矩阵解题总结（精选5篇）

第一篇：矩阵解题总结

矩阵解题总结

迄今，我们都做了不少的矩阵习题，我们常常以刷题来满足自己的做题欲望，并以此方法来让自己对矩阵这个新概念有更好的了解，那么，在我们无限刷题时，是否想过，出题，都是万变不离其宗，如果我们尝试去整理一些题型的做法，那么不久可以做到了举一反三的功效了吗？也让自己腾出了更多的时间去从事其他事物，如此事半功倍，岂不妙哉？因此，解题总结很有必要。

以下，我们来介绍一些常用而较为普遍的经验方法： ① 对称矩阵：A=A’，这个概念我们见过此类题型——当A为非零实对称矩阵时，有A’=A*，求证lAl≠0。这种题，我们通法就是先设出A，再写出A’，然后矩阵乘法，得到的矩阵中对角线处元素为Σαij²，并且再用已知条件可得到前面的累和式子都等于lAl。因为A为非零实对称矩阵，因此存在一元素不为零，从而证得lAl≠0。② 题干中给出某等式，求某个问题。如：设A,B均为n阶方阵且AB=A+B，则证明AB=BA。此题思路就是从条件出发，一般都是移项、提公因式，所以得到（A-E）B-A=0，记住，一旦看到等号右边有零，我们常常会加E，变成（A-E）B-A+E=E，然后再次提公因式，得到（A-E）（B-E）=E，所以（A-E）（B-E）=（B-E）（A-E），然后展开即可。总结：移项→提公因式→整理。

关于②留一道练习题——设n阶方阵A和B满足A+B=AB，证明A-E可逆。

③ 正交阵概念：满足AA’=A’A=E

反对称矩阵概念：A=-A’ ④ l(A*)l=lAl^n-1，（A*）^-1=A/lAl，⑤ A为n阶方阵，若R(A)=n,则R(A*)=n；若R(A)=n-1，则R(A*)=1；若R(A)＜n-1，则R(A*)=0 ⑥ A、B均为n阶方阵，则有tr（AB）=tr（BA），其中tr为对角线元素因此AB-BA的对角线元素为零，即tr（AB-BA）=零。⑦ 结论：任何一个n阶方阵均可表为一个对称阵与一个反对称阵之和。证明：A=1/2A+1/2A-1/2A*+1/2A*=1/2（A+A’）+1/2（A-A’）=B+C。B’=（1/2（A+A’））’=1/2(A’+A)=B,C’=(1/2(A-A’))’=1/2(A’-A)=-C’，证明完毕。⑧ 秩的一种常见题型：A,B为n阶方阵，AB=0，B为非零方阵，求lAl。思路：因为AB=0，所以R(A)+R(B)≤n，又因为B≠0，所以R（B）≥1，因此R（A）≤n-1，因此A不满秩，故行列式为零。⑨ 对于AB=AC时，如何才可以有B=C？一种情况就是A为满秩。接下来，我们进行计算证明——由原式可得到：A(B-C)=0。运用一个结论：AX=0，A满秩时，解唯一，即X=0，所以得到B-C=0，因此B=C 证明完毕。特殊的，如果A可逆（因此显然A是方阵），显然证得B=C。⑩ A为n阶方阵，则R(A)≤1的充要条件是存在两个nx1矩阵U,V使A=UV’。证明过程可见考研P45。

第二篇：解题总结

解题总结

一、圆：

1、圆中的直角三角形：垂径定理、直径、切线、2、圆中的角：弧，非圆周角、圆心角：利用三角形内角和转换成圆周角、圆心角，再利用弧。

3、圆中含弦的问题往往不止一个答案。

4、在圆出现困惑时，最有可能的突破口是：半径、弧

二、求线段长

1、相似

2、解直角三角形

3、全等

三、动点：先画图，再找方法，后求值

1、等腰三角形：中垂线、勾股定理

2、相似三角形：

⑴已知一组角相等时，用比例线段，注意分子不变，分母互换，或反之。⑵已知两组角相等时：用直角三角形中的勾股定理；平行直线的解析式特点

3、平行四边形：两种情况：已知边为边，已知边为对角线。方法：平行直线的解析式特点，求交点；勾股定理

4、面积：先表示，后思考 表示方法：

⑴分割：每一图形必须有一边在坐标轴上或与坐标轴平行 ⑵补全：

①作最远边所在的直线。

②过最远点作坐标轴的垂线，构建矩形或直角梯形。附：

⑴多边形中面积的解决方法：相似比，等底等高。⑵反比例函数中面积与反比例函数解析式系数的关系。

5、比值：利用相似转换，在直角三角形中用三角函数，或相似与直角三角形兼有。

四、相似

1、两组角

2、找不到第二组角时，必是比例线段

3、无角时，必是三组边成比例

4、已知两边，求第三边：如果不能构建在同一直角三角形时，必定是相似，且其中一边为公共边或有一组相等边。

5、图形中含两个或两个以上的具等边图形（如：等边三角形、正方形、等腰三角形）时，必与全等、相似有关。并且证全等的方法是;边角边、边边边；证相似的方法是：两组边成比例，夹角相等。

五、解直角三角形

1、单一直角三角形

2、双直角三角形中，含完全已知的直角三角形：有完全已知直角三角形求出不完全直角三角形的已知元素。

3、双直角三角形中，无完全已知的直角三角形：利用方程组；寻找等腰三角形进行已知元素重组，使其中一个三角形具备完全已知元素。

4、无直角三角形；构建直角三角形。构建方法： 圆（见前面）

三角形与四边形：作高；注意点：尽量不要把已知元素分割；易忘点：钝角三角形有两高在三角形外。

六、实数运算：

负指数，零指数、绝对值、三角函数值、根式化简

七．分式计算：通分，关注分母的方法是分母与除数的取值不为0.分式方程：去分母。关注分母的方法是检验。

八、自变量取值范围：分母、除数、被开放数、实际问题、注意是否有等于号。

九、找规律：数字规律、过程规律、十、求函数解析式

1、二次函数：三种方法

关键点：辨别已知点的特征。如：顶点、与坐标轴的交点。非常规题：已知不完全点。

2、一次函数与反比例函数

十一、点的坐标 方法：方程思想

非常规题：已知不完全点和解析式。此情形是方程思想的逆向应用，常用代入法。辅助线方法：过所求点作坐标轴的垂线。

十二、图象

1、三种函数的图象

⑴图象位置与系数关系。难点：二次函数中一次项系数的符号判别。⑵2ab，abc，b24ac

⑶不等式判别

2、应用型

方法：先定函数名称，再定图象形状，或从坐标轴的含义作判断。注意：只需要第一象限部分。

十三、抛物线平移

看顶点，有正反两种方式。

十四、直线垂直、平行时，直线解析式中一次项系数的关系

十五、最大利润

1、顶点在取值范围内的二次函数：求顶点坐标

2、一次函数与顶点不在取值范围内的二次函数：利用函数的增减性，在自变量取值范围中寻找。

十六、应用题

列表型、增长率型、量价问题、几何型（面积、相似）

第三篇：矩阵心得体会

《矩阵论》学习心得体会

2011-2012第一学期，我在李胜坤老师的引领下，逐步学习了科学出版社出版、徐仲和张凯院等编著的《矩阵论简明教程》第二版。该书是大学本科期间所学习的《线性代数》的矩阵部分内容的深化，从数域扩展到矩阵，要想充分理解“矩阵论”的精髓，就得先好好的将《线性代数》复习——掌握其基本概念及重要定理、结论。

该书有8个章节，第一章是矩阵的相似变换，第二章讲的是范数理论，第三章介绍的是矩阵分析，第四章详细介绍的是矩阵分解，第五章罗列的是特征值的估计与表示，第六章介绍的是广义逆矩阵，第七章介绍的是矩阵的直积，最后一章介绍的是线性空间与线性变换。下面分章节谈论。

第一章中的特征值与特征向量、矩阵的相似对角化、向量内积是本科期间《线性代数》中的内容，我想作者的目的是借助以前大家都熟悉的知识，将我们引领到另一个崭新的知识领域，起到承上启下的作用，让我们对《矩阵论》感到不陌生。该章中的Jordan标准形、Hamilton-Cayley定理、酉相似的标准形是本科期间不曾深入学习的知识，这些知识为后续学习《矩阵论》吹响了号角。总之，第一章就是高等数学中的知识与“矩阵论”的衔接章节，同时也是后续章节学习的非常重要基础章节。我们要学好《矩阵论》就得学好该章，理解记忆其中的概念、结论。

第二章介绍向量范数与矩阵范数及其应用。介绍了向量范数的三公理、酉不变性、1范、2范、无穷范、p范、加权范数（也叫椭圆范数）以及很重要的一个不等式——Cauchy-Schwarz不等式、向量的收敛、发散性；矩阵范数的定义、m1范、m无穷范、F范及其酉不变性，矩阵范数与向量范数的相容性等。范数与矩阵的谱半径紧紧相连，有了范数作为研究矩阵的数学工具，我们将会更易更深入的理解、研究矩阵，并用矩阵指导实际生产实践。

第三章矩阵分析和第四章矩阵分解各是矩阵论的最重要章节之一。通过对矩阵的收敛性、矩阵级数、矩阵函数、矩阵微分、矩阵积分、矩阵四种分解等系统性学习研究，让我明白了矩阵理论在实际生活中的巨大作用——矩阵论将大大减少工程运算量及提高计算速度、精度。有了矩阵理论作指导，现实生活中很多不能解决或者很难解决的数学问题等都能够得到很好的解决。比如，提高计算机的计算速度、优化数字信号处理算法等。

第五章介绍了矩阵的非常重要的参数——特征值的估计及其表示，介绍了特征值界定估计、特征值包含区域等，让我们对特征值有了更进一步的了解，用书中的方法可以很高效的确定特征值的范围、估计特征值的个数。是研究矩阵的有效方法，为计算特征值指明了方向，解决了以前计算特征值的困扰。

第六章介绍的是广义逆矩阵，是逆矩阵的推广。广义逆矩阵是将可逆的方阵推广到不可逆矩阵、长方矩阵。介绍了广义逆矩阵的概念、逆矩阵的应用、Moor-Penrose逆A+的计算、性质以及在解线性方程组中的应用。我想该章更大的应用应该在解线性方程组中，解决生活中的计算问题，提供了又一高效办法。

第七章矩阵的直积是很易懂的知识，是以前向量直积在矩阵中的推广。对矩阵直积的研究对信号处理与系统理论中的随机静态分析与随机向量过程分析等有重要的指导作用，同时也是重要的数学工具，是研究信号处理人员必备的数学工具。

第八章线性空间与线性变换，其中线性空间是几何空间与n维向量空间概念的推广与抽象，线性变换则反映了线性空间元素之间的一种最基本的联系。该章的学习需要我们充分发挥我们的空间想象能力，同时该章也将会大大的启迪我们思维的灵活性、唤醒沉睡已久的新思维。

通过《矩阵论简明教程》的学习，开阔了我的数学视野，给我思考问题、解决实际问题提供了新的思维方法。我将努力借助《矩阵论》，使自己在信号处理领域走的更远。

第四篇：矩阵分析

第一章：

了解线性空间（不考证明），维数，基

9页：线性变换，定理1.3

13页：定理1.10，线性空间的内积，正交

要求：线性子空间（3条）非零，加法，数乘

35页，2491011

本章出两道题

第二章：

约旦标准型

相似变换矩阵例2.8（51页）出3阶的例2.6（46页）出3阶的三角分解例2.9（55页）（待定系数法）（方阵）

行满秩/列满秩（最大秩分解）

奇异值分解

本章出两道题

第三章：

例3.1（75页）定理3.2要会证明例3.3必须知道（证明不需要知道）定义3.3 例3.4证明要知道定理3.5掌握定理3.7要掌握

习题24

本章出（一道计算，一道证明）或者（一道大题（一半计算，一半证明））

第四章：

矩阵级数的收敛性判定要会，一般会让你证明它的收敛

比较法，数字级数

对数量微分不考，考对向量微分（向量函数对向量求导）

本章最多两道，最少 一道，也能是出两道题选一道

第六章：

用广义逆矩阵法求例6.4（154页）

能求最小范数（158页）如果无解就是LNLS解

定理6.1了解定理6.2 求广义逆的方法（不证明）

定理6.3（会证明）定理6.4（会证明）（去年考了）定理6.9（会证明）推论要记

住定理6.10（会证明）

出一道证明一道计算

第五篇：总结求逆矩阵方法

总结求逆矩阵方法

直接算会死人的。根据矩阵特点用不用的分解，写成几个例程，每次实验之前进行尝试，根据尝试结果在算法里决定里决定用哪个。

irst 我想问：

1.全阶矩阵A的求逆运算inv(A)和稀疏矩阵B（阶数和a一样）的求逆运算inv(B)是不是采取一样的方法啊？也就是说他们的计算量是不是一样的啊？不会因为是稀疏矩阵就采取特殊的方法来处理求逆吧？

我电脑内存256M，做4096*4096的矩阵求逆还可以，上万阶的就跑不动了

稀疏存储方式会减少不必要的计算，虽然原理还是一样，不过

计算量大大减少了。

2.如果一个矩阵C非零元素都集中在主对角线的周围，那么对C求逆最好 应该采用什么样的方法最好呢？

一般还是用LU分解＋前后迭代的方法，如果矩阵对角占优就更好办了。

只不过还是需要稀疏存储。

稀疏矩阵的逆一般不会是稀疏矩阵，所以对高阶的稀疏矩阵求逆，是不可行的，对1万阶的全矩阵需要的内存差不多已经达到了pc的极限，我想最好的办法就是迭代，既然是稀疏，乘法的次数就有限，效率还是很高的。

不过求逆运算基本上就是解方程，对稀疏矩阵，特别是他那种基本上非零元素都在对角线附近的矩阵来说，LU分解不会产生很多的注入元，所以用LU分解解方程方法的方法是可行的。

如果用迭代法，好像也就是共轭梯度法了。

C的资源网络上有很多 google一下

或者到www.xiexiebang.com上找找

或者用IMSL for C 或者用Lapack

或者用Matlab+C混合编程

有现成代码，但要你自己找了 也可以使用程序库

second

30,000*30,000的稀疏矩阵求逆如何实现？

试试基于krylov子空间方法的算法吧。

如arnoldi和GMRES方法。

matlab中有函数可以直接调用。

直接help gmres就可以了。

如果效果还不好。

就用用预处理技术。

比如不完全lu预处理方法。等等。

各种各样的预处理+GMRES是现在解决大规模稀疏矩阵的主力方法。

维数再多还是用不完全LU分解预处理+CG or Gmres 我一个同学这么求过200W阶的矩阵

求逆一般是不可取的，无需多说。但稀疏矩阵的直接解法还是不少的。基本上都是对矩阵进行重新排序以期减少填充或运算量。

在matlab里面，有许多算法可以利用：

colamd, colmmd, colperm, spparms, symamd, symmmd, symrcm.根据是否对称，采用LU分解或者chol分解。

这些算法在internet上搜一下，很多都有相应的C或fortran版本。

稀疏矩阵的存储最常见的是压缩列（行）存储，最近发现一种利用hash表来存储的，其存取复杂度是O（1）,很是不错。有幸趣的可以看看下面网页咯，作者提供了源程序。

事实上Hash表存储的效率也跟Hash算法有关，弄不好的话，不见得比直接按行或者列

顺序检索快。而且规模越大，效率肯定越来越低。

http://www.informatik.hs-bremen.de/~brey/

对称正定的稀疏矩阵很好办啊，用LU分解就可以了。

如果维数实在太大，比如超过10^4量级，那就只能用

共轭梯度法之类的迭代法求解了。好多文献中用Cholesky分解处理的，好像结果还可以

你觉得LL’分解不会破坏矩阵的稀疏性么——如果矩阵不是带状的话？

而且数值稳定性也有问题。

对于一些注入元不是很多的矩阵这应该是个好办法。

但是对于有些矩阵，LU分解后可能就把整个矩阵充满了。~ 这是比较郁闷的事情。

third

带状矩阵的逆有快速算法吗？

我觉得这个说法不对，至少在Matlab里面，使用稀疏矩阵求逆对于效率的提高还是很显著的。利用稀疏特性，很多对于零元素的操作就省掉了。如果原矩阵还是对称的，可以考虑三角分解，把单位阵的列向量作为右端项，求解得到的是对应的逆阵的列向量。

但是，按照前辈的说法，“绝大部分情况下，求逆阵肯定不是必需的”，这一说法我现在还是挺赞同的。至少，一般我们不会在有限元求解或者普通的线性方程组求解的时候，是先对系数矩阵求逆的吧。所以，我认为，逆阵在数学上很漂亮，对于公式推导有所帮助，但是在数值计算中是应该尽量避免直接计算它的，而且，更重要的是，在绝大部分情况下，是可以避免的。