波利亚解题心得体会

第一篇：波利亚解题心得体会

波利亚解题心得体会

一道题，自己总也想不出解法，而老师却能给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的?”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢?”

有人听到“数学”就会头痛，为什么又会有人热衷于解题呢？在解答这道或那道不涉及物质利益的题目的愿望背后，也许有着一个更深切的好奇心，一个要求理解解答的各种途径和方法、动机和步骤的愿望，当我们绞尽脑汁想的题突然被我们解答出来，那种心情只有真正经历过的人才懂。不管是我们自己或者我们去帮助别人，我们不仅要尽力去理解这道或那道题目的解答，而且要理解这个解答的动机和步骤，并尽力向别人解释这些动机和步骤。

在老师上课的时候，为什么很多学生能听懂例题却不能独立思考得出问题的答案，总是要等到提示、点拨后才恍然大悟呢？这是因为学生不懂得思考的方法，大多数老师讲题总是“头痛医头，脚痛医脚”，只有实战经验，没有形成方法论。但是学生要的不应该是一道道具体的题目，而是面对任何一道题目时的思维方法。这也就是波利亚要告诉我们的。

波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”，即未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？“拟定计划”，找出已知数据与未知量之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。“实现计划”和“回顾”，我自己认为回顾在解题中是很重要的一个步骤，很多同学却不以为然，你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？回顾能让我们更加理解这一类题目的解题方法。

解答其实也是一种创造，当找到一个方法解决了一道题目，我们同时也应该思考 “你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？”有时我们要举一反三，改造一道题目。基本的方法有：普遍化、特殊化、类比、分解和重组等。大二的时候修了初等数论这一门课程，它主要研究整数最基本的性质，是一门基础课程，蕴含了丰富的数学思想方法（整体化、转化、构造、反证），上这门课时，老师讲的都能听懂，课后解题却不知所措。还有一些需要证明的习题也是今后能够用到的结论，却不懂得如何运用和解答。自己不去反思、去领悟、去归纳，纵使心中方法无数，下笔也只能低头苦思。“好题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长。找到一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的。” 乔治·波利亚说过：“解题可以是人的最富有特征的活动，假如你想要从解题中得到最大的收获，你就应该在所做的题目当中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他问题时，能起到指导的作用。”

做一件事情的主体永远是自己，对于学习数学来说，只有你自己的思维活跃起来了，在学习中寻找到属于自己的快乐，有了成功的体验，对数学知识本身才能产生内在的兴趣。

第二篇：波利亚解题读书心得体会

当我们经过反思，有了新的启发时，不如来好好地做个总结，写一篇心得体会，这样我们就可以提高对思维的训练。应该怎么写才合适呢？以下是小编为大家整理的波利亚解题读书心得体会，欢迎大家分享。

生活中我们经常把一个整体分解成它的各个部分，然后又把这些部分重组，使之成为一个与原来或多或少有些不同的整体。在观察部分时你可能深入到细节中去，这样你就会在细节中迷失，阻碍你对要点的投入足够的注意力，甚至使你全然看不到要点。我们不希望在不必要的细节上浪费时间，要把精力用到要点上。因此，我们首先得对题目作一个整体的理解。在理解题目之后，在判断哪些特点是重要的内容，在确定了一两个要点后，在判断还有哪些深一层的细节值得详细研究。

在研究一道题目时，我们应从以下问题开始：未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？研究每个数据本身，将条件的不同部分分开，并研究每一个部分本身，然后再尝试用某种新的方式来重组他的元素。再由原来的题目来构建一道新的题目时，我们可以：

（1）保持未知量不变，改变其余的部分（已知数据和条件）；

（2）保持已知数据不变，改变其余的部分（未知量和条件）；

（3）既改变未知量，已改变已知数据。

我们把元素组合成另一个定理，在这一方面，有下列三种可能性：

（1）我们保持结论不变而改变题设。

（2）我们保持题设不变，而改变结论：你能从题设中得到什么有用的东西吗？

（3）我们同时改变题设和结论。

“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具”，它的学习是为了更好的应用，为社会创造价值。数学能力是指在一定问题情境中，运用数学方法，提出问题、分析问题、解决问题的能力。“在科学研究中成功地运用数学的关键，就在于针对所研究的问题提炼出一个适合的数学模型，这个模型既能反映问题的本质，又能使问题得到必要的简化，以利于展开数学推导。”

在获取信息方面的培养，在通过读题时，了解问题信息以后，学生首先要能识别问题，了解问题类型、性质，接着能掌握数学问题的结构，通过思维训练，培养学生掌握数学问题结构。什么叫数学问题结构，通常人们在解答一个问题之前必须先了解这个问题，分析这个问题，找出问题的已知条件和要求，初步的研究条件与条件之间的关系，条件与问题之间的关系，抓住问题中的具有本质意义的那些关系，这就抓住了“数学问题的结构”。能力强的学生拿到一道数学题时，一眼就看到问题的结构，就能把己知条件和问题联系起来，在教一步应用题时，就着重抓住了数学问题结构的训练，如画线段图的训练，补充问题与条件的训练，题意不变，叙述方法改变的训练，自编应用题的训练，根据问题说出所需条件的训练，对比训练等。

在分析问题、解决问题方面。应用题之所以难学，除问题本身比较复杂是个原因外，从教学方法来说，关键缺少解题思路(思维过程的顺序、步骤与方法)的训练，使许多学生拿到问题无从下手，不知怎样去想。对于这一点，我们只要把它同计算题作一比较就清楚了，解计算题时，学生对运算法则、计算的顺序、运算的步骤都是清清楚楚的，学生思维过程间运算顺序也是一致的，计算的每一步都书写出来，看得见，摸得着，计算的对与错一目了然。通过训练学习容易掌握。解应用题则不同，学生要了解题意，分析条件与条件之间，条件与问题之间的各种数量关系，要分析、综合，找到解题的途径与方法，从审题到列出式子，思维过程少则几步，多则几十步，都是内部语言的形式进行的。这种内部语言的思维过程，教师既无从知道它是否合理、正确，对于这样一个关键性问题，在解题教学中要设计一套教学方法，使学生的解题思维过程由内隐到外化，有计划、有步骤地训练学生的解题思路。

培养学生解题过程思维的有序性和合理性，有利于培养学生的逻辑思维能力。在解题思路训练基础上，对问题的分析、综合、联想、想像等思维方式进行综合的训练、发散训练等方法，培养学生思维的灵活性、创造性，同时也培养学生思维的独立性、变通性和流畅性，使学生能更好地运用所学的数学知识，解决日常生活中的一些实际问题。

每个同学差不多都有过这样的经历:一道题，自己总也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的?”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢?”

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚(George Polya,1887~1985)对回答上述问题非常感兴趣，他先后写出了《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜想》。

乔治.波利亚(George Polya)1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。他一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理。他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士。他不愧为一位杰出的数学家。

波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的提示语，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。

波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。联想什么?怎样联想?让我们看一看他在表中所提出的建议和提示性的问题吧。“你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?看着未知数!试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方式重新叙述它?”

这些大量提示性的问题，不是问别人，而是问自己，实际是解题者的自我诘问，自我反省。问题中有一部分其对象是针对问题具体的内容的，也就是“客体水平”的，属于认知性的;问题中的还有一部分是以解题者身躯为对象，针对主体内部心理抽象认知过程的，属于元认知性的。这些问题并没有直接涉及问题的具体内容，完全是针对主体自身思维，是对自身解题思维活动的反诘，是自我监察，自我意识，自我预测，自我调节，自我监控。因此在地理解题过程中我们应该:

一、加强对解题过程的监控

在解题过程中，自己应该对以下几个主要要素进行监控:控制、监察、预见、调节和评价。

1.控制，即在解题过程中，对如何入手，如何策划，如何构思，如何选择，如何组织，如何猜想，如何修正等做出基本计划和安排。对学习情境中的各种信息做出准确的知觉和分类，调动头脑中已有的`相关知识，对有效信息做出迅速选择，以恰当的方式组织信息，选择解决问题的策略，安排学习步骤，控制自己的思维方向。关注解题的过程性和层次性，有意识地控制自己的解题节奏，对整个解题过程做到“心中有数”，明确地意识到自己所采取的每一个解题步骤的意图。

2.监察，即临视和考察。在解题过程中，密切关注解题进程，保持良好的批判性，以高度的警觉审视解题每一历程问题的认识、策略的选取、前景的设想、概念的理解、定理的运用、形式的把握，用恰当的方式方法检查自己的猜想、推理、运算和结论。

3.预见，即在解题的整个过程，随时估计自己的处境，判断问题的性质，展望问题的前景。对问题的性质、特点和难度以及解题的基本策略和基本思维做出大致的估计、判断和选择;猜想问题的可能答案和可能采取的方法，并估计各方法的前景和成功的可能性等等，要设法使自己置易于抓住问题的位置上。

4.调节，即根据监察的结果，根据对解题各方面的预见，及时调整解题进程，转换思考的策略，重新考虑已知条件、未知数或条件、假设和结论;对问题重新表述，以使其变得更加熟悉，更易于接近目标。如，“尽可能画一张图”，“引入适当的符号”，“回到定义中去”。

5.评价，即以“理解性”和“发展性”标准来认识自己解题的收获，自觉对问题的本质进行重新解剖，反思自己发现解题念头的经历，抽取解决问题的关键，总结解题过程的经验与教训，反思解题过程的成败得失及其原因;从思维策略的高度对解题过程进行总结，从中概括出一般性规律，概括出点点滴滴的新经验、新见解、新体会，以及对问题进行推广、深化，寻找新的解法、更好的解法，对解题过程或表述予以简化。评价应该贯穿于解题的始终，随时进行评价，而不仅仅是在解题后。

二、提高解题的自我意识

意识是人对客观现实的反映，它包括自我意识和对外界事物的意识。自我意识是人的意识的最高形式，由于自我意识以主体及其内部活动为意识对象，因而它能对人的认识活动进行监控和调节，它是自我监控的最高水平。在地理解题学习中，人的自我意识是对自己在问题感知、表征、思考、记忆和体验的意识，对自己的目的、计划、行动以及行动效果的意识。

提高解题能力，就是要使解题的监控上升到自我意识的水平。只在当各种监控达到不假思索，油然而生的境界，也就是上升到“意识”的层次，才能使主体的地理解题能力达到自己的最高水平。地理解题的自我意识包括:问题意识、审题意识、联想意识、目标意识、接近度意识、猜想意识、反思意识、概括意识等等，也就是波利亚的提示语所要达到的期望。

三、运用波利亚的“提示语”

波利亚在他的解题理论著作中给出了很多的提示语。因而在解题时经常自觉地运用这些提示语，是提高解题能力的有效途径。正如波利亚指出，“表中的问题除了普遍性以外，它们也是自然的、简单的、显而易见的，来自于普通常识。这些问题总是劝告你去做此时你该去做的合乎情理的事，而对你正要解决的特定问题并没有提出特定的劝告。”“如果问得是地方，是时候，就可能引出好的答案，引出正确的想法，或一个能够推动解题进程的合宜的步子。”

波利亚提示语的常识性、普遍性，使得这些问题对学生的帮助并非是强加于人的，学生自己也可以很自然地提出类似的问题。在各种不同的问题情境下，如果学生以各种不同的方式反复用同一个提示语诘问自己，就很容易引起同样的思维活动，从而利于形成一种思维习惯。如果表中的同一个提示语反复的对学生有所帮助，那么他就更会注意到这个提示语，从而在类似的情况下，不断地运用这个提示语。这些提示语只不过是指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。通过反复地提出这些提示语，总会获得一次诱导出正确念头的成功。通过这样的成功，就会逐渐真正领会它。

在解题教学中，教师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，特别应当反复经常地提出这些提示语，促使他自已想出一个好念头。这样的指导，可以使学生找到使用各种提示语的正确方法。因为这些知识超越了具体的对象而实用于任何问题，从而学生就学到比任何具体地理知识更重要的东西。

四、提炼自己的“提示语”

对于善于解决问题而已经拥有这些常识的人来说，这些常识性提示似乎很自然、很平凡、很不起眼，但是他们往往不注意用明确的语言来表达他们的行动，而波利亚则以自己的明确意识，清晰地表达出这些观点。

因此，一方面需要学习运用波利亚的解题监控的提示语，培养良好的解题习惯，另一方面解题者还应当从自己的体验中提炼和总结自己在解题监控中的经验和体会，形成有自己风格的解题监控的提示语。

第三篇：波利亚《怎样解题》读后感

《怎样解题》读书笔记

“学习难，学习数学更难”，许多人对数学望而生畏，大有谈虎色变的趋势。大家都有这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而别人却轻而易举地给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“你是怎么想出这个解法的？为什么我没有想到呢？”有这么一个人，为了改变数学在公众心目中的形象，致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，很早就开始探索数学中的发明创造，他利用在大学任教的机会，通过与学生的交流和对学生的细致观察，认真研究了人们解题的过程，通过和一批数学大家的交流，花了整整三十年的时间，终于完成一篇著作，这本书指导了人们不仅仅是在数学中，乃至在任何其他领域中怎样进行正确思维，引导了一代又一代读者在学习中走上正确的道路。这个人就是著名数学家乔治▪波利亚，这本著作就是《怎样解题》。

波利亚(1887-1985)是美国著名的数学家和数学教育家。上中学时，他就是一个很有上进心的学生，但每当遇较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，他看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，他看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”为了解决这个困惑，波利亚经过多年教学经验的累计以及与一批数学大家的交流，最终著出《怎样解题》这本书，一经出版，畅销全球。在这本书中，波利亚表达了这样的观点：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”、“是什么促使你这样想，这样做的？”这就是说，解题过程还是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。波利亚认为“对你自己提出问题是解决问题的开始”，“当你有目的地向自己提出问题时，它就变成你自己的问题了”，“怎样解题表”是《怎样解题》一书的精华，这张表是波利亚在分解解题的思维过程得到，表中所述看似很平常的解题步骤或方法，其实已包含几代人的智慧结晶和经验总结。“怎样解题”表将解题过程分成了四个步骤，包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾反思”，在这其中，对第二步

即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。波利亚把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和二十三个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程进行分解，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着，易于操作。波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动。他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样解题表”实质上就是试图诱发灵感的“智力活动表”。波利亚的“怎样解题”表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？„„”波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程，实际上是他解决和研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学，特别是研究解题方法时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。回过头来想一想，我们会发现自己在解决问题时的确或多或少地经历了这样一个过程。我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到这些问题罢了。在解决实际问题时，我们可能又忽略许多解决问题的方法和细节。因此我们需要控制自己的思路，用顽强的意志不断地模仿解决问题的步骤和方法，争取达到灵活运用和创造性地解决问题的程度。按波利亚提出的这些问题和建议去寻找解法，在解题的过程中，必将使自己的思维受到良好的训练，久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。如果能在平时的解题中不断实践和体会该表，必能很快就会发出和波利亚一样的感叹：“学数学是一种乐趣！”

在书中波利亚这样说：“一个重大的发现可以解决一道重大的难题，而在解答任何一道题目的过程中，也会有点滴的发现。”这句话颇有现实意义，人如果缺乏善于发现的眼睛和发现题目的本质，就无法摒弃无关紧要的繁琐条件和层层陷阱，就无法抓住问题的关键，因此也就无从下笔解答题目了。他还认为当你解答的题目并不陌生，有些似曾相识的时候可能会不以为然，但你若因此而感到有兴趣，并被好奇所激发时，你的创造力将被激起，并被发挥出来；特别是如果你用自己独一无二的方法做出时，你将饱含成就感，从而更加激发你学习的热情和对问题探索的渴望。也就是说，学好数学不只在于练习、操作、演算，最重要的是从心底萌发出的对数学的浓厚兴趣与自我归纳理解后的解题思路。书中还讲到了教师对于学生的解题应该进行怎样的指导，书的第一章节，为“在教室中”，分为“目的”“主要问题，主要部分”在“目的”这一节中，波利亚系统地指导了教师如何让帮助学生，他说：“教师最重要的任务就是帮助学生。学生应当获得尽可能多的独立工作的经验。但是如果让他独自面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够。那么他很可能没有进步。但若教师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一个合理的工作量。如果学生不太能够独立工作，那么教师也至少应当使他感觉自己是在独立工作。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。不过，对学生的帮助最好是顺乎自然。教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。”而在指导学生的过程中，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。例如，在大量的问题中，我们总是问：未知数是什么？我们可以变换提问的方法，以各种不同的方式提问同一个问题：求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。在波利亚看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议，并加以分类是有价值的。“怎样解题”表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。而在读者们充分熟悉这张表并且看出在建议之后所应采取的行动之后，他们会感到这张表中所间接列举的是对解题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大小排列的。表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，当然，除去普遍性以外，它们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。如果能够在遇到一些困难的问题的时候，我们能联想到与之相关却为我们所熟悉的内容，那么我们走的这条路也是对的。波

利亚指出，教师和学生在实践中，教师试图提高学生解题能力，必须培养学生的兴趣，然后给他们提供大量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应于“如何解题”表中的问题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些，并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导，学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做以后，他将学到比任何具体数学知识更为重要的东西。将此联系到实际中的数学学习问题，在如今应试教育的大环境下，现在教师的教学过程、学生的思维都比较的定式化，特别像是数学物理等理科，教师运用题海战术，学生只要多做多练，甚至背好题型就可以万事大吉了。但是学生很难出于自己的兴趣去解题，解题更多地被当做一种机械的条件反射的运动而不是思维活动。这样的问题有待于我们这些未来的教师去解决。作为一名数学师范专业的学生，我想我从这本书中学到了太多，不仅仅解决了自身的学习问题，激发了自己对于解题的兴趣、学会了如何运用“怎样解题”表中的步骤解决问题，更学会了，作为一名教师应该如何指导学生解决问题，如何教育学生，读完这本书，我获益匪浅。

第四篇：从波利亚怎样解题

从波利亚《怎样解题》

谈数学学习的习惯培养

沈 斌

摘要：运用波利亚的“怎样解题”表来指导数学教学，揭示解题过程的思维训练全貌, 暴露数学学习核心问题的本质，以增进教学效果，同时, 在解题的过程中，也使学生的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高解题能力，而且养成有益的思维习惯，进而形成了良好的数学学习习惯，而这是比任何具体的数学知识重要得多的东西。

关键词：怎样解题表职业中学学习习惯

正文：

一、中等职业学校学生学习现状

当前的职校数学教学面临着一种困境，学生生源质量差且参差不齐，经常听到有教师怨言：“这些学生怎么教呵！”学生基础比较差这是事实，是不是学生智质差？不是，学生也聪明，活泼好动，究其原因是职业中学学生大多,数学学习习惯不好，学习被动等，他们不懂得怎样去思考问题, 怎样将己知未知联系起来, 甚至搞不清已知是什么,总之他们不会学习或者说解题不知从何入手。对于教师而言，面对着一个班级里有许多学习目的不明确、学习习惯不好、基础不扎实的学生，如何上好课的确是一大难题，如果沿用传统的课堂教学目标和模式，其结果只能造成师生互怨。

二、波利亚《怎样解题》的启示

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya,1887~1985）致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表。这张表包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程。

波利亚把他本人数十年的教学与科研经验集中具体地表现在他的”怎样解题”表上。在这张表中, 他按照逻辑思维的顺序和出现可能性大小的顺序搜集了一系列公式化了的指导性意见, 提出的方式也十分灵活, 有时用建议的口气, 有时则用引导性问题的办法, 尽量顺乎自然, 使学生感到这些意见真是说到他们的心坎上了, 这就是他们自己所要说的话。波利亚说: “教师最重要的任务之一是帮助学生”。“教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤”。波利亚的《怎样解题》教学思想使我受到启示，在课堂教学中尝试“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤，使学生逐步养成了良好的数学学习习惯。

三、在职校数学教学中应用《怎样解题》思想培养学生学习习惯

(一)通过审题, 弄清问题, 培养学生分析已知条件的习惯

审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前

提条件。对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。数学教师在通常的教学过程中应时时提醒学生这样尽力去做, 那么我们的学生不管他对每一道题目是否审的清楚, 但一定可以在这种过程中培养起先弄清问题,分析已知条件的习惯。

例 如果一条直线平行于一个平面,那么垂直于这条直线的平面必垂直于这个平面.讲解第一步、弄清问题:

你要求证的是什么?

要求证的是平面与平面垂直.已知些什么?

一条直线平行于一个平面, 另一个平面垂直于这条直线.可以用数学语言来叙述题意吗? 可以画张图吗?

已知: 直线a∥平面α, 直

求证:平面α⊥平面β.效果：通过以上的审题和分析

了题意并数学化，同时大脑中有了

(二)通过探求解题方法,培

习惯

在波利亚的解题表中，拟定计划是关键环节，“拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上,探索解题思路的发现过程。“拟定计划”的过程其实就是不断变换问题的过程，把复杂的问题向简单的问题转化，陌生的问题向熟悉的问题转化，最终把待解决的问题化归为已解决的或易解决的问题，这样在探索解题思路的过程中自然而然地培养了学生拟定解题计划的习惯。学生有了计划, 就不会拉下已知条件, 就会考虑解题的优先顺序，有清晰的目标，就可以通过计划的实施来实现解题的目标。

讲解第二步、拟定计划:

怎样证明两个平面垂直?

要证明平面α⊥平面β, 只要在其中一个平面内找到另一个平面的垂线即可。

怎样找到另一个平面的垂线呢？

由直线a⊥平面β, 根据直线和直线平行的性质定理, 只要在平面α内找到一条和直线a平行的直线, 这直线必定垂直于平面β。

怎样在平面α内找到这条直线呢？

而由直线和平面平行的性质定理可知, 只须过直线a任意作一个平面γ和平面α相交于直线b, 则交线b⊥平面β, 由此可证明结论成立.解题计划：直线a∥平面α，可找平面α内的直线b，a∥b可得直线b⊥平面β，b⊥平面β且平面α经过直线b结论可得证。

(三)通过实现解题计划,培养学生将计划付诸实现的习惯

想出一个计划,产生一个求解的念头是不容易的,要成功,需要有许多条件,如已有的知识、良好的思维习惯等。我们要把来之不易的好计划好念头付诸实现，在解题计划的实现过程中我们必须充 a线a⊥平面β.已知条件，使学生弄清一个立体模型.养学生拟定解题计划的实细节并耐心地检查每一个细节，直到每一点都完全清楚，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。在这个过程中教师要注意培养学生的耐心和恒心，要时时提醒学生自己解题的计划是什么?按照解题计划坚持让学生检查每一步骤,这对职业中学的学生而言尤其重要,因他们的关键是踏踏实实的做每一件事情，将计划执行到底。

讲解第三步、实现计划:

证明:过直线a任作一个

直线b

直线a∥平面α a∥直线a⊥平面β

b⊥平面β  a平面γ, 和平面α相交于而平面α过直线b，则平面α⊥平面β.检查：直线和平面平行的性质定理，直线和直线平行的性质定理，平面和平面垂直的判定定理，三个定理清晰保证每步成立。

(四)通过解题回顾, 培养学生主动回顾反思的习惯

即使是相当好的学生, 当他得到问题的解答, 并且很干净利落地写下论证后, 就会合上书本, 找点别的事来干干。这样做, 他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面。

培养学生对自己的解题过程进行回顾反思的习惯，提高学生的思维自我评介水平，这是提高学习效率，培养数学能力的有效的方法。解题是学好数学的必由之路，养成对自己的解题过程进行回顾反思的习惯是具有正确的解题思想的体现。如果在获得正确答案后就此终止,不对解题过程进行回顾和反思，那么解题活动就有可能停留在经验水平上,事倍功半；如果在每一次解题以后都以对自己的思路作自我评价，探讨成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，并促使学生的思维进入理性认识阶段，事半功倍，同时可能会产生创新的好念头。因此，为了提高数学学习效率，必须加强正确的解题思想教育，使学生养成回顾反思的习惯。

讲解第四步、回顾:

回顾解题过程可以看到, 解题首先要弄清题意, 从中捕捉有用的信息, 同时又要及时提取记忆中的有关知识, 来拟定出一个成功的计划。此题我们在思维策略上是二层次解决问题, 首先根据直线和平面平行的性质定理找到直线b, 然后根据直线和直线平行的性质定理及平面与平面垂直的判定定理得证。

四、教师应更新教育观念 ,摆出良好姿态

数学家乔治·波利亚在他的《怎样解题》一书中自始至终体现出对学生的关怀和设身处地地为学生考虑的思想。因此，我们职业学校的教师应转变教育思想,树立起为学生服务观念, 摆出良好姿态面对我们的学生，我们要相信每个学生都是有能力学好的。给予学生更多的人文关怀，教师在整个教学过程中应从学生的角度出发，考虑学生的学习感受，特别对于基础差的学生，更不能带有偏见、抱怨和漠然的态度，应尊重他们受教育的权利，设计出符合学生特点的课堂教学，更好地为学生服务。本着这样一种观念，就会创造出一种让学生处处感到被信任的氛围，没有怀疑，只有理解，其结果则会培养学生的自觉意识，增强自律能力，逐步养成良好的学习习惯。这就要求教师要做到：

1、要热爱学生，这是达到民主和谐的基础，没有爱就没有教育.2、要建立平等的师生关系，教师要放

下架子，把自己当作学生中的一员，使自己成为既是学生学习的指导者，又是合作者，积极参与学生的讨论、交流，经常用商量的口吻进行教学。

3、要正视学生的潜能，承认学生能主动发展，视教学过程为学生的发现、创造的过程，而不仅是知识获得的过程。

参考文献：

G.波利亚著<<怎样解题>>阎育苏译

<<数学解题思维策略>>刘云章 赵雄辉 编

从<<怎样解题>>谈例题教学何双谊高中数学教与学2004 年第12期

<<波利亚的怎样解题表>>罗增儒

罗新兵中学数学教学参考2004 年第4期

第五篇：波利亚解题辨析论文

文 章

来源莲山

课件 w ww.5 y kj.Co m来源 徐利治先生早就指出，我们要培养一大批波利亚型的数学家，要按照波利亚思想改革数学教 材 和教学方法．目前，从理论研究方面来看，已出现“超越波利亚”的苗头，但从中学数学教 学的现状来看，离波利亚的想法还存在很大差距；对于很多学校，波利亚思想还没有“进入 校门”，其主要原因是，很多中学同志买不到波利亚的著作，对波利亚的数学教育思想缺乏 认识．为此，徐利治先生前年来宁讲学期间再次强调，为了搞好中学素质教育，我们还要加 大力度传播波利亚思想．

有些中学同志讲，我们没有办法，要提高学生应试能力，不得不搞题海战术，“题海”是 客 观存在，无法回避，波利亚也是强调解题训练的．的确，“题海”是客观存在，波利亚也强 调解题训练，他说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练．”但波利亚的解题训 练与题海战术有很大区别．

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一、训练的目的不同

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“题海战术”的目的明显表现为应考．而波利亚强调解题训练的目的在于提高学生的数学 素质．波利亚认为，任何学问都包括知识和能力这两个方面．对于数学，能力比起仅仅具有 一些知识来重要得多．因此，“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传 授知识”．波利亚发现，在日常解题和攻克难题而获得数学上重大发现之间，并没有不可逾 越的鸿沟．他说：“一个重大的发现可以解决一些重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现．”要想有重大的发现，就必须重视平时的解题．

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数学有两个侧面，一方面，已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学；另一方面，在 创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．波利亚指出，通过研究解题方法，我 们可以看到数学的第二个侧面，也就是看到“处于发现过程中的数学”． 因此，波利亚 把 “解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．这种思想得到了国际数 学教育界的广泛赞同．1976年数学管理者委员会把解题能力列为10项基本技能的首位，美 国数学教师联合会理事会把解题提到了“80年代学校数学的核心”这一高度．

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波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中，该书的中心思想就是谈解题过程 中 怎样诱发灵感．书的一开始就是一张“怎样解题表”，在“表”中收集了一些典型的问题与 建 议．波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用 的 智力活动．他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样解题表”实质上 就是 试图诱发灵感的“智力活动表”．正如波利亚在书中所写：“我们的表实际上是一个在解题 中典型有用的智力活动表．”“表中的问题和建议并不直接提到好念头，但实际上所有的问 题和建议都与它有关．”

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“怎样解题表”包含四部分内容：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾．波利亚说：“ 弄清问题是为好念头的出现做准备；制订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回 顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它．”波利亚所讲的好念头，就是指灵感．

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《怎样解题》书中有一部分内容叫“探索法小词典”，从篇幅上看，它占全书的 4/5．“探索法小辞典”的主要内容就是配合“怎样解题表”，对解题 过程中典型有用的智力活动做进一步解释．

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全书的字里行间，处处给人一个强烈的感觉：波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展 智力活动，提高数学才能．

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二、训练的方式不同

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“题海战术”是让学生做大量的题，熟悉题型及其解法．波利亚反对让学生做大量的题，他认为，一个数学教师，如果“把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼 杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展……”因此，他主张与其穷于应付繁琐的教学内 容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各 个侧面，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地．比如，“证明 是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目，前者通 向实数的精确概念，而后者是通向数论的门户，打开数学发现大门的金钥匙往往就在这类好 题目之中．

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过去，国内外有关学习数学的著作和习题集基本上偏重于解决个别类型的问题，例如算术 问题、几何问题、代数问题等，但很少涉及解题的一般方法．然而，“学生熟悉了解答个别 类型问题的特殊方法之后，有可能只限于掌握一种千篇一律的死板方法而并不具备独立解 决新问题的本领．”波利亚的《怎样解题》就弥补了这一空白，这本书给出了求解数学问题 的一般方法．今天人们公认，在数学解题研究方面，波利亚是一面旗帜，他做出了划时代的 贡献．

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“怎样解题表”中的指导性意见，具有普适性．不仅适用于“不太能独立工作”的人，而 且适用于那些能独立解题的人；不仅适用于数学学科，而且可适用于其他学科．例如，未知 数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题(代数的 或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的)，我们提出这些问题都会取得良好效果． 波利亚解题训练的方式是引导学生按照“表”中的问题和建议思考问题，探索解题途径．试 图引导学生逐步掌握解题过程的一般规律．这与“题海战术”的“题型＋解法”的训练方式 是绝然不同的．

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波利亚高度重视解题过程中的合情推理．数学中的合情推理是多种多样的，而归纳和类比 是两种用途最广的特殊合情推理，拉普拉斯曾说过：“甚至在数学里，发现真理的工具也是 归纳与类比．”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视，并注意到更广泛的合情推理 ；他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式，还指出了其中的教学意义和教学方法 ．

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波利亚反复呼吁：只要我们能承认数学创造过程中需要合情推量、需要猜想的话，数学教 学中就必须有教猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试．对于一个想以 数学作为终身职业的学生来说，为了在数学上取得真正的成就，就得掌握合情推理；对于一 般学生来说，他也必须学习和体验合情推理，这是他未来生活的需要．

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怎样教猜想?怎样教合情推理?没有十拿九稳的教学方法．波利亚说，教学中最重要的就是 选取一些典型教学结论的创造过程，分析其发现动机和合情推理，然后再让学生模仿范例去 独立实践，在实践中发展合情推理能力．波利亚欣赏苏格拉底的名言：“思想应当诞生在学 生的心里，教师仅仅应当像助产士那样办事．”他指出，教师要选择典型的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想．

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“学生自己提出了猜想，也就会有追求证明的渴望，因而此时的数学教学最富有吸引力，切莫错过时机”．波利亚指出，要充分发挥班级教学的优势，鼓励学生之间互相讨论和启发，教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示，不能硬把他们赶上事先预备好的道路，这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣，才能真正掌握合情推理，提高思考问题、解决问题 的能力．

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这种训练方式与“题型＋解法”的做法也是完全不同的．

三、能力培养的效果不同

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应该承认，“题海战术”对提高学生的能力也有一定的积极作用，但经验表明，“题海战 术”在能力培养方面主要表现为提高模仿力与复制力，所谓“高分低能”症正是如此产生的 ．

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在数学学科中，能力指的是什么?波利亚说：“这就是解决问题的才智——我们这里所指 的问题，不仅仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性 和创造精神．”波利亚致力于培养学生的独立探索能力．从教育心理学角度看，“怎样解题 表”的确是十分可取的，利用这张表教师可行之有效地指导学生自学，发展学生独立思考和 进行创造性活动的能力．如果我们提出一个“波利亚探索法”的话，那么“波利亚探索法” 的主要特点就是变更问题，诱发灵感．在波利亚看来，解题过程就是不断变更问题的过程． 事实上，“怎样解题表”中许多问题和建议都是“直接以变化问题为目的的”．如，你知道 与 它有关的问题吗?你能不能试想出一个有相同或相似未知数的熟悉问题?你是否见过形式稍微 有不同样 的题目?你能改述这题目吗?你能不能用不同的方法重新叙述它?你能不能想出一个更容易着 手的有关问题，一个更普遍的题，一个更特殊的题，一个类似的题?你能否解决这道题的一 部分 ?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?能不能想出适于确定未知数的其他数据?你能改 变未知数，或已知数，必要时改变两者，使新未知数和新的已知数更加互相接近吗?

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波利亚说：“如果不‘变化问题’，我们几乎不能有什么进展．”“变更问题”是《怎样 解题》一书的主旋律．书中多次强调了“变更问题”的几种特殊手段．例如“回到定义去”，“分解与重新组合”，“引入辅助元”，“普遍化、特殊化及类比”．

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这里只谈谈“回到定义”．波利亚说，“回到定义”是一项重要的智力活动．回到定义是 为了“掌握那些专业术语后面数学对象间的实际关系”．面对一个数学题，“如果我们只知 道概念的定义，别无其他，我们就不得不回到定义”．

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《怎样解题》书中，有个精彩的实例：

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已知抛物线的焦点Ｆ，准线ｄ和一直线l，求作此抛物线与已知直线的交点．

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观察题意可见，眼下的情况就是“只知道概念的定义，别无其他”，因此，我们不得不回 到定义．考虑到抛物线的定义，原问题就变化为：

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在直线ｌ上求一点，使它和已知点Ｆ及已知直线ｄ等距离．

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这是第一次变化，解析几何题变成了平面几何题．这道平面几何题本身也是一道有意义的 题．

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“你能不能用不同的方法重新叙述它?”

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这道题可以换个说法叙述为：

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在直线ｌ上求一点，以它为圆心作圆与直线ｄ相切且通过点Ｆ．

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这是第二次变化．

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所作的圆要满足两个条件．“你能否解决这问题的一部分?”可以，先放弃一个条件，第 三次变化问题．

（下略）

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“怎样解题表”风靡全球．经验证明，适当使用表中的问题与建议，对培养学生的探索力 是有益的．

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“题海”是客观存在，我们应研究对付“题海”的战术．波利亚的“表”虽不如阿里巴巴 的金钥匙，但却切实可行，给出了探索解题途径的可操作机制，被人们公认为“指导学生在 题海游泳”的“行动纲领”．著名的现代数学家瓦尔登早就说过：“每个大学生，每个学者，特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书《怎样解题》．”

文 章

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