任意角、弧度制、任意角的三角函数教学设计(贵州贵阳六中高文逊)

第一篇：任意角、弧度制、任意角的三角函数教学设计(贵州贵阳六中高文逊)

高三复习课《任意角、弧度制、任意角的三角函数》教学设计

贵阳六中

高文逊

一．教学内容解析：

这一节的内容主要有任意角的概念，包括正角、负角、零角，终边相同的角，象限角；弧度制，包括1弧度交的定义，角与弧长、半径的关系，角度与弧度的互换，扇形的面积公式；任意角的三角函数，这是这一节的重点，包括任意角的三角函数的定义，诱导公式一，角的三角函数在象限的符号，三角函数线等。

二.教学目标设置：

1． 知识目标：

（1）了解任意角的概念，掌握终边相同角的关系以及象限角的范围；（2）了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化，掌握扇形的弧长公式与面积公式；

（3）掌握任意角的三角函数的定义，会判断角的三角函数在象限的符号，理解三角函数线的定义，并能简单的运用等。

2． 能力目标：

（1）培养学生整理知识的能力；

（2）培养学生的分析能力、观察能力、理解能力。（3）培养学生的类比能力、探索能力。（4）培养学生运用运用数学思想思考问题的能力。

三．学生学情分析：

高三学生已经掌握了一定的知识，但知识网络不够完整；能解一些题，但解题方法还有所欠缺。

四．教学策略分析：

通过思维导图的形式，展现知识点之间的内在联系；通过对问题的剖析，结合数学思想（化归与转化、数形结合、分类讨论、函数与方程等）探讨如何解题。

五．教学过程： 1.知识的整理：

画一个直角三角形，引导学生回忆初中三角函数的定义，举出两个特殊的直角三角形（用途：记住特殊的三角函数值）。再从特殊到一般，让学生挖掘斜三角形的性质（学生课后整理）。然后类比到扇形，找出相似点，引出1弧度角的定义，弧长、半径与圆心角的关系，弧度与角度的互化。再把锐角推广的任意角，坐标角，引出象限角，半角的范围，角与角终边的关系。再类比直角三角形中角的三角函数的定义，推广任意角的三角函数的定义，利用角与角终边的关系，得到诱导公式。然后根据任意角的三角函数的定义，得到角的三角函数在象限的符号。再得到三角函数线的定义及应用。【设计意图】首先培养建立知识体系的能力。通过观察，类比，引导，从而使学生能更好地理解数学概念和方法，培养学生观察能力、分析能力、理解能力。这样使学生理清了知识的来龙去脉，掌握了知识点之间的内在联系，既突出了重点，又化解了难点。

2.如何分析问题

如何思考问题？可以从以下三个方面考虑：（1）有什么？可以下划线，做记号；（2）是什么？要展开联想，转化题意；

（3）如何？寻找条件与所求的联系，可以直接转化，也可以数形结合，分类讨论，借助于函数与方程等知识点找联系。

【设计意图】让学生形成基本解题方法，从而可以做到举一反三，避免题海战术，避免解题的盲目性。

3．例题讲评：

例1（1）．若为第二象限角，且cos2cos2，则角是【 】

2 A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 分析：为第二象限角，所以为一、三象限角，因为cos所以为二、三象限角，所以为第三象限角。选C

（2）．函数y1,3 A、sinxcosxtanxsinxcosxtanx22cos2，22的值域为【 】 C、1,3

1,3 D、B、1,3

分析：当x在第一象限时，y=1+1+1=3;当x在第二象限时，y=1-1-1=-1;当x在第三象限时，y=-1-1+1=-1;当x在第四象限时，y=-1-1+1=-1。选B 【设计意图】应用上面的方法，从有什么出发，探讨这个条件本质上要告诉我们的是什么，让学生展开联想，学会转化。然后通过数学思想，挖掘条件与所求的联系。培养学生分析问题、解决问题的能力。

4.课堂小结：（1）能力层面：

1）学会整理知识，要抓住知识与知识之间的联系，了解知识点的来龙去脉。2）要学会审题：

有什么：画横线，重点标记； 是什么：联想与转化； 如何：条件与所求的联系。

思考问题是学会从数学的思想来思考。（2）知识层面：

1）我们说的角不再是锐角、钝角等，它可以是任意角； 2）我们要习惯用弧度制，而淡化角度； 3）扇形中的弧长与面积要会算；

4）任意角的三角函数的定义以及三角函数值的符号的考察，一般会渗透在其他三角函数题中，不会单独命题，但是容易算错符号，要小心。

【设计意图】通过对所学知识进行归纳总结，可以使学生能从总体上把握这堂课的内容，并将所学知识纳入已有的认知结构。

5、教学反思设计

（1）与学生交流，反思自己的讲解有没有从根本上解决学生存在的问题，有没有提高学生的思维能力，教学是否达到了预期目标；（2）与同事交流，反思设计的依据、出发点，反思教学重心、基本教学过程，反思富有创意的素材或问题等。

（3）通过批改作业，反思知识的渗透是否到位，学生是否理解了问题的本质性的东西等。

（4）从参考资料、教学信息等方面反思。学习相关的数学教育理论，参考多方面的教学信息，可以丰富我的知识水平，开阔我的教学思路，使我理智的看待自己教学活动中“熟悉的”、“习惯性”的行为，能使我更大限度的做出有效的教学决策。

第二篇：《任意角和弧度制》教案

《任意角和弧度制》教案

篇一：人教A版高中数学必修四

1.1《任意角和弧度制》

1.1

《任意角和弧度制》教案

【教学目标】

1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写.3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】

复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系

提出问题：

1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的问题.3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？

4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？

5.角的范围是什么？如何分类的？

新授课阶段

一、角的定义与范围的扩大

1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角的终边、始边.说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．

2．角的分类：

正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角.说明：零角的始边和终边重合.3．象限角：

在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合，则

（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例如：30,390,330都是第一象限角；300,60是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90,180,2等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.因为

x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30k360

kZ的形式；反之，所有形如

30k360kZ的角都与30角的终边相同.从而得出一般规律：

所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360,kZ，即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.例1在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？

（1）120；（2）640；（3）95012.解：（1）120240360，所以，与120角终边相同的角是240，它是第三象限角；

（2）640280360，所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角；

（3）95012129483360，所以，95012角终边相同的角是12948角，它是第二象限角.例2

若k3601575,kZ，试判断角所在象限.解：∵k3601575(k5)360225,(k5)Z

∴与225终边相同，所以，在第三象限.例3

写出下列各边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素

写出来：（1）60；（2）21；（3）36314．

解：（1）S|60k360,kZ，S中适合360720的元素是

601360300,60036060,601360420.（2）S|21k360,kZ，S中适合360720的元素是

21036021,211360339,212260699

（3）S|36314k360,kZ

S中适合360720的元素是

36314236035646,3631413603***036314.例4

写出第一象限角的集合M．

分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；

（2）与0,90终边相同的角分别为0k360,90k360,(kZ)；

（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：

M|k36090k360,kZ．

学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：

P|90k360180k360,kZ；

N|90k360180k360,kZ；

Q|2k360360k360,kZ．

说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出yx(x0)所夹区域内的角的集合.解：当终边落在yx(x0)上时，角的集合为|45k360,kZ；

当终边落在yx(x0)上时，角的集合为|45k360,kZ；

所以，按逆时针方向旋转有集合：S|45k36045k360,kZ．

二、弧度制与弧长公式

1.角度制与弧度制的换算：

∵360=2（rad），∴180=

rad.∴

1=

180

rad0.01745rad.180

1rad57.305718.o

S

l

2．弧长公式：lr.由公式：

lnrlr.比公式l简单.r180

lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径.2

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积

3．扇形面积公式

S注意几点：

1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略，如：3表示3rad，sin表示rad角的正弦；

2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：

3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R

例6

把下列各角从度化为弧度：

(1)252；（2）1115；(3)

30；(4)6730.解：(1)

/

（2）0.0625

(3)

(4)

0.375

变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o.解：(1)

；（2）

18720；(3).63

例7

把下列各角从弧度化为度：

（1）；(2)

3.5；(3)

2；(4)

5.4

解：（1）108

o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o.变式练习：把下列各角从弧度化为度：

（1）

；（2）-；（3）.12310

解：（1）15

o；（2）-240o；（3）54o.例8

知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积.解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4.课堂小结

1．弧度制的定义；

2．弧度制与角度制的转换与区别；

3．.弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立

适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义

教学难点：“旋转”定义角

课标要求：了解任意角的概念

教学过程：

一、复习

师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。

生：略

师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书]

0S={β|β=α+k×360，k∈Z}

这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。

二、例题选讲

00例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360≤β720的元素β

写出来：

000，（1）60；

（2）-21；

（3）36314

0000解：（1）S={β|β=60+k×360，k∈Z}S中适合-360≤β720的元素是

00000000060+（-1）×360=-30060+0×360=6060+1×360=420.0000（2）S={β|β=-21+k×360，k∈Z}

S中适合-360≤β720的元素是

000

000

000

-21+0×360=-21

-21+1×360=339-21+2×360=699

0000说明：-21不是0到360的角，但仍可用上述方法来构成与-21角终边相同的角的集合。

0，000（3）S={β|β=36314+k×360，k∈Z}

S中适合-360≤β720的元素是

0，00，0，00，0，00，36314+（-2）×360=-3564636314+（-1）×360=31436314+0×360=36314

说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。

例2．写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上

分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个

0角即α，然后在后面加上k×360即可。

○○0解：（1）∵在0～360间，终边在x轴负半轴上的角为180，∴终边在x轴负半轴上

00的所有角构成的集合是{β|β=180+k×360，k∈Z

}

○○000（2）∵在0～360间，终边在y轴上的角有两个，即90和2，∴与90角终边相

00同的角构成的集合是S1={β|β=90+k×360，k∈Z

}

000同理，与2角终边相同的角构成的集合是S2={β|β=2+k×360，k∈Z

}

提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？

师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：

0000S1={β|β=90+k×360，k∈Z

}={β|β=90+2k×180，k∈Z

}（1）

00000S2={β|β=2+k×360，k∈Z

}={β|β=90+180+2k×180，k∈Z

}

00={β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z

}

（2）

0师：在（1）式等号右边后一项是180的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是

00180的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为180的所有整数倍，（1）式和（2）式

可统一写成90+n×180（n∈Z），故终边在y轴上的角的集合为

0000S=

S1∪S2

={β|β=90+2k×180，k∈Z

}∪{β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z

}

00={β|β=90+n×180，n∈Z

}

处理：师生讨论，教师板演。

提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？

00（思考后）答：{β|β=k×180，k∈Z

},{β|β=k×90，k∈Z

}

进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？

00答：{β|β=45+n×180，n∈Z

}

0推广：{β|β=α+k×180，k∈Z

}，β，α有何关系？（图形表示）

处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。

例1

若是第二象限角，则2，00，分别是第几象限的角？

师：是第二象限角，如何表示？

0000解：（1）∵是第二象限角，∴90+k×360180+k×360（k∈Z）

0000∴

180+k×7202360+k×720

∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。

．．．．．．．．

（2）∵k18045

2k18090(kZ)，处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3），再归纳出以下规律：

是第一象限的角；

当k2n1(nZ)时，n360225n3602(kZ)，是第三象限的22当k2n(nZ)时，n36045n36090(kZ)，角。

∴是第一或第三象限的角。

是第一或第二或第四象限的角）

3说明：配以图形加以说明。

（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（进一步求是第几象限的角（是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。

三、例题小结

1．要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；

2．要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如

0θ=a+k×120（k∈Z）所表示的角所在的象限。

四、课堂练习

练习2

若的终边在第一、三象限的角平分线上，则2的终边在y轴的非负半轴上.练习3

若的终边与60角的终边相同，试写出在（0，360）内，与000角的终边相同的3

角。

（20，140，260）

（备用题）练习4

如右图，写出阴影部分（包括边界）的角

0，的集合，并指出-95012是否是该集合中的角。

000

（{α|

120+k×360≤α≤250+k×360，k∈Z}；是）

0000

探究活动

经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？

五、作业

A组:

1．与

终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．

2．在0o~360o范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：

（1）－265

（2）－1000o

（3）－843o10’

（4）3900o

B组

3．写出终边在x轴上的角的集合。

4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360o≤β＜360o的元素写出来：

(1)60o

(2)－75o

(3)

－824o30’

(4)

475o

(5)

90o

(6)

2o

(7)

180o

(8)

0oC组：若

是第二象限角时，则，分别是第几象限的角？

篇三：1.1

任意角和弧度制

教学设计

教案

教学准备

1.教学目标

1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入正角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；

（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念.2、过程与方法

通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转2周”，角有正角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示.3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物.2.教学重点/难点

重点:

理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点:

终边相同的角的表示.3.教学用具

多媒体

4.标签

任意角

教学过程

【创设情境】

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应

当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】

1．初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？

[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体”

（即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题又该如何区分和表示这些角呢

[展示]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角,这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive

angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative

angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero

angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any

angle）,包括正角、负角和零角.为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant

angle).如教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第二象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.4.[展示投影]练习:

(1)(口答)锐角是第几象限角第一象限角一定是锐角吗再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三，那么天后的那一天是星期几

天前的那一天是星期几100天后的那一天是星期几

5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系请结合4.(2)口答加以分析.[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果

角的终边都是,而

.的终边是，那么

设,则角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同.一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角

与整数个周角的和.6.[展示投影]例题讲评

例1.在范围内，找出与角

象限角.（注：是指

例2.写出终边在轴上的角的集合.上的角的集合,并把中适合不等式终边相同的角，并判定它是第几）

例3.写出终边直线在的元素写出来.课堂小结

(1)

你知道角是如何推广的吗

(2)

象限角是如何定义的呢

(3)

你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗会写终边落在上的角的集合.课后习题

轴、轴、直线

板书

《》

第三篇：课时15 任意角和弧度制及任意角的三角函数

提升训练15 任意角和弧度制及任意角的三角函数

一、选择题

π1．若－＜α＜0，则点P(tan α，cos α)位于()． 2

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

2．若α＝m·360°＋θ，β＝n·360°－θ(m，n∈Z)，则α，β终边的位置关系是()．

A．重合B．关于原点对称

C．关于x轴对称D．关于y轴对称

sinαcosα223．若α是第三象限角，则y的值为()． ααsincos22

A．0B．2

C．－2D．2或－2

4．已知点P(sin

A.33,cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()． 44π3πB.44

5π7πC.D.44

5．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于()．

A．5B．2C．3D．4

6．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()． π2πA.B.C.32 33

π2πnπ*7．(2012上海高考)若Sn＝sinsinsinn∈N)，则在S1，S2，…，S100777

中，正数的个数是()．

A．16B．72C．86D．100

二、填空题

8．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第__________象限．

sin α1－cosα9．若角α的终边落在射线y＝－x(x≥0)上，＝__________.cos α1－sinα10．若β的终边所在直线经过点P(cos

＝__________.三、解答题

11．已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cos α＝

值．

12．已知扇形AOB的周长为8，(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.3x.求sin α，tan α的633,sin)，则sin β＝__________，tan β44

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第四篇：1.1 任意角和弧度制 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入正角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念.2、过程与方法

通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转2周”，角有正角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示.3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物.2.教学重点/难点

重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.3.教学用具

多媒体

4.标签

任意角

教学过程 【创设情境】

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应

当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】

1．初中时，我们已学习了

角的概念，它是如何定义的呢？

[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体”（即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角.为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第二象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.4.[展示投影]练习:(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三，那么天后的那一天是星期几? 天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几? 5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果角的终边都是,而

.的终边是，那么设,则角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同.一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.6.[展示投影]例题讲评

例1.在范围内，找出与角象限角.（注：是指例2.写出终边在轴上的角的集合.上的角的集合,并把

中适合不等式

终边相同的角，并判定它是第几）

例3.写出终边直线在的元素写出来.课堂小结

(1)你知道角是如何推广的吗?(2)象限角是如何定义的呢?(3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在上的角的集合.课后习题

轴、轴、直线

板书

第五篇：任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》教学设计

一、教学内容分析

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

二、学生情况分析

本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。

三、教学目标

知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。

方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。

情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

四、教学重、难点分析：

重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。

五、教学方法与策略：

教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.六、教具、教学媒体准备：

为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角三角函数与它的终边上点的坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维．

七、教学过程

（一）教学情景

1．复习锐角三角函数的定义

问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图（课件2）在直角△ABC中，∠B是直角，那么根据锐角三角函数的定义，锐角A的正弦、余弦和正切分别是什么？

设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义．

师生活动：教师提出问题，学生回答． 2．认识任意角三角函数的定义

问题2：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？

设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．

师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：

（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？ 以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．

（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？

进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论。

（3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角的三角函数呢？

（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3，如果角θ的终边不在第I象限又该怎么办？

问题3：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？

设计意图：引导学生在定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．

师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理．

问题4：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？ 设计意图：通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．

师生活动：学生求出定义域，教师进行整理． 例1：（题目在课件8中）

设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．

3．练习（在课件9中）

设计意图：通过应用三角函数的定义，加强对三角函数概念的理解． 4．小结

问题5：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了．你能再回顾一下任意角三角函数的定义吗？

设计意图：回顾和总结本节课的主要内容．

八、作业设计：

教科书P106习题1.2题．

设计意图：根据本节课所涉及到的三角函数定义应用的几个方面，从教科书中选择作业题．试图通过作业，让学生进一步理解三角函数的概念，并从中评价学生对三角函数概念理解的情况．

九、教学反思：

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。

2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。

3.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。