高等数学电子教案12[5篇范例]

第一篇：高等数学电子教案12

高等数学教案第十二章无穷级数

第十二章

无穷级数

教学目的：

1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。

2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。

4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。

5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。

6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。

7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数的一致收敛性概念，了解函数项级数和函数的性质。

8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

9、会利用幂级数的性质求和

10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。

12、理解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。

13、掌握将定义在区间(－π，π)上的函数展开为傅里叶级数的方法。

14、会将定义在区间[0，π]上的函数展开为正弦或余弦级数。

15、会将定义在区间(－l，l)上的函数展开为傅里叶级数。教学重点：

1、级数收敛的定义及条件

2、判定正项级数的收敛与发散

3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；

4、泰勒级数

5、函数展开成傅立叶级数。教学难点：

1、级数收敛的定义及条件

2、判定正项级数的收敛与发散

3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；

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4、泰勒级数；

5、函数展开成傅立叶级数

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§12 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项无穷级数 一般地，给定一个数列

u1 u2 u3    un   

则由这数列构成的表达式

u1  u2  u3     un    

叫做（常数项)无穷级数 简称（常数项)级数 记为un 即

n1

unu1u2u3    un    

n1其中第n项u n 叫做级数的一般项



级数的部分和 作级数un的前n项和

n1n

snuiu1u2u3    un

i1称为级数un的部分和

n1级数敛散性定义 如果级数un的部分和数列{sn}有极限s

n1即

limsns

n则称无穷级数un收敛 这时极限s叫做这级数的和

n1并写成



sunu1u2u3    un    

n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

如果{sn}没有极限 则称无穷级数un发散

n1n1n

1余项 当级数un收敛时 其部分和s n是级数un的和s的近似值 它们之间的差值

rnssnun1un2   

叫做级数un的余项

n1

例1 讨论等比级数(几何级数)

aqnaaqaq2    aqn   

n0的敛散性 其中a0 q叫做级数的公比

解：如果q1 则部分和

snaaqaq    aq2n1aaqnaqna

1q1q1qaa

当|q|1时 因为limsn 所以此时级数aqn收敛 其和为

1q1qnn0

当|q|>1时 因为limsn 所以此时级数aqn发散

nn0

如果|q|1 则当q1时 sn na 因此级数aqn发散

n0

当q1时 级数aqn成为

n0

aaaa   

时|q|1时 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零

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所以sn的极限不存在 从而这时级数aqn也发散

n0a

综上所述 如果|q|1 则级数aq收敛 其和为 如果|q|1 则级数aqn发散

1qn0n0n

仅当|q|1时 几何级数aqna0)收敛 其和为n0a

1q

例2 证明级数

135  （2n-1）   是发散的

证此级数的前n项部分和为

n(21n)n

sn135    ( 

显然 limsn 因此所给级数是发散的

n

例3 判别无穷级数

1111       

122334n(n1)的收敛性

解由于

un因此

sn1111     122334n(n1)111

n(n1)nn1

(1)()    (从而

limsnlim(1nn1212131n11)1n1n11)1

n1所以这级数收敛 它的和是1

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提示 un 111

n(n1)nn1

二、收敛级数的基本性质

n1n

1性质1 如果级数un收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kun也收敛

且其和为ks

证明：设un与kun的部分和分别为sn与n 则

n1n1

limnlim(ku1ku2    kun)klim(u1u2    un)klimsnks

nnnn这表明级数kun收敛 且和为ks

n1表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。

性质2 如果级数un、vn分别收敛于和s、 则级数(unvn)也收敛 且其和为s

n1n1n1

证明：如果un、vn、(unvn)的部分和分别为sn、n、n 则

n1n1n1

limnlim[(u1v1)(u2v2)    (unvn)]

nn

lim[(u1u2    un)(v1v2    vn)]

n

lim(snn)s

n表明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。

性质3在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性

比如 级数1111        是收敛的

122334n(n1)青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

加一项后级数9895112123134    1n(n1)    也是收敛的

减一项后级数111        也是收敛的

3445n(n1)

性质4 如果级数un收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不变

n1注意 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛

例如 级数

（11)+（11)+  收敛于零 但级数1111  却是发散的

推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散

级数收敛的必要条件



性质5 如果un收敛 则它的一般项un 趋于零 即limun0

n1n0

证：设级数un的部分和为sn 且limsns 则

n1n

limunlim(snsn1)limsnlimsn1ss0

n0nnn

注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件

例如

调和级数

11111       

23nn1n1n尽管它的一般项limn0，但它是发散的

因为

假若级数1收敛且其和为s sn是它的部分和

nn1显然有limsns及lims2ns 于是lim(s2nsn)0

nnn

但另一方面

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s2nsn1n1111111        

n22n2n2n2n2故lim(s2nsn)0 矛盾 这矛盾说明级数1必定发散

nn1n§12 2 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数，称为正项级数。正项级数是一类非常重要的级数，关于正项级数有列重要结论：

定理1 正项级数un收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界

n1证

设级数

u1 u2     un    

是一个正项级数。其部分和为sn

显然sn是一个单调增加数列，若部分和数列sn有界 则根据单调有界数列必有极限的准则，可知级数un收敛；反之 若级数un收敛，则部分和数列sn有极限，根据有极限的数列是有界数列的性质可知{sn}有界

n1n1n1定理2(比较审敛法)设un和vn都是正项级数 且unvn(n1 2   ) 若级数vn收n1n1n1敛 则级数un收敛 反之 若级数un发散 则级数vn发散

证

设级数vn收敛于和 则级数un的部分和

n1n1

snu1u2    unv1 v2    vn(n1, 2,   )

即部分和数列{sn}有界 由定理1知级数un收敛

n1n1n反之 设级数un发散 则级数vn必发散

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n1n1因为若级数vn收敛 由上已证明的结论 将有级数un也收敛 与假设矛盾

n1n1n1

推论

设un和vn都是正项级数 如果级数vn收敛 且存在自然数N 使当nN时有n1n1unkvn(k0)成立 则级数un收敛 如果级数vn发散 且当nN时有unkvn(k0)成立

则级数un发散

n1

例1 讨论p级数



n1111111       

np2p3p4pnp的收敛性 其中常数p0

111解设p1 这时p 而调和级数发散 由比较审敛法知

nnn1n当p1时级数n11发散

设p1 此时有

nn111111dxdx[p1](n2, 3,   )

pppp1n1nn1xp1(n1)nn对于级数[n211p1] 其部分和 p1(n1)n1][p112p1]    [p111np111]1

p1p1(n1)(n1)

sn[123因为limsnlim[1nn1]1

(n1)p1111所以级数[收敛 从而根据比较审敛法的推论1可知 级数当]pp1p1nn2(n1)n1n青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第十二章无穷级数

p1时收敛

综上所述 p级数1p当p1时收敛 当p1时发散

n1n提示 级数[n211]的部分和为

(n1)p1np112p1

sn[112p1][13p1]    [1np111

]1p1(n1)(n1)p1因为limsnlim[1nn1]1

(n1)p1所以级数[n211]收敛

(n1)p1np1

p级数的收敛性

p级数n11当p1时收敛 当p1时发散

pn

例2 证明级数n11n(n1)是发散的

证因为1n(n1)1(n1)21

n1而级数n11111        是发散的

n123n1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的

定理3(比较审敛法的极限形式)n1n1

设un和vn都是正项级数

(1)如果limnunvnn1n1l(0l) 且级数vn收敛 则级数un收敛

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(2)如果limnunvnl0或limnunvnn1n1 且级数vn发散 则级数un发散

证明由极限的定义可知 对1l 存在自然数N 当nN时 有不等式 lu1113lnll

即lvnunlvn

222vn2再根据比较审敛法的推论1 即得所要证的结论



例3 判别级数tann11n的收敛性

tan1

解因为 limnn1 而级数1发散

1n1nn根据比较审敛法的极限形式 级数tann11n发散

例4 判别级数n11(2n1)(2n1)的收敛性

11(2n1)(2n1)1 而级数2收敛

解因为 limn14n1n2n根据比较审敛法的极限形式 级数n11(2n1)(2n1)收敛

定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)

若正项级数un的后项与前项之比值的极限等于

n1

limnun1un

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则

当1时级数收敛

当1(或limnun1un)时级数发散

当 1时级数可能收敛也可能发散

例5 证明级数1是收敛的

解因为 limn1111        112123123   (n1)un1un limn123   (n1)123    n limn101

n根据比值审敛法可知所给级数收敛

例6 判别级数112123n!2        的收敛性

3n10101010

解因为 limnun1un(n1)!10nn1 lim lim

n1n!n10n10根据比值审敛法可知所给级数发散



例7 判别级数n112n(2n1)的收敛性

解 limnun1un limn2n(2n1)(2n1)(2n2)1

这时1 比值审敛法失效 必须用其它方法来判别级数的收敛性

因为

定理5(根值审敛法 柯西判别法)1(2n1)2n1n2 而级数n11收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛

2设un是正项级数 如果它的一般项un的n次根的极限等于

n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

limnnun

n则当1时级数收敛 当1(或limnun)时级数发散

当1时级数可能收敛也可能发散

例8 证明级数11213    1n    是收敛的

23n并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差

解因为 limnnun limnn11 lim0

nnnn所以根据根值审敛法可知所给级数收敛

以这级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差为

|rn|



111   

(n1)n1(n2)n2(n3)n3111    

n1n2n3(n1)(n1)(n1)1

nn(n1)

例9 判定级数n12(1)n2n的收敛性

解因为 limnnunlim1n12(1)n

2n2所以 根据根值审敛法知所给级数收敛

定理6(极限审敛法)

设un为正项级数

n1

(1)如果limnunl0(或limnun) 则级数un发散

nnn1

(2)如果p1 而limnpunl(0l) 则级数un收敛

nn1

例7 判定级数ln(1n11)的收敛性

n2青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

解因为ln(112)~12(n) 故

limn2unlimn2ln(112)limn2121

nnnnn根据极限审敛法 知所给级数收敛

例8 判定级数n1(1cos)的收敛性

n1n

解因为 limn3n2unlimn3n2n1(1cosn)limn2nn11212()

n2n2根据极限审敛法 知所给级数收敛

二、交错级数及其审敛法

交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的



交错级数的一般形式为 (1)n1n1nun 或(1)un 其中un0

n1

例如 (1)n1n111cosn 不是交错级数

是交错级数 但(1)n1nnn1

定理7（莱布尼茨定理）

如果交错级数(1)n1un满足条件

n1

(1)unun1(n1 2 3   )

(2)limun0

n则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1

证明 设前2n项部分和为s2n

由s2n(u1u2)(u3u4)    (u2n 1u2n)

及

s2nu1(u2u3)(u4u5)    (u2n2u2n1)u2n

看出数列{s2n}单调增加且有界(s2nu1) 所以收敛

设s2ns(n) 则也有s2n1s2nu2n1s(n) 所以sns(n) 从而级数是收敛的 且snu1

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因为 |rn|un1un2  也是收敛的交错级数 所以|rn|un1

例9 证明级数(1)n11 收敛 并估计和及余项

n1n

证

这是一个交错级数 因为此级数满足

(1)un11un1(n1, 2,  )

(2)limunlim10

nn1nnn由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和su11 余项|rn|un1

1三、绝对收敛与条件收敛

n1n1n1

绝对收敛与条件收敛 若级数|un|收敛 则称级数un绝对收敛

n1n1n1若级数un收敛 而级数|un|发散 则称级un条件收敛

例如级数(1)n1n11n11是绝对收敛的 而级数是条件收敛的

(1)nn2n1n1n1定理8 如果级数un绝对收敛 则级数un必定收敛

证明略

n1n

1注意 如果级数|un|发散 我们不能断定级数un也发散



但是 如果我们用比值法或根值法判定级数|un|发散

n1则我们可以断定级数un必定发散

n1这是因为 此时|un|不趋向于零 从而un也不趋向于零 因此级数un也是发散的

n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数



例11 判别级数n1sinnan1n44的收敛性

解因为|sinnan4| 而级数n11n4是收敛的

所以级数|n1sinnan4|也收敛 从而级数n1sinnan4绝对收敛

2例12 判别级数(1)n1n(11)n的收敛性

n12n

解 由|un|11n2n|u|1lim(11)n1e1

 有(1)limnn2nn2n2n可知limun0 因此级数(1)nnn111n2(1)发散

n2n

§ 12 3 幂级数

一、函数项级数的概念

函数项级数 给定一个定义在区间I 上的函数列：

u1(x)，u2(x)，u3(x)，     un(x)    由这函数列构成的表达式

u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)   

称为定义在区间I上的(函数项)级数

记为un(x)

n1

对于区间I内的一定点x0 若常数项级数un(x0)收敛 则称

n1点x0是级数un(x)的收敛点

若常数项级数un(x0)发散 则称

n1n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

点x0是级数un(x)的发散点。

n1函数项级数un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域

n1

所有发散点的全体称为它的发散域

在收敛域上 函数项级数un(x)的和是x的函数s(x)

n1s(x)称为函数项级数un(x)的和函数 并写成s(x)un(x)

n1n1

∑un(x)是un(x)的简便记法 以下不再重述

n1

在收敛域上 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x)

s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数 并写成s(x)∑un(x)

这函数的定义就是级数的收敛域。

函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x) 即

sn(x) u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)

在收敛域上有limsn(x)s(x)或sn(x)s(x)(n)

n

函数项级数un(x)的和函数s(x)与部分和sn(x)的差

rn(x)s(x)sn(x)n1叫做函数项级数un(x)的余项

n1

函数项级数∑un(x)的余项记为rn(x) 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn(x)s(x)sn(x)

在收敛域上有limrn(x)0

n

二、幂级数及其收敛性

幂级数

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数

这种形式的级数称为幂级数 它的形式是

a0a1xa2x    anx    

其中常数a0 a1 a2     an    叫做幂级数的系数

例如一下级数

1xx2x3    xn     

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2n高等数学教案第十二章无穷级数

1x121x    xn    

2!n!2

注 幂级数的一般形式是

a0a1(xx0)a2(xx0)    an(xx0)    

经变换txx0就得a0a1ta2t2    antn    

幂级数

1xx2x3    xn    

可以看成是公比为x的几何级数 当|x|1时它是收敛的 当|x|1时 它是发散的

因此它的收敛域为(1 1) 在收敛域内有

11xx2x3    xn    

1x由此例可得：

定理1(阿贝尔定理)如果级数anxn当xx0(x00)时收敛 则适合不等式

n0|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数anxn当xx0时发散

n0则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散

证

先设x0是幂级数anx的收敛点 即级数anxn收敛 根据级数收敛的必要条件

n0n0n有limanx00 于是存在一个常数M 使 nn| anx0n |M(n0, 1, 2,   )

这样级数n0anxn的的一般项的绝对值

xnxxnn||anx0|||nM||n

x0x0x0|anxnn||anx0xn因为当|x||x0|时 等比级数M||收敛 所以级数|anxn|收敛

x0n0n0也就是级数n0anxn绝对收敛

定理的第二部分可用反证法证明 倘若幂级数当xx0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

数收敛 则根据本定理的第一部分 级数当xx0时应收敛 这与所设矛盾 定理得证

推论

如果级数anxn不是仅在点x0一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个n0完全确定的正数R存在 使得

当|x|R时 幂级数绝对收敛

当|x|R时 幂级数发散

当xR与xR时 幂级数可能收敛也可能发散

收敛半径与收敛区间 正数R通常叫做幂级数数n0anxn的收敛半径 开区间(R R)叫做幂级

n0anxn的收敛区间 再由幂级数在xR处的收敛性就可以决定它的收敛域 幂级数n0anxn的收敛域是(R, R)(或[R, R)、(R, R]、[R, R]之一

n

规定 若幂级数anx只在x0收敛 则规定收敛半径R0  若幂级数anxn对一切x都n0n0收敛 则规定收敛半径R 这时收敛域为(, )

关于幂级数的收敛半径求法，有下列定理：

定理2 如果lim|nan1an| 其中an、an1是幂级数anxn的相邻两项的系数

n0则这幂级数的收敛半径

  01 0

R0 

简要证明 lim|nan1xn1anxn|lim|nan1an||x| |x|

(1)如果0 则只当|x|1时幂级数收敛 故R

(2)如果0 则幂级数总是收敛的 故R

1

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(3)如果 则只当x0时幂级数收敛 故R0

例1 求幂级数(1)n1n1xn的收敛半径与收敛域

n1a

解

因为 lim|n1| limn11

nan1nn所以收敛半径为R11



当x1时 幂级数成为(1)n1n11 是收敛的

1当x1时 幂级数成为() 是发散的 因此 收敛域为(1, 1]

nn1

例2 求幂级数1x1nx n!n012131的收敛域

xx    xn    2!3!n!

1a(n1)!n! lim0

解

因为 lim|n1|  limnann(n1)!1nn!所以收敛半径为R 从而收敛域为(, )

例3 求幂级数n!xn的收敛半径

n0

解因为

 lim|nan1an|  lim(n1)!n!n

所以收敛半径为R0 即级数仅在x0处收敛

例4 求幂级数(2n)!2n0(n!)x2n的收敛半径

解级数缺少奇次幂的项 定理2不能应用 可根据比值审敛法来求收敛半径

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幂级数的一般项记为un(x)(2n)!(n!)2x2n

因为 lim|nun1(x)un(x)| 4|x|2

当4|x|1即|x|21112时级数收敛 当4|x|1即|x|时级数发散 所以收敛半径为R 222[2(n1)]![(n1)!](2n)!(n!)22提示

un1(x)un(x)x2(n1)(2n2)(2n1)(n1)2x2

x2n

例5 求幂级数(x1)n2nn的收敛域

n1tn

解令tx1 上述级数变为n

n12n

因为  lim|nan1an2nn1| n1

2(n1)2所以收敛半径R2

(1)1

当t2时 级数成为 此级数发散 当t2时 级数成为 此级数收敛

nnn1n1因此级数tn的收敛域为2t2 因为2x12 即1x3

nn12n所以原级数的收敛域为[1, 3)

三、幂级数的运算

设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛 则在(R, R)与(R, R)中较小的区间内有

加法 ∑anx∑bnx ∑(anbn)x 

减法 ∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn 

乘法(anx)(bnxn)a0b0(a0b1a1b0)x(a0b2a1b1a2b0)x2   

nn0n0nn

n(a0bna1bn1    anb0)x   

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 n高等数学教案第十二章无穷级数

 除法：n0n0anxxnnnbcn0nx nnnx与cnx相乘，然后比较

n0n

这里假定b00。为了决定系数cn，可以将

bn0与anxn的同次幂项系数得出。

n0关于幂级数，有以下的重要性质

性质1 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续

n0

如果幂级数在xR(或xR)也收敛 则和函数s(x)在(R, R](或[R, R))连续

性质2 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积 并且有逐项积分公式

n0

0xs(x)dx(anx)dx0n0xnn00xanxdxnn0n1anxn1(xI)

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

性质3 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式

n0

s(x)(anx)n0nn0(anx)nanxn1(|x|R)

n1n逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

例6 求幂级数1xn的和函数

n0n1

解求得幂级数的收敛域为[1 1)

设和函数为s(x) 即s(x)

在xs(x)1xn x[1 1) 显然s(0)1

n0n11n1x的两边求导得 n1n0

[xs(x)]n0(11xn1)xn

n11xn0对上式从0到x积分 得

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xs(x)1dxln1(x)

01xx1ln(1x)0|x|11于是 当x 0时 有s(x)ln(1x) 从而s(x)x

x 1 x0x11n

1因为xs(x)x[xn1]dx

0n0n1n0n1

x0n0xndx1dxln1(x)

01xx所以 当x0时 有s(x)1ln(1x)

x1ln(1x)0|x|1从而 s(x)x

 1 x0提示 应用公式F(x)dxF(x)F(0) 即F(x)F(0)F(x)dx

0011xx2x3    xn     1xxx

例7 求级数(1)nn1的和

n0

解

考虑幂级数1xn 此级数在[1, 1)上收敛 设其和

n0n1函数为s(x) 则s(1)(1)nn1

n0(1)11ln

在例6中已得到xs(x)ln(1x) 于是s(1)ln2 s(1)ln 即22n0n1n

§12 4 函数展开成幂级数

一、泰勒级数

问题 给定函数f(x) 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数” 就是说 是否能找到这样一个幂级数 它在某区间内收敛 且其和恰好就是给定的函数f(x)

如果能找到这样青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数的幂级数 我们就说 函数f(x)在该区间内能展开成幂级数 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x)

以前学过泰勒多项式 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数 则在该邻域内f(x)近似等于

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

f(n1)f(x0)2!(xx0)2   

f(n)(x0)n!(xx0)nRn(x)

其中Rn(x)()(n1)!(xx0)n1(介于x与x0之间)

泰勒级数 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x) f(x)    

f(n)(x)     则当n时 f(x)在点x0的泰勒多项式

pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)成为幂级数

f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)2f(x0)2!(xx0)    2f(n)(x0)n!(xx0)n

f(x0)3!(xx0)    3f(n)(x0)n!(xx0)n   

这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数

显然 当xx0时 f(x)的泰勒级数收敛于f(x0)

但是除了xx0外 f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛 它是否一定收敛于f(x)? 对此，有以下定理：

定理

设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零 即

nlimRn(x)0(xU(x0))

证明

先证必要性 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数 即

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)    2f(n)(x0)n!(xx0)n    

又设sn1(x)是f(x)的泰勒级数的前n1项的和 则在U(x0)内sn1(x) f(x)(n)

而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)Rn(x) 于是R n(x)f(x)sn1(x)0(n)

再证充分性 设Rn(x)0(n)对一切xU(x0)成立

因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)R n(x) 于是sn1(x)f(x)R n(x)f(x)

即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛 并且收敛于f(x)

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

在泰勒级数中取x00 得

f(0)f(0)xf(0)2!x    2f(n)(0)n!xn   

此级数称为f(x)的麦克劳林级数

展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这种展式是唯一的 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致

这是因为 如果f(x)在点x00的某邻域(R R)内能展开成x的幂级数 即

f(x)a0a1xa2x    anx    

那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导 有 f (x)a12a2x3a3x   nanx    

f (x)2!a232a3x     n(n1)anxn2     

f (x)3!a3   n(n1)(n2)anxn3     

  

f(n)(x)n!an(n1)n(n1)   2an1x     

于是得

a0f(0) a1f (0) a2f(0)2!2n12n

    anf(n)(0)n!   

注意 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数 但是 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛 它却不一定收敛于f(x) 因此 如果f(x)在点x00处具有各阶导数 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来 但这个级数是否在某个区间内收敛 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察

二、函数展开成幂级数

展开步骤

第一步

求出f(x)的各阶导数 f (x) f (x)     f(n)(x)    

第二步

求函数及其各阶导数在x0 处的值

f(0) f (0) f (0)     f(0)    

第三步

写出幂级数

f(0)f(0)x并求出收敛半径R

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组(n)f(0)2!x    2f(n)(0)n!xn     高等数学教案第十二章无穷级数

第四步

考察在区间(R R)内时是否Rn(x)0(n)

limRn(x)limnf(n1)()n(n1)!xn

1是否为零 如果Rn(x)0(n) 则f(x)在(R R)内有展开式

f(x)f(0)f(0)xf(0)2!x    2f(n)(0)n!xn   (RxR)

例1 将函数f(x)ex展开成x的幂级数

解所给函数的各阶导数为f(x)e(n1 2   ) 因此f

1x1x2    1xn   

2!n!(n)

(n)

(0)1(n1 2   ) 于是得级数

它的收敛半径R

对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有

n1en1|x||x|x| e

|Rn(x)| |

(n1)!(n1)!|x|n10 所以 lim|Rn(x)|0 从而有展开式而 limn(n1)!n

ex1x121x    xn   (x)

2!n!

例2 将函数f(x)sin x 展开成x的幂级数

解因为f(n)(n)(x)sin(xn )(n1 2

  )

2所以f(0)顺序循环地取0 1 0 1   ((n0 1 2 3   ) 于是得级数

2n1x3x5n1x    (1)   

x3!5!(2n1)!它的收敛半径为R

对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有

sin[(n1)2(n1)!]xn1 |Rn(x)| ||x|n1| 0(n )

(n1)!因此得展开式

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

sinxxx3x5x2n1    (1)n1   (x)

3!5!(2n1)!2!n!

ex1x1x2    1xn   (x)

例3 将函数f(x)(1 x)展开成x的幂级数 其中m为任意常数

解 f(x)的各阶导数为

f (x)m(1x)m1

f (x)m(m1)(1x)

        

f(n)(x)m(m1)(m2)  (mn1)(1x)mn

        

所以

f(0)1 f (0)m f (0)m(m1)    f(n)(0)m(m1)(m2)  (mn1)    于是得幂级数

1mx可以证明

(1x)m1mx

间接展开法

例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数

解

已知

2n1x3x5n1x    (1)   (x)

sinxx3!5!(2n1)!m2m

m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn    

m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn   (1x1)

对上式两边求导得

2nx2x4nx    (1)   (x)

cosx12!4!(2n)!

例5 将函数f(x)

解因为1展开成x的幂级数

21x11xx2    xn   (1x1)

1x2把x换成x 得

11x2x4    (1)nx2n   (1x1) 21x青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

注 收敛半径的确定 由1x1得1x1

例6 将函数f(x)ln(1x)展开成x的幂级数

分析因为f(x)1

1x2而1是收敛的等比级数(1)nxn(1x1)的和函数

1xn0

11xx2x3    (1)nxn    

1x所以将上式从0到x逐项积分 得

n1x2x3x4nx

ln1(x)x    (1)   (1x1)

234n

1解

f(x)ln(1x)[ln(1x)]dx0xx01dx 1xxn1

[(1)x]dx(1)(1x1)

0n1n0n0xnnn

上述展开式对x1也成立 这是因为上式右端的幂级数当x1时收敛 而ln(1x)在x1处有定义且连续

例7 将函数f(x)sin x展开成(x

解

因为

sinxsin[并且有

cosx(

sinx(4(x4)的幂级数

4)]2[cos(x)sin(x)]

24444)111(x)2(x)4   (x)

2!44!4)(x4)11(x)3(x)5   (x)

3!45!4所以

sinx

例8 将函数f(x)

解因为 211[1(x)(x)2(x)3   ](x)

242!43!41展开成(x1)的幂级数

x24x3青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

f(x)111111

x24x3(x1)(x3)2(1x)2(3x)4(1x1)8(1x1)24 nn11n(x1)n(x1)

(1)(1)4n08n02n4n

n0(1)n(12n22n)(x1)(1x3)

2n31提示

1x2(x1)2(1x1)3x4(x1)4(1x1)

24n1x1n(x1)

(1)(11)

nx1n02212n1x1n(x1)

(1)(11)

nx1n04414收敛域 由1

x1x11和11得1x3

24小结：常用的展开式

11xx2    xn   (1x1) 1xex1x121x    xn   (x)

2!n!2n1x3x5n1xsinxx    (1)   (x) 3!5!(2n1)!2nx2x4nxcosx1    (1)   (x) 2!4!(2n)!n1x2x3x4nxln(1x)x    (1)   (1x1) 234n1(1x)m1mxm(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn   (1x1)

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§12 5 函数的幂级数展开式的应用

一、近似计算

例1 计算5240的近似值 要求误差不超过00001

解

因为5240524333(114)1/5

3所以在二项展开式中取m1 x14 即得

51114114912403(1428312   )

5352!353!3这个级数收敛很快 取前两项的和作为5240的近似值 其误差(也叫做截断误差)为

|r2|3（3

1411491149141   )522!38533!312544!316141112[1()    ] 28818152!3611118

12532527402000018111)

5344于是取近似式为52403(1为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过10 计算时应取五位小数 然后四舍五入 因此最后得：

52402.9926

例2 计算ln 2的近似值 要求误差不超过00001

解

在上节例5中 令 x1可得

ln21111    (1)n1   .23n

如果取这级数前n项和作为ln2的近似值 其误差为

|rn|1.n1为了保证误差不超过104 就需要取级数的前10000项进行计算.这样做计算量太大了 我们必需用收敛较快的级数来代替它.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

把展开式

ln1(x)x中的x换成x  得

x2x3x ln(1x)x   (1x1)

234x2x3x4xn1    (1)n   (1x1)234n1两式相减 得到不含有偶次幂的展开式

ln1xln1(x)ln1(x)2(xx3x5   )(1x1)

1x35令1x2 解出x1 以x1代入最后一个展开式 得

1x33

ln22(13111111   ) 333535737如果取前四项作为ln2的近似值 则误差为

|r4|2(

111111   )9391***12[1()    ]

99311

2111.11970000031143913111111) 333535737于是取 ln22(同样地 考虑到舍入误差 计算时应取五位小数

1111111 30.01235 50.00082 70.00007 0.333333335373因此得

ln 206931

例3 利用sinxx13 x求sin9的近似值 并估计误差

3!解

首先把角度化成弧度

9从而

1809(弧度)203(弧度)

1sin20203!20 

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其次 估计这个近似值的精确度 在sin x 的幂级数展开式中令x 得

20111

sin     20203!205!207!20357等式右端是一个收敛的交错级数 且各项的绝对值单调减少 取它的前两项之和作为sin的20近似值 起误差为

111

|r2| (0.2)55!201203000000.003876 因此取 0.157080 202053于是得

sin9015643 这时误差不超过105 例4 计算定积分

2120exdx 的近似值 要求误差不超过00001（取x

20.56419）

解：将e的幂级数展开式中的x换成x 得到被积函数的幂级数展开式

ex21(x2)1!n(x2)22!(x2)33!   

x2n

(1)(x).n!n0于是 根据幂级数在收敛区间内逐项可积 得

21122exdx0212[(1)n0n0x2n2]dxn!(1)n22nn!0xdx n01

(111146   ).23252!273!2前四项的和作为近似值 其误差为

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|r4|所以

2111

2894!90000122exdx01(1111)0.5295

2232452!2673!

例5 计算积分

01sinxxdx 的近似值 要求误差不超过00001

解由于limsinx1 因此所给积分不是反常积分 如果定义被积函数在x0处的值为1

x0x则它在积分区间[0 1]上连续，展开被积函数 有

sinxx2x4x6

1   (x)

x3!5!7!在区间[0 1]上逐项积分 得

01sinx111dx1    

x33!55!77!因为第四项

11

77!30000所以取前三项的和作为积分的近似值

01sinxxdx1110.9461

33!55!

二、欧拉公式

复数项级数 设有复数项级数

(u1iv1)(u2iv2)   (univn)   

其中un  vn(n1 2 3   )为实常数或实函数 如果实部所成的级数

u1u2     un   

收敛于和u 并且虚部所成的级数

v1v2    vn   

收敛于和v 就说复数项级数收敛且和为uiv

绝对收敛

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2如果级(univn)的各项的模所构成的级数un收敛

vnn1n1则称级数(univn)绝对收敛

n1复变量指数函数 考察复数项级数

1z1z2    1zn    

2!n!可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的 在x轴上它表示指数函数e 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数 记为ez  即

ez1z121z    zn    

2!n!x

欧拉公式 当x0时 ziy  于是

eiy1iy

1iy

(111(iy)2    (iy)n    2!n!12111yiy3y4iy5    2!3!4!5!121411yy   )i(yy3y5   )2!4!3!5!

cos yisin y

把y定成x得

eixcos xi sin x

这就是欧拉公式

复数的指数形式 复数z可以表示为

zr(cos isin)re

其中r|z|是z的模  arg z是z的辐角

三角函数与复变量指数函数之间的联系

因为eixcos xi sin x eixcos xi sin x 所以

e+e2cos x

ee2isin x

cosx11ix(eeix) sinx(eixeix)

22i青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 ixixxixi

这两个式子也叫做欧拉公式 高等数学教案第十二章无穷级数

复变量指数函数的性质

ez1z2ez1ez2

特殊地 有exiy ex ei y ex(cos y isin y)

也就是说，复变量指数函数ez在zxyi处的值的模为ex，辐角为y的复数。

§12.7 傅里叶级数一、三角级数

三角函数系的正交性

三角级数 级数 a0(ancosnxbnsinnx)

2n1称为三角级数 其中a0 an bn(n  1 2   )都是常数

三角函数系

1 cos x sin x cos 2x sin 2x    cos nx sin nx   

三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[ ]上的积分等于零 即

cosnxdx0(n1 2   )

sinnxdx0(n1 2   )

sinkxcosnxdx0(k n1 2   )

sinkxsinnxdx0(k n1 2    kn)

coskxcosnxdx0(k n1 2    kn) 三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[]上的积分不等于零 即

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12dx2

2cosnxdx(n 1 2   )

sinnxdx2(n 1 2   )

二、函数展开成傅里叶级数

问题 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数

f(x)a02(akcoskxbksinkx)

k1那么系数a0 a1 b1    与函数f(x)之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分 则

f(x)cosnxdxa02cosnxdx[akcoskxcosnxdxbksinkxcosnxdx]

k1类似地f(x)sinnxdxbn

傅里叶系数

a0

an

bn11f(x)dx

1(n 1 2   )

f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx(n 1 2   )

系数a0 a1 b1    叫做函数f(x)的傅里叶系数

傅里叶级数 三角级数

a02(ancosnxbnsinnx)

n1称为傅里叶级数 其中a0 a1 b1   是傅里叶系数

问题 一个定义在( )上周期为2的函数f(x) 如果它在一个周期上可积 则一定可以作出f(x)的傅里叶级数 然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说 这两个问题的答案都不是肯定的

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定理(收敛定理 狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 在一个周期内至多只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛 并且

当x是f(x)的连续点时 级数收敛于f(x)

当x是f(x)的间断点时 级数收敛于1[f(x0)f(x0)]

2例1 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[ )上的表达式为

f(x)1 x0

0 x将f(x)展开成傅里叶级数

解所给函数满足收敛定理的条件 它在点xk(k0 1 2   )处不连续 在其它点处连续 从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛 并且当xk时收敛于

11[f(x0)f(x0)](11)0

22当xk时级数收敛于f(x)

傅里叶系数计算如下

an11f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx1100(1)cosnxdx1101cosnxdx0(n 0 1 2   )



bn

(1)sinnxdx01sinnxdx

1cosnx01cosnx1[][]0[1cosncosn1] nnn4 n1, 3, 5,   2n

[1(1)]n

n0 n2, 4, 6,   于是f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)4[sinx11sin3x    sin2(k1)x    ]

32k

1(x x 0  2   )

例2 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[)上的表达式为

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f(x)x x0

0 0x将f(x)展开成傅里叶级数.解所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)(k0 1 2   )处不连续 因此 f(x)的傅里叶级数在x(2k1)处收敛于

1[f(x0)f(x0)]1(0)

222在连续点x(x(2k1))处级数收敛于f(x)

傅里叶系数计算如下

a0an11f(x)dx10xdx1  21xsinnxcosnx01[](1cosn)nn2n2f(x)cosnxdx0xcosnxdx2 n1, 3, 5,    

n2

0 n2, 4, 6,   

bn

1nf(x)sinnxdx1xsinnxdx01[xcosnxsinnx0cosn ]nnn2(1)n1(n 1 2   )

f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)

4(2cosxsinx)121sin2x(2cos3xsin3x)233121sin4x(2cos5xsin5x)   (x  x  3   ) 455

周期延拓 设f(x)只在[]上有定义 我们可以在[ )或( ]外补充函数f(x)的定义

使它拓广成周期为2的周期函数F(x) 在( )内 F(x)f(x).例3 将函数

f(x)x  x0

x 0  x展开成傅里叶级数

解所给函数在区间[ ]上满足收敛定理的条件 并且拓广为周期函数时 它在每一点x处青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

都连续 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在[ ]上收敛于f(x)

傅里叶系数为

a0

an11f(x)dx1(x)dx01001xdx

12f(x)cosnxdx(x)cosnxdx0

xcosnxdx4 n1, 3, 5,   

2(cosn1)n2

n0 n2, 4, 6,   

bn1f(x)sinnxdx10(x)sinnxdx10xsinnxdx0(n 1 2   )

于是f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x) 411(cosx2cos3x2cos5x   )(x)

23

5三、正弦级数和余弦级数

当f(x)为奇函数时 f(x)cos nx是奇函数 f(x)sin nx是偶函数 故傅里叶系数为

an0(n0 1 2   )

bn20f(x)sinnxdx(n1 2 3   )

因此奇数函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

bnsinnx

n1

当f(x)为偶函数时 f(x)cos nx是偶函数 f(x)sin nx是奇函数 故傅里叶系数为

an20f(x)cosnxdx(n0 1 2 3   )

bn0(n1 2   )

因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

a02ancosnx

n1

例4 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[ )上的表达式为f(x)x 将f(x)展开成

傅里叶级数

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解首先 所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)(k0 1 2   )不连续

因此f(x)的傅里叶级数在函数的连续点x(2k1)收敛于f(x) 在点 x(2k1)(k0 1 2   )收敛于

1[f(0)f(0)]1[()]0

2其次 若不计x(2k1)(k0 1 2   ) 则f(x)是周期为2的奇函数 于是

an0(n0 1 2   ) 而

bn20f(x)sinnxdx20xsinnxdx

nx22

2[xcosnxsin]0cosnx(1)n1(n1 2 3   )

2nnnnf(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)2(sinx111sin2xsin3x    (1)n1sinnx    23n

(x  x 3    )

例5 将周期函数u(t)E|sin1t|展开成傅里叶级数 其中E是正的常数

2解所给函数满足收敛定理的条件 它在整个数轴上连续 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)

因为u(t)是周期为2的偶函数 所以bn0(n1 2   ) 而

an20u(t)cosntdt20tEsincosntdt

E011[sinn()tsinn()t]dt

2211cosn()tcosn()tE22]

[011nn22

4E(n0 1 2   )

(4n21)所以u(t)的傅里叶级数展开式为

4E1 u(t)(cosnt)(t)

22n14n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第十二章无穷级数

奇延拓与偶延拓 设函数f(x)定义在区间[0 ]上并且满足收敛定理的条件 我们在开区间( 0)内补充函数f(x)的定义 得到定义在( ]上的函数F(x) 使它在( )上成为奇函数(偶函数) 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓) 限制在(0 ]上 有F(x)f(x)

例6 将函数f(x)x1(0x)分别展开成正弦级数和余弦级数

解

先求正弦级数 为此对函数f(x)进行奇延拓

bn20f(x)sinnxdx20(x1)sinnxdx2[xcosnxsinnxcosnx]0 2nnn22 n1, 3, 5,    2n(1cosncosn)



2n n2, 4, 6,   n函数的正弦级数展开式为

x12[(2)sinx2sin2x1(2)sin3xsin4x    ](0x)

34在端点x0及x处 级数的和显然为零 它不代表原来函数f(x)的值

再求余弦级数 为此对f(x)进行偶延拓

an20f(x)cosnxdx20(x1)cosnxdx2[xsinnxcosnxsinnx]0 nnn20 n2, 4, 6,    

2(cosn1)4

2 n1, 3, 5,    nn2

a0202x2(x1)dx[x]02

2函数的余弦级数展开式为

x1 4111(cosx2cos3x2cos5x   )(0x)

235§12 8 周期为2l的周期函数的傅里叶级数

一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数

到目前为止，我们讨论的周期函数都是以2为周期的 但是实际问题中所遇到的周期函数 它的周期不一定是2 怎样把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数呢？

问题 我们希望能把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数 为此我们先把周期为2l的周青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

期函数f(x)变换为周期为2的周期函数

令xlt及f(x)f(lt)F(t) 则F(t)是以2为周期的函数

这是因为F(t2)f[l(t2)]f(lt2l)f(lt)F(t)

于是当F(t)满足收敛定理的条件时 F(t)可展开成傅里叶级数

F(t)其中

ana02(ancosntbnsinnt)

n11F(t)cosntdt(n0 1 2   ) bnF(t)sinntdt(n1 2   )

1从而有如下定理

定理设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件 则它的傅里叶级数展开式为

f(x)a0nxnx(ancosbnsin)

2n1ll其中系数an  bn 为

anf(x)cosll

bnf(x)sinll

当f(x)为奇函数时

nx

f(x)bnsin

ln11lnxdx(n0 1 2   )

lnxdx(n1 2   )

l1l其中bn2lnxf(x)sindx(n  1 2   )

l0l

当f(x)为偶函数时

f(x)其中an2la0nxancos

2n1lf(x)cosnxdx(n  0 1 2   )

l0l

例1 设f(x)是周期为4的周期函数 它在[2 2)上的表达式为

f(x)0 2x0(常数k0)

k 0x2青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

将f(x)展开成傅里叶级数

解

这里l2，按公式得

an1kcosnxdx[ksinnx]00(n0)

022n2

a010dx1kdxk

2220021

bn22k n1, 3, 5,    nxknx2kksindx[cos](1cosn) n002n2n0 n2, 4, 6,   2于是

x13x15x

f(x)k2k(sinsinsin   )

223252(x x0 2 4

   在x0 2 4    收敛于k)

2pxl 0x2展开成正弦级数

例2 将函数M(x)2p(lx)l xl22

解

对M(x)进行奇延拓 则

an0(n0 1 2 3   )

bnlllp(lx)nx22pxnxnxM(x)sindx[sindxsindx]

l0ll02l2l2l对上式右边的第二项 令tlx 则

l0ptn(lt)22pxnx

bn[sindxlsin(dt)]

l02l2l2ll22pxnxntn12ptsindx(1)sindt]

[002l2ll当n2 4 6   时 bn0 当n1 3 5   时

bn4p2ll202plnxnxsindx22sin

l2n于是得

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M(x) 2pl2(sinxl13x15xsin2sin   )(0xl)

2ll35青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

第二篇：高等数学电子教案4

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第四章

不定积分

教学目的：

第四章

不定积分

1、理解原函数概念、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：

1、不定积分的概念；

2、不定积分的性质及基本公式；

3、换元积分法与分部积分法。教学难点：

1、换元积分法；

2、分部积分法；

3、三角函数有理式的积分。

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第四章

不定积分

§4 1 不定积分的概念与性质

一、教学目的与要求：

1． 2．理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式。

二、重点、难点：原函数与不定积分的概念

三、主要外语词汇：At first function，Be accumulate function，Indefinite integral，Formulas integrals elementary forms.四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）

五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版

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第四章

不定积分

一、原函数与不定积分的概念

定义

1如果在区间I上 可导函数F(x)的导函数为f(x) 即对任一xI 都有

F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数

例如因为(sin x)cos x  所以sin x 是cos x 的原函数

又如当x (1 )时

因为(x)1 所以x是1的原函数

2x2x

提问:

cos x和1还有其它原函数吗？

原函数存在定理

如果函数f(x)在区间I上连续 那么在区间I上存在可导函数F(x) 使对任一x I 都有

F (x)f(x)

简单地说就是 连续函数一定有原函数

两点说明

第一 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x) 那么f(x)就有无限多个原函数 F(x)C都是f(x)的原函数 其中C是任意常数

第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数 则 (x)F(x)C

(C为某个常数)

定义2 在区间I上 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分 记作

f(x)dx

其中记号称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx称为被积表达式 x 称为积分变量

根据定义 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数 那么F(x)C就是f(x)的不定积分 即

f(x)dxF(x)C

因而不定积分f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数

例1因为sin x 是cos x 的原函数所以

cosxdxsinxC

因为x是1的原函数所以

2x青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

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第四章

不定积分

1dxxC

例2.求函数f(x)1的不定积分

x 解：当x>0时(ln x)1

1 dxlnxC(x>0)

当x<0时[ln(x)]1(1)1

xx

1 dxln(x)C(x<0)

x 合并上面两式得到

1 dxln|x|C(x0)

例3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程

解设所求的曲线方程为yf(x) 按题设 曲线上任一点(x y)处的切线斜率为yf (x)2x, ，即f(x)是2x 的一个原函数

因为

2xdxx2C

故必有某个常数C使f(x)x 2C 即曲线方程为yx 2C

因所求曲线通过点(1 2) 故

21C

C1

于是所求曲线方程为yx1

积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线

从不定积分的定义 即可知下述关系

d[f(x)dx]f(x)

dx2或

d[f(x)dx]f(x)dx

又由于F(x)是F(x)的原函数 所以

F(x)dxF(x)C

或记作

dF(x)F(x)C

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第四章

不定积分

由此可见 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算 以记号表示）是互逆的 当记号与d 连在一起时 或者抵消 或者抵消后差一个常数

二、基本积分表(1)kdxkxC(k是常数)

(2)xdx1x1C

1(3)1dxln|x|C

x(4)exdxexC

x(5)axdxaC

lna(6)cosxdxsinxC

(7)sinxdxcosxC

(8)(9)1dxsec2xdxtanxC

2cosx1dxcsc2xdxcotxC

2sinx1dxarctanxC

1x211x2(10)(11)dxarcsinxC

(12)secxtanxdxsecxC

(13)cscxcotdxcscxC

(14)sh x dxch xC

(15)ch x dxsh xC

111x31C2C

例4 3dxx3dx312xx青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

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第四章

不定积分

例5 x2xdxx52dx151251x2C22x2Cx3xC777

例6 dxx3xx43dx41x3413C3x13C33xC

三、不定积分的性质

性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

这是因为, [f(x)dxg(x)dx][f(x)dx][g(x)dx]f(x)g(x).性质2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来 即

kf(x)dxkf(x)dx(k是常数 k 0)

例7.x(x5)dx(x25215x2)dx

1x2dx   例8 5x2dx715x2dx35x2dx5

27x2523x2C

(x1)3x2x33x23x131dxdx(x32)dx2xxx1111 xdx3dx3dx2dxx23x3ln|x|C

x2xx 例9 (ex3cosx)dxexdx3cosxdxex3sinxC

例10 xxx2edx(2e)dx2(2e)xln(2e)C2xexC1ln2

1xx11dxdx()dx

例11 x(1x2)x(1x2)1x2xx(1x2) 例12 11dxdxarctanxln|x|C

2x1x(x21)(x21)1x4x411dx1x2dx1x2dx1x2

(x2111)dxx2dxdxdx 21x1x2青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

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第四章

不定积分

1x3xarctanxC 例13 tan2xdx(sec2x1)dxsec2xdxdx

 tan x  x  C 

例14 sin2x dx1cosxdx1(1cosx)dx

222  例15 

12(xsinx)C

1dx4cotxC

sin2x1sin2xxcos222dx4青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

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不定积分

§4 2 换元积分法

一、教学目的与要求：

1． 2．掌握不定积分的第一类换元法（凑微分法），熟悉常见的凑微分的类型，会灵活应用凑微分法求不定积分。

掌握不定积分的第二类换元法，并会灵活运用常用的代换方法。

二、重点、难点：换元法

三、主要外语词汇：Change a dollar

四、辅助教学情况:多媒体课件第四版和第五版（修改）

五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版

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第四章

不定积分

一、第一类换元法

设f(u)有原函数F(u)

u(x) 且(x)可微 那么 根据复合函数微分法 有 d F[(x)]d F(u)F (u)d u F [(x)] d(x) F [(x)](x)d x 

所以

F [(x)](x)dx F [(x)] d(x) F (u)d u d F(u)d F[(x)]

因此

F[(x)](x)dxF[(x)]d(x)

F(u)dudF(u)dF[(x)]F[(x)]C 即

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)

[F(u)C] u  (x) F[(x)]C

定理

1设f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f(u)duF(u)CF[(x)]C 

被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待 从而微分等式(x)dx du可以应用到被积表达式中

在求积分g(x)dx时 如果函数g(x)可以化为g(x) f[(x)](x)的形式 那么

g(x)dxf[(x)](x)dx[f(u)du]u(x)

例1.2cos2xdxcos2x(2x)dxcos2xd(2x)

uCsin 2xC 

cosudusin11111dx(32x)dxd(32x)

例2.32x232x232x1111

dxln|u|Cln|32x|C

2u22 例3.2xexdxex(x2)dxexd(x2)eudu

euCexC 例4.x1x2dx1x2(x2)dx1x2dx2

22222 1111x2d(1x2)u2duu2C2231(1x2)2C 3313

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第四章

不定积分

例5.tanxdxsinxdx1dcosx

cosxcosx

1duln|u|C

ln|cos x|C 

即

tanxdxln|cosx|C

类似地可得cotxdxln|sinx|C

熟练之后 变量代换就不必再写出了

例6.212dx121dx

axa1(x)2a

1a1x1xdarctanC

xa1()2aaa1x 即 212dxarctanC

aaaxxxxx 例7.chdxachda shC

aaaa 例8.当a0时，1a2x2dx1a1x1()2adx1x1()2adxxarcsinC aa

即 xdxarcsinC

aa2x211111111)dx[dxdx]

例9.22dx(2axaxa2axaxaxa111d(xa)d(xa)]

[2axaxa11xa|C

[ln|xa|ln|xa|]Cln|2a2axa11xa|C

即 22dxln|2axaxadxdlnx1 例10.

x(12lnx)12lnx212lnxd(12lnx)1

ln|12lnx|C

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第四章

不定积分

例11.e3xxdx2e3xdx23e3xd3x

2e33xC

含三角函数的积分

例12.sin3xdxsin2xsinxdx(1cos2x)dcosx dcosxcos2xdcosxcosxco3sxC 例13.sin2xcos5xdxsin2xcos4xdsinx

22x(1sinx)2dsinx

sin46nx2sinxsinx)dsinx

(si221357xsinxsinxC

1sin357 例14.cos2xdx1cos2xdx1(dxcos2xdx)

2211112xC

dxcos2xd2xxsin24241 例15.cos4xdx(cos2x)2dx[(1cos2x)]2dx

(12cos2xcos22x)dx

4131

(2cos2xcos4x)dx

4221312xsin4x)C

(xsin4283114xC

xsin2xsin84321 例16.cos3xcos2xdx(cosxcos5x)dx

2115xC

sinxsin2101dx 例17.cscxdxsinx1dx xx2sincos22青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

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第四章

不定积分

dx22

dtanx2xtancos2x2ln|tanx|Cln |csc x cot x |C 

x2tan2 即

cscxdxln |csc x cot x |C 

例18.secxdxcsc(x)dxln|csc(x )cot(x )|C

222

ln |sec x  tan x |  C

即

secxdxln |sec x  tan x |  C

二、第二类换元法

定理2 设x (t)是单调的、可导的函数 并且(t)0 又设f [(t)](t)具有原函数F(t) 则有换元公式

f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)F[1(x)]C

其中t(x)是x(t)的反函数

这是因为

{F[1(x)]}F(t)dtf[(t)](t)1f[(t)]f(x)

dxdxdt 例19.求a2x2dx(a>0)

解: 设xa sin t   t  那么a2x2a2a2sin2tacost

22dx a cos t d t  于是

a2x2dxacostacostdt

11stdta2(tsin2t)C

a2co224因为tarcsinxaxa2x2, sin2t2sintcost2 所以

aaa2x111arcsinxa2x2C axdxa(tsin2t)C2a224222

解: 设xa sin t   t  那么

22青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案

第四章

不定积分

a2x2dxacostacostdt

a2x11 a2co2arcsinxa2x2C

stdta(tsin2t)C242a2提示:a2x2a2a2sin2tacost dxacos tdt 

xa2x2提示: tarcsinx, sin2t2sintcost2

aaa

例20.求dxx2a2(a>0)

解法一 设xa tan t  t  那么

22x2a2a2a2tan2ta1tan2ta sec t  dxa sec

t d t  于是

因为sectdxx2a2asec2tdtsectdt ln |sec t  tan t |C 

asectx2a2x tant 所以 aadxxa22x ln |sec t  tan t |Cln(ax2a2)Cln(xax2a2)C1

其中C 1Cln a 

解法一 设xa tan t  t  那么

dxxa22asec2tdtsectdtln|secttant|C asect

ln(ax2a2)Cln(xax2a2)C1

其中C 1Cln a 

提示:x2a2a2a2tan2tasect  dxa sec 2t dt 

提示:sect

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x2a2x tant aa高等数学教案

第四章

不定积分

解法二: 设xa sh t  那么

dxx2a2ach txdtdttCarshC ach ta

lnx(x)21Cln(xx2a2)C1

aa其中C 1Cln a 

提示: x2a2a2sh2ta2a ch t  dx a ch t d t 

例23.求dxx2a2(a>0)

解: 当x>a 时 设xa sec t(0t ) 那么

2x2a2a2sec2ta2asec2t1a tan t 

于是

dxx2a2因为tantasecttantdtsectdt ln |sec t  tan t |C 

atantx2a2x sect 所以 aadxxa22 ln |sec t  tan t |C ln|xax2a2|Cln(xax2a2)C1

其中C 1Cln a 

当xa 于是

dxx2a2duu2a2ln(uu2a2)C

(xx2a2)Cln(xx2a2)C1

lnlnxx2a2Cln(xx2a2)C1

2a其中C 1C2ln a 

综合起来有



dxxa22ln|xx2a2|C

解: 当x>a 时 设xa sec t(0t ) 那么 dxx2a2asecttant

dtsectdtatantx2a2)C axttant|Cln(

ln|seca

ln(xx2a2)C

其中C 1Cln a 

当x<a 时 令xu  则u>a 于是

dxx2a2duu2a2ln(uu2a2)C

xx2a2C

ln(xx2a2)Cln2a

ln(xx2a2)C1

其中C 1C2ln a 

提示:x2a2a2sec2ta2asec2t1atant  提示:tantx2a2x sect aadxx2a2

综合起来有

ln|xx2a2|C

补充公式

(16)tanxdxln|cosx|C cotxdxln|sinx|C(18)secxdxln|secxtanx|C(19)cscxdxln|cscxcotx|C(20)(21)11xdxarctanC 2aaax211xadxln||C22axaxa2

1a2x2dxx2a2dxx2a2dxarcsinln(xxC ax2a2)C

x2a2|C ln|x青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

二、重点、难点: 用分部积分公式时的u和dv的选取

三、主要外语词汇:Divide a department integral

四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）

五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版

设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为(uv)uvuv

移项得

uv(uv)uv

对这个等式两边求不定积分 得

uvdxuvuvdx或udvuvvdu 这个公式称为分部积分公式

分部积分过程: uvdxudvuvvduuvuvdx   

例1 xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxx sin xcos xC 

例2 xexdxxdexxexexdxxexexC

例3 x2exdxx2dexx2exexdx2

x2ex2xexdxx2ex2xdexx2ex2xex2exdx

x2ex2xex2exC ex(x22x2)C

例4 xlnxdx1lnxdx21x2lnx1x21dx

222x1x2lnx1xdx1x2lnx1x2C

2224 例5 arccosxdxxarccosxxdarccosx

xarccosxx

11x2dx

11xarccoxs(1x2)2d(1x2)xarccoxs1x2C

111dx

例6 xarctanxdx1arctanxdx2x2arctanxx222221x111)dx

x2arctanx(12221x11xarctaxnC

1x2arctaxn222 例7 求exsinxdx

解因为exsinxdxsinxdexexsinxexdsinx

exsinxexcosxdxexsinxcosxdex

exsinxexcosxexdcosx

exsinxexcosxexsinxdx

1所以

exsinxdxex(sinxcosx)C

例8 求sec3xdx

解因为

sec3xdxsecxsec2xdxsecxdtanx

2xdx

secxtanxsecxtan

secxtanxsecx(sec2x1)dx

3xdxsecxdx

secxtanxsec3xdx

secxtanxln|secxtanx|sec13xdx(secxtanxln|secxtanx|)C

所以

sec2 例9 求In 解 I1dx

22n1(x2a2)ndx(xa)(x2a2)n x1a22(n1)[(x2a2)n1(x2a2)n]dx(x2a2)n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

高等数学教案

第四章

不定积分

即 In1x(x2a)22n122(n1)(In1aIn)

于是 In1x[2(2n3)In1]

2a(n1)(xa2)n11aarctanxaC以此作为递推公式 并由I1 例10 求exdx

即可得In

解令x t 2  则  dx2tdt 于

exdx2tetdt2et(t1)C2ex(x1)C

exdxexd(x)22xexdx

2xde

2xexx2xexx2exxdx

2eC2e(x1)C

第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分

令(x)u

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f(u)du

u(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x) 哪些积分可以用分部积分法？

xcosxdxxexdxx2exdx

xlnxdx arccosexxdx

2dxexdx2eudu    

exdxx2dexx2exexdx2    

会求有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分。

二、重点（难点）：有理函数的积分。

三、主要外语词汇：Have the reason function integral

四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）

五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版

有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数 即具有如下形式的函数:

P(x)Q(x)a0xna1xn1an1xanb0xmb1xm1bm1xbm

其中m和n都是非负整数a0 a1 a2     an及b0 b1 b2     bm都是实数

并且a00 b00 当nm时 称这有理函数是真分式 而当nm时 称这有理函数是假分式

假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如

2x3x1x(x1)11 x222x1x1x

1真分式的不定积分

求真分式的不定积分时 如果分母可因式分解 则先因式分解 然后化成部分分式再积分

dx

例1 求2x5x6x365x3dx)dx

解 2dx(x3x2(x2)(x3)x5x665dxdx6ln|x3|5ln|x2|C

x3x2x3提示(AB)x(2A3B)x3AB

(x2)(x3)x3x2(x2)(x3)AB1 3A2B3 A6 B5

分母是二次质因式的真分式的不定积分

dx

例2 求2x2x3x212x21dx(32)dx

解 222x2x3x2x3x2x312x21dx32dx

22x2x3x2x3x12d(x22x3)x2x323d(x1)(x1)2(2)2

3x1x22x3)arctanC

1ln(2221(2x2)3x21x212232提示 2

22x2x3x2x3x2x3x2x31dx

例3 求x(x1)2青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

高等数学教案

第四章

不定积分 1111 解 dx[]dx xx1(x1)2x(x1)2

1dx1dx12dxln|x|ln|x1|1C

x1xx1(x1)

提示

11xx1122x(x1)(x1)2x(x1)x(x1)

1xx1111 2x(x1)(x1)xx1(x1)2

二、可化为有理函数的积分举例 1。三角函数有理式的积分

三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示

故三角函数有理式也就是sin x、cos x 的有理式

用于三角函数有理式积分的变换:

把sin x、cos x表成tanxx的函数 然后作变换utan

xx2tan2tanxx222u sinx2sincos221u22x2xsec1tan22x221u 2x2xcosxcossin221u22xsec221tan

变换后原积分变成了有理函数的积分

例4 求1sinxdx

sinx(1cosx)x2u21u2du

解令utan 则sinx cosx x2arctan u  dx2221u1u1u22u)22111sinx1udu(u2)du dx于是 2usinx(1cosx)2u1u21u2(1)1u21u2(11xx1x1u2

(2uln|u|)Ctan2tanln|tan|C

2242222青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

dxdu 2sinx(1cosx)2u1u1u2(1)1u21u2(1

1(u2uln|u|)C1(u21)du

222u2

1tan2xtanx1ln|tanx|C

42222

说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如

cosxdx1d(1sinx)ln(1sinx)C

1sinx1sinx

2、简单无理函数的积分

无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去

例5 求x1dx

x 解设x1u 即xu21 则

2du

x1dx2u2udu2uxu1u211)du2(uarctanu)C

2(11u 2(x1arctanx1)C

例6 求dx13x2

解设3x2u 即xu32 则

dx131u21123udu3du 1u1ux221u)du3(uln|1u|)C

3(u11u2 3(x2)233x2ln|13x2|C例7 求dx(13x)x

解设xt 6 于是dx 6t 5d t 

从而

dx(13x)x6t5t21dt6dt6(1)dt6(tarctant)C232(1t)t1t1t2

6(6xarcta6nx)C

例8 求11xdx xx 解设1xt 即x21xt1 于是

则有dx21t2dt cosx1t21t2

2dt

2cosarctantdxx211t22dt1t23t2321t223arctan(13tanx2)C

sin4xcos4xdcosx2cos2x2cosx1cos4x13cos3xcos4sinxxdx(1cos2x)2cos4x)dcosx C

3x1x23x2dx(x2)(x1)dx1x2dx43x11(7x24x1)dx

7x1dx

7ln|x2|4ln|x1|C

二、重点（难点）：对要查函数的变形和类型的判定。

三、主要外语词汇：Integral calculus form

四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）

参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版

积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便往往把常用的积分公式汇集成表这种表叫做积分表求积分时可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果

积分表

一、含有axb的积分 1．dx1ln|axb|C

axba2．(axb)dx3．1(axb)1C(1)a(1)x1dx(axbbln|axb|)C axba2axba224．xdx131(axb)22b(axb)b2ln|axb|C

5．6．7．8．9．dx1axblnCx(axb)bx

dx1aaxblnCx2(axb)bxb2xx1ln|axb|bdx22(axb)aaxbC

C x21b2dxaxb2bln|axb|(axb)2a3axbdx11axblnCx(axb)2b(axb)b2xxdx(3x4)2

例1求

解这是含有3x4的积分在积分表中查得公式

x1bC

dxln|axb|(axb)2a2axb现在a

3、b4于是

x14(3x4)2dx9ln|3x4|3x4C

二、含有axb的积分

21．axbdx(axb)3C

3a2(3ax2b)(axb)3C 2．xaxbdx215a青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

高等数学教案

第四章

不定积分

3．x2axbdx4．5．xaxbx2axbdxdx2(15a2x212abx8b2)(axb)3C 105a32(ax2b)axbC 3a22(3a2x24abx8b2)axbC 315a1C(b0)axbbaxbarctanC(b0)bblnaxbb6．dxxaxbb2

7．dxx2axbxaxbabx2bxdxdxaxb

8．axbdx2axbbxx2xaxbdx 9．ax2bdxaxba

三、含xa的积分 1．2．3．dx1xarctanC x2a2aa22xaxbdxx2n3(x2a2)n2(n1)a2(x2a2)n12(n1)a2(x2a2)n1

dxdx1xalnC x2a22axa

四、含有ax2b(a0)的积分

1arctanabdxax2b1ln2abaxC(b0)baxbaxbC(b0)1．

2．3．4．5．6．x1dxln|ax2b|C 2axb2ax2xbdxax2baadxax2b

dx1x2lnCx(ax2b)2b|ax2b|dx1ax2(ax2b)bxb

1ax2bdx

|ax2b|dxa1lnC3222x(axb)2bx2bx2

7．dxx1(ax2b)22b(ax2b)2b1ax2bdx

五、含有ax2bxc(a0)的积分

六、含有x2a2(a0)的积分 1．2．3．4．5．6．7．8．dxx2a2dxarshxC1ln(xaxC x2a2)C

(x2a2)3a2x2a2xx2a2xdxx2a2C

1x2a2C

(x2a2)3dxx2x2a2x2(x2dxx2x2a2xx2a2a2ln(x2ln(xx2a2)C x2a2)C

a2)3dx1lnadxxx2a2x2a2aC|x|

dxx2x2a2x2a2C a2x2xax2a2ln(xx2a2)C 9．x2a2dx22例3求dxx4x29dxx4x2

12解因为9dx3xx2()22所以这是含有x2a2的积分这里a

dxxx2a21lna3在积分表中查得公式 2x2a2aC|x|

于是 dxx4x2912ln2333x2()222C1ln|x|34x293C

1．2．3．4．5．6．7．8．dxx2a2|x|xarchC1ln|x|x|ax2a2|C

dx(x2a2)3xa2x2a2C

xx2a2xdxx2a2C

1x2a2C

(x2a2)3dxx2x2a2x2(x2dxx2x2a2xx2a2a2ln|x2ln|xx2a2|C x2a2|C

a2)3dxdxxx2a21aarccosCa|x|

dxx2x2a2x2a2C a2xxa2x2a2ln|xx2a2|C 9．x2a2dx2

2八、含有a2x2(a0)的积分 1．2．3．4．5．6．7．8．dxa2x2dx(a2x2)3arcsinxC axC

a2a2x2xa2xx2dxa2x2C dx1a2x2C

(a2x2)3x2a2x2x2dxx2a2x2xa2x2a2xarcsinC 2axC a(a2x2)3dxxa2x2dxarcsin1aa2x2lnCa|x|

dxx2a2x2a2x2C a2xxa2xa2x2arcsinC 9．a2x2dx22a青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

高等数学教案

第四章

不定积分

九、含有ax2bxc(a0)的积分

十、含有xa或(xa)(xb)的积分

xb

十一、含有三角函数的积分 1．secxdxln|secxtanx|C 2．cscxdxln|cscxcotx|C 3．secxtanxdxsecxC 4．cscxcotxdxcscxC 5．sin2xdxx1sin2xC

24x16．cos2xdxsin2xC

241n17．sinnxdxsinn1xcosxsinn2xdx

nn1n18．cosnxdxcosn1xsinxcosn2xdx

nn9．sinaxcosbxdx11cos(ab)xcos(ab)xC2(ab)2(ab)11sin(ab)xsin(ab)xC2(ab)2(ab)10．sinaxsinbxdx11．cosaxcosbxdx11sin(ab)xsin(ab)xC2(ab)2(ab)

12．dxabsinx2a2b2atanarctanxb2C(a2b2)a2b213．dxabsinxxbb2a222ln22xbaatanbb2a22atanC(a2b2)

14．dx2abcosxababarctanababxtanab2C(a2b2)

xab2lnbaxtan2tanabbaabba14．dx2abcosxabC(a2b2)

例2求dx

54cosx解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式

dx2ababx

arctantanC(a2b2)

abcosxababab2这里a

5、b4a 2b2于是

dx2x

arctantanC

54cosx5(4)5(4)5(4)25(4)5(4)x3ntanC

2arcta32例求sin4xdx

解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式

1n1x1nxdxn1xcosn2xdxsinx

sinsin2xdxsin2xC

sinnn24这里n4于是

1313x14xdx3xcos2xdx3xcossinxsinsinx(sin2x)C

sin444424

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第三篇：基础和声电子教案12

第十二章两个六和弦连接

教学课时：2课时教学对象：二年级

教学要求：本章要求掌握四、五度关系的两个六和弦的平稳连接和跳进连接，以及二度关系的两个六和弦的连接。

教学重点：

四、五度关系的两个六和弦的平稳连接和跳进连接，二度关系的两个六和弦的连接。

教学难点：二度关系的两个六和弦的连接。教学内容：

1、两个四、五度关系六和弦的连接：

两个四、五度关系六和弦连接时，声部进行通常是这样的：低音作三音到三音的四、五度跳进进行，其中小调的t与D连接时，低音只作减四度进行；上方三声部常平稳进行，当然也可跳进进行。

2、两个二度关系六和弦的连接：

二度关系的S6—D6连接时，尤其要注意避免平行五、八度进行。通常的处理方法为：S6重复根音且为根音旋律，D6重复五音；上方三声部中的两个声部须与低音部构成平行六和弦进行，另一声部则作反向进行。

另外，小调的s6—D6连接时，要避免低音部形成增二度进行。避免的方法有：或用减七度进行，或用旋律小调，或用半音进行从而形成s6—S6—D6这样的进行。习题及习题说明：

1、为包含有两个四五度关系六和弦连接，以及两个二度关系六和弦连接的旋律和低音配写四部和声。长度为8—12小节。

2、分析包含有两个四五度关系六和弦连接，以及两个二度关系六和弦连接的作品片断。

第四篇：10011023《高等数学12》(经管)大纲

高等数学12考纲

第七章向量代数与空间解析几何（10分）

1、向量的概念，空间直角坐标系的概念，利用坐标进行向量的线性运算、数量积。

2、向量、单位向量和方向余弦的坐标表示。

3、平面方程和直线方程及其求法。

第八章多元函数微分学（30分）

1、多元函数的概念。

2、二元函数的极限与连续性的概念，有界闭区域上连续函数的性质。

3、偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的条件。

4、复合函数一阶偏导数的求法，全微分的不变性。

5、由一个方程所确定的隐函数求导方法，6、曲线的切线和法平面方程的求法，曲面的切平面和法线方程的求法。

7、多元函数极值和条件极值的概念，多元函数极值存在的必要条件，二元函数极值存在的充分条件。

第九章二重积分（20分）

1、二重积分的概念，了解二重积分的性质。

2、二重积分（直角坐标系下、极坐标系下）的计算。

第十章无穷级数（25分）

1、无穷级数收敛、发散以及和的概念，收敛级数的性质，收敛的必要条件。

2、几何级数和p-级数的收敛性。

3、正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。

4、用Leibniz定理判断交错级数的敛散性。

5、无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，并能判别级数的绝对收敛和条件收敛。

6、函数项级数、收敛域的概念。

7、幂级数的收敛半径、收敛域的求法。

8、ex,sinx,cosx,ln(1x),(1x)m的麦克劳林展开式，并能利用它们将一些简单的函数展开成幂级数。

第十一章微分方程、差分方程（15分）

1、微分方程、通解、阶、初始条件和特解等概念。

2、可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程的解法。

3、线性微分方程解的性质及解的结构定理。

4、二阶常系数齐次线性微分方程的解法，高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

第五篇：12电子班主任工作总结

本学期工作已经结束了，回顾这一学期来的班主任工作，感慨万千，有取得成绩的喜悦，也有失误带来的遗憾；有令人难忘的美好时刻，也有让人苦恼的短暂瞬间；有在工作中付出的艰辛和努力 , 也有取得成绩后得到的回报和快乐。一学期来的工作使我学到了很多。现将本学期的工作做以下总结：

一班主任要用道德自省打造和谐班级

“让人们因为我的存在而感到幸福”第一次读到这句话时，我就把这句话跟我的学生们分享，并且一直作为我们班级的班训。我认为，在实际工作中我们不是靠自己代替学生做事来解决问题，我们更多的是靠思想来影响教育学生，更多的是靠一种文化来引领。只有文化治班，才能达到潜移默化的效果。所以，在每学期的开学时，我都要这样对孩子们说：“让人们因为我的存在而感到幸福吧，这样我们也会感到温暖和幸福！”这既是一种伟大超高的价值观念，同时也是一种平凡朴实的实践行为。“做一个‘让人们因我的存在而感到幸福’的人，往往只需举手之劳：公共汽车上，你为一位老人让座，这位老人就会因为你而感到生活在这样一个文明的社会环境里是一种幸福；在街头，你热情耐心地回答一个外地人的问路，他就会因为你而感到能够得到一个素不相识的人的真诚帮助是一种幸福；在教室的楼道，你主动上前帮老师抱作业本，老师就会因为有你这样的学生感到幸福；有同学病了，你哪怕是送上一句亲切的问候，他也会感到有你这样的同学是一种幸福......”在潜移默化中我们班的孩子慢慢的学会了团结，学会了分享，学会了“让人们因为他们的存在而感到幸福”。

我们班有个问题学生某同学，他性格非常自我，而且有的时候还破罐子破摔，不分场合，不分情况，乱发脾气。同学们都很讨厌他。慢慢的他没有了朋友，变得更加暴躁。经过我和他交谈我知道了他可怜的身世。他父母在他很小的时候就相继去世，留下年幼的他和比她大3岁的姐姐。年幼失去父母的他，无论在生活还是学习上都没有得到足够的关怀。在他年幼的心里充满仇恨，充满敌对。我想用班级温暖来要消除某同学的敌对情绪，同时也让孩子们学互帮互爱，团结的神奇魔力。私下里我把某同学的情况跟大家介绍了下，使我没有想到的是有几个孩子竟然流下了眼泪。从他们的表情中，我看到了善良和纯真。我跟大家呼吁：“在班级，当自己遇到困难时，希不希望别人的帮助？当得到帮助时，心情会怎么样呢？当帮助过你的人遇到困难时，我想你一定会想法设法的去帮助他。看到他问题解决后的喜悦后，我想你和他一定都会很幸福吧。我希望在我们的集体中，大家有共同的追求，共同的荣辱、共同的精神支柱、共同的心里依托。你们说生活在这样的班级你能不幸福吗？慢慢的在日常生活中，同学们都主动的和某同学接触，班级活动总是看到同学们拉着某同学参加，私下里，几个男孩子还为某同学庆祝生日。慢慢地某同学变了，在他的脸上看到了更多的是笑容，现在的他，还主动为办公室老师换水。有时还主动的帮助老师管理班级解决问题。在学校组织的为家庭贫困有病同学募捐活动中，他还捐出了他自己存下的积蓄。虽然不多，但是这份感动却一直深深的触动着我。因为他正在为我们的班训而努力着，并且享受这种幸福！

二班主任要让学生明白学习是一种义务和责任

学习问题是我们中职学校的老大难问题，肯定也是在座所有班主任最头痛的事情。实话实说，在抓学生学习问题的问题上，我个人认为，要对学生进行学习教育。明白的告诉学生学习是我们的义务也是责任。学习是改变我们命运的重要途径

学习永远很重要，无论历史上还是现实生活中，那些依靠学习改变命运的人，可以说是数不胜数。在过去，读书是许多寒门人家出人头地的唯一途径。所以，过去有“书中自有黄金屋，书中自有颜如玉”的说法。我给孩子们举了很多很实在的例子。尽管读书不能够使他们富裕，但是至少可以让他们活得比较轻松一点。我常常对学生说：“你可以举出一千个、一万个不读书就可以赚大钱的例子，但是我要告诉他们的是，更多的人，是靠不断地学习养活了自己。学习可以丰富我们的精神生活

经常学习的人，他不觉得生活乏味，他无论走到哪里，都是一个精神生活丰富的人。他永远都有自己的精神寄托，有事情的时候，可以在工作中消遣时间，没有事情的时候，可以随便翻开一本书，一本杂志，或者点击一个网站，看一些休闲娱乐的文章。而我们现在的好多学生为什么这么依赖手机，我感觉多数是因为他们的精神生活太贫乏，每天坐在那里不听课，不写作业，无所事事，不玩手机你说他能干什么，所以我们就要引导孩子们用学习知识，丰富他们贫瘠的精

神生活。

我常常跟学生们说：“学习是你们能够做到的，最基本的义务。”学习是主业，在校学生必须把学习当成自己首要任务。既然是任务，不论喜不喜欢，不论感觉有没有趣味，学生都要做，是带有强制性的。父母工作是一种义务，老师上课是一种义务，学生学习也是他们必须接受的成长义务，是义务，那就没有什么人情可言，只要是学生，都得接受学习。明白了学习是义务，那么每天该完成的作业，该达到的效果，就是他们自己的事情了。

经过一段时间的潜移默化的引导，我们班学生在学习上有了很大的进步，尤其是在专业课上，得到了专业课老师很高的评价。尤其是在这次定级考试中，我们班同学以100%的通过率顺利的通过了理论题的考试。

三班主任要用“三心”引导学生爱心

作为一名教师，一名班主任，首先是应该爱孩子。对全班学生，无论是出自干部家庭或平民家庭，无论他是品学兼优的好孩子或是令人头痛的捣蛋鬼，均应一视同仁，爱的公正，爱的让学生信服。学生在爱的沐浴下轻松快乐的学习生活。即使他们违反了纪律，我严厉批评时，也要动之以情，晓之以理，更要让他们明白：老师是关心你们，爱护你们的，是为了你们着想才如此严格要求。这样在我面前就不会产生逆反心理，而是理解老师的苦心。正是这爱心才使这良药不苦口，忠言不腻耳。细心

有人说班主任是世界上“最小的主任”，可这最小的主任管的事却特别的多，特别的细。大至教育教学工作，小至扫把粉笔，样样少不了班主任的操心。班主任要有颗纤细如发的心——细心。

平日，细心的观察学生的学习，情绪，身体；多与学生交流沟通，了解他们的家庭状况，分析孩子思想动态；关注学生的点滴进步，及时鼓励，表扬；多记录，多总结积累经验。这样对学生各方面情况均了然于心，才能因材施教。耐心

班主任对学生不仅应施以爱心，施以细心，更应施以耐心。我们班有个大号捣蛋鬼，我想我说出来肯定在座的大多数老师都听过他的大名，教过我班的老师更是对他影响颇深。他就是某同学，不但个头大而且自身问题也大。属于自控能力特别低，散漫的孩子，每次犯的错不大，但频率特别高。就拿吸烟来说，开始的时候我能感觉到他是在敷衍我，每次批评教育时，他都很快的向我认错，但又很快再偷偷的跑去吸烟。我知道这种批评的教育方式已经不能解决他这个问题，回到家里，我下载了网上吸烟危害的教育片。这触目惊心的图片，视频震撼着他，让他从心里有了些畏惧。然后我又教给他一些心里暗示的方法，让他每天在QQ个性签名上写上戒烟的天数，时时刻刻鼓励自己坚持到底，让周围的人也帮助监督。我还给他买了棒棒糖，每到下课，上自习他犯烟瘾的时候，都给他一个让他转移下注意力，慢慢的某同学的吸烟情况有所改善。连他父母都打来电话说他的改变了。

总之，只要我们心中是真诚地为孩子，为孩子的健康成长而付出，端正自己的工作态度，我相信，我的班主任工作能在不断的磨练中得到提升。通过这个学期，我的班主任工作在校领导的关心与指导下，有了进步，也提高了些！我会再接再厉，吸取经验和教训，把班主任的教育教学工作做得更好。

高等数学电子教案12[5篇范例]

第一篇：高等数学电子教案12

第二篇：高等数学电子教案4

第三篇：基础和声电子教案12

第四篇：10011023《高等数学12》(经管)大纲

第五篇：12电子班主任工作总结

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