矩阵论教学大纲

第一篇：矩阵论教学大纲

课程编号： 课程中文名称：矩阵论B 32学时/ 2学分

英文译名：Matrix Theory 适用领域：工科各专业

任课教师：林锰，王锋，李斌，张文颖，王淑娟，吴红梅 教学目的：

矩阵理论是高等学校理、工科研究生的一门重要的基础课程，作为一门基础工具，矩阵论在数学学科与其它科学技术领域都有广泛的应用。矩阵理论是在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。

本课程要求学生掌握多项式矩阵的Smith标准型、一般方阵的Jordan标准型的化简；了解Eclide空间与Hermite二次型的有关理论与方法；理解向量与矩阵的范数概念，掌握矩阵的幂级数与方阵函数的概念与理论及其相关运算；掌握矩阵的分解等。通过对本课程的学习，使学生进一步掌握数学的基本思想方法，从而提高分析问题与解决实际问题的能力。

从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。

矩阵论的教学方式由教师授课，教师授课学时为32学时。教学主要内容及对学生的要求：

一、线性空间与线性变换 8学时

理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义；理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。

二、内积空间 6学时

理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系；了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定方法；理解酋空间的概念，会判定一个空间是否为酋空间的方法，掌握酋空间与实内积空间的异同；掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质，三、矩阵的对角化与若当标准形 6学时

掌握矩阵相似对角化的判别方法；理解厄米特二次型的含义。会求矩阵的约当标准形；会求史密斯

准形；会求若当标准型

四、矩阵分解 4学时

会求矩阵的三角分解和UR分解；满秩分解和单纯矩阵的谱分解；了解矩阵的奇异值和极分解。

五、向量与矩阵的重要数字特征 4学时

理解向量范数、矩阵范数；有限维线性空间上向量范数的等价性；向量范数与矩阵范数的相容性。

六、矩阵分析 4学时

理解向量和矩阵的极限的概念；掌握矩阵幂级数收敛的判定方法；理解矩阵的克罗内克积；会求矩阵的微分与积分； 对学生的要求： 通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。考核方式：闭卷；笔试

主要参考书目：

[1] 林锰，杨丽红。矩阵论教程，北京，国防工业出版社，2012 [2] 程云鹏． 矩阵论(第二版)[M]．西安：西北工业大学出版社，2002年。

第二篇：《矩阵论》教学大纲

《矩阵论》课程教学大纲

一、课程性质与目标

（一）课程性质

《矩阵论》是数学专业的选修课，是学习经典数学的基础，又是一门最具有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要的分支，而且业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。

（二）课程目标

通过本课程的学习，使学生掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质，了解近代矩阵论中十分活跃的若干分支，为今后在应用数学，计算数学专业的进一步学习和研究打下扎实的基础。

二、课程内容与教学

（一）课程内容

1、课程内容选编的基本原则

把握理论、技能相结合的基本原则。

2、课程基本内容

本课程主要介绍了线性空间、线性映射、酉空间、欧氏空间、若当标准型、矩阵的分解、矩阵的分析、矩阵函数和广义逆矩阵等基本内容。

（二）课程教学

通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养高年级本科生的抽象思维与逻辑推理能力，提高高年级本科生的数学素养。

三、课程实施与评价

（一）学时、学分

本课程总学时为54学时。学生修完本课程全部内容，成绩合格，可获3学分。

（二）教学基本条件

1、教师

教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。

2、教学设备

配置与教学内容相关的图书、期刊、音像资料等。

（三）课程评价

1、对学生能力的评价

逻辑推理能力，包括逻辑思维的合理性和严密性。

2、采取教师评价为主的评价方法。

3、课程学习成绩由期末考试成绩（70%）和平时成绩（30%）构成。课程结束时评出成绩，成绩评定可分为优、良、中、及格和不及格五个等级，也可采用百分制。

四、课程基本要求

第一章线性空间和线性变换

基本内容：线性空间 线性变换

基本要求：

（1）理解线性空间有关内容。

（2）掌握线性变换及其矩阵表示。第二章内积空间 基本内容：欧氏空间、酉空间、正交基、正交变换 基本要求：

理解内积空间的有关性质 掌握正交投影 了解酉变换

第三章矩阵的对角化、若当标准型

基本内容：矩阵对角化、埃尔米特二次型、若当标准型 基本要求： 掌握矩阵对角化 了解埃尔米特二次型 理解若当标准型 第四章矩阵的分解

基本内容：矩阵的分解、矩阵的谱分解矩阵奇异值分解

基本要求：

（1）掌握矩阵的三角分解与满秩分解。

（2）掌握可对角化矩阵的谱分解。

（3）掌握奇异值分解。

第五章向量与矩阵的重要数字特征

基本内容：向量范数与矩阵范数、相容性

基本要求：了解向量范数与矩阵范数及相容性 第六章矩阵分析

基本内容：向量、矩阵序列的极限、矩阵的微分 基本要求：

理解向量、矩阵的极限 了解矩阵的微分 第七章矩阵函数

基本内容：矩阵多项式 基本要求：了解矩阵多项式 第八章矩阵的广义逆

基本内容：M-P逆、广义逆与线性方程组 基本要求： 掌握M-P逆

了解广义逆与线性方程组

五、学时分配 : 章节

授课学时

线性空间和线性变换 内积空间

矩阵的对角化、若当标准型

矩阵的分解

向量与矩阵的重要数字特征

矩阵分析

矩阵函数

矩阵的广义逆

合计

六、教材和主要参考书：

教材：卜长江主编《矩阵论》哈尔滨工程大学出版社 参考书：矩阵论引论陈祖明编北京航空航天大学出版社 矩阵分析王朝瑞编国防工业出版社

大纲编写时间：2012.06 教学大纲编写教师：薛丽红 教学大纲审查教师：沙仁格日乐 教务处审查人：

第三篇：矩阵论课程教学大纲

《矩阵论》课程教学大纲

一、课程基本信息

课程编号： xxxxx 课程中文名称：矩阵论 课程英文名称：Matrix Theory 课程性质： 学位课 考核方式： 考试 开课专业： 工科各专业 开课学期： 1 总学时： 36学时 总学分： 2学分

二、课程目的和任务

矩阵论是线性代数的后继课程。在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。

从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。

三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）

通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。

本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。

四、教学内容与学时分配

(一)线性空间与线性变换 8学时 1.理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式； 2.掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义； 3.理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。

(二)内积空间 6学时 1.理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系； 2.了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的方法； 3.理解酉空间的概念，会判定一个空间是否为酉空间 4.掌握酉空间与实内积空间的异同； 5.掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质。

(三)矩阵的对角化与若当标准形 6学时 1.掌握矩阵相似对角化的判别方法； 2.理解埃尔米特二次型的含义； 3.会求史密斯标准形； 4.会求若当标准型。

(四)矩阵分解

4学时 1.会求矩阵的三角分解和UR分解；

2.会求矩阵的满秩分解和单纯矩阵的谱分解； 3.了解矩阵的奇异值和极分解。

(五)向量与矩阵的重要数字特征

4学时

1.理解向量范数、矩阵范数；

2.有限维线性空间上向量范数的等价性； 3.向量范数与矩阵范数的相容性。

(六)矩阵分析 4学时 1.理解向量和矩阵的极限的概念； 2.掌握矩阵幂级数收敛的判定方法； 3.理解矩阵的克罗内克积； 4.会求矩阵的微分与积分。

(七)矩阵函数 4学时 1.理解矩阵多项式的概念； 2.掌握由解析函数确定的矩阵函数； 3.掌握矩阵函数的计算方法。

五、教学方法及手段（含现代化教学手段）

本课程的所有授课内容，均使用多媒体教学方式，教案采用PowerPoint编写，教师使 用计算机、投影仪、视频展台授课。

七、前续课程、后续课程

前续课程：学生应该至少学过高等数学，线性代数，空间解析几何等课程。

后续课程：

八、教材及主要参考资料

[1] 卜长江等.矩阵论[M].哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2003年

[2] 徐仲等(西北).矩阵论简明教程(第二版)[M]．北京：科学出版社，2002年

撰写人签字：范崇金

院（系）教学院长（主任）签字：

第四篇：深圳大学 《矩阵分析》教学大纲

《矩阵分析》教学大纲

英文名称：Matrix Analysis

一、课程目的与要求

通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。本课程要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。

二、学时/学分：60学时/3学分

三、课程内容及学时安排

(1)线性空间与线性变换 10学时

 理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；  掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义；  理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。（不变子空间不作要求）

(2)内积空间 8学时

 理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系；  了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定方法；

 理解酋空间的概念，会判定一个空间是否为酋空间的方法，掌握酋空间与实内积空间的异同；

 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质，理解厄米特二次型的含义。

(3)矩阵的相似标准形与若干分解形式 18学时

     掌握矩阵相似对角化的判别方法；会求矩阵的约当标准形； 掌握哈密顿—开莱定理，会求矩阵的最小多项式； 会求史密斯标准形；

掌握正规矩阵及其酉对角化。

掌握多项式矩阵的互质性与既约性的判别方法，会求有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解；

 了解舒尔定理及矩阵的满秩分解、QR分解、奇异值分解及谱分解。

(4)赋范线性空间 10学时

 了解赋范线性空间的及范数导出的度量，了解Lebsaque积分与L空间；  掌握矩阵的各种范数定义、谱半径及其性质。，p(5)矩阵函数及其应用 6学时

    理解向量范数、矩阵范数及向量和矩阵的极限的概念； 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法，会求矩阵函数； 会求矩阵的微分与积分；

了解矩阵函数在线性系统理论中的应用。

(6)广义逆矩阵 6学时

了解矩阵的Moore-Penrose广义逆及其性质

(7)复习2学时

四、主要参考书

1．罗家洪，《矩阵分析引论》，华南理工大学出版社，2002。2．《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。

3．A.Berman, R.Plemmons，Nonnegative Matrices in Mathematical Sciences, Academic Press, New York, 1979.4．北京大学数学系，《高等代数》，人民教育出版设，1978。5．陈公宁，《矩阵理论与应用》，高等教育出版社，1990。6．苏育才、姜翠波、张跃辉，《矩阵理论》(讲义)，2003。7．《Matrix Analysis》, R.A.Horn and C.I.Johnson, Cambridge Press(中译本)，杨奇译，天津 大学出版社，1988。

第五篇：矩阵论考试试题（含答案）

矩阵论试题

一、(10分)设函数矩阵

求：和()＇。

解：==

()＇=

二、(15分)在中线性变换将基，变为基，(1)求在基下的矩阵表示A；

(2)求向量及在基下的坐标；

(3)求向量在基下的坐标。

解：(1)不难求得：

因此在下矩阵表示为

(2)设，即

解之得：

所以在下坐标为。

在下坐标可得

(3)在基下坐标为

在基下坐标为

三、(20分)设，求。

解：容易算得

由于是2次多项式，且，故是1次多项式，设

由于，且，故

于是解得：

从而：

四、(15分)求矩阵的奇异值分解。

解：的特征值是对应的特征向量依次为，于是可得，计算：

构造，则

则A的奇异值分解为：

五、(15分)求矩阵的满秩分解：

解：

可求得：，于是有

或

六、(10分)求矩阵的Jordan标准形。

解：求的初等因子组，由于

因此，所求的初等因子组为，于是有

A～J=

七、(10分)设V是数域F上的线性空间，是V的子空间，则也是V的子空间。

证明：由，知，即说非空，对于任意，则。因为是子空间，所以，故。

对任意，有，且，因此知，故知为V的子空间。

八、(5分)设，求证。

证明：矩阵A的特征多项式为

令

由Hamilton-Cayley定理知

因此