排序不等式2

第一篇：排序不等式2

东安一中奥赛培训专题 《不等式的证明》陈雄武

《排序不等式，琴生不等式》及应用

1、（排序不等式）：设有两组数a1,a 2，满,足,an,bb;,bn,12a1 a2an,b1b2bn，则有a1b1a2b2anbn（顺序和）

a1bi1a2bi2anbin（乱序和）a1bna2bn1anb1（逆序和）2，（切比雪夫不等式）：若a1a2an，b1b2bn，则a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn .nnn

证明：由题设和排序不等式，有a1b1a2b2anbn=a1b

1a2b2anbn，a1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1，……a1b1a2b2anbna1bna2b1anbn1.将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2，即得欲证的不等式.f(x)是定义在实数集M上的函数，且对任意的xl、x2 ∈M，都有

xx，fx1fx22f12，则对任意的xi ∈M（i = 1，2，…，n）

2

3，（Jensen 琴生不等式）设1n，fxinfxii1ni1na2b2b2c2c2a2a2b2c

2.例1：a,b,cR，求证abc2c2a2bbccaab

例2：在△ABC中，试证：

3aAbBcC.abc2

例3：设a1,a2,,an是互不相同的自然数，试证1

ana1

1a12.2n22n2

例4：设b1,b2,,bn是正数a1,a2,,an的一个排列，求证

aa1a2

nn.b1b2bn

例5：设正数a,b,c的乘积abc1，试证：(a1)(b1)(c1

1b1c1)1.a

例6：设正数a、b、c的乘积abc1,证明

3.22

2a(bc)b(ca)c(ab)2

例7：设实数x1x2xn,y1y2yn,z1,z2,,zn是y1,y2,,yn的一个置换，证明：

(x

i

1n

i

yi)(xizi)2.i1

n

akn1

例8：设ak是两两互异的正整数（k1,2,)，证明对任意正整数n，均有2.i1ki1k

n

n

例9：x1,x2,...,xnR(n2),且



x

i1

i

1，证明：i1

n



n

3.已知xi0,(i1,2,,n)，n2,x1x2xn1，求证：(1

1n11)(1)n(1)nn(n1)nx1x2xn

1111111

证：[(1)n(1)n(1)n](1)n(1)n(1)n

nx1x2xnx1x2xn

111)(1)(1)x1x2xn

bbbbbb

(利用结论：[(11)(12)(1n)]n1(12n)n);

a1a2ana1a2an (1

[(1

1111)(1)(1)]1()1x1x2xnx1x2xn

n1n

x1x2xn

x1x2xn1



nn1

[(1)(1)(1)]n1n

x1x2xn又x1x2xn

(1(1

111)(1)(1)(n1)nx1x2xn

1n11)(1)n(1)nn(n1)nx1x2xn

4.若P为ABC内任一点，求证PAB、PBC、PCA中至少有一个小于或等于30；证：设PAB、PBC、PCA，且PAC'、PBA'、PCB';PAsinPBsin'



依正弦定理有：PBsinPCsin'sinsinsinsin'sin'sin'

PCsinPAsin'(sinsinsin)2sinsinsinsin'sin'sin'

sinsinsinsin'sin'sin'6)

6'''1sin6()()6

62（sinsinsin()

330,否则150时，、中必有一个满足30在、、,中必有一个角满足sin

第二篇：排序不等式及证明

四、排序不等式

【】

（一）概念9： 设有两组实数

a1，a2，，an（1）b1，b2，，bn（2）满足

a1a2an（3）b1b2bn（4）另设

,cn（5）c1，c2，是实数组（2）的一个排列，记

逆序积和Sa1bna2bn1anb1 乱序积和S'a1c1a2c2ancn 似序积和S''a1b1a2b2anbn 那么

SS'S'' 且等式成立当且仅当a1a2an

或者

b1b2bn

证明【9】：

1，预备知识

引理1（Abel变换）设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令

k

B00，Bk那么

n

b,i

i1

n1

akbkanBn(ak1ak)Bk

k1

k1

事实上：

n

n

akbk

k1

a

k1n1

k

(BkBk1)an(BnBn1)an1(Bn1Bn2)a1B1

anBn(anBn1an1Bn1)(an1Bn2an2Bn2)(a2a1)B1anBn(ak1ak)Bk

k1

引理2设实数组（2）满足（4）式，实数组（5）是实数组（2）的任意一个排列，那么显然有

k

k

k

bicibni1

i1

i1

i1

引理3设实数组（2）满足（4），那么

kk

bibni1

i1

i1

若存在1kmn使等号成立当且仅当b1b2bn

2，证明首先：

SS'a1(bnc1)a2(bn1c2)an(b1cn)不妨设

k

B00,Bk

(b

i1

ni1

ci)

那么由引理2，有Bk0,Bn0

则由Abel变换以及aiai1，得到(ak1ak)Bk0 所以

n1

'

n1

SSanBn(ak1ak)Bk(ak1ak)Bk0

k1

k1

即SS 同理，设

'

B00,Bk

''

k

(c

i1

i

bi)

则可证

S'S''a1(c1b1)a2(c2b2)an(cnbn)

n1

(ak1ak)B'k0

k1

要使得等号成立，即 SS'S''

则对k1,2,,n1,有

(ak1ak)Bk0

(ak1ak)B'k0 那么有下列两种情形：

(i)a1a2an

(ii)存在1mn1，使得a1a2am,amam1 这时必有

'

Bm0,Bm0 从而

m

m

ni1

m

ni1

Bm

(b

i1

ci)

b

i1

ci0

i1

Bm 所以

m

'

mm

i

m

i

i

(c

i1

bi)

cb

i1

i1

0

bni1

i1

b

i

i1

m

由引理3得

b1b2bn

第三篇：柯西不等式与排序不等式练习题

2013年高中数学IB模块选修4-5专题测试

（一）试题内容：柯西不等式与排序不等式 试卷总分：120分考试时间：60分钟

一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）

1、a,b,c,dR，不等式ab



2

c2d2acbd取等号的条件是（）



2A．abdc0B．adbc0C．adbc0D．acbd0

2、设a1a2a3,b1b2b3，下列最小的是（）

A．a1b3a2b2a3b1B．a1b1a2b2a3b3C．a1b2a2b1a3b3D．a1b1a2b3a3b23、若四个实数a1,a2,a3,a4满足a2a1a3a2a4a31，则a3a4a1a2的最大值为（）

A．1B

C．2D4、a,b是非零实数，ab1，x1,x2R,Max1bx2bx1ax2,Nx1x2，则M与N的大小关



222

系为（）

A．MNB．MNC．MND．MN5、若实数x,y满足(x5)(y12)14，则xy的最小值是（）

A．2B．1C

D6、x,y,zR，且x2y2z5，(x5)(y1)(z3)的最小值是（）

A．20B．25C．36D．477、已知a,b,c,dR，且满足abcd

625（）

A．25B．50C．

22222

2222



5D．625

28、已知0a,b,c1，且abc2，则abc的取值范围是（）

A．,B．,2C．,2D．,2

333

3二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）

9、x,y

0,1

4444的最大值是

10、设x,y,R，那么xy

11、设

14

的最小值是xy

2，那么x1,x2,x3,xn0,a1,a2,a3,an0,x1x2x3x1taxaxn1122

a3x32anxn2的最小值是

12、设2x3y4z22,(x,y,z0)，则

三、解答题（共5小题，每题60分）

239

的最小值是，此时xyz.xyz

b4c4c4a4a4b413、（本小题10分）设a,b,cR，利用排序不等式证明：abc 

2a2b2c



33314、（本小题10分）设x1,x2,x3是不同的自然数，求s

15、（本小题10分）设nN,n

2，利用柯西不等式证明：

16、（本小题10分）求函数y

x1x2x

3的最小值。149

41111。

7n1n22n12nsinx3cosx的值域

sinx2cosx

117、（本小题20分）（2012浙江考试院样卷）题号：03“数学史与不等式选讲”模块

（1）设a，b，c为实数，求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca；（2）若正实数a，b，c满足abc＝1，求

a4b(ac)



b4c(ab)



c4a(bc)的最小值．

2013年高中数学IB模块选修4-5专题测试

（一）┄┄┄⊙

中学班级姓名 学号考号答 题 卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

16.（本小题共12分）

17.（本小题20分）

2013年高中数学IB模块选修4-5专题测试

（一）参 考 答 案

1.C2.A3.B4.A5.D6.C7.B8.C9.110.911.11

112.,2,2,3.11112a1a2a3an

13证明：不妨设0abc,则abc,111

，cba

a4b4c4a4b4c

4abc（逆序和）

abccaba4b4c4a4b4c4

abc（逆序和）

abcbca

b4c4c4a4a4b4

abc

2a2b2c

14解：不妨设1x12x23，由排序不等式，s15.证明：由柯西不等式得

x1x2x312311

。1491496

1111

2n1n2nnnn1n22n12n

11112n4n1n22n12n3n17

1111

n1n22n12n111

又：





1111

2222

2n1

2nn1n2

111

nn1n1n22n12n

16、原式可化为

ysinx2cosx1sinx3cosx 即y(y1)sinx(2x3)cosx

利用柯西不等式及sin2xcos21可得

y2(y1)sinx(2x3)cosxsin2xcos2xy12y3



2

即y2y12y3 化简得

2y27y50

5

所以函数值域为（-，1），

2

2217、“数学史与不等式选讲”模块

(1)证明1：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三式相加并除以2得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．

(1)证明2：因为a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，222

所以 a＋b＋c≥ab＋bc＋ca．…………5分

(2)解：由(1)及柯西不等式，均值不等式知

a4b(ac)



b4c(a



b)

≥

a(b)c2(abbcca)

c4(a2b2c2)2

≥

(a2＋b2＋c2)

a4b(ac)

32，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，所以



b4c(ab)



c4a(bc)的最小值为

…………10分

第四篇：分类例析排序不等式的应用（定稿）

龙源期刊网 http://.cn

分类例析排序不等式的应用

作者：薛毓铃

来源：《福建中学数学》2013年第12期

排序不等式是一个经典不等式，是高中数学竞赛内容及普通高中课标课程的选修内容，其结构规律简明、易于记忆.根据排序不等式的结构特征，对于具有明确大小顺序且数目相同的两组数，当需要考虑它们对应项乘积之和的大小关系时，排序不等式是一个极其有用的工具.掌握排序不等式对证明不等式、比较大小、求最值、解应用题等问题大有裨益.它与“算术平均值≥几何平均值”法相得益彰，展学生数学思维，培养学生的创新能力，凸显排不等式的数学意义，体现学生解题的灵活性和敏性.

第五篇：数学研究性学习柯西不等式 排序不等式

2010年南师附中数学研究性学习撰稿人 高一九班 陈点

柯西不等式和排序不等式的多种证明方法（课本延伸课题18）——2010.4 数学研究性学习撰写人 陈点

柯西不等式的一般式：

适用范围：证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题。接下来我将以几种较为主流的证明方法来证明： 求证：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai〃bi)^2证法一（代数证明，运用二次函数，最主流证法）：

当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立 令A=∑ai^2 B=∑ai〃bi C=∑bi^2

当a1，a2，…，an中至少有一个不是零时，可知A＞0 构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，f(x)＝∑(ai^2〃x^2＋2ai〃bi〃x＋bi^2)＝∑(ai〃x＋bi)^2≥0f(x)的判别式△＝4B^2－4AC≤0，移项得AC≥B^2，证毕。

证法二（其中几个特殊情况，为2与3时即向量公式）

n=1时，a1^2〃b1^2≥(a1b1)^2（这个…不解释）a1=a2=a3=…=an,b1=b2=b3=…=bn时同此证

n=2时，即为(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2

即(a1b1)^2+(a1b2)^2+(a2b1)^2+(a2b2)^2≥(a1b1)^2+(a2b2)^2+2a1b1a2b2 即(a1b2)^2+(a2b1)^2≥2a1b1a2b2

因为a2≥a1，b2≥b1，乱序和≥倒序和

故一定成立（呵呵，还一不小心把排序不等式引出来了）

证法三（这个是网上找的很权威的数学归纳法，因为我想出来的证法二是其铺垫，故引用说明。数学归纳法也是一种非常常见且正规的证明方法。）（1）当n1时左式=a1b1右式=a1b1 显然左式=右式

2当 n2时，右式 a12a2b12b22a1b1a2b2a22b12a12b22

⑴

⑵

a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2右式

222

仅当即 a2b1a1b2 即

a1a2

时等号成立 b1b2

故n1,2时 不等式成立

（2）假设nkk,k2时，不等式成立

2kak即 a1b1a2b2akbka12a2b12b22bkk

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

222

bk2 ak设a12a2b12b2

Ca1b1a2b2akbk

则ak21bk21bk21ak1bk1 22C22Cak1bk1ak1bk1Cak1bk1 2222222

akaka12a21b1b2bkbk1

a1b1a2b2akbkak1bk1

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

即nk1时不等式成立

综合（1）（2）可知不等式成立

其实还有很多证明的方法，证明柯西不等式还可以利用比值法，归纳法，归纳法与综合法，归纳法与平均值不等式，排序不等式，参数平均值不等式，行列式，内积（向量）法，构造单调数列，凹凸函数法（来自奥数老师）……再者，拉格朗日恒等式也相当简单，在此不一一说明，可见证明此式方法之多。

柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1）证明相关命题 2）证明不等式 3）解三角形的相关问题 4）求最值

5）利用柯西不等式解方程

6）用柯西不等式解释样本线性相关系数（这个完全不理解，不过有这么一说）

排序不等式（又称）

简单来说，就是：反序和≤乱序和≤同序和

即a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1

⑶

其中，Cn为乱序数列。

证明：1.证乱序和小于正序和，以下证明中原式为乱序和

从第一个起，将a1b?与a?b1转变为a1b1与a?b?，设其为x，y，则有

a1b1+axby-a1bx+ayb1≧0（因为x，y≧1，根据等式的性质可得），然后

再往下，第二个a2bw与azb2…… 以此类推，到最后得出的式子为正序和，因为每步的过程均使原式减小或不变，故终式不小于原式2.证乱序和大于倒序和

从第一个起，将a1b?与a?bn转变为a1bn与a?b?, 设其为x，y，则有a1b1+axby-a1bx+ayb1≦0(因为x≧1,y≦n)故成立，基本上同理

排序不等式证明的关键在于有顺序的变化，每次变化使式子朝一个方向发展，这样就可轻易推出最终的结论。

应用：

1.排序不等式的基本应用。排序不等式在解决一些常见不等式时，具有简单直观的特点

2.证明不等式时两次或多次运用排序不等式，将结果相加，也是常见方法。3．经过适当变形后再运用排序不等式的问题，常见于一些比较难的习题或竞赛题

拓展：

排序不等式的另一种表述形式 设

a1a2an,b1b2bn

c,c,,cnb1,b2bn

为两组实数，12是的任一排

列，则三个矩阵

a1a2ana1a2ana1a2anbbbbbbccc

12n12nnn11A：B：C：

我们称A为顺序矩阵，B为乱序矩阵，C为反序矩阵 它们的列积和（同列相乘再相加）：

a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1

即：顺序和乱序和反序和

在此，我们没必要知道矩阵的更多知识，而只是利用它这种形式。因为它更直观，便于在解题中寻找数列

b1,b2,bn的一个我们需要的乱序，更易掌握和应用。

⑴柯西不等式的向量说法：|α||β|≥|α〃β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。⑵数学归纳法（这里说的是第一数学归纳法）：

即一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：1）证明当n取第一个值时命题成立；

2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

⑶拉格朗日恒等式：