1.6 平面直角坐标系中的距离公式
1.原点到直线x+2y-5=0的距离为()
A.1
B.3
C.2
D.5
2.过点(1,3)且与原点相距为1的直线共有()
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
3.(2020江苏宿迁高二期末)两条直线y=32x,6x-4y+13=0之间的距离为()
A.13
B.132
C.134
D.13
4.以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是()
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.以上都不是
5.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是()
A.4
B.21313
C.51326
D.71326
6.若点(2,-k)到直线5x+12y+6=0的距离是4,则k的值是.7.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的路程为()
A.52
B.25
C.510
D.105
8.(2020浙江温州高二期末)已知直线l1的方程为3x+4y-2=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,则直线l1的斜率为 ,直线l1与l2的距离为.9.已知直线l1:x-y=0,l2:2x+y-3=0,l3:ax-2y+4=0.(1)若点P在直线l1上,且到直线l2的距离为35,求点P的坐标;
(2)若l2∥l3,求l2与l3的距离.能力达标
10.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6),B(-4,3),C(2,-3),则点A到BC边的距离为()
A.92
B.922
C.255
D.43
11.(2020全国Ⅲ,文8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()
A.1
B.2
C.3
D.2
12.(2020江苏如皋中学高二期中)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是25,则m+n=()
A.3
B.-17
C.2
D.3或-17
13.已知△ABC的三个顶点分别是A(1,5),B(-2,4),C(-6,-4),M是边BC上的一点,且△ABM的面积等于△ABC面积的14,那么线段AM的长等于()
A.5
B.52
C.85
D.852
14.(多选题)两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离可能取值为()
A.1
B.3
C.5
D.7
15.在平面直角坐标系中,若点(2,b)到原点的距离不小于5,则b的取值范围是.16.(2020广东东莞四中高二月考)已知点O(0,0),A(4,0),B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(-2,0),则反射光线所在直线的方程为;若从点M(m,0),m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射,再经直线OB反射后回到点M,则光线所经过的路程是(结果用m表示).17.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.18.设直线l1:x-2y-1=0与l2:(3-m)x+my+m2-3m=0.(1)若l1∥l2,求l1,l2之间的距离;
(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线l2的方程.1.原点到直线x+2y-5=0的距离为()
A.1
B.3
C.2
D.5
答案D
解析由点到直线的距离公式可知所求距离d=|0+2×0-5|12+22=5.故选D.2.过点(1,3)且与原点相距为1的直线共有()
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
答案C
解析当斜率不存在时,过点(1,3)的直线为x=1,原点到直线的距离为1,满足题意;当斜率存在时,设直线的斜率为k,则直线方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,则原点到直线的距离d=|0-0+3-k|k2+(-1)2=1,解得k=43,即直线方程为4x-3y+5=0,即满足题意的直线有2条.故选C.3.(2020江苏宿迁高二期末)两条直线y=32x,6x-4y+13=0之间的距离为()
A.13
B.132
C.134
D.13
答案B
解析两条直线的方程分别为3x-2y=0,3x-2y+132=0,所以两条直线之间的距离d=13232+22=132,故选B.4.以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是()
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.以上都不是
答案C
解析|AB|=(-3-3)2+22=36+4=40=210,|BC|=(-1-3)2+(2+2)2=16+16=32=42,|AC|=(-1+3)2+22=8=22,∵|AC|2+|BC|2=|AB|2,∴△ABC为直角三角形,故选C.5.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是()
A.4
B.21313
C.51326
D.71326
答案D
解析因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,所以3∶2=6∶m,所以m=4.直线6x+4y+1=0可以化为3x+2y+12=0,由两条平行直线间的距离公式可得d=|12-(-3)|32+22=7213=71326.6.若点(2,-k)到直线5x+12y+6=0的距离是4,则k的值是.答案-3或173
解析d=|5×2+12×(-k)+6|52+122=|16-12k|13,由题意知|16-12k|13=4,即|4-3k|13=1,∴k=-3或k=173.7.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的路程为()
A.52
B.25
C.510
D.105
答案C
解析点B(2,10)关于x轴的对称点为B＇(2,-10),由对称性可得光线从A到B的路程为
|AB＇|=(-3-2)2+[5-(-10)]2=510.选C.8.(2020浙江温州高二期末)已知直线l1的方程为3x+4y-2=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,则直线l1的斜率为 ,直线l1与l2的距离为.答案-34 12
解析直线l1的方程为3x+4y-2=0,所以直线l1可化为y=-34x+12,它的斜率为-34;
又直线l1可化为6x+8y-4=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,所以直线l1与l2的距离为d=|-4-1|62+82=12.9.已知直线l1:x-y=0,l2:2x+y-3=0,l3:ax-2y+4=0.(1)若点P在直线l1上,且到直线l2的距离为35,求点P的坐标;
(2)若l2∥l3,求l2与l3的距离.解(1)依题意可设P(t,t),由|2t+t-3|5=35,得|t-1|=5,解得t=-4或t=6,所以点P的坐标为(-4,-4)或(6,6).(2)由l2∥l3得a=-4,∴l2:2x+y-3=0,l3:-4x-2y+4=0,即2x+y-2=0.∴l2与l3的距离d=|-3-(-2)|5=55.能力达标
10.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6),B(-4,3),C(2,-3),则点A到BC边的距离为()
A.92
B.922
C.255
D.43
答案B
解析BC边所在直线的方程为y-3-3-3=x+42+4,即x+y+1=0,则点A到BC边的距离d=|2×1+6×1+1|2=922.11.(2020全国Ⅲ,文8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()
A.1
B.2
C.3
D.2
答案B
解析直线y=k(x+1)过定点(-1,0),当过点(0,-1)与点(-1,0)的直线与直线y=k(x+1)垂直时,点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,故最大距离等于(0,-1)和(-1,0)两点之间的距离,为2.故选B.12.(2020江苏如皋中学高二期中)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是25,则m+n=()
A.3
B.-17
C.2
D.3或-17
答案A
解析由题意直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0平行,则两条直线的斜率相等,即n=-4,又直线间的距离为25,即|2m+6|4+16=25,解得m=7,或m=-13(舍).所以m+n=3.故选A.13.已知△ABC的三个顶点分别是A(1,5),B(-2,4),C(-6,-4),M是边BC上的一点,且△ABM的面积等于△ABC面积的14,那么线段AM的长等于()
A.5
B.52
C.85
D.852
答案A
解析由于△ABM的面积等于△ABC面积的14,故BM=14BC,设M(x,y),由BM=14BC,得(x+2,y-4)=14×(-4,-8)=(-1,-2),解得x=-3,y=2,即M(-3,2),所以|AM|=(-3-1)2+(2-5)2=5.故选A.14.(多选题)两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离可能取值为()
A.1
B.3
C.5
D.7
答案ABC
解析当两直线l1,l2与直线PQ垂直时,两平行直线l1,l2间的距离最大,最大距离为|PQ|=(-1-2)2+[3-(-1)]2=5,所以l1,l2之间的距离的取值范围是(0,5],故选ABC.15.在平面直角坐标系中,若点(2,b)到原点的距离不小于5,则b的取值范围是.答案(-∞,-21]∪[21,+∞)
解析根据两点的距离公式得点(2,b)到原点的距离d=(2-0)2+(b-0)2≥5,即4+b2≥25,所以b2≥21,解得b≤-21或b≥21,故b∈(-∞,-21]∪[21,+∞).16.(2020广东东莞四中高二月考)已知点O(0,0),A(4,0),B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(-2,0),则反射光线所在直线的方程为;若从点M(m,0),m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射,再经直线OB反射后回到点M,则光线所经过的路程是(结果用m表示).答案x-2y+2=0 2m2+32
解析设点P(1,0)关于直线AB的对称点为P＇(x0,y0),直线AB:x+y-4=0,所以y0-0x0-1·(-1)=-1,x0+12+y0+02-4=0,解得x0=4,y0=3,故P＇(4,3),由Q(-2,0),∴P＇Q:y-0=3-04-(-2)(x+2),即x-2y+2=0.点M(m,0),关于y轴对称点P1(-m,0),设点M(m,0)关于直线AB对称点P2(x1,y1),由y1-0x1-m·(-1)=-1,x1+m2+y1+02-4=0,解得x1=4,y1=4-m,故P2(4,4-m).故|P1P2|=(4+m)2+(4-m)2=2m2+32,即为光线所经过的路程.17.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.∵点A(5,0)到直线l的距离为3,∴|10+5λ-5|(2+λ)2+(1-2λ)2=3,即2λ2-5λ+2=0,解得λ=2或λ=12.∴l的方程为x-2=0或4x-3y-5=0.(2)由2x+y-5=0,x-2y=0,解得交点P(2,1),过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).∴dmax=|PA|=10.18.设直线l1:x-2y-1=0与l2:(3-m)x+my+m2-3m=0.(1)若l1∥l2,求l1,l2之间的距离;
(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线l2的方程.解(1)若l1∥l2,则m≠0,∴1×m=(3-m)(-2),且(-2)(m2-3m)≠m×(-1),∴m=6,∴l1:x-2y-1=0,l2:x-2y-6=0,∴l1,l2之间的距离d=51+4=5.(2)由题意,m>0,3-m>0,∴0 S=12m(3-m)=-12(m-32)2+98,∴当m=32时,S的最大值为98,此时直线l2的方程为2x+2y-3=0.
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