《两圆的公切线》教案

第一篇：《两圆的公切线》教案

31.6 两圆的公切线

淮海中学 王晓莉

一、教学目标：

1、知道两圆的公切线，内、外公切线及公切线长的概念。

2、能讲出两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系。

3、知道两圆的内、外公切线长相等。

4、能根据条件能求出公切线的长或圆的半径。

5、能积极参与学习活动，对两圆的公切线的有关知识有好奇心和求知欲。

6、通过练习培养学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

二、重点和难点：

重点：

1、两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系。

2、求内、外公切线长的公式。难点：内外公切线长公式的推导。

三、教学建议：每位学生准备三个硬币（其中有两个一样大）。

四、教学过程： 导入新课

自行车上两个齿轮与链条之间的位置关系，自行车的两个车轮与走过的直线之间的位置关系？

提问：直线与两圆有什么位置关系？ 1.公切线的定义：

1．和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

2.两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

3.两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。似乎太直接了 2.两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系：

操作练习：用准备好的硬币及尺研究两圆五种位置关系下内外公切线的分布情况，并把所得结果填写在课本第45页的表格中。师生共同小结。练习一：（口答）

一、判断：好

1.两圆相切，只有一条公切线。（）2.两圆位置关系不同，公切线条数也不同。()3.只有两圆外离时，才存在内公切线。（）

4.如果两圆不存在公切线，那么这两个圆是同心圆。()

二、问答：好

1.两圆的公切线条数可能有几条？

2.若两圆有两条外公切线，则两圆有怎样的位置关系？ 3.若两圆有一条公切线，则两圆有怎样的位置关系？

4.如果两个半径不等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能有几条？ 3.公切线的长：

我们知道由圆外一点引该圆的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，类似地两圆公切线上的两个切点之间的距离叫做公切线的长。

当圆外一点引圆的两条切线时，它们的切线长相等，那么当两圆有两条外公切线时，这两条外公切线的长度相等吗？

已知：1半径为r1，2的半径为r2，AB，CD都是两圆的外公切线，A、B、C、D是切点，求证：AB=CD（引导学生进行分类讨论，并注意分析两种情况证明方法的不同）应该比较公切线和公切线长两个概念

结论：两圆的两条外公切线的长相等。想一想：两条内公切线呢？ 证明得：两圆的两条内公切线的长也相等。公切线的长的计算

例题1已知：⊙O1与 ⊙O2的半径分别为r和R,(R>r),圆心距O1O2=d,AB是两圆的外公切线,切点分别是A、B，求公切线AB的长。

（引导学生思考，问题的实质是直角梯形已知上下底及斜腰求高的问题，可将问题转化为直角三角形问题去解决。）

学生自己完成解答后，引导学生总结计算公式：

练习二：

1.已知，⊙O1与 ⊙O2的半径分别为15cm和5cm，它们外切于点T，外公切线AB与⊙O1与 ⊙O2分别切于A、B两点，求外公切线AB的长。

2.已知⊙O1与 ⊙O2的半径分别是R和r，圆心距为d，AB是⊙O1与 ⊙O2的内公切线，切点分别为A、B，求公切线的长AB。

（引导学生思考，要求公切线的长可将问题转化为直角三角形问题去解决。）学生自己完成解答后，引导学生总结计算公式：

3.两圆的外公切线长为60cm，半径分别为29cm和18cm，则两圆的圆心距为。5.小结： 6.作业： 1）练习册习题 2）思考题：

1.已知两个圆相切，它们的两条外公切线互相垂直，则小圆半径与大圆半径的比为。

2.两圆外离，圆心距为25cm，两圆周长分别为15πcm和10πcm，则其内公切线和连心线所夹的锐角等于 度。

第二篇：两圆的公切线教案

31.6 两圆的公切线

淮海中学 王晓莉

一、教学目标：

1、知道两圆的公切线，内、外公切线及公切线长的概念。

2、能讲出两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系。

3、知道两圆的内、外公切线长相等。

4、能根据条件能求出公切线的长或圆的半径。

5、能积极参与学习活动，对两圆的公切线的有关知识有好奇心和求知欲。

6、通过练习培养学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

二、重点和难点：

重点：

1、两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系。

2、求内、外公切线长的公式。难点：内外公切线长公式的推导。

三、教学建议：每位学生准备三个硬币（其中有两个一样大）。

四、教学过程： 导入新课

自行车上两个齿轮与链条之间的位置关系，自行车的两个车轮与走过的直线之间的位置关系？

提问：直线与两圆有什么位置关系？ 1.公切线的定义：

1．和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

2.两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。3.两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。2.两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系：

操作练习：用准备好的硬币及尺研究两圆五种位置关系下内外公切线的分布情况，并把所得结果填写在课本第45页的表格中。师生共同小结。练习一：（口答）

一、判断：

1.两圆相切，只有一条公切线。（）2.两圆位置关系不同，公切线条数也不同。()3.只有两圆外离时，才存在内公切线。（）

4.如果两圆不存在公切线，那么这两个圆是同心圆。()

二、问答：

1.两圆的公切线条数可能有几条？

2.若两圆有两条外公切线，则两圆有怎样的位置关系？ 3.若两圆有一条公切线，则两圆有怎样的位置关系？

4.如果两个半径不等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能有几条？ 3.公切线的长：

我们知道由圆外一点引该圆的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，类似地两圆公切线上的两个切点之间的距离叫做公切线的长。

当圆外一点引圆的两条切线时，它们的切线长相等，那么当两圆有两条外公切线时，这两条外公切线的长度相等吗？

已知：1半径为r1，2的半径为r2，AB，CD都是两圆的外公切线，A、B、C、D是切点，求证：AB=CD（引导学生进行分类讨论，并注意分析两种情况证明方法的不同）结论：两圆的两条外公切线的长相等。想一想：两条内公切线呢？ 证明得：两圆的两条内公切线的长也相等。公切线的长的计算

例题1已知：⊙O1与 ⊙O2的半径分别为r和R,(R>r),圆心距O1O2=d,AB是两圆的外公切线,切点分别是A、B，求公切线AB的长。

（引导学生思考，问题的实质是直角梯形已知上下底及斜腰求高的问题，可将问题转化为直角三角形问题去解决。）

学生自己完成解答后，引导学生总结计算公式：

练习二：

1.已知，⊙O1与 ⊙O2的半径分别为15cm和5cm，它们外切于点T，外公切线AB与⊙O1与 ⊙O2分别切于A、B两点，求外公切线AB的长。

2.已知⊙O1与 ⊙O2的半径分别是R和r，圆心距为d，AB是⊙O1与 ⊙O2的内公切线，切点分别为A、B，求公切线的长AB。

（引导学生思考，要求公切线的长可将问题转化为直角三角形问题去解决。）学生自己完成解答后，引导学生总结计算公式：

3.两圆的外公切线长为60cm，半径分别为29cm和18cm，则两圆的圆心距为。5.小结： 6.作业： 1）练习册习题 2）思考题：

1.已知两个圆相切，它们的两条外公切线互相垂直，则小圆半径与大圆半径的比为。

2.两圆外离，圆心距为25cm，两圆周长分别为15πcm和10πcm，则其内公切线和连心线所夹的锐角等于 度。

第三篇：两圆的公切线 教案设计

第一课时(一)教学目标 ：(1)理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法;(2)培养学生的归纳、总结能力;(3)通过两圆外公切线长的求法向学生渗透转化思想.教学重点：理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法.教学难点 ：两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆.教学活动设计(一)实际问题(引入)很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象.(这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践)(二)概念

1、概念：教师引导学生自学.给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线.(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线.(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线.(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.2、理解概念：(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长.但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点;切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点.(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量.(三)两圆的位置与公切线条数的关系组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力.添写教材P143练习第2题表.(四)应用、反思、总结例

1、已知：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B.求：公切线的长AB.分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B.一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质.(组织学生分析，教师点拨，规范步骤)解：连结O1A、O2B，作O1AAB，O2BAB.过 O1作O1CO2B，垂足为C，则四边形O1ABC为矩形，于是有O1CC O2，O1C=AB，O1A=CB.在Rt△O2CO1和.O1O2=13，O2C=O2B-O1A=5AB=O1C=(cm).反思：(1)转化思想，构造三角形;(2)初步掌握添加辅助线的方法.例2*、如图，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直线AB为，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长.分析：因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解.证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90(或证得有两角的和是90)，这就需要沟通角的关系，故过P作CD如图，因为AB是，所以CPB=ABP，CPA=BAP.因为BAP+CPA+CPB+ABP=180，所以2CPA+2CPB=180，所以CPA+CPB=90，即APB=90，故△APB是直角三角形，此题得解.解：过点P作CD∵ AB是⊙O1和⊙O2的切线，A、B为切点CPA=BAP CPB=ABP又∵BAP+CPA+CPB+ABP=1802CPA+2CPB=180CPA+CPB=90 即APB=90在 Rt△APB中，AB2=AP2+BP2说明：两圆相切时，常过切点作，沟通两圆中的角的关系.(五)巩固练习

1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成()(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)以上答案都不对.此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)

2、外公切线是指(A)和两圆都祖切的直线(B)两切点间的距离(C)两圆在公切线两旁时的公切线(D)两圆在公切线同旁时的公切线直接运用外公切线的定义判断.答案：(D)

3、教材P141练习(略)(六)小结(组织学生进行)知识：、外公切线、内公切线及公切线的长概念;能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力;思想：转化思想.(七)作业 ：P151习题10，11.第二课时(二)教学目标 ：(1)掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角;(2)培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力;(3)通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透转化思想.教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法.教学难点 ：两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆.教学活动设计(一)复习基础知识(1)概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长.(2)两圆的位置与公切线条数的关系.(构成数形对应，且一一对应)(二)应用、反思例

1、(教材例2)已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的一条内公切线，切点分别是A，B.求：公切线的长AB。组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力.解：连结O1A、O2B，作O1AAB，O2BAB.过 O1作O1CO2B，交O2B的延长线于C，则O1C=AB，O1A=BC.在Rt△O2CO1和.O1O2=10，O2C=O2B+ O1A=6O1C=(cm).AB=8(cm)反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在Rt△O2CO1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量.注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形.例2(教材例3)要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求V形角的度数.解：(略)反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法.它属于简单的数学建模.组织学生进行，教师引导.归纳：(1)用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和R+r、圆心距d、两圆公切线的夹角四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量.(2)上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决.(三)巩固训练教材P142练习第1题，教材P145练习第1题.学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正.(四)小结(1)求两圆的内公切线，转化为解直角三角形问题.公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量;(2)如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上;(3)求两圆两外(或内)公切线的夹角.(五)作业教材P153中12、13、14.第三课时(三)教学目标 ：(1)理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用;(2)通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力.教学重点：会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中.教学难点 ：综合知识的灵活应用和综合能力培养.教学活动设计(一)复习基础知识(1)概念.(2)切线的性质，弦切角等有关概念.(二)公切线在解题中的应用例

1、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B，C为切点.若连结AB、AC会构成一个怎样的三角形呢?观察、度量实验(组织学生进行)猜想：(学生猜想)BAC=90证明：过点A作⊙O1和⊙O2的内切线交BC于点O.∵OA、OB是⊙O1的切线，OA=OB.同理OA=OC.OA=OB=OC.BAC=90.反思：(1)公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键;(2)作是常见的一种作辅助线的方法.例

2、己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆的弦AB交小圆于C，D.求证：APC=BPD.分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线O1O2，或作外公切线.证明：过P点作MN.∵MPC=PDC，MPN=B，MPC-MPN=PDC-B，即APC=BPD.反思：(1)作了两圆公切线MN后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了.要重视MN的桥梁作用.(2)此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算.拓展：(组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识)己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆⊙O1的弦AB与小圆⊙O2相切于C点.是否有：APC=BPC即PC平分APB.答案：有APC=BPC即PC平分APB.如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4.(三)练习练习

1、教材145练习第2题.练习

2、如图，已知两圆内切于P，大圆的弦AB切小圆于C，大圆的弦PD过C点.求证：PAPB=PDPC.证明：过点P作EF∵ AB是小圆的切线，C为切点FPC=BCP，FPB=A又∵BCP-2=FPC-FPB2 ∵D，△PAC∽△PDBPAPB=PDPC说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易.(三)总结学习了，应该掌握以下几个方面

1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上.2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形.3、常用的辅助线：(1)两圆在各种情况下常考虑添连心线;(2)两圆外切时，常添内公切线;两圆内切时，常添外公切线.4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结.(四)作业 教材P151习题中15，B组2.探究活动问题：如图1，已知两圆相交于A、B，直线CD与两圆分别相交于C、E、F、D.(1)用量角器量出EAF与CBD的大小，根据量得结果，请你猜想EAF与CBD的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论.(2)当直线CD的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由.(3)如果将已知中的两圆相交改为两圆外切于点A，其余条件不变(如图3)，那么第(1)题所得的结论将变为什么?并作出证明.提示：(1)(2)(3)都有EAF+CBD=180.证明略(如图作辅助线).说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，数学发现的一种方法.第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化.第(3)题中若CD移动到与两圆相切于点C、D，那么结论又将变为CAD=90.

第四篇：初三数学两圆的公切线教案

【摘要】初三数学两圆的公切线教案通过学习本课两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透转化思想.教学目标：(1)理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法;(2)培养学生的归纳、总结能力;(3)通过两圆外公切线长的求法向学生渗透转化思想.教学重点：理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法.教学难点：两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆.教学活动设计(一)实际问题(引入)很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象.(这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践)

（二）两圆的公切线概念

1、概念：教师引导学生自学.给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线.(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线.(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.2、理解概念：(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长.但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点;切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点.(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量.(三)两圆的位置与公切线条数的关系组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力.添写教材P143练习第2题表.(四)应用、反思、总结例

1、已知：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B.求：公切线的长AB.分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B.一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质.(组织学生分析，教师点拨，规范步骤)解：连结O1A、O2B，作O1AAB，O2BAB.过 O1作O1CO2B，垂足为C，则四边形O1ABC为矩形，于是有O1CC O2，O1C= AB，O1A=CB.在Rt△O2CO1和.O1O2=13，O2C= O2B-O1A=5AB= O1C=(cm).反思：(1)转化思想，构造三角形;(2)初步掌握添加辅助线的方法.例2*、如图，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直线AB为两圆的公切线，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长.分析：因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解.证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90(或证得有两角的和是90)，这就需要沟通角的关系，故过P作两圆的公切线CD如图，因为AB是两圆的公切线，所以CPB=ABP，CPA=BAP.因为BAP+CPA+CPB+ABP=180，所以2CPA+2CPB=180，所以CPA+CPB=90，即APB=90，故△APB是直角三角形，此题得解.解：过点P作两圆的公切线CD∵ AB是⊙O1和⊙O2的切线，A、B为切点CPA=BAPCPB=ABP又∵BAP+CPA+CPB+ABP=1802CPA+2CPB=180CPA+CPB=90即APB=90在 Rt△APB中，AB2=AP2+BP2说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系.(五)巩固练习

1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成()(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)以上答案都不对.此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)

2、外公切线是指(A)和两圆都祖切的直线(B)两切点间的距离(C)两圆在公切线两旁时的公切线(D)两圆在公切线同旁时的公切线直接运用外公切线的定义判断.答案：(D)

3、教材P141练习(略)(六)小结(组织学生进行)知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念;能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力;思想：转化思想.(七)作业：P151习题10，11.

第五篇：最新高考数学公切线解决导数中零点问题复习

最新高考数学公切线解决导数中零点问题复习

【知识点】将题目中的零点问题，通过转化成初等函数的图形之间的位置关系问题，然后利用公切线的变化求出。

考点一、无零点

【例

1-1】（16年房山二模文科）已知函数

（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。

【解析】因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根

设，即无零点。

当时，显然无零点，符合题意；

当时，令

极小值，显然不符合题意；

当时，令

极大值，所以时，符合题意

综上所述：

【练

1-1】（13年福建文）已知函数().(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.【解析】当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.假设,此时，又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.又时，知方程在上没有实数解.所以的最大值为.考点二、一个零点

【例

2-1】（13年朝阳一模理）已知函数,其中.(Ⅱ)若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围.【解析】①当时,由(Ⅰ)可知,函数的单调递减区间为,在单调递增.所以在上的最小值为,由于,要使在上有且只有一个零点,需满足或解得或.②当时,由(Ⅰ)可知,(ⅰ)当时,函数在上单调递增;

且,所以在上有且只有一个零点.(ⅱ)当时,函数在上单调递减,在上单调递增;

又因为,所以当时,总有.因为,所以.所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增,从而当时,在上有且只有一个零点.综上所述,或或时,在上有且只有一个零点

【练

2-1】（2012年房山一模18）已知函数．

（III）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．

【解析】当时，在区间上为增函数，在区间不可能恰有两个零点．

………10分

当时，由（II）问知，又，为的一个零点．

……11分

若在恰有两个零点，只需

即

………13分

【练

2-2】（13年昌平二模理科）已知函数

(Ⅱ)求在区间上的最小值;

(III)若在区间上恰有两个零点,求的取值范围.【解析】可知当或时,在上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.当时,要使在区间上恰有两个零点,则

∴

即,此时,.所以,的取值范围为

考点三、两个零点

【例

3-1】已知函数.（III）讨论函数在区间上零点的个数.【解析】

【练

3-1】（15年海淀期末文科）已知函数.（Ⅲ）问集合（且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）

考点四、线上下线问题

【例

4-1】（13年北京高考理科）设L为曲线C：在点(1，0)处的切线.(I)求L的方程；

方程为

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.【练

4-1】（14年海淀一模理科）已知曲线.(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【解析】对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于

∀x,，都有，即

∀x,R，恒成立，令，则等价于∀，恒成立，令，则，由得，的情况如下：

0

0

+

极小值

所以的最小值为，实数b的取值范围是．