小数除法-----循环小数
一、学习目标
（一）学习内容
《义务教育教科书数学》（人教版）五年级上册第33页例7、例8及“做一做”，第36页练习八第1～11题，能够认识理解循环小数，并能认识循环小数和循环节，理解循环小数的含义，准确把握有限小数和无限小数。
（二）核心能力
在探究循环小数的过程中，提高观察、抽象、概括的能力。
（三）学习目标
1.结合情景图，通过除不尽的除法计算，感受到计算中的重复现象。
2.通过独立思考、小组交流，在观察和比较的基础上，发现商的特点，认识循环小数和循环节，理解循环小数的含义。
3.通过对“两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有哪些情况？”的思考和讨论，准确把握有限小数和无限小数的含义。
（四）学习重点
认识循环小数，会用简便记法表示循环小数。
（五）学习难点
认识循环小数、有限小数和无限小数及它们之间的关系。
二、学习设计
（一）课前设计
1.复习任务
计算下面各题。
42÷28
7.2÷1.6＋0.8
19.8÷3.3
2.5×3.6
（16.8＋1.47）÷0.7
18×0.45
【设计意图：课前对小数乘除法和小数的混合运算进行练习，温习旧知，为学习新知奠定基础。】
（二）课堂设计
1.导入
（1）故事导入
师：在上课之前老师给大家讲一个故事：从前有座山，山里有个庙。庙里有个老和尚在给小和尚讲故事。讲什么呢？从前有座山，山里有个庙。庙里有个老和尚在给小和尚讲故事。讲什么呢？从前有座山，山里有个庙。庙里有个老和尚在给小和尚讲故事。讲什么呢？……你能接着讲这个故事吗？（让几个学生继续讲这个重复的故事。）（PPT课件适时演示）
【设计意图：由故事引入，让学生初步感知故事中的循环。】
（2）理解“循环”
师：同学们，你们从这个故事中发现了什么规律吗？（随着学生的交流、互动，适时板书“重复出现”“不断”“依次”等。）
【设计意图：通过学生之间的交流互动和深入思考，尝试用语言描述“循环”的含义。】
（3）师：像这样依次不断重复出现的现象，我们把它称为“循环”（板书：循环）。在实际生活中，也有许多循环的现象，如一年有春、夏、秋、冬四季，每年都是按照这样的规律依次不断重复出现。你们发现生活中还有哪些循环的现象呢？（PPT课件演示。）
这样的循环现象不仅出现在故事中、生活中，在我们的数学中也有这种有趣的循环现象，你们想了解吗？
2.问题探究
（1）认识循环小数
①自主探索，发现规律
教材第33页例7情境图（PPT课件）
学生独立完成后汇报。
400÷75
师：在计算的过程中，发现了什么？
引导发现在用竖式计算过程有三个特点（PPT课件适时演示）：余数总是重复出现“25”；商的小数部分总是重复出现“3”；继续除下去，永远也除不完。
师：怎样表示这种“永远也除不完”的商呢？这样的商有什么特点呢？这就是我们这节课要研究的内容——循环小数。（板书课题：循环小数）
②猜想验证，初识循环小数
师：为什么商的小数部分总是循环出现“3”？如果继续除下去，商会是多少？
独立思考后汇报。
引导小结：因为每次余数重复出现，继续除下去，无论除到哪一位，它的商也就会重复出现“3”。
师：是这样的吗？同学们可以接着往下除试试看。
学生计算验证。
师：怎样表示400÷75的商呢？
引导小结：可以用省略号来表示永远也除不完的商。板书：400÷75＝5.333…。
揭示概念：像5.333…这样小数部分有一个数字依次不断重复出现的小数，就是循环小数。
【设计意图：学生通过计算发现循环小数的特点，并在验证的过程中感知循环小数的含义，初步认识循环小数。考查目标1、2】
③方法迁移，揭示概念
出示教材第33页例8：28÷18
78.6÷11
生独立完成后全班交流。
在交流中，重在引导学生思考：在计算这样题目的过程中，有没有发现什么技巧？
引导学生发现：只要余数出现重复了，就可以不除了。因为余数重复出现，商也会跟着重复出现。
进一步理解概念：像5.333…、1.555…、7.14545…这样的小数都是循环小数。
学生尝试写出几个循环小数。
师：观察这些循环小数，想一想，到底怎样的小数叫做循环小数？
学生尝试归纳，然后阅读教材第33页的概念。教师适时PPT课件演示。
④灵活应用，巩固概念
练一练：下面哪些数是循环小数？（PPT课件演示。）
0.426426…
1.444
6.32121… 3.1415926…
【设计意图：在“进一步认识循环小数”的“练一练”环节，学生通过对1.444是不是循环小数的辨析，已初步感知了小数位数的有限与无限。由简单到复杂的几个事例，让学生逐渐认识循环小数的特点。通过尝试归纳循环小数的含义，将学生的初步感知上升为理性认识。设计“练一练”，让学生通过正反两方面的对比进一步认识循环小数。考查目标1、2】
（3）认识循环节，学习循环小数的简便记法。
①认识概念
自学教材第34页“做一做”上面的内容，思考下面两个问题：
什么是循环节？
怎样用简便记法表示循环小数？
生汇报后，师介绍简便记法的读法。
例如7.14545…记作，读作：七点一四五，四五循环。
②应用概念
完成教材第34页“做一做”第1、2题。
（4）认识有限小数和无限小数
①尝试计算，发现问题
师：在“做一做”的第2题中已经计算了三道除法题目，现在请同学们再计算下面两题：15÷16和1.5÷7。
师：请同学们观察这五道除法算式题，想一想，两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有哪些情况？
引导小结：一种是继续除下去能够除尽，像153÷7.2和15÷16一样；另一种情况是继续除下去，永远也除不完，像2.29÷1.1、23÷3.3、1.5÷7一样。
②揭示概念
我们把小数部分的位数有限的小数叫做有限小数；小数部分的位数无限的小数叫做无限小数。
【设计意图：教师通过适时介绍帮助学生建立有限小数与无限小数的概念。考察目标3】
（5）建立循环小数、有限小数和无限小数之间的关系（PPT课件演示）
师：循环小数是有限小数还是无限小数？为什么？循环小数、有限小数和无限小数三者之间有什么关系？
小组讨论，试着用合适的方法表示它们之间的关系，然后全班交流汇报。
【设计意图：先让学生思考“循环小数是有限小数还是无限小数”，接着教师举例说明“无限小数并不都是循环小数”，结合图示，让学生明确循环小数、有限小数、无限小数之间的关系，突破教学难点。考查目标3】
3.课堂总结
通过本节的学习，你有什么收获？
认识了循环小数，有限小数和无限小数及它们之间的关系。会用简便记法来标记循环小数，认识到循环小数是一种无限小数，无限小数除了循环小数以外，还有无限不循环小数。
（三）课时作业
1．基本练习
（1）计算下面各题，并找出循环节。
32÷6
2.7÷11
1.4÷0.3
9.4÷6
答案：5.333……；2.454545……；4.666……；1.5666……；
解析：循环小数是一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现。它们都是循环小数。循环节分别是3、45、6、6。【考察目标2、3】
（2）写出下列各循环小数的近似值（保留三位小数）
1.3777……≈
1.989898……≈
3.***4515……≈
0.847847……≈
答案：1.378；1.990；3.145；0.848。
解析：保留三位小数要看小数点后面第4位，如果第四位数小于5，舍去；如果第四位数大于或等于5，则向前一位进一。【考察目标2、3】
2．提高练习
算一算，想一想：10÷7的商的小数部分第100位上的数字是几。
答案：5。
解析：10÷7＝1.***571……循环节是428571，有6个数字，100÷6＝16……4，所以第100位上的数字是5。【考察目标2、3】
《循环小数》说课稿
一、说教材
1、说课内容
人教版《义务教育课程标准实验教科书小学数学》第九册第33-34页例7和例8。
2、教材简析
循环小数是教材第三单元小数除法中第八课时的内容。
循环小数是在学生已经学习了小数除法的意义、小数除法的计算及商的近似值的基础上进行教学的。这部分内容概念较多，又比较抽象，是教学的一个难点。课本的例7，是教学商从某一位起，一个数字重复出现的情况，为认识循环小数提供感性材料。例8通过计算两道除法式题，呈现了除不尽时商的两种情况：一种是从某位起重复某个数字;另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。由此引出循环小数的概念并介绍循环小数的简便记法。接着教材用想一想的方式组织学生讨论“两个数相除，如果不能得到整数商，所得到的商会有哪些情况”。由两个数相除时商的两种情况，介绍有限小数和无限小数的概念。
以前学生对小数概念的认识仅限于有限小数，到学习了循环小数以后，小数概念的内涵进一步扩展了，学生认识到除了有限小数以外，还有无限小数，循环小数就是一种无限小数。
二、说教学目标
知识与技能：1、理解循环小数、有限小数、无限小数的意义。
2、掌握循环小数的表示方法。
过程与方法：通过求商，使学生感受到循环小数的特点，从而理解循环小数的概念，了解循环小数的简便记法。
情感态度与价值观：培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，体验发现知识的快乐，激发学习的兴趣。
三、说教学重难点
教学重点：理解循环小数、有限小数、无限小数的意义。
教学难点：理解循环节，学会用简便记法表示循环小数。
四、说教法与学法
教法：创设问题情境，质疑引导。
学法：自主练习、归纳知识。
五、说教学环节
一、创设情境
1.理解依次重复出现的意义。故事引入：今天老师给大家讲一个故事，从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事;从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事······
问：学生这个故事能讲完吗?(不能，因为它不断地重复。)
师：日常生活中也有这样的现象：一年当中有春夏秋冬四个季节、每天都有24个小时、红路灯······你们能不能也举例说一下。
生：举手回答。
2.引出课题。
师：像这种“依次不断重复出现”的现象我们可以称它为“循环”。那么在数学中是不是也存在这样的循环现象呢?今天我们一起来学习——循环小数。
3.初步感知循环小数。
出示教材第33页例7情境图，引导学生观察并说出图意，并找到数学信息，独立列算式。
学生列式：400÷75=
(米)
让学生用竖式计算这个算式，并说一说在计算过程中你有什么发现?
通过计算，学生会发现这个算式的余数重复出现“25”;商的小数部分连续地重复出现“3”。
像这样继续除下去，能除完吗?(可能永远也除不完。)
二、互动新授
1.认识循环小数。
出示第33页例8的两道计算题，让学生自主计算，并说出商的特点。
28÷18=
78.6÷11=
2.在第2小题：78.6÷11计算到商的第三位小数时，让学生先停一停，看一看余数是多少，然后再接着除出两位小数，指导学生和
除得的前几步比较，想一想继续除下去，商会是什么?
通过观察和比较，引导学生发现：余数重复出现5和6，如果继续除下去商就会重复出现4和5，总也除不尽。
3.引导学生比较400÷75，28÷18，78.6÷11的商，你有什么发现?
引导学生发现：400÷75和28÷18的商，从小数部分的第一位起不断重复出现某个数字，78.6÷11的商，从小数部分的第二位起开始不断地依次重复出现数字4和5。
师小结：我们所说的重复也叫做循环，像5.333···、1.555···和
7.14545···这样小数部分有一个数字或者几个数字依次不断重复出现的小数，就是循环小数。
循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。如：5.333···的循环节是，3.7
14545···的循环节是45，6.9258258···的循环节是258。
4.简便写法
写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。
5.333···
写作：5.3
6.9258258···
写作：6.9258
5.巩固练习
辨一辨，下列小数中，哪些是循环小数，哪些不是?为什么?
4.272727
5.63535···
0.42
8.4666
0.501
3.2142857142857···
三、知识拓展
1、思考：两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有哪些情况?
15÷16=
1.5÷7=
学生独立计算，并思考。
2、教师从而引出“有限小数”和“无限小数”的概念：
小数部分的位数有限的小数是有限小数。如0.9375是有限小数。
小数部分的位数无限的小数是无限小数。如0.2142857是无限小数。
四、巩固练习
教师出示连线题，找学生回答。
师小结：我们现在学的小数比以前又扩大了，又增加了无限小数，而循环小数就是一种无限小数。
四、课堂小结。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生自己反馈)
教师和学生一起总结：
1、一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
2、小数部分依次不断重复出现一个或几个数字，叫做这个循环小数的循环节。
3、小数部分的位数有限的小数，叫有限小数;小数部分的位数
无限的小数，叫无限小数。
《循环小数》教学反思
循环小数是在学生学习了小数除法的意义、小数除法的计算及商的近似值的基础上进行教学的。这部分内容概念较多，又比较抽象，是教学的一个难点。
1、关注学生已有的知识经验——为学生架起知识迁移的桥梁。
我们都知道，学生在学习新的知识之前，并不是没有任何基础的，每个孩子的知识起点是不同的。如果教师能很好地了解孩子们的知识储备，合理设计教学过程，这样的教学会起到事半功倍的作用。本课在引入课题时候，让学生从熟悉的生活现象中初步感知循环的特点，然而学生的认识也仅仅是停留在感知阶段。因此当让学生说说心目中的循环小数时，有的是正确的，有的是错误的。这恰好真实的反映了学生当前对知识的认知程度。不是一张白纸，也决不是一副已经绘就好的图画。而在这时我们不急于判断对错，我们大部分的孩子也还没有能力做出正确的判断。因此我们可以把这些小数放在一边，通过今天的学习结束后再来解决问题。学生也能很快、很愿意的进入学习状态产生对新知识渴望。教师也能从这个环节很好的了解自己的学生，适时的调整自己的教学设计。
2、注重学生发展——给学生提供自主合作的空间。
形成概念是概念教学中至关重要的一步，这个过程应该通过学生自主探索去完成，用自己的头脑亲自去发现事物或形的本质属性或规律，进而获得新概念。如果在教学方式上总是以教师“告诉”为主让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使思维呈依赖性。久而久之学生没有了探索的热情，而只是一味的等待老师把结果告知。在循环小数概念的定义时，要结合学生的心理特征，运用列举的方式，抓住概念中的关键词引导学生逐个理解之后，再对要点进行概括，从而使学生对循环小数概念有了一个全面、完整的认识。
3、关注概念的外延和内涵——让学生在练习中巩固、内化。
从认识的过程来说，形成概念是从感性认识上升到理性认识的过程，巩固概念则是识记概念和保持概念的过程，是加深理解和灵活运用概念的过程，即从一般到个别的过程。好的练习设计能够起到巩固、延伸的的作用。教学新知后的练习，都紧紧围绕循环小数等概念的内涵和外延有针对性的开展，便于学生加深对概念的理解。
当然数学概念多而抽象，容易混淆或遗忘。学生对概念的掌握也不是一次就能完成的，需要由具体到抽象，再由抽象到具体的多次反复。但是在概念的生成阶段就给与一定的策略与方法，相信这样的尝试总是会进步的。
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