“截长补短法”证明线段的和差问题

第一篇：“截长补短法”证明线段的和差问题

“截长补短法”证明线段的和差问题典例分析 河大附中 桑静华

线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上．实际上是通过翻折构造全等三角形,目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起．在无法进行直接证明的情形下，利用“截长补短”作辅助线的方法常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。CED例

1、如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD•相等吗？请说明理由．

A

B 分析：证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：

（1）在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短 线段，这种方法叫“截长法”

（2）在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．

FCEDC5E6D1A25634F(1)BA1234

证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF． 在△ACE和△AFE中

(2)B ACAF 12

AEAE ∴△ACE≌△AFE（SAS）

∵,∴,又,∴∠6=∠D 在△EFB和△BDE中

6D34 BEBE ∴△EFB≌△EDB（AAS）∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F ∵ ∴F4,又∵34 ∴∠F=∠3 在△AEF和△AEB中

F 312

AEAE ∴△AEF≌△AEB（AAS）, ∴AB=AF，BE=FE 在△BED和△FEC中

56BEFE 4F ∴△BED≌△FEC（ASA）∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD． 例

2、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，A ∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC．

分析1： 因为∠B=2∠C，所以AC＞AB，可以在AC上取一点E，使得AB=AE，B

D 构造△ABD≌△AED，把AB边转移到AE上，BD转移到DE上，要证AB+BD=AC． 即可转化为证AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC．

C

证明：在AC上取一点E，使AB=AE，连结DE．

在△ABD和△AED中，ABAEBADDAE ADADA

∴△ABD≌△AED（SAS）．

∴ BD=DE，∠B=∠AED．

又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，B

∴ ∠EDC=∠C．

∴ ED=EC．

∴ AB+BD=AC． 分析2： 因为∠B=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的延长线上取一点E，使得AE=AC，构造△AED≌△ACD，把AC边转移到AE上，DC转移到DE上，要证AB+BD=AC． 即可转化为证AB+BD=AB+BE，即证明BD=BE． B 证明：在AB的延长线上取一点E，使AC=AE，连结DE． 在△AED和△ACD中，AEACBADDAC

ADADE

E

D C

A

D C

∴ △AED≌△ACD（SAS）．∴∠C=∠E．

又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE，∴ ∠E=∠BDE．∴ BE=BD．

∴ AB+BD=AE＝AC． A 分析3：若延长DB到点E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要证出ED=AC即可． 证明：延长DB到点E，使AB=BE，连结AE，E B D 则有∠EAB=∠E，∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E．

又∠ABC=2∠C，∴ ∠E＝∠C． ∴ AE=AC．

又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE，C ∴ AE=DE．

∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．

学以致用：

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°

ADB

C

第二篇：专题：线段的和差问题

专题：线段和差问题

线 段 的 和 差 问 题

几何中有许多题目要证明一线段等于另两线段的和（或差），解决这类问题常用的方法大体有五种，即，利用等量线段代换、截短法、接长法、利用面积证明、旋转等五种。

一、利用等量线段代换：证一线段等于另两线段的和（或差），只需证这条全线段的两部分，分别等于较短的两条线段，问题就解决了。

例1 已知：已知：如图，在△ABC中，∠B和∠C的角平分线BD、CD相交于一点D，过D点作EF∥BC交AB与点E，交AC与点F。求证：EF=BE+CF

例2 已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F.求证：EF=BE-CF.AEFDB

CG

二、截长法（在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证明余下的线段等于第二条线段）

三、补短法（延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段）

专题：线段和差问题

例3 如图所示，已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC.四、旋转法：通过旋转变换，而得全等三角形是解决正方形中有关题目类型的一种技巧。

例4 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，求证：EF=BE+FD

专题：线段和差问题

五、等积变换法：利用三角形的面积进行证明。

例5 已知:如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，如果在BC上取一点F，过F作FG⊥AB于G，作FH⊥AC于H.求证：FG+FH=BD.练习：

1、已知：如图，△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC，AE是过点A的一条直线且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求证：BD=DE+CE.ADBCE

2、如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于 D．求证：AD+BC=AB． 专题：线段和差问题

3、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E．求证CE=1/2 BD

4、已知:如图，在△ABC中，∠A=90º，D是AC上一点，BD=CD，P是BC上任一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F.求证：PE+PF=AB.

第三篇：几何证明中的截长补短法

平面几何中截长补短法的应用 授课内容：湘教版九年级上册《证明》授课教师：张羽茂 授课时间：

讲评内容：证明中的“截长补短法”。

讲评目标：

1、通过讲评，查漏补缺，解决几何证明中截长补短法的应用。

2、规范学生证明过程的书写格式。

3、通过讲评提高审题能力，总结解题方法和规律。讲评重点：规范学生证明过程的书写格式

讲评难点：通过讲评，查漏补缺，解决图形中截长补短法的应用。教具准备：黑板、学生作业本

讲评过程：

一、谈话导入

1、公布全班的整体成绩。

2、表扬进步的学生。

二、讲评

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠

B=2∠C,求证：AB+BD=AC.方法一：（截长法）

方法二：（补短法）

三、课堂练习

1．已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE平分∠BAC.求AB+BE的长。

四、课后拓展

1.正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠

EAF=45。求证：EF=DE+BF。

五、板书设计

六、教学反思与总结

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。

截长：1.过某一点作长边的垂线

2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短：1.延长短边

2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

教师工作：

采集信息-----归类点评、指导纠借-----适时检测、落实纠错 学生操作：

作业分析---个体纠借---集体纠错---针对补偿---（依据答案）主动纠错---思考领悟---针对纠错---主动补偿---消除薄弱

教学流程：

作业分析——个体纠错——集体纠错——针对补偿——课堂小结。

第四篇：证明(二)中线倍长法和截长补短法[A.B]

周应坤数学（A.B班共用）电话：***

几何证明-常用辅助线姓名：

(一)中线倍长法:

例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤

分析：要证明AD ﹤1(AB+AC)21(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三

2角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。

证明：延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。

在△ADB和△EDC中，AD=DE

∠ADB=∠EDC

BD=DCC∴△ADB≌△EDC(SAS)∴AB=CE

又在△ACE中，AC+CE＞AE∴AC+AB＞2AD，即AD ﹤1(AB+AC)2

小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC

例2: 中线一倍辅助线作法

ABC中

方式1： 延长AD到E，是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长

作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接连接CD例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

B

例5：已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC

A

F

CBE

D

第 1 题图

课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

作业：

1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

2、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.A

M

B

E

T

C

3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

4：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

（二）截长补短法 例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.A

D

求证：∠BAD+∠BCD=180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转

化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，B可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如1-2 ∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，AE

图1-

1C

在Rt△ADE与Rt△CDF中，

DEDF

ADCD

B

F

D

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180° 例2.如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.图1-

2C

D

A

求证：CD=AD+BC.BE

C

图2-1

例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.B例4.已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.B

A

P

N

D

C

图3-1

A2

D

C

作业：

1、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE

A

图4-

1AD

F

B

C

E

BE

C

D

A

（三）其它几种常见的形式：

1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。EF

C

BD

图

12、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例：如图2：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF

A

EF

C

BD

图

2M

练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4，求证EF＝2AD。

E

F

A

BDC

图

43、延长已知边构造三角形：

E

例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC

B A

DC

图64、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

AD

例如：如图7：AB∥CD，AD∥BC求证：AB=CD。

CB

图75、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：如图8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD＝2CE

6连接已知点，构造全等三角形。

DA例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。

BC

图10

1九、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。DA

B MC

图10

第五篇：初一数学教案 线段的和差

第二课时

一、教学目标

1、理解两点间距离的感念和线段中点的感念及表示方法

2、学会线段中点的简单应用

3、借助具体情境，了解“两点间线段最短”这一性质，并学会简单应用

4、培养学生交流合作的意识，进一步提高观察、分析和抽象的能力

二、教学重点

线段中点的感念及表示方法

三、教学难点 线段中点的应用

四、学用具： 投影片、刻度尺

五、学过程：

（一）习回顾：线段长短比较的两种方法

（二）感念分析

1、线段性质和两点间距离 “想一想”

出示课本图片，从上面的两个事例中，你能发现有什么共同之处？（可让学生稍作讨论后回答）学生：选择直路，路程较短

让学生在黑板上画出图7-18（见课本），从A到B的几种路线，并用红色粉笔标出最短的路线

教师：你是怎样比较出最短的路线的？ 学生：利用观察、测量 根据学生的画图，师生共同总结出线段的性质： “两点之间的所有连线中，线段最短”

两点之间的距离：两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离。要强调两点之间的线段的长度叫两点间的距离，而不是两点间的线段，线段是图形，线段的长度是数值。

教师：“两点间线段最短”的性质在实际生活中应用较广，你能否举一些例子？

学生：从A到B架电线，总是尽可能沿着线段AB架设等。

2、线段的中点

请按下面的步骤操作：（学生做）①

在一张透明纸上画一条线段AB ②

对折这张纸，使线段AB的两个端点重合 ③

把纸展开铺平，标明折痕点C

如图1：

ACB

教师：线段AC和线段BC相等吗？你可以用是么方法去说明？ 学生1：相等。用刻度尺测出它们的长度，再比较 学生2：相等。用圆规测量比较

教师：象图1这样，点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫做线段AB的中点。用几何语言表示：

AC=BC=1/2AB（或AB=2AC=2BC）

教师：刚才用折纸的方法找出AB的中点C，你还能通过什么方法得到中点C呢？ 学生：用刻度尺去量出AB的长，再除以2，就得到点C（让学生板演）填空：如图2 已知点是线段的中点，点是线段的中点，ADCB

（1）AB=＿＿ BC

（2）BC= ＿＿ AD（3）BD=_____AD “想一想”如图3，点P是线段的中点，点C、D把线段AB三等分。已知线段CP的长为1.5cm，求线段AB的长。如图3：

ACPDB

可让学生讨论后再作答（教师可作如下分析：如果能得到线段CP与线段AB之间的长度比，就能求出线段AB的长。）由学生回答，教师板书完成。

解：∵

点P把线段二等分，∴

AP=PB=1/2AB ∵

点C、D把线段AB三等分，∴

AC=CD=DB=1/3AB ∴

AP－AC=1/2AB－1/3AB=1/6AB, 即

CP=1/6AB ∴

AB=6CP=6×1.5=9cm

即AB的长为9cm 课内练习P172 1、2及 P17

谈谈收获：①

两点间距离的感念

②

线段的性质“两点间线段最短”及应用

③

线段的中点的感念及简单的应用 作业： 板书：

1、线段的性质：

例解：

2、两点之间的距离：

3、线段的中点：

（板演处）