第一篇：自然常数e的证明
当然，实际生活中，银行的利息没有这么高，如果利率只有5%，那么1块存一年最多可以拿到多少钱呢？lim(1n5%n
1000)? n在100%利率的情况下，当n=1000所得到的数值非常接近e：(1100%
1000)1000(10.1)e。
5%
50)50为了便于思考，取n=50,：(1
5%
50100%1000(10.1)150。因此，5%利率相当于e的20分之一1次方：(1)50[(1)1000]20e20
注意：20分之一正好等于利率5%，所以公式可以写成：
FVerate，式中rate就是利率。这说明只要是持续不断的复合式增长，e可以用于任何增长率的计算。
再考虑时间因素，如果把钱在银行里存t年，最多可以得到多少钱呢？
rtrtFV(e)e，此式为计算本利和的万能公式，可以适用于任何时间，任何利率。
进一步思考，如果银行利率是5%的复利，请问1元存款翻倍需要多少时间？
求解需要多少时间等价于解方程：1
e5%t
2t
ln25%
0.6935%
69.3
5
725，结果是13.86年。上式最后一个等号，表明用72除以利率，可以得到翻倍的大致时间，这就是经济学上著名的72法则。
e在自然科学中有着重要的地位和作用，比如在原子物理中放射性物质的衰变，生物增殖问题，地质科学中考察地球年龄，用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度，物体的冷却等等
讲了这么多，e是一个特殊的重要极限，在高等数学及其应用领域中起着奠基般的举足轻重的作用。但如此重要的极限，在一般的教科书中对它的存在性的证明却叙述得较少，甚至不证明，只让去死记硬背一个十分难记难懂的结论。下面我尝试证明极限e的存在，并且确定它的值。
一、极限e存在性的证明
Lim(1为了证明极限
x
1x)
x
e
首先给出关于极限存在的两个基本准则。I 夹逼准则：如果函数(x)f(x)
Limf(x)A。
(x)且Lim(x)
A，Lim(x)A，那么
II 单调有界数列必有极限。
f(x)(1
(1
1x
1x)
x
这个函数既不是幂函数也不是指数函数，我们称之为幂指数函数。
只有当)0时这个函数才有定义，故只对x0与x
1来证明。
1、当x0时，首先让x取正整数，即x=n，n=1,2,3……若x0而(1x)0有伯努利不等式(1
x)
n
1nx，这个不等式可由二项式定理推出，并且对1x0时不等式仍
然成立，可由由数学归纳法证明。因此，对伯努利不等式将x换成(
(1
1n
1n)，便有)
n
1
1n
或者(1
1n)(1
n
1n)
n
(1
1n)
故对n1有 f(n)(1
1n)
(1n)
n
n1
n
11
1
n1
n1
f(n1)
说明f(n)是随n的增加而增加的，即f(n)是单调增加数列，另一方面由二项定理知
f(n)(11111
12!12!
1n)11n)
n
n11!n(11n!
1n
n(n1)12!)(1
2n12n
1n!
n(n1)3211
n!1n)(1
2n)(1
n
n
n
(113!
3!)1
2(112
n1
n1n)1
3111
112
12
3
n1
说明f(n)是单调增加有界数列，根据准则II，f(n)的极限存在，以e表示之，即
Lim(1
n
1n)e
n
（1a）
其次，对任意x0，必存在两个相邻的整数m与m+1，使得mxm1，因而
1mx1m)
1m1
从而
1x)
x
(1
m1
(11
(1
1m1)或者
1m1)
1
m
f(m)(1
m)f(x)f(m1)(1
1m)1，(1
1m1)
1
(1m并且f(m)e，f(m1)e，当x时，1
由准则I知
Limf(x)Lim(1
x
x
1x)
x
e（1b）
2、当x1时，xx
1x
x
x1
x
f(x)(1)
x
1
1
x1
x
1(1
1x1)f(x1)(1
1x1)，当
x时，x，(1
1x1)1，f(x1)e
所以Lim(1
x
1x)f(x1)(1
x
x
1x1)e（1c）
综合1a，1b，1c对于x0与x1，极限得到了证明。
二、极限e的确定与求法
由二项定理及极限1可得到e的表达式
eLim(1
n
1n)Lim(1
n
n
11!
12!
1n!)或者e11
12!
13!
由此可知e是个无理数，整数部分是2，小数部分是个无限不循环小数。数e的近似值可以通过f(x)e的泰勒展开式：
x
e1
x
x1!
x
2!
x
3!
x
n1
(n1)!
e
Qx
x
n
n!
其中1eexex，当x=1时有
e11
12!13!
1(n1)!
e
Q
n!
（1eQe3）
如取n=9，可得
e11
12!13!14!15!16!17!18!19!e
Q
110.50.1666670.0416670.0083330.0013890.0001980.0000250.000003e
Q
=2.718279
由此计算方法可见，若要求精度越高，则n取的越大，且计算每一项的精确度比要求的精度要高，当n<10时高一位，n<100时高二位，……
第二篇：欧拉常数的证明（本站推荐）
调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：
由于ln(1+1/n)<1/n（n=1，2，3，…）
于是调和级数的前n项部分和满足
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在，调和级数发散。
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)
将ln(1+1/n)展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故
ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0
即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0，所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.5772***86060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）
=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）
-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2
欧拉常数发现的历史
著名数学家莱昂哈德·欧拉(1707-1783)该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De
Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。
第三篇：自然脱盲人员情况证明
自然脱盲人员情况证明
兹有同志，性别，年月出生，经核查，该同志系自然脱盲人员，其自然脱盲情况如下：
。特此证明。
证明人：
时间：年月日
第四篇：高中物理常用基本物理常数
20楼
物理常数 符号 最佳实验值 供计算用值
真空中光速 c 299792458±1.2m·s－1 3.00×108 m·s－1
万有引力常数 G0(6.6720±0.0041)×10－11m3·s－2 6.67×10－11 m3·s－2
阿伏加德罗(Avogadro)常数 N0(6.022045±0.000031)×1023mol－1 6.02×1023 mol－1
普适气体常数 R(8.31441±0.00026)J·mol－1·K－1 8.31 J·mol－1·K－1
玻尔兹曼(Boltzmann)常 数 k(1.380662±0.000041)×10－23J·K－1 1.38×10－23 J·K－1
理想气体摩尔体积 Vm(22.41383±0.00070)×10－3 22.4×10－3 m3·mol－1
基本电荷(元电荷)e(1.6021892±0.0000046)×10－19 C 1.602×10－19 C原子质量单位 u(1.6605655±0.0000086)×10－27 kg 1.66×10－27 kg电子静止质量 me(9.109534±0.000047)×10－31kg 9.11×10－31kg
电子荷质比 e/me(1.7588047±0.0000049)×10－11 C· kg－2 1.76×10－11 C· kg－2
质子静止质量 mp(1.6726485±0.0000086)×10－27 kg 1.673×10－27 kg中子静止质量 mn(1.6749543±0.0000086)×10－27 kg 1.675×10－27 kg法拉第常数 F(9.648456±0.000027)C·mol－1 96500 C·mol－1
真空电容率 ε0(8.854187818±0.000000071)×10－12Ｆ·m－2 8.85×10－12Ｆ·m－2
真空磁导率 μ0 12.5663706144±10－7H·m－1 4πH·m－1
电子磁矩 μe(9.284832±0.000036)×10－24 J·Ｔ－1 9.28×10－24 J·Ｔ－1
质子磁矩 μp(1.4106171±0.0000055)×10－23 J·Ｔ－1 1.41×10－23 J·Ｔ－1
玻尔(Bohr)半径 α0(5.2917706±0.0000044)×10－11 m 5.29×10－11 m玻尔(Bohr)磁子 μB(9.274078±0.000036)×10－24 J·Ｔ－1 9.27×10－24 J·Ｔ－1
核磁子 μN(5.059824±0.000020)×10－27 J·Ｔ－1 5.05×10－27 J·Ｔ－1
普朗克(Planck)常数 h(6.626176±0.000036)×10－34 J·ｓ 6.63×10－34 J·ｓ
精细结构常数 a 7.2973506(60)×10－3
里德伯(Rydberg)常数 R 1.097373177(83)×107m－1
电子康普顿(Compton)波长2.4263089(40)×10-12m
质子康普顿(Compton)波长1.3214099(22)×10-15m
质子电子质量比 mp/me 1836.1515
第五篇：物理常数的列表[推荐]
以下是所有物理常数的列表：
量 符号 数值 不确定度（10-6）
真空中光速 c 2.99792458×108m/s 准确（定义）
万有引力常数 G 6.67259×10-11m3/(kg·s2)128
电子电荷,基本电荷 e,e0 1.60217733×10-19C 0.30
普朗克常数 h 6.6260755×10-34J·s 0.60
约化普朗克常数 ħ=h/2π 1.05457266×10-34 J·s 0.60
阿伏伽德罗常数 NA 6.0221367×1023 mol-1 0.59
法拉第常数 F =NAe0 9.6485309×104C/mol 0.30
电子质量 me 9.1093897×10-31 kg 0.59
0.51099906 MeV 0.30
里德伯常量 R∞=mecα2/2h 1.0973731534×107m-1 0.0012精细结构常数 α=e02/4πε0hc 7.29735308×10-3 0.045α-1 137.0359895 0.045
电子半径 re=hα/mec 2.81794092×10-15 m 0.13
康普顿波长 λC=h/mec 2.42631058×10-12 m 0.089
玻尔半径 a0=reα-2 5.29177249×10-11 m 0.045
原子质量单位 u=um(12C)1.6605402×10-27kg 0.59
质子质量 mp 1.6726231×10-27kg 0.59
938.27231 MeV 0.30
中子质量 mn 1.6749286×10-27kg 0.59
939.56563 MeV 0.30
磁通量子 Φ0=h/2e0 2.06783461×10-15 Wb 0.30
电子荷质比-e0/me-1.75881962×1011 C/kg 0.30
玻尔磁子 μB=e0ħ/2me 9.2740154×10-24 J/T 0.34
电子磁矩 μe 9.2847701×10-24 J/T 0.34
核磁子 μN=e0ħ/2mp 5.0507866×10-27 J/T 0.34
质子磁矩 μP 1.41060761×10-26 J/T 0.34
旋磁比 γP 2.67522128×108 rad/sT 0.30
量子霍尔阻抗 RH 25812.8056 Ω 0.045
气体常数 R 8.314510 J/(mol·K)8.4
玻尔兹曼常数 k,kB=R/NA 1.380658×10-23J/K 8.5
斯特藩-玻尔兹曼常量 σ=π²kB4/60ħ3c2 5.67051×10-8W/m2K4 34维恩常量 b=λmaxT 2.897756×10-3 m·K 8.4
真空磁导率 μ0 4π×10-7N/A2 准确（定义）
真空电容率 ε0=(μ0c2)-1 8.85418781762…×10-12 F/m 准确（定义）
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