电动力学试题(04B)

第一篇：电动力学试题(04B)

电动力学试题(04B)

考生姓名：专业：学号：

警示：考试作弊，不授予学士学位

1．无限长圆柱型电容器两电极的截面半径分别为a和b的，单位长度荷电 分别为f，两极间填充电导率为 的非磁性线性均匀介质.证明：在介质内任何时刻任何一点上，传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场.2．半径为R0的导体球置入均匀电场E0E0ez中，导体球接地.（1）求出静电势的分布，解释结果的物理意义；

（2）如果作用于导体球的平面电磁波电场为EE0ezei(kxt)，且波长R0时，求出导体球产生的辐射场B、E，以及平均辐射能流S.3．设非导电介质是线性均匀的.证明:

（1）介质内的E和B完全可由矢势A决定；

（2）若取0，这时A满足哪两个方程？

4．平面电磁波垂直射到金属表面上，证明透入金属内的电磁波能量全部变为焦耳热.设金属表面为z0的平面，此处电场振幅为E0.5．惯性系Σ以速度v沿Σ系的x轴运动

(1)若粒子体系在Σ系中的总能量为W，动量p与x轴的夹角为，找出这粒 子体系在Σ系中的总能量W和动量p；

(2)光源在Σ系中辐射的角频率为，光束与x轴的夹角为，立体角为d,求在Σ系中观测到的频率和光束的立体角d.

第二篇：39-清华大学基科班电动力学试题

清华大学基科班电动力学试题

以下7题中任选做6题（请勿全做）。

1.何谓电磁作用下能量保持守恒？由真空中的Maxwell方程和Lorentz力公式证明

它，并导出电磁能密度和能流密度的表达式。

2.试从介质中的Maxwell方程出发，一，导出磁化强度为Ｍ的铁磁体产生的静磁场 H所满足的完备的微分方程组；二，写出磁荷密度和磁标势的定义，并导出磁标

势满足的微分方程；三，导出面磁荷密度∑与Ｍ的关系；四，写出面磁荷对磁标

势的贡献。

3.对沿z方向传播的平面电磁波，写出一组线偏振基。写出右旋圆偏振波，并把它

表成线偏振基的线性叠加。

4.何谓原子或原子核的（静）质量亏损？试用相对论的质能关系来说明束缚质点系统

有质量亏损的原因。并说明其亏损的相对大小Δm/m主要取决于什么？

5.一半径为R的导体球带电量Q，在距球心2R处静止地放置一电量也为Q的点电

荷。在达到静电平衡后，一，求此系统的总电量、偶极矩和电四极矩；二，按多极

展开求出它的电势的单极项、偶极项和四极项。

6.在无限大理想导体面上方，距离h处，有一单频震荡偶极子Ｐ=Ｐ[0]e{-iωt}，Ｐ的方向与导体面垂直。试证明它的辐射场的反射部分可用一像偶极子来等效描述。并

定出此像偶极子的位置、大小和方向。

7.一无穷长细直导线，截面积为σ，电子和离子的电荷密度大小均为ρ。离子静止，电子宏观流速为u。一，写出导线上的电流强度，以及它产生的静电场和静磁场。

二，用Lorentz变换推出沿导线以速率v运动的S系中的电荷密度ρ及电流密度ｊ。

三，算出它们在S系中所产生的静电场和静磁场（不论方法）。

演讲稿 尊敬的老师们，同学们下午好：

我是来自10级经济学（2）班的学习委，我叫张盼盼，很荣幸有这次机会和大家一起交流担任学习委员这一职务的经验。

转眼间大学生活已经过了一年多，在这一年多的时间里，我一直担任着学习委员这一职务。回望这一年多，自己走过的路，留下的或深或浅的足迹，不仅充满了欢愉，也充满了淡淡的苦涩。一年多的工作，让我学到了很多很多，下面将自己的工作经验和大家一起分享。

学习委员是班上的一个重要职位，在我当初当上它的时候，我就在想一定不要辜负老师及同学们我的信任和支持，一定要把工作做好。要认真负责，态度踏实，要有一定的组织，领导，执行能力，并且做事情要公平，公正，公开，积极落实学校学院的具体工作。作为一名合格的学习委员，要收集学生对老师的意见和老师的教学动态。在很多情况下，老师无法和那么多学生直接打交道，很多老师也无暇顾及那么多的学生，特别是大家刚进入大学，很多人一时还不适应老师的教学模式。学习委员是老师与学生之间沟通的一个桥梁，学习委员要及时地向老师提出同学们的建议和疑问，熟悉老师对学生的基本要求。再次，学习委员在学习上要做好模范带头作用，要有优异的成绩，当同学们向我提出问题时，基本上给同学一个正确的回复。

总之，在一学年的工作之中，我懂得如何落实各项工作，如何和班委有效地分工合作，如何和同学沟通交流并且提高大家的学习积极性。当然，我的工作还存在着很多不足之处。比日：有的时候得不到同学们的响应，同学们不积极主动支持我的工作；在收集同学们对自己工作意见方面做得不够，有些事情做错了，没有周围同学的提醒，自己也没有发觉等等。最严重的一次是，我没有把英语四六级报名的时间，地点通知到位，导致我们班有4名同学错过报名的时间。这次事使我懂得了做事要脚踏实地，不能马虎。

在这次的交流会中，我希望大家可以从中吸取一些好的经验，带动本班级的学习风气，同时也相信大家在大学毕业后找到好的工作。谢谢大家！

第三篇：电动力学知识总结

第一章 电磁现象的普遍规律

一、主要内容：

电磁场可用两个矢量—电场强度

和磁感应强度 ，来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。

二、知 识 体 系：

三、内容提要：

1．电磁场的基本实验定律：（1）库仑定律：

对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：

（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）

（3）电磁感应定律

①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场

本质不同。

②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。（4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与

之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。

② 若空间各点与无关，则，为稳恒电流，电流线闭合。

均与无关，它产生的场也与无关。稳恒电流是无源的（流线闭合），2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程

其中：

1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。2当，过渡到真空情况：

3当时，回到静场情况：

4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出介质中：

3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质

1、电磁场较弱时：

与，与的关系。

均呈线性关系。向同性均匀介质：，2、导体中的欧姆定律

在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。4．洛伦兹力公式 考虑电荷连续分布，单位体积受的力：

洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了它的正确。

说明：①②

5.电磁场的边值关系

其它物理量的边值关系：

恒定电流:

6、电磁场的能量和能流

能量密度： 能流密度： 三．重点与难点

1．概念：电场强度、磁感应强度、电流密度、极化强度、磁化强度、能流密度。2．麦克斯韦方程、电荷守恒定律、边值关系、极化强度与极化电荷的关系、磁化强度与磁化电流的关系、应用它们进行计算和证明。3．电磁场的能量及其传输

第二章 静 电 场

一、主要内容：

应用电磁场基本理论解决最简单的问题：电荷静止或电荷分布不随时间变化，产生的场不随时的静电场问题。

本章研究的主要问题是：在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如何求解静电场。由场的基本方程是矢量方程，求解很难，并不直接求解静电场的场强，而是通过静电场的标势来求首先根据静电场满足的麦克斯韦方程，引入标势，讨论其满足的微分方程和边值关系。在后面几节研究求解：分离变量法、镜像法和格林函数法。最后讨论局部范围内的电荷分布所激发的电势在远开式。

二、知 识 体 系： 1.静电场的微分方程：

边值关系：

静电场的能量：

2.静电边值问题的构成：

3．静电边值问题的基本解法：（1）镜像法（2）分离变量法

条件：电势满足拉普拉斯方程：（3）电多极矩(4)格林函数法

三、内容提要： 1．静电场的电势 引入标量函数即静电势

后

空间两点电势差：

参考点：

（1）电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点

（２）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。连续分布电荷：无穷远处为参考点

2.电势满足的微分方程

泊松方程： 其中仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。

对的区域：电势满足拉普拉斯方程：

3.边值关系

①.两介质界面上边值关系

②.导体与介质界面上的边值关系

③.导体与导体界面上的边值关系

其中是导体的电导率

4.静电场的能量 用电势表示：

注意：①不是静电场的能量密度;是自由电荷密度,而则是空间所有电荷的电势，②5.唯一性定理： ①均匀单一介质

只适用于静电场。

当区域V内自由电荷分布V内场（静电场）唯一确定。② 均匀单一介质中有导体

已知，满足，若V边界上已知，或V边界上已当区域V内有导体存在，给定导体之外的电荷分布量，则内电场唯一确定。，当1或已知，每个导体电势

四、.静电边值问题的基本解法： 1.镜像法：

理论依据：唯一性定理，采用试探解的方法。镜像法：

用假想点电荷来等效地代替导体或介质边界面上的未知面电荷分布，然后用空间点电荷和等荷迭加给出空间电势分布。条件：

①所求区域内只能有少许几个点电荷（只有点电荷产生的感应电荷才能用点电荷代替。）或是连续分布。

②导体边界面形状规则，具有一定对称性。③给定边界条件。要求：

①做替代时，不能改变原有电荷分布（即自由点电荷位置、Q大小不 能变）。泊松方程不能改变。所以假想电荷必须放在所求区域之外。②不能改变原有边界条件，通过边界条件确定假想电荷的大小和位置。③一旦用了假想等效电荷，不能再考虑边界面上的电荷分布。④坐标系根据边界形状来选择。2.分离变量法：

条件：电势满足拉普拉斯方程：

①空间处处用拉普拉斯方程。，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边界②在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势中电势可表示为两部分的和

为已知，不满足，但表面上的电荷产生的电势使满足，仍可用拉普拉斯方程求解。注意：边值关系还要用而不能用。

拉普拉斯方程的通解：

轴对称通解：

为勒让德函数，…

球对称通解：若与均无关，即具有球对称性，则通解为：

解题步骤

①选择坐标系和电势参考点

坐标系选择主要根据区域中分界面形状 参考点主要根据电荷分布是有限还是无限

②分析对称性，分区域写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解 ③根据具体条件确定常数

外边界条件： 电荷分布有限 导体边界可视为外边界，给定，或给定总电荷Q，或给定（接地）

一般在均匀场中，：

（直角坐标或柱坐标）

内部边值关系：介质分界面上

(表面无自由电荷)3.电多极矩

讨论电荷分布在小区域内,而场点又距电荷分布区较远,即l<

小区域电荷体系在外电场中的相互作用能

其中 是点电荷在外电场中的相互作用能

是电偶极子在外电场中的相互作用能

是电四极子在外电场中的相互作用能

电偶极子在外电场中受的力

若外电场均匀:

电偶极子在外电场中受的力矩

三．重点与难点

本章重点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法。本章难点：镜象法、分离变量法（柱坐标）、电多极矩。

第三章 稳恒电流的磁场

一、主要内容：

在给定自由电流分布及介质分布的情况下如何求解稳恒磁场。由于稳恒磁场的基本方程是矢量方程，求解很难，并不直接求解的稳恒磁场磁感应强度，一般是通过磁场的矢势来求解。在一定条件下，可以引入磁标势及磁标势满足的方程来求解。我们先引入静磁场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。

二、知识体系： 1．矢势法： 基本方程:

边值关系：

静磁场的能量：

① 能量分布在磁场内，不仅仅是分布在电流区.②不是能量密度

2．磁标势法

引入磁标势的条件：求解区域内作任意的闭合回路L，闭合回路L内都无电流穿过，即，即引入区域为无自由电流分布的单连通域。

基本方程: 边值关系:解法：当时，用分离变量法求解，解法与第二章相同.3．磁矢势多极展开：

本章重点：

1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁场的能量

2、引入磁标势的条件,磁标势满足的方程与静电势方程的比较

3、利用磁标势解决具体问题 本章难点：利用磁标势解决具体问题

第四章 电磁波的传播

电磁波：随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空间互相激发，在空间以波动的形式存在，就是电磁波。

一、主要内容：

研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的波动情况;在真空与介质，介质与介质，介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、折射、衍射和衰减等，这些本质上是边值问题。电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的波型是平面电磁波。

二、知识体系： 1．自由空间（介质）：指，的无限大充满均匀空间.-

定态波亥姆霍兹方程基本解：，性质：（1）与的关系：，构成右手螺旋关系（2）与同位相；

（3），振幅比为波速（因为相互垂直，）。

（4）平面电磁波的能量和能流

 能量密度：，电场能等于磁场能，能量密度平均值为 能流密度：

（为

方向上的单位矢量）

平均值：2.良导体：，基本解：，其中3.电磁波在界面反射和折射

。4.谐振腔

定态波边值问题：

在求解中主要用到

解为：

两个独立常数由激励谐振的信号强度来确定。谐振频率：

（1）给定一组，解代表一种谐振波型（本征振荡, 在腔内可能存在多种谐振

时，谐振腔才处于谐振态。，则。

可以分解到波型的迭加）；只有当激励信号频率（2）不存在中两个为零的波型，若（3）对每一组任意两个方向。

值，有两个独立偏振波型，这是因为对于确定的（4）最低频率的谐振波型

假定，则最低谐振频率为

该波型为（1，1，0）型，所以，但是在一般情况下。，为横电磁波。

5.矩形波导管

矩形波导管由四个壁构成的金属管，四个面为一般情况下让电磁波沿理想导体边界条件:

轴传播,对理想导体:，满足方程：，其解：

其中，的解由截止频率：

确定 最低截止频率为：（），（）；

最高截止波长为: 波。，一般把波长的波，称为超短波即微本章重点：

1、电磁场的波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波

2、反射和折射定律的导出、振幅的位相关系，偏振

3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应

4、谐振腔和波导管中电磁波的运动形式 本章难点：

1、振幅、位相关系

2、导体内电磁波的运动

第五章 电磁波的辐射

一、主要内容：本章讨论高频交变电流辐射的电磁场的规律。

二、知识体系：

其解：

设电荷、电流分布为随时间做正弦或余弦变化，即：

将此式代入推迟势的公式后得到（）：

令 则：，如果讨论的区域有关系式：。

三、电偶极辐射：

当时，上式可以仅取积分中的第一项，有：，此式代表的是偶极辐射。由此我们得到在度：

条件下偶极辐射的磁感应强

利用得到偶极辐射的磁感应强度：

若选球坐标，让沿

轴，则：

（1）电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播方向、电场方向、磁场方向相互正交构成右手螺旋关系；（2）电场、磁场正比于，因此它是空间传播的球面波，且为横电磁波，在时可以近似为平面波；

（3）要注意如果（）不能被满足，可以证明电场不再与传播方向垂直，即电力线不再闭合，但是磁力线仍闭合。这时传播的是横磁波（TM波）辐射能流、角分布和辐射功率平均能流密度矢量：

平均功率：

P==，平均功率与电磁波的频率4次方成正比。

重点：电磁势及方程,电偶极辐射场、平均能流、平均功率的计算.难点：达朗贝尔方程的解，辐射场的计算

第六章 狭义相对论

主要内容：讨论局限于惯性系的狭义相对论的时空理论，相对论电动力学以及相对论力学

一．狭义相对论基本原理：

1、相对性原理（伽利略相对性原理的自然扩展）（1）物理规律对于所有惯性系都具有完全相同的形式。（2）一切惯性系都是等价的，不存在绝对参照系。

2、光速不变原理

真空中光速相对任何惯性系沿任何一个方向大小恒为c，且与光源运动速度无关。二．洛仑兹变换：

坐标变换： 逆变换：

速度变换：，三．狭义相对论的时空理论：

1．同时是相对的：在某一贯性参考系上对准的时钟，在另一相对运动的贯性参考系观察是不对准的。

2．运动长度缩短：沿运动方向尺度收缩。其中是物体相对静止系的速度；

3．运动时钟延缓：运动物体内部发生的自然过程比静止的钟测到的静止物体内部自然过程经历的时间延缓。

⑴ 运动时钟延缓：

只与速度有关，与加速度无关；

⑵ 时钟延缓是相对的，但在广义相对论中延缓是绝对的； ⑶ 时钟延缓是时空的另一基本属性，与钟的内部结构无关； ⑷ 它与长度收缩密切相关。四．电磁场的洛仑兹变换:

五．相对论力学：

1．运动质量：

2．相对论动量：3．质能关系：物体具有的能量为

4．相对论动能：5．相对论力学方程：

本章重点：

1、狭义相对论基本原理、洛仑兹变换并熟练利用洛仑兹变换解决具体问题

2、理解同时的相对性和尺缩、钟慢效应，并会利用相关公式计算.3、了解相对论四维形式和四维协变量

4、了解相对论力学的基本理论并解决实际问题 本章难点：

1、同时的相对性、时钟延缓效应的相对性

2、相对论的四维形式

3、电动力学的相对论不变性的导出过程

第四篇：电动力学1教案

第一章 电磁现象的普遍规律

本章重点：从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。主要内容：讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程；

找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程； 讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程； 给出求解麦氏方程的边值关系；

引入电磁场能量，能流并讨论电磁能量的传输。

§1.电荷和静电场

一、库仑定律和电场强度

1.库仑定律

QQr一个静止点电荷Q对另一静止点电荷Q的作用力为:F

34or2.点电荷电场强度

每一电荷周围空间存在电场：即任何电荷都在自己周围空间激发电场。它的基本性质是：电荷对处在其中的其它电荷具有作用力。

对库仑定律重新解释:描述一个静止点电荷激发的电场对其他任何电荷的电场力。

描述电场的函数——电场强度定义：试探点电荷F，则

FQr E(x) 3Q40r它与试探点电荷无关，给定Q，它仅是空间点函数，因而是一个矢量场——静电场。3．场的叠加原理（实验定律）

n个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：nnQiriE(x)Ei。34ri1i10i4．电荷密度分布

QdQ V0VdVQdQ面密度： xlim S0SdSQdQ线密度 ： xlim l0ldl体密度： xlimdQxdV QxdV,QxdS,Qxdl

VSL5．连续分布电荷激发的电场强度

xrxrE(x)dV或E(x)dS 33V4S4rr00xrdl 或 E(x)3L40r

二、高斯定理与静电场的散度方程

1.高斯定理 SQEdS QxdV

0V ⑴ 静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷与真空介电常数比值。⑵ 它适用求解某种具有对称性的场强。

⑶ 它反映了电荷分布与电场强度在某给定区域内的关系，不反应场点与点的关系。⑷ 电场是有源场，源心为电荷。2.静电场的散度方程。S1EdSEdVV0VxdV

 由于它对任意V均成立，所以被积函数应相等，即有E。

0⑴ 它又称为静电场高斯定理的微分形式。

⑵ 它说明空间某点的电场强度的散度只与该点电荷体密度有关，与其它点的无关。（但要注意：E本身与其它点电荷仍有密切关系）， E0，但EdS0。

S⑶ 它刻划静电场在空间各点发散和会聚情况

电力线发源于正电荷，E0, 电力线终止于负电荷，E0,0 0

0 无电荷处电力线连续通过，E0,⑷ 它仅适用于连续分布的区域，在分界面上，一般不连续不能用。⑸ 由于E有三个分量，仅此方程不能确定E，还要知道E的旋度方程。

三、静电场的环路定理与旋度方程

1.环路定理 Edl0

L⑴ 静电场对任意闭合回路的环量为零。

⑵

说明在L回路内无涡旋存在，静电场是不闭合的。证明（不要求）

1rxdl LEdl40VdVLr3rxdV3dS0

VS40r12.旋度方程

∵ LEdlEdS0（由于L任意）∴ E0

S⑴ 它又称为环路定理的微分形式。

⑵ 它说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。

⑶ 在分界面上一般E不连续，旋度方程不适用，且它仅适用于静电场，变化场E0。⑷ 有三个分量方程，但只有两个独立的方程，这是因为E0



四、静电场的基本方程

 E0,E 微分形式

0 LQ1Edl0，EdSS00VxdV 积分形式

物理意义：反映了电荷激发电场及电场内部联系的规律性。物理图像：电荷是电场的源，静电场是有源无旋场。

[例]：电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点场强的散度和旋度。

§2.电流和静磁场

一、电荷守恒定律

1.电流强度和电流密度（矢量）

Q；II： 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位安培）

t 若是一个小面元，则用dI表示，dI

dQt

J：方向：沿导体内一点电荷流动方向

大小： 单位时间垂直通过单位面积的电量。



dQdI J，JdIJdScosJdS JtdScosdScosI与J的关系 IdIJdS，SS此外对单一粒子构成的体系 Jv

2.电荷守恒的实验定律 a)语言描述：封闭系统内的总电荷严格保持不变。对于开放系统，单位时间流出电荷总量等于V内电量的减少率。b)积分形式：单位时间流出封闭曲面总电量为闭合曲面内电量的减少率为SJdS（流出为正，流入为负），dQ，dtdQd 又 ∵ QdV ∴dVdV

VVtdtdtV 所以有： JdSSVtdV

dQ 若为全空间，总电量不随时间变化，故0，总电荷守恒。

dtJdSJdVdV 微分形式：∵ SVVt而V是任意的，∴ J，或 J0 tt ⑴ 反映空间某点与J之间的变化关系，电流线一般不闭合。

⑵ 若空间各点与t无关，则0,J0为稳恒电流，t稳恒电流分布无源（流线闭合），，J均与t无关，它产生的场也与t无关。

二、磁场以及有关的两个定律

1.磁场：由于发现通过导线间有相互作用力，因此与静电场类比。

假定导线周围存在着一种场，因它与永久磁铁性质类似，称为磁场。磁场也

是物质存在的形式，用磁感应强度B来描述。

2.毕——萨定律（电流决定磁场的实验定律）

0Idlr闭合导线： 电流元 dB

4r30Idlr 闭合电流 BL4r3

0Jdvr闭合导体: 体电流元 dB］ 34r0 闭合电流 B4VJrdV r33.安培作用力定律（通电物体在磁场中受力大小的实验定律）

线电流元 dFIdlB

体电流元 dFJdVB

闭合回路： FIdlB 或FJBdV

LV

三、安培环路定理和磁场的旋度方程

 1.环路定理 。Bdl0I（IJdS为L中所环连的电流强度JJx）LS

说明： ⑴ 静磁场沿任一闭合回路L的环量等于真空磁导率乘以从L中穿过的电流强度。

⑵ 它反应了电流与磁感应强度在某区域内的关系，对于某些具有很高对称性的问题可求出B

2.旋度方程B0J

由LBdlBdS0JdS

Ss因为s为任意回路所围面积，所以被积函数相等 说明：

1)磁场为有旋场，但在无J分布区，旋度场为零，J必须是连续函数，J不连续区只要用环路定理；

2)该方程可直接由毕萨定律推出（见教材p16－19）

3)它有三个分量方程，但B0,故只有两个独立，它只对稳恒电流成立。

四．磁场的通量和散度方程

通量： SBdS0

1.散度方程：B0

证明：SBdSBdV0，因为V任意，所以B0

V说明：

1)静磁场为无源场（指通量而言），磁力线闭合； 2)它不仅适用于静磁场，它也适用于变化磁场。

五．静磁场的基本方程

微分形式：B0J，B0

积分形式：LBdL0I，SBdS0

反映静磁场为无源有旋场，磁力线总是闭合的。它的激发源是流动的电荷（电流）。注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体存在可无宏观静电场）。例1． 见教材p18例题

§3.麦克斯韦方程组

麦氏方程在电动力学中的地位就像牛顿定律在经典力学中的地位一样。麦氏方程建立的实验基础是电磁感应定律，理论基础是静电场、磁场的场方程。

一、电磁感应定律

1． 电磁感应现象

1831年法拉第发现：当一个导体回路中电流变化时，在附近的另一个回路中将出现感应电流。由此他总结了这一现象服从的规律：

dB，（BBdS）iSdt其中S是闭合电路L所围的任一曲面，dS与L满足右手关系。

实验发现：B变化率大于零，i与L反向；B变化率小于零，i与L同向。因此公式中加一个负号。

2． 磁通变化有三种公式：

a)回路相对磁场做机械运动（B与t无关，但BBt），b)回路静止不动，但磁场BBt，感生电动势，c)两种情况同时存在。3． 物理机制

有电流，说明电荷受到了电的作用，动生可以认为是电荷受到磁场的洛伦兹力，感生情况回路不动，应该是受到电场力的作用（无外电动势，由于它不是由静止电荷产生的场，故称为感生电场Ei（对电荷有作用力是电场的本质，因此它与静电场在这一点上无本质差别）。

电磁感应现象的实质：变化磁场激发电场EiEit 

二、总电场的旋度和散度方程 1．Ei和i的关系

F外dlL一般情况： iLE外dl Q其中E外为单位电荷受到的非电场力。2．Ei的旋度方程

d

电磁感应定律形式可以写为 LEidldtSBdS 

这是L可认为是电磁场中的 任一闭合回路。感生电动势是由于变化磁场产生了电场而出现的与导体是否存在无关。（与静电场由Q激发，与场中是否存在无关的道理类似）由斯托克斯定理

LEidlEidSS 且

dBBdSdSStdtS得

BBEdSdSE

iit SSt（1）它反映感生电场为有旋场（Ei又称漩涡场）,与静电场ES本质不同。（2）它反映变化磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。3．感生电场的散度方程

由于Ei不是由电荷直接激发，可以认为SEidS0，即Ei0

从这里可认为Ei为无源有旋场。

4．总电场的旋度与散度方程



假定电荷分布t激发的场为ESt，它包括静电场，称为库仑场（指ES0，tES）总电场为EESEi

0tB,E

E t0因此空间中的电场是有源有旋场，他们与试验结果一致。

三、位移电流假设

1． 变化电场激发磁场假设：

与变化磁场产生感生电场类比，人们提出变化电场同样可激发磁场。因此，总磁场一般为传导电流产生的磁场与变化电场产生的磁场之和。2． 位移电流假设



对于静磁场：，它与J0相一致，∵ B0J0

对于一般情况B0J不适用，因为J0tJJ(t)

在变化情况下电流一般不再闭合（交流电路，电容器被充、放电，但两极中间无电荷通过）

要导出一个旋度方程并与电荷守恒定律不矛盾。麦氏假定电路中存在位移电流JD，JJD构成闭合电流，即JJD0，这样可有B0JJD。若要与电

荷守恒不矛盾：

tE0E0

又由E 0ttt，设JD JJDttEE

即 JD0JD0ttE

麦克斯韦取 JD0，及变化电场产生位移电流。

t

JD并不表示电荷移动，它仅在产生磁场的作用上与J相同。

四、总磁场的旋度和散度方程

E引入JD后

B0J00

tB（1）

t为总磁场感应强度。（2）若Jt0，Bt仍为有旋场。

（4）

关于B的散度：稳恒时B＝0，同样，变化电场产生的磁场也应该是无源场。所以可认为B＝0

B实际上它可由E导出：

t（3）可认为磁场的一部分直接由变化电场激发。

BE0 即B0Bfx与t无关。

tt

当t0时，x处无磁场或仅有静磁场则fx0t0，那么以后fx0。

五、真空中的电磁场基本方程——麦克斯韦方程

BEtEB0J00微分形式

t

E0B0dLEdldtSBdSBdlIdEdS000LSdt积分形式



1EdSdVSV0SBdS0说明：

（1）真空中电磁场的基本方程

揭示了电磁场内部的矛盾和运动，电荷激发电场，时变电磁场相互激发。微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。

（2）线性偏微分方程，E,B满足叠加原理

（3）预测空间电磁场以电磁波的形式传播 具体求解方程还要考虑空间中的介质，导体以及各种边界上的条件。

（4）方程通过电磁感应定律加位移电流假设导出，它们的正确性是由方程与实际情况相比较验证的。

§

4、介质的电磁性质

一、介质的极化和磁化

1、介质：电介质由分子组成，分子内部有正电的原子核及核外电子，内部存在不规则而迅变的微观电磁场。

2、宏观物理量：因我们仅讨论宏观电磁场，用介质中大量分子的小体元内的平均值表示的物理量称为宏观物理量（小体元在宏观上无限小，在微观上无限大）。在没有外场时，介质内不存在宏观电荷、电流分布，因此宏观场为零。

3、分子分类：  有极分子：无外场时，正负电中心不重合，有分子电偶极矩。但取向无规，不表现宏观电矩。 无极分子：无外场时，正负电中心重合，无分子电偶极矩，也无宏观电矩。 分子电流：介质分子内部电子运动可以认为构成微观电流。无外场时，分子电流取向无规，不实现宏观电流分布。

4、极化和磁化： ⑴ 在外场作用下，（指宏观电磁场），无极 分子正负电中心分离，成为有极分子。分子的 电偶极矩沿外场方向规则取向产生宏观电荷分 布，产生宏观电矩。这称为介质的极化。

⑵ 在外场作用下，分子电流出现规则取向，产生宏观电流分布，出现宏观磁偶极矩，称为介质的磁化。极化使介质内部或表面上出现的电荷称为束缚电荷。磁化和极化使内部出现的电流统称为诱导电流。

这些电荷，电流分布反过来也要激发宏观电磁场，它们与外场迭加构成总电磁场。

二、介质存在时电场的散度和旋度方程

pi1、极化强度：p 单位体积内总电偶极矩，描述宏观极矩分布。

V

2、束缚电荷密度

pp可以证明：pdVpdS

（体积V内的总束缚电荷）

vs面密度：当介质为均匀介质时，束电荷只分布在介质表面与自由电荷附近表层上。将积分

形式用在介质表面（或两介质分界在上）薄层内，取小面元ds，电荷为ds =spds(p1dsp2ds)

pds(p2p1)dsnp(p2p1)n

其中n为界面法线方向单位矢量，由1—2。

3、电位移矢量的引入

fp不敷出在存在束缚电荷的情况下总电场包含了束缚电荷产生的场, E

0一般情况f是可知的,但p难以得到(即任意实验到p,p的散度也不易求得)为计算方便，想办法消掉p。

(0E)p+f=fP （0EP）f

引入D0EP(电位移矢量)

它仅起辅导作用并不代表场量，E与D关系可由实验上确定。

4、散度、旋度方程

B D

Et引入D，可使方程不含P，但E值与p有关，场方程仍与p有关，只是含在D中。

三、介质存在时磁场的散度和旋度方程.

1、磁化强度:Mmi ,单位2体积内的磁偶极距,描述宏观磁偶极距分布。

V

2、磁化电流密度： JM=M

可以证明：IMLJMdlJMdS

SP3、极化电流密度：p随变化产生的电流。JP

t设每个带电粒子位置为xi,电荷为ei，p

4、诱导电流：JPJM

exiiVp

pvpJP。

tJM0JMM0 ppPJPPJP0tttt

5、磁场强度：介质磁场由Jf，JP，JM即变化电场共同决定：0JfJPJM00

tP将JP，JMM代入，T P0Jf0000tt1PDJf0，即J f0ttt0（磁场强度）引入 H0它仅是一个辅助量并不代表磁场的强度，才描述磁场的强度。H与的关系可由实验给出。

6、散度、旋度方程

D

0，HJf

t

引入H可使方程不显含JP，JM，但场量仍与JP，JM有关。

四、介质中的麦克斯韦方程

微分形式

积分形式

tDJ

tD0dSLdlStdlIdDdS LdtdSQSDSdS0D0P，

0说明：

1、介质中普适的电磁场基本方程，使用于任意介质0，回到真空情况。



2、有12个未知量，6个独立方程，求解必须给出D与E，B与H的关系。

五、介质中的电磁性质方程

若为非铁磁介质



1、电磁场较弱时：P与E，M与H，D与E，B与H均呈线性关系。

⑴各向同性均匀介质

 P=e0E

0—介质极化率（有实验得到）

D（D=0E+P=0E+e0E=01+eE=0rE=E）

r1e相对介电常数

0r介电常数

M=MH

—介质磁化率

 

或

00 01

0r

r1

0r

为相对磁导率和磁导率 以上结果对介质正均匀同样适用 ⑵各向异性介质（如晶体）

D

为张量（介电常数张量）

 11ii12ij32kj33kk（共九项）

它的分量形式：

D11111221333D221121222133合写成Diijj i13

j1D313113122333写成矩阵形式：

D11112131D

22122232 D33132333

为磁导率张量

2、电磁场较强时：



D与呈准线性关系

Dijijjijkjkijkljkli1,2,3

jkjkl

对于铁磁物质：与不仅呈非线性，且为非单值，在此不讨论。

在电磁场频率很高时，介质还会出现色散，，为频率的函数。

3、导体中的欧姆定律

J

—电导率

它使用于变化电磁场

在有电源时，电源内部J非，非为准静电力的等效场。



六、洛伦兹力公式

麦氏方程反映了电荷（及电流）激发电磁场以及电场，磁场相互激发的一般规律。但它没有给出由磁场对带电体系的反作用。而实际上二者互相联系，互相制约。

库仑定律、安培定律反映了静电场，静磁场对带电体系的作用。

FQE

dFJBdV

考虑到电荷连续分布,密度为,定义力密度f，单位体积受到的作用力fEJB

洛伦兹力公式

洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了该式的正确。

若对一个以速度v运动的点电荷q

FqEqvB

说明：

①对于连续分布电荷和电流J,f中包括,和J激发的电磁场.②对于点电荷情况,F中的E,B不包含q激发的场.§5.电磁场的边值关系

当电磁场中存在介质时，两介质分界面上，可能有电荷，电流分布，这时，，等对于两种介质的取值不同，由此会造成物理量在界面突变。

在界面处微分方程不能适用，但可用积分方程，从积分方程出发，我们可以得到在界面上场量间关系，这称为边值关系，它是表示方程积分形式在界面上的具体化，只有知道边值关系，才能求解多介质情况下场方程的解。

一、场量的边值关系



1、D和E的法向分量边值关系：



2、B、H的法向分量边值关系

nB2B10,由Bds0，B1nB2n总连续s

nB2H10对于均匀各项同向介质u1H1nu2H2n不连续

二、切向分量边值关系



1、H的边值关系

DHdl(J)dsLst,用在界面上D)hb 由H22H11测线环量(Jt这里2，1面电流分布：limJh Jh0注意：（1）当电流仅分布在介质表面附近一个薄层时，可是体电流分布。意义是在界面上沿电流方向单位时间内通过单位横截线的电量。（2）一般在理想导体导体中才有面电流分布，（此时）。

在导体内部J0，E0

DH0,h0,Jh,则环量0t当H2H1tb

bnH2H1b，bnH2H1bnH2H1，b为任一矢量，故 回路L为任取，H2tH1tt一般情况H切向分量不连续。但是对于大多数非理想导体，0，所以H在以后讨论的大多数问题中连续。

也可类似导出B的切向边值关系：nB2B10M。

2、E的切向边值关系

nE2E10,E2tE1t，总连续，但D切向一般不连续。

三、其它边值关系

dvnP2P1psPdsvTMdlJdsnMM21MLsMd

sJMdsdtdvnJ2J1T,与t无关或恒压电流，J2nJ1n

例题：



1、已知均匀各项同性线性介质中放一导体，导体表面静电场强度为E，证明E与表面垂直，并求分界面上自由电荷、束缚电荷分布。

解：在静电平衡时，内部P1E1D10,E2E

①由fnD2D1D2nEn由nE2E10，EtE2tE1t0所以EEnn（垂直于导体面）fEfpfp②由nE2E1，E，p00EE0E0

由此得f与p的关系：p01f10f

2、有一均匀磁化介质球，磁化强度为M（常矢）。求磁化电流分布。

JmvM,M常矢，Jm0，只有面电流分布解： 由mnM2M1，M20，M1M

mnMMerMezerMsineφ

3、无限大平衡极点容器能有两层介质，极上面电荷分为f，求带场和束缚电荷分布。解：

（1）根据对称性，电场沿n方向，且为均匀场，极板为导体，在表面处：用

ffnDcD1fE1,E1n11E2f2f,E2n

2（2）介质与导体板分界面上电荷分布：

33pf由nE2E1，在这里3f00ff000E2nE1n011221）（2）3介质整个是点种性的。（ppp03pf §

6、电磁场的能量和能流

一、能量守恒与转化

能量：物质运动的量度。表示物体做功的物理量。机械能、热能、化学能、电磁能、原子能。

守恒与转化：能量可以相互转化，但总量保持不变。

电磁能：电磁场作为一种物质，具有能量和动量，电磁场弥散于全空间，电磁能也应弥散于全空间。

认识一种新物质的能量从能量转化入手。

热能：从机械能转化认识到热能和存在与怎样量度。电磁能：从电磁场中带电体系做功入手。

二、机械功与场能的变化关系

1、电磁场对运动带电体系所作的功

设一带电体由一种粒子组成，在电磁场中运动，电荷密度为drv，Jv

dt，运动速度为

△ 带电体受电磁场的洛伦兹力（力密度）fJV

dr△ 在dt间隔内，对体元dv所做元功：fdVdr(v)

dt

fvdVdtvvvdVdtJdVdt

dA△ 对整个带电体单位时间所做功：dtV，电磁场对物体所做功JdV（功率）转化为物体的机械能或转化为热能（改变速度或焦耳热）

2、功与场量的关系：

DD由HJ ,JHttD得FJH 利用 tHHEH

 tHHEHHEHtDBfvEJHEH

ttDBHdVEHdVJdVVttWwdVwDBdAV令H,SH,EJdVfvw

VVtttdtdAwdW则dVSdSd

＊

Vdttdt

三、能量密度与能流密度矢量

1、能量密度

V，Sdd0 H原因：运动电荷产生的电磁场一般由两部分组成： ⑴向外传播的电磁波（他在无穷远处为零）； ⑵与场源有关的场

12,H2s2,2S,而dr2

在此种情况下11dAdWdW dtdtdt假定介质无热损耗（介质极化要产生热能，导体电流流动要产生焦耳热），全空间只有运动带电体系电磁场。因此由能量守恒可知：洛伦兹力

对带电体所做的功变为带电体能量的增加

dWdW，因而电磁场能量减少电磁，dtdt场能量增加率为

dWddW，W代表电磁场总能量（体wdV代表电磁场能量增加率，dtdtdtVwDB积V）。代表单位体积能量的增加率，w为能量密度。ttt对于均匀各项同性线性介质：D，

D11DHB  wDHB ttt22



第五篇：电动力学导论自学指导书

电动力学导论自学指导书

（函授生用）

童国平编

浙江师范大学数理学院物理学系

第一章

电磁现象的普遍规律

通过静电场和静磁场的实验定律的分析，再研究变动情况下新的实验定律，由此总结出Maxwell方程组和洛仑兹力公式。电磁场是物质存在的一种形态，它有特定的运动规律和物质属性。

一、内容提要

1．库仑定律

2．电场强度

电场强度的定义：

点电荷：

点电荷组：

电荷连续分布：

3．电荷在电场中的受力

4．高斯定理和电场的散度

高斯定理：

或者

（在内）

电场的散度：，表明静电场是有源场。

静电场的环路定理：

电场的旋度：，表明静电场是无旋场。

5．电荷守恒定律

或者

其中

或者

稳恒电流：

6．毕奥-萨伐尔定律

或者

它是一个实验定律。

电流元在磁场中的受力：

7．磁场的环量和旋度

（是在内）

或者

磁场的旋度：，有旋场。

8．磁场的散度

磁场的高斯定理：

散度：，静磁场是无源场。

9．电磁感应定律

或者

若回路是固定的，则有

也可表示为：，这是磁场对电场的作用的基本规律。

10．位移电流密度

（真空）

11．介质的极化

极化强度矢量：，是点函数。

对各向同性的线性介质：

12．介质的磁化

磁化强度的定义：，是点函数。

对各向同性的非铁磁物质：

13．麦克斯韦方程组

真空情形：

有介质的情形：，洛仑兹力公式

+

麦克斯韦方程组

=

电动力学理论基础

14．诱导电流

磁化电流和极化电流：

总诱导电流：

15．电磁场边值关系

16．电磁场能量密度和能流密度

能量密度：（介质）

（真空）

能流密度或坡印亭矢量：

17．能量守恒定律

积分式：

微分式：

洛仑兹力公式：（力密度）

二、基本概念

1．静电场的散度：

电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止于负电荷。没有电荷分布的地点，故在该点上电场的散度为零，既没有电力线发出，也没有电力线终止，但可以有电力线连续通过。

局域性质：空间某点邻域上场的散度只和该点上的电荷密度有关，而与其他地点的电荷分布无关；电荷只激发其邻近的场，而远处的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。对运动电荷实验证明，其局域关系仍然成立，但场不能用库仑定律形式表示出来。

对点电荷而言，2．

静电场的旋度：，表明静电情况下，电场没有旋涡状结构。

3．一个半径为，电荷密度为，均匀带电球体，球表面的面电荷密度。同样，对一个半径为，单位长度电荷为的均匀带电圆柱体，其表面的电荷面密度也为零。根据电荷面密度的定义：，这里是表面电荷区域的厚度。

4．磁场的散度和旋度：，表明磁荷不存在，磁场是无源场。这一关系在一般变化磁场的情况下也是成立的。

对静磁场的旋度，因为电流密度是点函数，具有局域性，表明有电流分布的地方才有静磁场的旋度。

对于变化的场，磁场的旋度要修改为，是位移电流密度，如果在真空中，这里的即为传导电流密度；若在介质中，可理解为。

5．均匀介质中有自由电荷的地方才有极化电荷

电介质内部：极化电荷体密度与自由电荷体密度的关系为

电介质的表面：极化电荷面密度与自由电荷面密度的关系为

6．磁化电流与自由电流的关系，即有自由电流的地方才有磁化电流。对于面磁化电流而言，是介质1指向介质2的法线。

7．电磁场的物质性

电磁场具有能量也具有动量，它是一种物质，具有内部运动。电磁场运动和其他物质运动形式之间能够互相转化。

电磁场的能量密度是：，它是空间位置和时间的函数。电磁场的能流密度，它描述能量在场内的传播。数值上等于单位时间垂直流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。

8．能量守恒定律

电磁场能量守恒定律的积分形式是：

物理意义是：单位时间内流入闭合面内的电磁场能量=场对电荷系统所作的功率+与面相对应的体积V内场能量的增加率。

9．电磁能量的传输问题

电磁能量的传输不管是有电路情形还是无电路情形，都是通过场来传输的。在电路中，物理系统的能量包括导线内部电子运动的动能和导线周围空间中的电磁场能量。在传输过程中，一部分能量进入导线内部变为焦耳热；在负载电阻上，电磁能量从场中流入电阻内，供给负载所消耗的能量。（参见郭硕鸿书（第二版）P43例题）

三、例题

1．有一内外半径分别为

和的空心介质球，介质的电容率为ε。

使介质内均匀带静止自由电荷，求

（1）

空间各点的电场；

（2）

极化体电荷和极化面电荷分布。

解：（1）根据介质中的高斯定理：

可得：

由真空中的高斯定理：

（2）

极化面电荷密度：

考虑外球壳时，从介质1指向介质2（即从介质指向真空），所以

对于内球壳，2．内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为µ，求磁感应强度和磁化电流。

解：对于稳恒电流，安培环路定理为

当时，故。

当时，当时，磁化面电流，从介质1指向介质2。在内表面上，故

在外表面上，当时，3．试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线

总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。

证明：（1）导体在静电条件下达到静电平衡

导体内。

而且，所有，故垂直于导体表面。

（2）导体中通过恒定电流时，导体表面，所有导体外，即。而且，即：，所以。

导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。

第二章

静电场

这章把电磁场的基本理论应用于最简单的情况：电荷是静止的，相应的电场不随时间变化。当给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，怎样求解静电场。通常将静电场引入标势，使得问题变得稍微容易些。

一、内容提要

1．静电场的标势

而。称为标势，只有差值才有物理意义。标势与参考点的选择有关，当电荷分布于有限区域时，选择无限远作为电势零参考点；当电荷分布于无限区域时，常选空间某一点的电势为零，则整个空间的电势就单值地确定了。

点电荷：

电荷连续分布情况：

2．静电标势的微分方程

或者

为自由电荷密度。这个方程称为泊松方程。只要给定势的边界条件就可以求出的分布。

3．标势的边值关系

从介质1指向介质2。是分界面上的自由电荷面密度。对于导体有：

常数（可以是给定的，也可以是待定的）

当界面无自由电荷分布时，两种介质的分界面电势的边值关系为

4．静电场的能量

5．静电问题的唯一性定理

情况1：设区域内给定自由电荷分布，在的边界上给定电势或电势的法向导数，则内的电场唯一地确定。

情况2：设区域内有一些导体，给定导体之外的电荷分布，给定各导体上的总电荷以及的边界上的或值，则内的电场唯一地确定。

6．拉普拉斯方程的解

球坐标下轴对称情况下电势的通解为：

为勒让德函数，和是任意常数，由边界条件确定。

7．镜象法

研究对象：导体球和点电荷系统；导体平面和点电荷系统

方法：用一个或若干个假想电荷来代替导体面上的感应电荷分布。

条件：（1）假想电荷的引入要不改变空间原来的电荷分布，即要满足边界条件；

（2）假想电荷要放在求解区域之外。

常用公式：（1）导体球的象电荷及位置：，是球的半径，为点电荷到球心的距离。（2）导体平面的象电荷：，位置距离平面为。

8．电多极展开

（相当于原点的点电荷）

（电偶极矩）

（电四极矩）

9．电荷体系在外电场中的能量

电偶极子在外电场中所受的力和力矩是

二、基本概念

1．两种各向同性的均匀介质分界面两侧电势相等，即电势在界面处是连续的，与界面有没有净电荷无关。

2．导体的静电条件可归纳为：（1）导体内部没有净电荷，电荷只能分布于其表面上；（2）导体内部电场为零；（3）导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。整个导体的电势相等。

3．均匀电场电势的零点问题，可以在电场中选取坐标原点，并将原点作为电势的参考点，电势可表示为：。

4．唯一性定理告诉我们：只要给定区域V内的电荷分布，并给定区域边界上的电势或电势的法向导数，则该区域内的电场分布是唯一的。这样，在给定边界条件下泊松方程的解，就是实际问题唯一的场分布形式。

5．用这个公式可以表示静电场的总能量，积分只对有电荷分布的地方才有贡献，这里并不表示场的能量密度，场的能量密度应为。

6．边值关系与边界条件这两个概念是有区别的，边值关系指两种介质的分界面所形成的两边的场量之间的联系与衔接，如：两绝缘介质界面上，电势满足

这就是边值关系。边界条件一般指系统的“边缘”场所满足的条件，如：位于均匀电场中的中性导体球，（有限），（均匀场的势）。有些问题，边值关系与边界条件区分并不明显，比如：一个半径为的带电为导体球，由于静电平衡，整个球是个等势体，而边界条件是：（有限）。边值关系是：

（待定常数），待定常数可由公式来确定。由无穷远处是电势的零参考点，球心与球面具有相同的电势，可省去边界条件部分的陈述，故对导体球边值关系就可称为边界条件。

7．为何要讨论电势的多极展开？这是因为：（1）在许多物理问题中电荷分布于一个小区域内，而求解的场点又很远；（2）通过积分法直接计算场的分布有一定的困难。多极展开能给出场分布的各级近似值。

三、例题

1．半径为的导体球壳，放入均匀电场中。设想这个球壳被垂直于的平面分割成两个（相等的）半球壳，为了使这两个半球壳不至于分开，需要加多大的外力？

解：已知球壳内部电场强度为0，球外电势满足的定解问题为：

由于问题有轴对称性，设球壳外的电势为

当时，由边界条件有

比较上式两边可得：

因此，球壳外的电势可表示为

当时，由边界条件可得：

比较等式两边，可得

由此可解得：

球外的电势为

式中的常数可由下式来确定：

（因为球是中性的）

最后电势可表示为

球壳上的电荷面密度为

球外的电场强度为

在球面上，电场强度是：

由于球壳内部电场强度为0，作用在球壳上电荷的电场为

那么，电场作用在一个半球壳上的力

考虑到对称性，我们有

2．有一个半径为的薄导体球壳，带电量为。壳内距中心为处有一点电荷。求同上的电荷分布。

解：定解问题是

由高斯定理

可得：

或

球外的场相当于位于球心的点电荷所激发，因此，球外的电势就是点电荷所激发，则

对于球内的电势，可用电像法求得。考虑到导体球面上电势处处相等，由电像法可假定球外距离球心为处有一电量的点电荷。

球壳本身带电，其上电势并不为0，球内电势由三部分组成：球壳外表面的电荷贡献+球壳内表面感应电荷的贡献+球内点电荷的贡献。

球壳外表面电荷对球内电势的贡献为：

球壳内表面感应电荷的贡献+球内点电荷的贡献：

所以球内的电势为：

当时，满足边界条件。球壳上的电荷分布为：

第三章

静磁场

在恒定情况下，电场和磁场不发生直接的联系，故可分开处理。磁场的矢势和标势是重要的概念。在量子物理中，矢势是一个可观测的物理效应。

一、内容提要

1．矢势

称为矢势。矢势沿某一回路的环量等于磁通量：

2．用矢势来描述磁感应强度是不唯一的这两个矢势都对应于一个磁感强度。对可选择合适的规范条件：。这样矢量场就被确定下来。

3．矢势微分方程

或

式中是源点，是场点，是源点到场点的距离。

4．矢势的边值关系

5．静磁场的能量

相互作用能

6．磁标势

引入条件：某一区域内的任何回路都不被电流所链环，即该区域内是没有自由电流分布的单连通区域。用数学式子表示为

为假想的磁荷密度。

7．磁偶极矩

相应的标势为

8．在外场中的能量

势能：

相互作用能：

这里是外场。力矩：，力

9．A-B效应

矢势在量子物理中所处的地位要比经典电动力学重要得多。A-B效应表明：尽用描述磁场是不够的。

二、基本概念

1．矢势的物理意义

矢势的物理意义是：它沿着任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有的环量才有物理意义，而每点上的值没有直接的物理意义。这一点在量子物理中得到直接的体现。

2．矢势的不唯一性

由矢势可以确定，但由并不能唯一地确定。

3．引入磁标势的条件

在要研究的磁场分布区域内，我们所作的任何回路都不被电流所链环，即从数学上来说，回路是单连通的。

例如，要研究自由电流I的电流圈的磁场分布，要同时除去电流所占空间和电流所围的曲面，这样才能用磁标势计算剩余空间的磁场，保证该区域是单连通的。

4．没有磁单极

矢势的多极展开式的第一项为磁单极项，第二项为磁偶极项，第三项为磁四极子项。第一项可表示为：

（一个闭合的电流管）

表明磁场展开式不含磁单极项。

5．超导体的两个主要电磁性质

（1）

超导电性（或零电阻效应）：当样品的温度下降到某一临界温度时，电阻突然变为零的性质，称为超导电性。

（2）

迈斯纳效应（或完全抗磁性）：超导体内部的磁感应强度为零，与超导体所经过的历史无关。

三、例题

1．设半空间充满磁导率为的均匀介质，空间为真空，今有线电流沿轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。

解:假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作

其满足边界条件：。在介质中，而

在的介质中，则，取积分路径为的半圆。

段积分为零。

由，可得

（沿轴）

2．有一个均匀带电的薄导体壳，其半径为，总电荷为，今使球壳绕自身某一直径以

角速度ω转动，求球内外的磁场。

解：利用磁标势法，取球体自转轴为轴，建立坐标系，定解问题为：

其中

是球壳表面自由面电流密度。

解得满足自然边界条件的解为：

代入衔接条件：

解得：

其中。

第四章

电磁波的传播

在迅变情况下，电磁场以波动形式存在。变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁波。本章主要研究电磁波在无界空间的传播特性，在介质界面上的反射和折射以及在导体中的传播问题。

一、内容提要

1．真空中的波动方程

无电荷电流的自由空间：

2．完备性方程

3．平面电磁波

特性：（1）横波，；（2）三者互相垂直，；（3）和同相，振幅比为；（4）对每一个，和有两个独立的偏振方向。

4．能量和能流

能量密度：

平均值：

能流密度：

平均值：

5．折射和反射定律

6．布儒斯特角

7．良导体的条件：

8．导体中的电磁波：

二、基本概念

1．介质的色散

介质的电容率和磁导率随电磁波正弦振动频率的变化关系，称介质的色散。对不同的频率，或是不同的。对单一频率的正弦波来说，在线性介质中有关系

对非正弦波。

2．平面电磁波

若电磁波沿轴方向传播，其场强在与轴正交的平面上各点具有相同的值，即和仅与有关，而与无关。这种电磁波称为平面电磁波，其波阵面为与轴正交的平面。

3．或有两个独立的偏振波

由可知，电场可在垂直于的任意方向上振动。电场的取向称为偏振方向。可以选取与垂直的任意两个互相正交的方向作为的两个独立偏振方向。

4．电磁波的相速

一个沿轴方向传播的平面波，其相速度为

在真空的无界空间中，电磁波的相速与能量传播速度是相同的，但在一般情况下，相速与能量传播速度是两个不同的概念。在某种情况下，相速可以超过光速，而能量传播的速度不能大于光速。

5．全反射

当时，光从光密到光疏介质，而折射角随着入射角的增大，变为，折射波沿界面掠过。若入射角再增大，则不能定义实数的折射角。这种情况下，反射波平均能流密度数值上和入射波平均能流密度相等，电磁波能量被全部反射出去，这现象称全反射。

三、例题

1．一平面电磁波以

从真空入射到的介质，电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。

解：设为界面法向单位矢量，分别为入射波，反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，则反射系数和折射系数定义为：

又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得：

又根据反射定律和折射定律

由题意。

2．平面电磁波垂直入射到金属表面上，试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热。

证明：设在z>0的空间中是金属导体，电磁波由z<0的空间中垂直于导体表面入射。

已知导体中电磁波的电场部分表达式是：

于是由z

=0的表面，单位面积进入导体的能量为：

其中

平均值为：

在导体内部，所以金属导体单位面积内消耗的焦耳热的平均值为：

作积分：

此为单位面积对应的导体中消耗的平均焦耳热。又因为，所以，原题得证。

3．有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z

轴传播，一个波沿x

方向偏振，另一个沿y

方向偏振，但相位比前者超前，求合成波的偏振。反之一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？

解：偏振方向在x

轴上的波可记为

在y轴上的波可记为：

合成得轨迹方程为：

所以合成的振动是一个圆频率为的沿z轴方向传播的右旋圆偏振。反之，一个圆偏振可以分解为两个偏振方向垂直，同振幅，同频率，相位差为的线偏振的合成。

第五章

电磁波的辐射

电磁波是由运动电荷辐射出来的，例如原子内部电子跃迁运动产生电磁辐射，构成原子发射光谱。通常有电偶极辐射，电四极辐射和磁偶极辐射（这两者具有相同的数量级）等。

一、内容提要

1．用势描述电磁场

2．库仑规范和洛仑兹规范

3．达朗贝尔方程

4．推迟势

达朗贝尔方程在无界空间的解

5．电偶极辐射的电磁场计算公式

6．平均能流与辐射功率

7．电磁场的动量

动量密度：

平均动量密度：

与能流密度的关系：

对平面电磁波：；

二、基本概念

1．规范、规范变换和规范不变性

用矢势和标势描述电磁场，每一组称为一种规范；从一组规范变换到另一组规范称为规范变换；当势作规范变换时，所有物理量和物理规律都应该保持不变，这种不变性称为规范不变性。对电磁场来说，不同的规范可以对应着同一的和。

2．推迟势的意义

物理意义：反映了电磁相互作用具有一定的传播速度。空间某点在某时刻的场值不是依赖于同一时刻的电荷电流分布，而是决定于较早时刻的电荷电流分布。场点的状态要比源点的状态推迟的时间。

3．电偶极辐射的方向性

在的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向（）没有辐射。

4．动量守恒定律

在全空间中，电荷的动量变化率与电磁场动量的变化率之和为零，即

这个式子称为电磁场动量守恒定律。

三、例题

1．证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势表示，其中，垂直于z轴方向。

证：对于沿z轴传播的任意一平面电磁波，可写作：

满足：1）均垂直于传播方向；2）相互垂直，沿方向；3）同相，振幅比为（真空中为）。故不妨取：

（1）

（2）

可见，如果令，表达式（1）（2）可表示的波正是符合条件的平面波，所以命题得证。

2．设和是满足洛仑兹规范的矢势和标势。

（1）

引入一个矢量函数（赫兹矢量），若令，证明。

（2）

若令证明满足方程，写出在真空中的推迟解。

（3）

证明可通过用下列公式表出。

1）

证：和满足洛仑兹规范，故有

代入洛仑兹规范，有：，即

2）

证：因为标势在满足洛仑兹规范的条件下有方程：

而，故：

代入原方程得：

令，则上式化为：

即：

比较矢势在洛仑兹规范下的波动方程，可得推迟势解为：

3），代入，有：

同理可得：

第六章

狭义相对论

一、内容提要

1．相对论的基本原理

1）

相对性原理

2）

光速不变原理

2．间隔不变性

或

3．洛仑兹变换

4．运动时钟的延缓

5．运动尺度的缩短

6．速度相加公式，7．

四维速度，8．

四维波矢量

9．四维电流密度矢量

10．四维势矢量

11．四维动量

不变量

二、基本概念

1．同时的相对性

同地同时是绝对的，异地同时是相对的。

2．时钟延缓与长度收缩是相关的时间延缓与长度缩短效应都是运动着的物质相互之间的时空关系的反映，并不是主观感觉的产物。

3．麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的，而牛顿定律在伽利略变换下是协变的。

4．根据相对论，做匀速运动的点电荷所产生的电场在运动方向发生“压缩”，这时在电荷的运动方向上电场与库仑场相比较会发生减弱。

5．横向多普勒效应：在垂直于光源运动方向上，观察到的辐射频率小于静止光源的辐射频率，这种现象称为横向多普勒效应。用公式表示为：

三、例题

1．静止长度为

l0的车厢，以速度v

相对于地面s

运行，车厢的后壁以速度

u0向前推出一

个小球，求地面观测者看到小球从后壁到前壁的时间。

解：根据题意，取地面为参考系S，车厢为参考系S′

于是相对于地面参考系S，车长：

车速：

球速：

故在地面参考系S中观察，小球在此后，由车后壁到车前壁

2．在坐标系S中有两个物体都以速度

u

沿

x

轴运动，在S

系看来，它们一直保持距离

l

不

变。今有一观察者以速度v

沿x

轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？

解：根据题意，系取固着于观察者上的参考系

又取固着于A，B

两物体的参考系为系

在S中，A，B以速度u沿x轴运动，相距为l,在系中，A，B静止相距为，有：

又系相对于S以速度v沿x轴运动，系相对于S系以速度u沿x轴运动，由速度合成公式，系相对于系以速度

沿x轴运动

所以在系中看以两物体相距为

3．质量为M的静止粒子衰变为两个粒子和，求粒子的动量和能量。

解：衰变前粒子的动量为，能量为。衰变后设两粒子动量为，能量分别为

由动量守恒和能量守恒得：

（1）

（2）

由（1）得代入（2）解得

粒子的能量为