不等式证明练习题

第一篇：不等式证明练习题

11n恒成立，则n的最大值是（）abbcac

A．2B．3C．4D．6 1．设abc,nN，且

x22x22． 若x(,1)，则函数y有（）2x

2A．最小值1B．最大值1C．最大值1D．最小值

13．设P

Q

RP,Q,R的大小顺序是（）

A．PQRB．PRQC．QPRD．QRP

4．设不等的两个正数a,b满足abab，则ab的取值范围是（）

A．(1,)B．(1,)C．[1,]D．(0,1)

5．设a,b,cR，且abc1，若M(1)(1)(1)，则必有（）332243431

a1b1c

A．0M11B．M1C．1M8D．M8 88

6．若a,b

R，且ab,M

NM与N的大小关系是A．MNB．MNC．MND．MN

1．若logxy2，则xy的最小值是（）

33223A．B．C．22

32．a,b,cR，设S3D．232 abcd，abcbcdcdadab

则下列判断中正确的是（）

A．0S1B．1S2C．2S3D．3S

43．若x1，则函数yx116x的最小值为（）xx21

A．16B．8C．4D．非上述情况

4．设ba0，且Pab，M N，RQ112ab2

则它们的大小关系是（）

A．PQMNRB．QPMNR

C．PMNQRD．PQMRN

二、填空题

1．函数y3x(x0)的值域是.2xx

12．若a,b,cR，且abc1，则a的最大值是

3．已知1a,b,c1，比较abbcca与1的大小关系为4．若a

0，则a1a5．若x,y,z是正数，且满足xyz(xyz)1，则(xy)(yz)的最小值为______。

1．设x0，则函数y33x1的最大值是__________。x

2．比较大小：log34______log67

3．若实数x,y,z满足x2y3za(a为常数)，则x2y2z2的最小值为

4．若a,b,c,d是正数，且满足abcd4，用M表示

abc,abd,acd,bcd中的最大者，则M的最小值为__________。

5．若x1,y1,z1,xyz10，且xlgxylgyzlgz10，则xyz_____。

1．若ab0，则a1的最小值是_____________。b(ab)

abbman, , , 按由小到大的顺序排列为baambn2．若ab0,m0,n0，则

223．已知x,y0，且xy1，则xy的最大值等于_____________。

1111，则A与1的大小关系是_____________。210210121022111

125．函数f(x)3x2(x0)的最小值为_____________。x4．设A

三、解答题

1．已知abc1，求证：abc

2221 3

．解不等式x73x40

3．求证：ababab1

．证明：1)1

1．如果关于x的不等式x3x4a的解集不是空集，求参数a的取值范围。

22...abc2

3

3．当n3,nN时，求证：2n2(n1)

4．已知实数a,b,c满足abc，且有abc1,a2b2c21，求证：1ab

1． 设a,b,cR，且abc，求证：abc

2．已知abcd，求证：

3．已知a,b,cR，比较abc与abbcca的大小。3332224 32323231119 abbccaad

．求函数y

5．已知x,y,zR，且xyz8,xyz24

求证：

222444x3,y3,z3 333

第二篇：不等式证明练习题

不等式证明练习题

(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展开，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z

则原不等式等价于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有绝对值的不等式练习。1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7,-1-7x-7,x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.函数y=arcsinx的定义域是，值域是，函数y=arccosx的定义域是，值域是，函数y=arctgx的定义域是R，值域是.，函数y=arcctgx的定义域是R，值域是(0,π).直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展开，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z

则原不等式等价于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有绝对值的不等式练习。1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7,-1-7x-7,x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.函数y=arcsinx的定义域是，值域是，函数y=arccosx的定义域是，值域是，函数y=arctgx的定义域是R，值域是.，函数y=arcctgx的定义域是R，值域是(0,π).直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

第三篇：不等式证明

不等式证明

1.比较法：

比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分为作差法、作商法

（1）作差比较：

①理论依据a-b>0

a>b;a-b=0

a=b;a-b<0

a

⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。（2）作商法：①要证A>B(B>0),只要证

;要证A0)，只要证

②证明步骤：作商→变形→判断与1的关系 常用变形方法：一是配方法，二是分解因式

2.综合法：所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，可简称为由因导果。常见的基本不等式有 ｜a｜≥0, a2b22ab，abab 2，ababab 分析法：从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法叫分析法，分析法的思想是“执果索因”：即从求证的不等式出发，探求使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。

基本步骤：要证„„只需证„„，只需证„„ 4 分析综合法

单纯地应用分析法证题并不多见，常常是在分析的过程中，又综合条件、定理、常识等因素进行探索，把分析与综合结合起来，形成分析综合法。反证法：先假设所要证明的不等式不成立，即要证的不等式的反面成立，如要证明不等式MN，由题设及其他性质，推出矛盾，从而否定假设，肯定M

具体放缩方式有公式放缩和利用某些函数的单调性放缩。常用的技巧有：舍去一些正项或负项；在和或积中换大（或换小）某些项；扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等，放缩时要注意不等号的一致性。放缩法的方法有：

⑴添加或舍去一些项，如：a21a；n(n1)n ⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如：lg3lg5(n(n1)2⑷利用常用结论： n(n1)lg3lg5)lg15lg16lg4 2Ⅰ、k1k1k1k12k；

Ⅱ、1111； k2k(k1)k1k1111（程度大）2k(k1)kk1kⅢ、12k11111()；（程度小）2k1(k1)(k1)2k1k17 换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如： 已知x2y2a2，可设xacos,yasin； 已知x2y21，可设

xrcos,yrsin(0r1)；

x2y2已知221，可设xacos,ybsin；

abx2y2已知221，可设xasec,ybtan；

ab8、判别式法：判别式法是根据已知或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法。

9、其它方法 最值法：恒成立

恒成立

构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

第四篇：第一章三角形的证明、第二章不等式练习题

第一章三角形的证明、第二章不等式练习题

一选择题：

1、如图1给出下列四组条件： A D

①AB=DE，BC=EF，AC=DF

②ABDE，BE，BCEF；

③BE，BCEF，CF；

B E ④ABDE，ACDF，BE．

图其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）

A．1组B．2组C．3组D．4组

2、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是

（）

A、4B、10C、4或10D、以上答案都不对

3、如图2，AE⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：(1)DE=AC；

(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE其中结论正确的是（）

A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)

4、下列不等式变形正确的是（）

A．由ab，得acbcB．由ab，得2a2b

C

．由，得abD．由ab，得a2b

24、设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况 如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、▲、■图图2

5、已知不等式x10，此不等式的解集在数轴上表示为（）

6、下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个 7.如图3，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果 cm，cm，那么△的周长是（）

A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm

8.等腰三角形的底边长为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）

A.32aB.3aC.6a

D.2a

9、下列说法中，错误．．的是（）A.不等式x2的正整数解中有一个B.2是不等式2x10的一个解

C.不等式3x9的解集是x3D.不等式x10的整数解有无数个 10．如图4示，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a0）相交于点P，则不等式kx+b>ax的解集是（）

A．x>1B．x<1C．x>2D．x<

2二、填空题

11、等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．

12、已知函数y＝3－2x，当x＿＿＿＿＿时，y≤0．

13、如图5，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，则D到AB的距离为cm.14、如图6，一次函数yaxb的图象经过A、B两点，则关于x的不等式axb0的解

集是．

15、△ABC中，AM平分∠，cm，则点M到AB的距离是_________.16、如图7，已

知的垂直平分线

交于

点，则

.图5 图7图

4图6

三、解答题

17、解不等式并把解集在数轴上表示出来。3x212x13x22x

153

118、已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，求m。

19、如图⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，EG∥BC交AC于F，EF会与FG相等吗？为什么？

20、有20名工人，每人每天加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这20名工

人中，派一部分工人加工甲零件，其余的加工乙种零件．已知每加工甲种零件可获利16元，每加工乙种零件可获利24元．

（1）写出此车间每天所获利润y（元）与生产甲种零件人数x（人）之间的函数关系

式（用x表示y）．

（2）若要使车间每天获利不少于1800元，问最多派多少人加工甲种零件？

21、一家小型放映厅的盈利额y（元）同售票数x（张）之间的关系如图所示，其中保险部门规定：超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元。试根据关系图，回答下列问题：（1）当售票数满足0＜x≤150时，盈利额y（元）与x之间的函数关系式是___________；（2）当售票数满足150＜x≤200时，盈利额y（元）与x之间的函数关系式是_____________；

（3）当售票数x为____________时，不赔不赚；当售票数x满足_________时，放影厅要赔本；当售出的票数x为____________时，此放映厅能赚钱；（4）当售出的票数x为何值时，此时所获得利润比x＝150时多？

22、某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售； B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．

设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；

（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．

23、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．

(1)当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点?写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；

(2)在(1)的条件下，若DE＝1，求△ABC的面积．

第五篇：基本不等式练习题

3.4基本不等式

重难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 考纲要求：①了解基本不等式的证明过程．

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 经典例题：若a，b，c都是小于1的正数，求证：，不可能同时大于．

当堂练习： 1.若，下列不等式恒成立的是

（）

A．2.若

B．且

C．

D．，则下列四个数中最大的是

（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．2ab

Ｄ．a 的最大值为

（）

Ｃ．的最小值是（）

C.D.Ｄ．－1

3.设x>0,则Ａ．

3Ｂ．4.设

A.10

B.5.若x, y是正数，且，则xy有

（）

Ａ．最大值16

Ｂ．最小值

Ｃ．最小值16

Ｄ．最大值 6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是

（）A．

B．

C．

D．

7.若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是

（）

A．

B．

C．

D． 8.a,b是正数，则Ａ．

三个数的大小顺序是（）

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

9.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

10.下列函数中，最小值为4的是

（）Ａ．Ｃ．11.函数

Ｂ．

Ｄ．的最大值为

.12.建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为

元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是

.14.若x, y为非零实数，代数式15.已知：的值恒为正，对吗？答

., 求mx+ny的最大值.16.已知．若、, 试比较与

的大小，并加以证明.17.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求的最小值.18.设正整数n都成立..证明不等式 对所有的参考答案：

经典例题：

【 解析】

证法一

假设，同时大于，∵ 1－a>0，b>0，∴ 同理，≥，.三个不等式相加得

.，不可能，∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于证法二

假设，同时成立，∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴，即.（*）

又∵ ≤，同理∴≤，≤

≤，与（*）式矛盾，故当堂练习： 不可能同时大于.1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.A;7.B;8.C;9.C;10.C;11.;

12.3600;

13.15．;

14.对;

16.【 解析】 ．

∵、，∴ ． 当且仅当＝时，取“＝”号．

当时，有．

∴ ．．

即．

当时，有．

即

17.(1)

(2)

18．【 解析】

证明

由于不等式对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到

又因 因此不等式

以及

对所有的正整数n都成立.