费马点简洁证明

第一篇：费马点简洁证明

費馬點(Fermat Point)

一、前言

費馬(Pierre de Fermat,1601-1665)是一位律師和法國政府的公務員，他利用閒暇的時間研究數學，他從未發表他的研究發現，但是他幾乎與同時代的所有歐洲的大數學家保持通信。曾經，費馬是歐洲所有數學研究進展之交換中心。有一天，他要回答一個收到的問題，『要找出三角形裡最小點的位置，這個最小點是指這點到三個頂點的距離總和為最短』。

「在平面上找一個點，使此點到已知三角形三個頂點的距離和為最小」，這個點就是所謂的費馬點(Fermat Point)，這個問題可以應用在，例如有三個城市，然後要蓋一個交通中心到這三個城市的距離最短這一類的問題。

二、找費馬點

在平面上一三角形ABC，試找出內部一點P，使得PAPBPC為最小。首先，讓我們先找到P點的性質，再來研究怎麼做出P點。

P點有什麼性質呢？它的位置是否有什麼特殊意義呢？在中學裡，我們學過三角形的內心、外心、重心以及垂心，P點和這些心之間有關聯嗎？還是和有些線段長、角度大小有關係呢？

APB、BPC和CPA很接近，這三個角度有何關聯？

【解法1】

1如右圖，以B點為中心，將APB旋轉60到C'BP' ○

因為旋轉60，且PBP'B，所以P'PB為一個正三角形PBP'P

因此，PAPBPCP'C'P'PPC

由此可知當C'、P'、P、C四點共線時，PAPBPCP'C'P'PPC為最小

2若C'P'P共線時，則 ○

BP'P60C'P'BAPB120

同理，若P'PC共線時，則BPP'60BPC120

所以P點為滿足APBBPCCPA120的點。

但是，該用什麼方法找出P點呢？

A'

以ABC三邊為邊，分別向外作正三角形ABC'、A'BC、AB'C

連接AA'、BB'、CC'

AA'、BB'、CC'三線共點，設交點為P，即為所求

【證明1】

(在解法1曾提到若PAPBPCP'C'P'PPC，即C'P'PC四點共線時，小值，所以P要在CC'上。)

A'

ABB'AC'C1

2則DPB~DAC'，得3460 在PC'上取點P'，使得BPBP'BPP'為正三角形

則ABPC'BP'，得APC'P'

所以PAPBPCP'C'P'PPCC'C

【證明2】 PAPBPCC'C有最

所以CPA'60 A' APBBPCCPA120，又A'BPC四點共圓(BPCBA'C180)

故APCCPA'180，因此P在AA'上 同理可證P在BB'、CC'上，故P為AA'、BB'、CC'三線交點

三、畫出費馬點

經過上面的討論，可以知道，在平面上ABC，想找出一點P，使PAPBPC為最小，方法為：分別以AB、BC為邊長做出正三角形ABC'及A'BC，連接AA'、CC'，兩線交於一點P，P點即為費馬點。

使用上述方法需要注意到一點，ABC的每一個內角均小於120，如果其中有一內角大於120，那麼P點就是ABC最大內角的頂點。

第二篇：费马点

费马点定义费马点定义费马点定义费马点定义 在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点费马点费马点费马点。在平面三角形中:(1).三内角皆小于三内角皆小于三内角皆小于三内角皆小于120°的三角形的三角形的三角形的三角形，，分别以分别以分别以分别以 AB,BC,CA，，为边为边为边为边，，向三角形外侧做正三角形向三角形外侧做正三角形向三角形外侧做正三角形向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接然后连接然后连接然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点则三线交于一点则三线交于一点则三线交于一点P,则点则点则点则点P就是所求的费马点就是所求的费马点就是所求的费马点就是所求的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于若三角形有一内角大于或等于若三角形有一内角大于或等于若三角形有一内角大于或等于120度度度度,则此钝角的顶点就是所求则此钝角的顶点就是所求则此钝角的顶点就是所求则此钝角的顶点就是所求.(3)当当当当△△△△ABC为等边三角形时为等边三角形时为等边三角形时为等边三角形时,此时外心与费马点重合此时外心与费马点重合此时外心与费马点重合此时外心与费马点重合 证明证明证明证明(1)费马点对边的张角为120度。△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度，∠APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1 将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又∠APC=120度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。(3)PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1

费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快”的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。

几何光学已有悠久的发展历史。公元前400年，我国《墨经》中便有光的直线传播和各种面镜对光的反射的记载。公元100年亚历山大里亚的希罗（Hero）曾提出过光在两点之间走最短路程的看法。托勒密在公元130年对光的折射进行过研究。公元1611年开普勒对光学的研究达到了较高的定量程度。最后，1621年斯涅尔总结出了光的折射定律。费马则是用数学方法证明了折射定律的主要学者之一。费马原理是根据经济原则提出的，它指出：光沿着所需时间为极值的路径传播。可以理解为，光在空间沿着光程为极值的路传播，即沿光程为最小、最大或常量路径传播。费马定理不但是正确的，同时它与光的反射定律和折射定律具有同等的意义。由于费马原理的确立，几何光学发展到了费马（Pierre De Fermat)是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”.引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为：在△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点 即为所求P点。证明：如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆∴∠APB=120°，∠APD=∠ABD=60°同理：∠APC=∠BPC=120°以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF，以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60°∴△APF为正三角形。∴不难发现△ABP与△ADF重合。∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD另在△ABC中任取一异于P的点G，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。则△ABG与△BDM重合，且M或 在 线 段DG上 或 在DG外。GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。从而CD为最短的线段。以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。较为完善的程度。

第三篇：关于费马点知识总结

费马点

一、研究目的

费马点是17世纪法国著名的数学家费马发现的。所指的是在三角形所在的平面上，有一个点到三角形三个顶点距离之和最小。而费马点有许多有意义的性质，即为此，本人以费马点的性质为因来进行一系列的调查与研究。

二、研究结果

（一）费马点的发现者

费马点的发现者是费马［Fermat, Pierre de, 1601-1665］，17世纪的法国数学家。1601年8月17日在法国南部图卢兹附近波蒙--德洛马涅出生。早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师。自1631年起任图卢兹议会议员。任职期间，他利用工余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往，讨论数学问题。他饱览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学的知识。虽年近三十才认真注意数学，但成就累累。最后于1665年1月12日在卡斯特尔逝世。

他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论着，大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处。他的儿子于1679年把这些遗作整理汇集成书［共两卷］，在图卢兹出版。

由于他在数论、解析几何、概率论等方面贡献良多，被后世誉为「业余数学家之王」。

（二）费马点的求法

△ABC需是三个内角皆小于120°三角形，分别以 AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。

（三）费马点的验证

1.△ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向△ABC外

侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为

费马点。则可得出结论：

①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③点P 是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；④

点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；⑤△ABP、△ACP、△BCP全等。⑥点P是△ABC各边的中线的交

点；⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点

P为费马点时和最小。

2.△ABC是等腰三角形，以边AB、AC分别向△ABC外

侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为

费马点。则可得出结论：

①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为

费马点时和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③

△ABP与△ACP全等；④△BCP为等腰三角形。

3.△ABC是直角三角形，以边AB、AC分别向△ABC外

侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为

费马点。则可得出结论：

①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为

费马点时和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°

（四）费马点的性质

1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小

2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°

3.费马点为三角形中能量最低点。（调查得知）

4..三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。（调查得知）

（五）费马点的应用

在实际生活中，若三角形的三个顶点分别是在三个地方，而要求是在“三角形”内建一处车站等，且要是车站到三个地方的公路路程和最短，可利用费马点的性质①：费马点到三角形三个顶点距离之和最小。则这车站应建在费马点上。

三、结论

由此次研究可让我们知道，若想要在某方面做出伟大成就必先努力、锲而不舍的钻研，就如胡适所言：“做学问要再不疑处有疑„„”。并且，将成就运用于生活，服务生活，方便生活，才是他们的价值所在！

二、找费马点

在平面上一三角形ABC，试找出内部一点P，使得PAPBPC为最小。首先，让我们先找到P点的性质，再来研究怎么做出P点。

P点有什么性质呢？它的位置是否有什么特殊意义呢？在中学里，我们学过三角形的内心、外心、重心以及垂心，P点和这些心之间有关联吗？还是和有些线段长、角度大小有关系呢？

APCB

APB、BPC和CPA很接近，这三个角度有何关联？ 【解法1】

C'AP'PC

1如右图，以B点为中心，将APB旋转60到C'BP' ○

B

因为旋转60，且PBP'B，所以P'PB为一个正三角形PBP'P

因此，PAPBPCP'C'P'PPC

由此可知当C'、P'、P、C四点共线时，PAPBPCP'C'P'PPC为最小 2若C'P'P共线时，则 ○

BP'P60C'P'BAPB120

同理，若P'PC共线时，则BPP'60BPC120 所以P点为满足APBBPCCPA120的点。

但是，该用什么方法找出P点呢？

C'AB'PCB

以ABC三边为边，分别向外作正三角形ABC'、A'BC、AB'C 连接AA'、BB'、CC'

AA'、BB'、CC'三线共点，设交点为P，即为所求

A'【证明1】

(在解法1曾提到若PAPBPCP'C'P'PPC，即C'P'PC四点共线时，PAPBPCC'C有最小值，所以P要在CC'上。)

C'2P'4DP31CBAB'

ABB'AC'C12

A'

则DPB~DAC'，得3460

在PC'上取点P'，使得BPBP'BPP'为正三角形 则ABPC'BP'，得APC'P'

所以PAPBPCP'C'P'PPCC'C 【证明2】

C'AB'PCB

APBBPCCPA120，又A'BPC四点共圆(BPCBA'C180)所以CPA'60

故APCCPA'180，因此P在AA'上 同理可证P在BB'、CC'上，故P为AA'、BB'、CC'三线交点

三、画出费马点

经过上面的讨论，可以知道，在平面上ABC，想找出一点P，使PAPBPC为最小，A'

方法为：分别以AB、BC为边长做出正三角形ABC'及A'BC，连接AA'、CC'，两线交于一点P，P点即为费马点。

使用上述方法需要注意到一点，ABC的每一个内角均小于120，如果其中有一内角大于120，那么P点就是ABC最大内角的顶点。

第四篇：证明费马大定理的故事

解答数学“大问题”——证明费马大定理的故事

为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用130页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。

费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn+Yn=Zn,当n大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空白太小，写不下。”这就是数学史上著名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了一个数学史上最深奥的谜。

大问题 在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到，文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最值得为之奋斗的事。

安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答,怀尔斯被吸引住了。

这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史，这个定理让一个又一个的数学家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。”

怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coates)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的思想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接开始研究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家来说，它也太困难了。”科茨的责任是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。”

科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。

孤独的战士

1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比 世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一个著名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费马大定理的任务也是极为艰巨的。

在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山-志村猜想”，该猜想在两个非常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山-志村猜想与费马大定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山-志村猜想„„我十分清楚我应该回家去研究谷山-志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。

20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。

怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶楼书房里他开始了通过谷山-志村猜想来证明费马大定理的战斗。

这是一场长达7年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。

欢呼与等待

经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山-志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾经是那里的一名研究生。1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声。” 《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最著名的数学家，也是唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本25位最具魅力者”。最有创意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模特。

当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发现了。

我的心灵归于平静

由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定2-3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。

怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作。

泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有这样的经历„„它的美是如此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”

这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版上，标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活动的一曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”

声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，1996年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。

怀尔斯说：“„„再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想„„那段特殊漫长的探索已经结束了，我的心已归于平静。”

第五篇：费马大定理的简单证明

费马大定理的简单证明

李联忠

（营山中学四川营山 637700）

费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程znxnyn当n≥3时无正整数解。

证明：当n=2时，有z2x2y2

∴x2z2y2(zy)(zy)（1）

令(zy)2m2 则 zy2m2代入（1）得

x2z2y22m2(2y2m2)22m2(ym2)22m2l2

22∴x2mlyl2m2zlm

当n=3时，有z3x3y3

∴x3z3y3(zy)(z2zyy2)（2）

令(zy)32m3 则 zy32m3代入（2）得

3x3z3y332m［(y32m3)2(y32m3)yy2］

32m3(3y2332m3y34m6)33m3(y232m3y33m6)

若方程z3x3y3有正整数解，则(y232m3y33m6)为某正整数的三次幂，即

(y232m3y33m6)l3

∴ y(y32m3)l333m6(l3m2)(l23m2l32m4)

则必有 y(l3m)和y3m(l3ml3m)，而y,m,l都取正整数时，这两等式是不可能同时成立的。所以(y3my3m)l不成立。即x不可能取得正整数。所以，当n=3时，方程zxy无正整数解。

当n>3时，同理可证方程zxy无正整数解。

定理得证。

nnn***4