《实际问题与一元二次方程》教学设计(第3课时)

第一篇：《实际问题与一元二次方程》教学设计(第3课时)

《实际问题与一元二次方程》（第3课时）教学设计

北京市海淀区中关村中学 杨爱青

一、内容和内容解析 1．内容

用一元二次方程解决“封面设计问题”． 2．内容解析 本节课是21．3实际问题与一元二次方程的最后一课，设置这一探究的目的不仅是解决这个具体问题，而且是通过这个问题的解决让学生再次经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处．

在现实世界中，有许多可以用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形的问题原型．探究3以封面设计为问题背景，讨论边衬的宽度．在探究过程中正确建立方程模型依然是本节课的重点．

二、目标和目标解析 1．教学目标

（1）会用一元二次方程解决“封面设计问题”；

（2）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高运用方程这种重要数学工具解决实际问题的基本能力．

2．目标解析

（1）能根据具体的“图形面积问题”正确设“元”，找出可以作为列方程依据的主要等量关系，并根据它列出一元二次方程，正确求解一元二次方程，能根据实际问题检验结果是否正确，进而找出合乎实际的结果；

（2）完整地经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程，积累数学活动经验，培养模型思想，会用一元二次方程解决简单的“图形面积问题”．

三、教学问题诊断分析

探究3与以前的实际问题相比，它在分析数量关系方面更复杂，问题情境与实际情况也更接近，对于这样的综合性问题，学生缺乏解决问题的经验，而且探究3的问题中没有明确求什么，学生感觉无从下手．学生一般可以意识到要“设元”用方程解决问题，但如何设元，如何与几何知识结合，挖掘题目图形中隐蔽的相等关系，构造方程模型对学生来说存在不同程度的困难，这也是本节课的难点所在．由于探究3的问题中，方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解，因此由数学问题的解得到实际问题的答案对于学生来说也是一个难点．

四、教学过程设计 1．弄清题意

问题1 怎么理解“应如何设计边衬的宽度”这句话？

师生活动 教师提问，学生思考、回答． 根据学生的回答情况，教师可通过追问：“设计边衬的宽度要求几个未知数？哪几个，为什么？”加以引导．

一般情况下，学生都能根据“上下边衬等宽，左右边衬等宽”得出“设计边衬的宽度要求两个未知数（上面的边衬宽度和左面的边衬宽度）”．

【设计意图】使学生明确“封面设计问题”中求的是什么，初步体会未知之间、已知与未知之间的联系．

问题2 题目中还有哪些已知量、未知量，它们之间存在怎样的数量关系？ 师生活动 学生读题，思考，可以适当讨论．根据学生的回答情况，教师可通过追问加以引导．如：如何理解“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形”这句话？“四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”能告诉我们什么？

学生经过思考、讨论不难得出：中央长方形的长宽之比是9:7，长宽之积为．

【设计意图】培养学生读题、审题能力．

2．实现由文字语言、图形语言到数学符号语言的转换

问题3 如何把文字语言、图形语言翻译成数学符号语言？

师生活动 学生思考并回答问题．这里要让学生充分表达自己的观点，教师可根据学生的回答，适时提示学生关注题目中的未知量、未知量之间的关系，以及它们与已知量的关系．

设上面边衬宽度和左面边衬宽度分别为 cm和cm，中央长方形的长和宽分别为x cm和y cm．

把“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形，四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”翻译成数学符号语言可得：

．

教师追问： 四个未知数、、、，它们之间还存在怎样的数量关系？ 这是这节课的一个难点，要给学生充分的时间独立思考，如学生确有困难，教师可适时提示：探究3的问题中还有一个重要的条件“图形”，同学们看看“图形”告诉了我们什么？

把“图形语言”翻译成数学符号语言可得： ． 【设计意图】把“探究3”符号化，为应用数学知识解决问题创造条件． 3．解决问题

问题4 怎么解决“封面设计问题”？

师生活动 教师与学生一起梳理，看看通过前面的分析都得到了哪些结论． 前面我们设了4个“元”和、和，它们分别代表中央长方形的长和宽、上面边衬宽度和左面边衬宽度，它们之间存在如下的数量关系：，．

教师引导学生发现，这就是一个以、、、为未知数的四元方程组，找到这个方程组中的a、b的值，“封面设计问题”就迎刃而解了．

【设计意图】树立方程意识，渗透方程思想．

问题5 请你解这个方程组，并与同学交流一下你的解法．

师生活动 学生独立思考、解题，并与同学交流．教师请同学展示解法并进行点评．

学生可能的解法：（1），（2），（3），（4）．

方法一：由（1）、（2）求出x、y的值，分别代入（3）、（4）求出a、b的值． 说明1：在由（1）、（2）求、的过程中，可以依据，设简化计算．

说明2：实际解题时，可以简化“设元”部分，只设中央长方形的长和宽分别为 cm和cm，解方程求出的值，进而求出中央长方形的长和宽，再用算术方法就可求出上面边衬宽度和左面边衬宽度．

方法二：由（3）、（4）变形得，把（5）、（6）分别代入（1）、（2）可得关于、的二元方程组，解这个方程组求出、的值．

说明：把（5）、（6）代入（2）化简可得，可以依据，设，把

代入（5）、（6）得到，再把（7）、（8）代入（1）求出值，进而求出、的值．

【设计意图】在体验解法多样性的基础上，树立优化意识，简化计算，优化解题形式．

问题6 你求出的、的值都是实际问题的解吗？ 师生活动 教师提出问题，学生通过计算得出结论．

【设计意图】与实际问题结合，检验数学问题的解是否为实际问题的解． 4．回顾反思

问题7 通过这节课，你对“封面设计问题”有什么新的认识，有何收获和体会？

师生活动 请学生回顾“封面设计问题”的探究过程，回答以下问题：（1）探究解题的过程大致包含哪几个步骤？（2）在 “封面设计问题”的探究过程中，你遇到了哪些困难，是如何解决的？ 【设计意图】更好地体会建模思想，理解建模的一般步骤和方法． 5．布置作业

教科书习题21．3第5，8，9题．

五、目标检测设计

1．如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为（）．

A．

B．

C．

D．

【设计意图】发现几何图形中隐蔽的相等关系．

2．(2004年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃．

（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案．

（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．

【设计意图】考查学生的审题能力及用一元二次方程模型解决简单的图形面积问题．

《实际问题与一元二次方程》说课稿

各位老师，今天我说课的内容是：22.3 实际问题与一元二次方程第二课时，下面，我从教材分析、教学目的分析、教法分析、教材处理、教学流程等方面对本课的设计进行简要说明：

一、教材分析：

1、教材所处的地位：此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。本节仍是进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展。

2、教学目标要求：

（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；

（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；

（3）经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；

（4）通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

3、教学重点和难点：

重点：列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。难点：发现问题中的等量关系。二．教法、学法分析：

1、本节课的设计中除了探究3教师参与多一些外，其余时间都坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。教学过程中，教师只注重点、引、激、评，注重学生探究能力的培养。还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。

2、本节内容学习的关键所在，是如何寻求、抓准问题中的数量关系，从而准确列出方程来解答。因此课堂上从审题，找到等量关系，列方程等一系列活动都由生生交流，兵教兵从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。

三．教学流程分析：

本节课是新授课，根据学生的知识结构，整个课堂教学流程大致可分为： 活动1 复习回顾解决课前参与 活动2 封面设计问题的探究 活动3 草坪规划问题的延伸 活动4 课堂回眸 这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。

活动1 复习回顾解决课前参与

由学生展示课前参与题目，集体订正。目的在于回顾常用几何图形的面积公式，并且引出本节学习内容—— 面积问题。

活动2 封面设计问题的探究

通过学生自己独立审题，找寻等量关系，教师引导学生对“正中央矩形与封面长宽比例相同”题意的理解，使学生明白中央矩形长宽比为9：7，从而进一步突破难点：上下边衬与左右边衬比也为9：7，为学生设未知数提供帮助。之后由学生分组完成方程的列法，以及取法。讲解中注重简便设法及解法的指导与评价。

活动3 草坪规划问题的延伸 放手给学生处理，以学生合作完成为主。突出利用平移变换为主的解决方式。多由学生分析不同的处理方法。

活动4 课堂回眸

本课小结从内容、应用、数学思想方法，获取知识的途径等几个方面展开，既有知识的总结，又有方法的提炼，这样对于学生学知识，用知识是有很大的促进的。方法以学生畅谈收获为主。

作业布置

共3个题目，前两个为必做题，全员均作；最后一个选作题，可供学有余力学生能力提升用。

第二篇：实际问题与一元二次方程(第1课时)教案

21.3实际问题与一元二次方程（1）

课型：新课 课时：1 主备人：林玲 教学目标：

知识与技能：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．

2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述

情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．

教学重难点

教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题 教学难点：发现传播问题中的等量关系 教学方法：引导发现法 教学过程

一、复习引入

1、解一元二次方程都是有哪些方法？

2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？

①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答

说明：为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫．

二、合作探究 【探究1】

有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

思考：（1）本题中有哪些数量关系？

（2）如何理解“两轮传染”？

（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感；

在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感.（4）根据等量关系列方程并求解

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：

1+x+x(1+x)=121 解方程得

x1=10，x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．

(5)为什么要舍去一解？

（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？

说明：使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验． 【探究2】

两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？

（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元。（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？

解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．

依题意，得5000（1-x）2=3000 解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）

（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。

设乙种药品成本的平均下降率为y．

则：6000（1-y）2=3600 整理，得：（1-y）2=0.6 解得：y≈0.225 答：两种药品成本的年平均下降率一样大

（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？

三、巩固练习

说明：通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路

四、课堂小结：1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。

2.用“传播问题”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．

3.对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：a(1x)nb（常见n=2）

作业：练习册

板书设计： 实际问题与一元二次方程（1）

1.归纳

2.实际问题探究 3.小结 4.作业

教学反思：

第三篇：实际问题与一元二次方程

实际问题与一元二次方程

（一）-------传播问题和比赛问题

列方程解应用题的一般步骤：（1）__________（2）__________（3）__________（4）__________（5）__________（6）__________。

1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有

点121人患了流感，（1）每轮传染中平均一个人传染了几个

人？

（2）如果按照这样的传染速度，三轮传

染后有多少人患流感?

2、有一人患了流感，经过两轮传染后共有

100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数是_________，如果不及时控制，第三轮将又有_________人被传染？

3、某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若小分支、枝干和主干的总数是73，则每个枝干长出_________个分支？

4、某生物实验室需培养一群有益菌。现有

60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到目24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌。（1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂

出多少个有益菌？、（2）按照这样的分裂速度，经过三轮后

有多少个有益菌？

5、（1）参加一次足球比赛的每两队之间都

进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？

（2）参加一次篮球比赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛15场，共有多少个队参加比赛？

6、生物兴趣小组的同学将自己制作的标本

向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，则该兴趣小组共有多少名同学？

7、在某次聚会上，每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，则有多少个人参加这次聚会？

8、某航空公司有若干个飞机场，每两个飞

机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场多少个？

9、（1）两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。（2）两个连续偶数的和为6和8，则这两个连续偶数是________。

第四篇：一元二次方程实际问题

例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．

（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]

（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过10000=250kg，在这个提前下，40

•求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．

解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元

（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000

（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-40）[500-10（x-50）]=8000解得：x1=80，x2=60

当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．

当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．

例4.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x

则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320

整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0

解得：x1=-2（不符，舍去），x2=

答：所求的年利率是12．5%．

1=0.125=12.5% 8

第五篇：实际问题一元二次方程

22.3《实际问题与一元二次方程(2)》学案

课型：上课时间：课时：

学习目标：

能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.学习过程：

一、自主学习:

（一）复习巩固：

1、某商店销售一批服装，每价成本价100元，若想获得25%，这种服装的售价应为_______________元。

2、某商品原价a元，因需求量大，经营者将该商品提价10%，后因市场物价调整，又降价10%，降价后这种商品的价格是_______________。

（二）、归纳总结：

1、有关利率问题公式：利息=本金×利率×存期本息和=本金+利息

2、有关商品利润的关系式：（1）利润=售价－进价

（2）利润率= 利润售价进价（3）售价=进价（1+利润率）进价进价

（三）、自我尝试：

某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

（四）例题选讲

某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．

二、课堂检测：

1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．

A．12人B．18人C．9人D．10人

2．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．

3．一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28升，设每次倒出液体x升，•则列出的方程是________．

4．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?

5．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?

6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

三、布置作业

一、选择题

1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．

A．12人B．18人C．9人D．10人

2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（）．

A．12%B．15%C．30%D．50%

3．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（）．

A．600B．604C．595D．605

二、填空题

1．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．

2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．

3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，•则列出的方程是________．

三、综合提高题

1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200

万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?

2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?

3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个

车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、•周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．

（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a、b的代数式表示）

（2）若一名检验员1天能检验

4b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员? 5