Zirakzadeh不等式的两个简捷证明

第一篇：Zirakzadeh不等式的两个简捷证明

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Zirakzadeh不等式的两个简捷证明

作者：曹嘉兴

来源：《中学数学杂志(高中版)》2012年第06期

1960年，Zirakzadeh提出了如下不等式：

命题 设P、Q、R分别位于△ABC的边BC、CA、AB上，且将△ABC的周界三等分，记BC=a，CA=b，AB=c，则PQ+QR+RP≥1/2（a+b+c）.

第二篇：如何选取最简捷的方法证明不等式

如何选取最简捷的方法证明不等式

王

莉

不等式的证明是中学学习中经常碰到了一类题目，它的方法有很多种，比较法（作 差法，作商法），分析法，反证法，放缩法，判别式法，换元法，函数法，数学归纳法，而现在的教学中对这些方法的介绍不再面面俱到，使得有些学生只知道其中部分方法，甚至有的学生只知道作差法，而碰到不能用作差法得到的题目，学生会一筹莫展。面对这么多种方法学生即使方法全部掌握，在考试中也不能在短短的时间内判断出用什么方法又快又准确。而这篇论文就是针对这个问题寻找出每种方法的适用范围，从而找出规律。

一.介绍证明不等式的方法和适用范围 1． 比较法

比较法是证明不等式最基本，最常用，最重要的方法之一。

a)作差法的理论依据是a>b(a=b,a0(a-b=0,a-b<0),它适用于当两项属于实数范围且作差后有公因式的整式，分式之间。

b)作商法的理论依据是(a,bR)a>b(a=b,a

把某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法通常叫做综合法。它涉及到的基本不等式和常用不等式有

a 当且仅当a=0是等号成立

a,bR,ab a,bR,aab 当且仅当a=b时等号成立

bab，当且仅当a=b时等号成立

a,b,cR,abcabc，当且仅当a=b=c时等号成立

其中尤其重要的是等号成立的条件，特别做实际问题的不等式证明时要注意，它适用在满足基本不等式或常用不等式条件和结果的一切不等式，当然题目不可能很容易看出是否满足，所以要注意技巧即能够根据要求拆或合项。3． 分析法

证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。注意的是用分析法证明不等式，分析过程必须步步可逆。而在证明不等式时，用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理的表达证明过程较宜。它适合用于含根式的不等式处理时先证明两边平方的大小关系也可分子有理化。4． 反证法

从假设结论不成立入手，推出与“已知条件，假设，公理，定理或显然成立的事实”等相矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立，这种方法叫做反证法。用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。反证法的一般步骤（1）否定结论（2）推理论证（3）导出矛盾（4）肯定结论，它的原理是“否定之否定等于肯定”用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“”的反面为“<”；“”的反面为“>”，“=”的反面为“”，“至少有一个”的反面是“一个都没有”它适用于证明存在性问题，唯一性问题，或者带有至少或至多等字样的问题。5． 放缩法

从不等式的一边入手，逐渐放大，缩小不等式，直到得到不等式的另一边，这种方法叫做放缩法。运用放缩法要注意放缩必须适度，放得过大或缩得过小都不能达到证题的目的。它的理论依据主要有（1）不等式的传递性；（2）等量加不等量为不等量;(3)同分子（分母）异分母（分子）的两个分时大小的比较.放缩时使用的主

要方法（1）舍去或加上一些项，如，(a)(a)(2)将分子或分母

放大，如kk(k)，kk(k)*，kkk

kkk(kN,k)它适用于含可以配方的式子或者含满足上述方法二的式子的不等式。

6． 判别法

证明形如“ayaxaxbxcbxcb,cyaxbxcaxbd”的不等式，可通过将不等式中的y整理成形如f(y)xg(y)x(y)的形式后，依据(1)f(y)时，由xR,⊿≥0,得y的取值范围为A(2)讨论f(y)=0时，f(y)xg(y)x(y)中的x的值是否为函数y的定义域中的值？是，结合（1）可以确定y的范围为A及f(y)=0的y值；否则y的范围为A.这种证明不等式的方法叫做判别式法。它适用于分子分母都是二次函数或有一个为二次函数的可以转换为f(y)xg(y)x(y)形式的分式，同时要注意对x项系数f(y)=0)和f(y)两种情况的讨论。

x而x=0是函数y=

xx,的定义域中的一个值，所以y=1属于它的值域中的一个值 y 即证

7． 换元法

在证明不等式的过程中，将不等式中的变量作适当的代换，使不等式得到证明，这种方法叫做不等式证明中的换元法。换元法没有固定的模式，用换元法证明不等式，常用的方法是“三角换元法”和“代数换元法”其中三角换元法常用的公式有：sincos tansec cotcscxa

{xRcosyRsin适用范围：如果不等式中的变量|x|≤a(a为常数)则把

设为sin

或者cos 如果题目中含有“xyR，xyR，Rx也可以用{xRcosyRsin代换。如果题目含有Rx，xR可用x=Rtan

一个实数的可能性。需要注意的是在代换时，新的变量的变化范围必须确保原来的变量的变化范围不发生变化。8． 函数法

所谓函数法是指根据函数的单调性（先构造函数）证明不等式的方法，而所构造 的函数必须是单调函数，解决这个问题的关键是建立初等函数模型与不等式的“外形”的对应关系。它适用于不等式两边有相同函数形式的不等式 9． 数学归纳法 x=Rsec特别是当时，tan可取全体实数，所以tan有代换任何通过（1）证明n取第一个值n使命题成立（2）假设n=k(kN*,kn)使命题成立，证明n=k+1时命题也成立。这种证明方法叫做数学归纳法。它适用于与正整数n有关得不等式等。

二.上述几种方法在证明一道不等式中的应用 已知p>0, q>0,且pq 求证：p+q≤2.证法一（综合法）：ppq=2

 pqq=2 又p>0,q>0 ≥p+q p+q≤2 证法二（反证法）假设p+q>2,则p>2-q, p>0,q>0, p pq q<2,即2-q>0

(q)qq(pq， qqq) 即(q)

这与(q)≥0矛盾。假设不成立。p+q≤2

pq(pq)(ppqq)(pq)[(pq) 证法三（放缩法）(pq)]

(pq)(pq) p>0,q>0 p+q≤2

 证法四（判别式法）设p+q=a,则p>0,q>0，a>0 p pqpq=2

pqq(pq)pq

p=a-q aaq(aq)aaqq

aqaqa(q系数3a>0)， qR a a(aa(a)即aa≥0

) a(a)p+q≤2 证法五（换元法）由已知p>0,q>0 设p=msin 则p q=mcosm(0<mcos,m>0)，qsinm[sinsin] )m

 0< sinp m(m m

m≤2,即p+q≤2 可以看出在这五种证明方法中综合法和放缩法是比较简单的方法，它们用较少的步骤就得到了不等式要证明的答案。由此可以看出对于同一道证明题，选取不同的方法，证明是简单还是复杂会相应的改变，所以在做不等式的证明中如果能选取比较合适的证明方法，就可以提高解题速度，从而提高学习效率。

q

参考文献：

龙门书局 《不等式》 主编 傅荣强

常用不等式—2004第3版 匡继昌著 济南山东科学技术出版社

不等式 严镇军 中国科学技术大学

第三篇：两个常见不等式的证明及推广

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两个常见不等式的证明及推广

作者：姬婷 魏春强

来源：《学园》2013年第13期

【摘 要】本文根据两个常见不等式的证明和分析，引发联想，进而推广，得到命题1和命题2。

【关键词】平均值不等式 幂平均不等式 推广

【中图分类号】O12 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）13-0016-01参考文献

[1]陈传理、张同君.竞赛数学教程[M].北京：高等教育出版社，2004

〔责任编辑：庞远燕〕

第四篇：关于两个不等式证明的研究性学习

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关于两个不等式证明的研究性学习

作者：王红权

来源：《教学月刊·中学版（教学参考）》2014年第03期

高中数学选修课程是为希望提高数学素养的学生而设置的，其中所涉及的内容反映了某些重要的数学思想和数学方法，有助于学生进一步打好数学基础，拓展数学视野，提升数学能力，支持这部分学生的后继学习.浙江省高中课程中的《IB选修模块》是为考“第一批本科院校”的学生而专门设计的，实际上选学数学IB模块的学生数学基础都比较好，因而数学IB模块也是开展研究性学习的好素材.下面是笔者开设《不等式选讲（选修4-5）》的一节研究性学习课，课堂上一波三折，笔者在惊叹数学精美之余，也惊叹数学课堂的精彩.参考文献

[1] Pham Kim Hung.不等式的秘密（第一卷）[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012.[2] 安振平.三十个有趣的不等式问题[J].中学数学教学参考，2011（11）.[3]安振平.2007 年全国中学数学教师解题基本功技能大赛[J].中学数学教学参考，2007.

第五篇：不等式证明

不等式证明

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。