《一元二次方程根的分布》教学设计

第一篇：《一元二次方程根的分布》教学设计

《一元二次方程根的分布》教学设计

曹勇

一元二次方程是高中数学中极其重要的内容，这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着直接而密切的联系。讲解一元二次方程不能不涉及其根的分布。尽管在新教材中，并没有这部分的内容，根据我校学生的实际情况，我决定不仅要讲解这段内容，而且希望达到一定的深度，使学生对这段内容有一个较为全面透彻的理解。

一、对学生已有知识的估计

在初中时，一元二次方程就是数学中的重点和难点内容，学生已经知道了方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R)的求解方法。知道了判别式△=b2-4ac与方程是否存在实数根的关系，也掌握了一元二次方程根的分布最简单的情况，如判别式△和系数a,b,c满足什么条件时，方程有两个正根，两个负根，一正根一负根等。

二、一元二次方程的根的分布的教学设计

在第一课时主要是帮助学生回忆、复习初中所学的相关内容，并进行总结归纳，给出一般性的结论。同时，进行变化略作提高。今天第二课时的教学就是要在第一课时的基础上，进行引伸、提高。考虑到课堂的时间与所讲内容难度，我决定找一个能一题多用的例题，以便提高效率，为此，我先给出了如下一个例题。例题讲解：

例1． 求实数m的范围，使关于x的方程x+2(m-1)x+2m+6=0(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根，且都比1大；

(3)有两个实根α、β，且满足0<α<1<β<4;(4)至少有一个正根。

2选题分析：

第（1）题由学生思考并回答。灵活运用初中所学知识，可以解决此问题。设x1 x2是方程的两实根，则(x12)(x22)0即x1x22(x1x2)40。但此题又存在一种更具特色的解法。设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,则这是一条开口向上的抛物线，由题意，抛物线与直线x=2的交点在x轴的下方，于是f(2)<0。即22 +2(m-1)2+2m+6<0。第二种方法比起第一种方法，在思维上是一种飞跃，它是将抛物线的有关知识运用到一元二次方程上来，需要很好地掌握两方面的知识，学生初次接触这种方法，部分学生在理解上会产生一定的困难。作为教师要注意到这一点，事先有足够的准备，要作重点讲解。

第（2）、（3）、（4）题都是在第（1）题的基础上，难度逐个递增的小题，这三个小题仅用初中所学知识是不够的，必须把的相应问题转化为二次函数问题来解决。也即二次函数的图象与x轴的交点的位置的分布。学生在解决这类问题时，容易出现的错误是思考不周，少考虑了一些必须考虑的因素，特别有区间时，区间的端点常常成为盲点，从而使得到的条件组的条件不足。这是教学时特别要注意的。

关于教学方法，我认为用师生共同讨论的方法较好。如第（3）题，在令f(x)=x2+2(m-1)x+2x+6之后，让学生想想，图该怎样画？由这张图，你能得到怎样的条件组？与已知条件等价吗？这三个小题都有一定的难度，尤其是第4小题，更加困难一些，因此一个学生的回答可能会有缺陷，需要有其他学生补充、纠正，必要时教师应适时引导。

例题2 在下列条件下，分别求出m的取值范围

（1）方程x2-mx+4=0在[-1，1 ]有解：

（2）函数f(x)=x2-3x+4-m的图象与横轴 x在[-1，1 ]上有交点。设计例题2，是希望能让学生见识一下其它情形的一元二次方程的根的分布，拓展视野；同时也体会一下分类讨论思想在这类问题中是如何运用的；例题2也是在例题1的基础上的再提高。这个例题的主要解答过程也是由学生回答。

三、教学后的反思

这节课按照设想完成了。效果如何呢？我布置了如下的几道作业题：

1.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围。

2.已知关于x的方程kx2+2kx+k-2=0有两个实根，其中一根在(0，1)之间，另一根在(-1，0)之间，求实数k的取值范围。

3.关于x的方程2x2-3x-3+2m=0的两根均在[-1，1]之间，求m的范围。

4.集合A={（x,y）|y＝x2+mx+2},B={(x,y)|x-y+1=0且0≤x≤2}，若A∩B≠Ф，求实数m的取值范围。

题1和题2和例1中第（1）、（3）题相似，差不多都做对了。第3题与两道例题略有差别，约三分之二的学生做对。第4题需要一定的灵活性才能解决，约三分之一的学生做对。从整个情况看，作业做得不错，基本上实现了教学目的。我认为，在生源比较好的学校，按照上述要求上课，学生是能够接受的。

我了解我的学生，我相信他们的实力。在整个一节课上，基本上是学生讲为主，我讲为辅。像例2这样较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，作为教师可能比较辛苦。一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论。我想，如果以后再讲到这一段，这节课会有很大的参考价值。

第二篇：一元二次方程根的分布教案

一元二次方程根的分布

【学习目标】

1.能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

2.体会高中数学中“函数与方程”的思想方法，“数形结合”的思想。

3.进一步理解函数与方程的关系，让学生学会借助图像辅助分析。

【学习重点】

一元二次方程根的分布。数形结合法。

【学习难点】

数型结合思想，根的分布的复杂变形。

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

【典型例题】

例1.m为何实数值时，关于x的方程x2mx(3m)0

（1）有实根（2）有两正根（3）一正一负

变式题：m为何实数值时，关于x的方程x2mx(3m)0有两个大于1的根.例2.若8x4+8(a－2)x2－a+5>0对于任意实数x均成立，求实数a的取值范围.例3.关于x的方程ax2x10至少有一个负根,求实数m的取值范围。

课堂小练习：

【布置作业】

第三篇：一元二次方程根的判别式教学设计

《一元二次方程的根的判别式》教学设计

涧口乡初级中学

吉小芳

〖教学目标〗

知识与技能：了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。

过程与方法：经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。

情感态度与价值观：通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严谨的治学态度。

〖重点难点〗

本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。

〖教学准备〗

教具准备：多媒体课件。

学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。

〖教学流程〗

一、创设情境，提出问题

1、你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？

2、能力展示：分组比赛用公式法解方程（1）x2+4=4x ；（2）x2+2x=3 ；（3）x2-x+2=0。

（待学生做完后，教师点评)（1）x1= x2 = 2 ；（2）x1 = 1，x2 =-3 ；（3）无实数根。

3、发现问题

观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？(1)方程根的情况？（2）与b2-4ac的值，有什么关系？

4、提出问题

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？方程的根的情况是由什么决定的？

二、探究新知

1、一元二次方程的根的判别式 活动1 学生自学，初步感悟

请学生带着上面的问题，自学第31页课文至倒数第四行，并注意分类讨论的思想方法的使用。

教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备。活动2 合作交流，深入探究

请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由。

活动3 师生合作，归纳提升（屏幕显示）：

由上面的讨论可见，一元二次方 程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定。因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。通常用符号“Δ”（希腊字母）来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac。在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。（书写标题）

2、一元二次方程的根的判别方法

思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？ 学生思考，师生共同得出：

定理 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ＞0时，有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，没有实数根。

这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况。活动4 应用迁移，发展能力

例题1 不解方程，判别下列方程根的情况：（1）5x2-3x=2（2）25y2+4=20y（3）2x2+3x+2=0 本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第（1）小题的解法，教师板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式。

解（1）原方程可变形为 5x2-3x-2=0，因为Δ＝（-3）2-4×5×（-2）＞0，所以，原方程有两个不相等的实数根。

请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的一般步骤：

一化（将一元二次方程化为一般形式）； 二算（确定a、b、c的值，算出Δ的值）； 三判断（根据定理判别方程根的情况）。（2）、（3）小题由学生完成。练习反馈：课本第32页练习1。

3、逆定理

活动5 逆向思考，拓展延伸

上面的定理中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？（屏幕显示定理）

学生思考、交流并回答，教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：

逆定理 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0； 当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0； 当方程没有实数根时，Δ＜0。

例题2 已知关于x的方程x2－3x + k = 0，问k取何值时，这

个方程有两个相等的实数根? 学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，然后请同学说出自己的想法。

解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ= 0，即(－3)2－4k = 0, 解得k= ∴ k= 9494

时，方程有两个相等的实数根。

变式：已知关于x的方程x2－3x + k = 0，问k取何值时，这个方程有两个实数根? 学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路。

解：∵方程有两个实数根，∴Δ≥0，即(－3)2－4k ≥ 0, 解得k ≤

三、当堂检测

1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判别式的值为______ ,所以方程根的情况是_______________.2.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等，则a的值是（）A.a=0 B.a =2或a =-2 C.a =2 D.a =2或a =0 3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）

A.m ﹥0 B.m ≥ 0 C.m ﹥ 0 且m≠1 D.m≥0且m≠1

94方程有两个相等的实数根。

四、小结与评价

1、通过本节课的学习，你有哪些收获？ 本节课的主要内容：

（1）、一元二次方程根的判别式的意义；

（2）、由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况的定理和逆定理

2、本节课你对自己的表现满意吗？对同学呢？能给老师一个评价吗？

五、作业设计 课本第33页习题18.3 必做题：第1,3题； 选做题：第2,4,5题.板书设计：

一元二次方程根的判别式

1、定义

例题解（1）

学生板演处

2、定理逆定理

3、一化二算三判断

第四篇：一元二次方程教学设计

《一元二次方程》教学设计

一、内容和内容解析

（一）内容

一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式．

（二）内容解析

一元二次方程是解决诸多实际问题的需要，是二次函数的基础．

针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念.一般形式ax2+bx+c=0也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足 “二次”的要求．

二、目标和目标解析

（一）教学目标

1．体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的概念；

2．了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式．

（二）目标解析

1．学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性；

2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件．

三、教学问题诊断分析

一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在初一学习了一元一次方程，接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，初二分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元二次方程第一次实现 “次”的提升．学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方程是二次的呢？教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问，才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念．

培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的．

本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上，在概念的理解上要下功夫． 本课的教学难点是一元二次方程的概念．

四、教学过程设计

（一）创设情境，引入新知

教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答： 问题1．这个方程属于我们学过的某一类方程吗？

师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名．

【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．

问题2．这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢？你能再想出一个例子吗？

师生活动:学生思考二次项产生的原因，从熟悉的实际背景中，很有可能从矩形的面积出发，设计情境．

【设计意图】让学生从“接受式”的学习方式中走出来，走向对一元二次方程产生的根源的探求，在编制情境的过程中，他们将加深对一元二次方程概念的理解．部分学生能够独立解决问题，自己编制情境并列出方程，部分学生可以根据同学给出的情境去列方程，或者阅读课本上的实际问题．

（二）拓宽情境，概括概念 给出课本问题

1、问题2的两个实际问题，设未知数，建立方程．

问题1 如图21．1-1，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应邀请多少个队参赛？

教师引导学生思考并回答以下几个问题： 全部比赛共有______场

若设应邀请个队参赛，则每个队要与其他____个队各赛一场，全部比赛共有___ 场． 由此，我们可以列出方程______________，化简得________________． 问题3． 这些方程是几元几次方程？

师生活动:学生将实际问题中的语言转化成数学的符号语言，体会运算关系，寻找等量关系，学习建模．将列得的方程化简整理，判断出方程的次数．

【设计意图】在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次项产生的根源将更加明晰，加深对一元二次方程的理解．让学生回答方程的元与次，一是让他们体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点；二是让他们明确教学的主线，从被动学习走向主动学习．

问题4． 这些方程是什么方程？

师生活动:观察本课得出的一些方程，思考它们的共性，同学们尝试给出一元二次方程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式．

1．一元二次方程的概念：

等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式是．其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

【设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升．

（三）辨析应用，加深理解

问题5． 请你说出一个一元二次方程，和一个不是一元二次方程的方程．

师生活动:可以由学生举手回答，也可以随机选择学生回答，调动学生广泛的参与．追问学生所举的反例为什么不是一元二次方程？是什么方程？

【设计意图】学生自己举例，应用概念，从正反两个方向强化了对概念的理解，在追问的过程中，帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的知识体系，开发学生认识的资源，激发学生从不同角度、不同形式去深入理解同一概念，让不同的学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学分层指导的效果．

问题6． 下列方程哪些是一元二次方程? 例1．下列方程哪些是一元二次方程?（1）（2）； ；（3）（4）（5）（6）；

； ； ．

答案（2）（5）（6）．

师生活动:用概念指导辨析，方程（3）与（4）同学们可能会产生争议，（3）帮助学生明确一元二次方程是整式方程，（4）体会化为一般形式的必要性，对a≠0条件加深认识．

【设计意图】补足学生所举正反例的缺漏，追问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗？帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识．

问题7．指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数．

例2． 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：

（1）师生活动:（1）将方程，其中二次项是；（2）

去括号得：，二次项系数是3；一次项是，过程略．，在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件，时此方程为一元一次方程．，移项，合并同类项得：，一次项系数是，常数项是．教师应及时分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．（2）一元二次方程的一般形式是例3．关于x的方程下此方程为一元一次方程？

答案：时此方程为一元二次方程；【设计意图】在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆．

（四）巩固概念，学以致用 教科书第4页： 练习【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程概念的掌握情况．

（五）归纳小结，反思提高

请学生总结今天这节课所学内容，通过对比之前所学其它方程，谈对一元二次方程概念的认识，反思学习过程中的典型错误．

（六）布置作业：教科书习题21．1 复习巩固：第1，2，3题．

五、目标检测设计

1．下列方程哪些是关于x的一元二次方程（1）；（2）

；（3）

；（4）

．

【设计意图】考查对一元二次方程概念的理解． 2．关于的方程A． B．

C．的条件． 【设计意图】考查

是一元二次方程，则（）．

D．

3．将关于的一元二次方程化为一般形式，并指出二次项系数． 【设计意图】考查化简方程的能力，及对一元二次方程一般式的掌握情况．

第五篇：一元二次方程教学设计

一元二次方程教学设计

海门市海南中学 顾 健

学习目标：

1.类比一元一次方程，自主探究一元二次方程的定义.2.知道一元二次方程的一般形式和方程的解，会解简单方程.3.经历观察、思考、讨论等探究过程，发展自主学习的能力，感悟“从特殊到一般”“转化”“类比”等数学思想方法，积累数学活动经验.4.通过合作、交流，进一步学会互助、共享，并与同伴得到共同提高.教学重难点：一元二次方程的定义和一般式，会解简单方程.教学过程：

一、在复习回顾中，引导学生类比一元一次方程自主探究一元二次方程定义 1.自主回顾

已知矩形的长比宽大1厘米

问题（1）若矩形的周长是6厘米，求宽。你会求解吗？你准备怎么做？

问题（2）若矩形的面积是6平方厘米，求宽。你会求解吗？你准备怎么做？ 2.类比归纳

问题（1）中的等式你学过吗？是什么方程？你是怎么知道的？（化简整理）你能回忆一元一次方程的定义吗？（学生补充）你知道一元一次方程的一般式吗？ 追问：a为什么不等于0？b呢？ 还学习了一元一次方程的哪些内容？

问题（2）中的等式你认识吗？你是怎么知道的？（一个未知数、最高次是

2、整式方程）你能归纳一元二次方程的定义吗？ 3.你能举出一些一元二次方程的例子吗？（转化后介绍项、系数、常数）4.你能归纳一元二次方程的一般式吗？

追问：a为什么不等于0？b呢？C呢？（正确寻找a、b、c）

二、在合作交流中，引导学生分享方法，归纳方程解法 1.什么是方程的解？（能使等号两边相等的未知数的值）

什么是一元二次方程的解？

2.如何解一元一次方程？（形成x=a）它的解有几个？

3.猜想：如何解一元二次方程？尝试解黑板上的一元二次方程。（先独立完成2分钟，再在小组内交流）4.展示方法，你的依据是什么？

5.归纳方法，比较一元二次方程的解与一元一次方程的区别与联系。（降次思想、转化思想）

三、共同反思，小结提升

1.你是如何理解一元二次方程的定义的？ 2.你对一元二次方程中的a、b、c有怎样的认识？

3.一元二次方程的解有怎样的特点？今天你学会了哪些方法解一元二次方程？ 4.通过今天对一元二次方程的学习，你积累了哪些重要的学习方法和经验？