足教材，重视对现象的观察、分析，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中． 通过学生反思，自己总结归纳学习内容，构建知识链。在总结时采用“一个知识点、两种方法、三种思想”的方式，学生目标明确，学习重点清晰，易于掌握。 新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程，“提出问题,体验数学,感知数学,数建立数学,巩固新知,归纳提炼”。本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境、意义建构、数学理论、数学应用、回顾反思、巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人。第五篇：第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动：《椭圆及其标准方程》教案与说课稿
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