第一篇:高等数学电子教案12
高等数学教案 第十二章 无穷级数
第十二章
无穷级数
教学目的:
1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。
2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。
4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。
5、掌握交错级数的莱布尼茨定理,会估计交错级数的截断误差。
6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。
7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念,了解函数项级数的一致收敛性概念,了解函数项级数和函数的性质。
8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法,了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
9、会利用幂级数的性质求和
10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
12、理解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。
13、掌握将定义在区间(-π,π)上的函数展开为傅里叶级数的方法。
14、会将定义在区间[0,π]上的函数展开为正弦或余弦级数。
15、会将定义在区间(-l,l)上的函数展开为傅里叶级数。教学重点 :
1、级数收敛的定义及条件
2、判定正项级数的收敛与发散
3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;
4、泰勒级数
5、函数展开成傅立叶级数。教学难点:
1、级数收敛的定义及条件
2、判定正项级数的收敛与发散
3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;
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4、泰勒级数;
5、函数展开成傅立叶级数
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§12 1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
常数项无穷级数 一般地,给定一个数列
u1 u2 u3 un
则由这数列构成的表达式
u1 u2 u3 un
叫做(常数项)无穷级数 简称(常数项)级数 记为un 即
n1
unu1u2u3 un
n1其中第n项u n 叫做级数的一般项
级数的部分和 作级数un的前n项和
n1n
snuiu1u2u3 un
i1称为级数un的部分和
n1级数敛散性定义 如果级数un的部分和数列{sn}有极限s
n1即
limsns
n则称无穷级数un收敛 这时极限s叫做这级数的和
n1并写成
sunu1u2u3 un
n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
如果{sn}没有极限 则称无穷级数un发散
n1n1n
1余项 当级数un收敛时 其部分和s n是级数un的和s的近似值 它们之间的差值
rnssnun1un2
叫做级数un的余项
n1
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqnaaqaq2 aqn
n0的敛散性 其中a0 q叫做级数的公比
解: 如果q1 则部分和
snaaqaq aq2n1aaqnaqna
1q1q1qaa
当|q|1时 因为limsn 所以此时级数aqn收敛 其和为
1q1qnn0
当|q|>1时 因为limsn 所以此时级数aqn发散
nn0
如果|q|1 则当q1时 sn na 因此级数aqn发散
n0
当q1时 级数aqn成为
n0
aaaa
时|q|1时 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零
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所以sn的极限不存在 从而这时级数aqn也发散
n0a
综上所述 如果|q|1 则级数aq收敛 其和为 如果|q|1 则级数aqn发散
1qn0n0n
仅当|q|1时 几何级数aqna0)收敛 其和为n0a
1q
例2 证明级数
135 (2n-1) 是发散的
证 此级数的前n项部分和为
n(21n)n
sn135 (
显然 limsn 因此所给级数是发散的
n
例3 判别无穷级数
1111
122334n(n1)的收敛性
解 由于
un因此
sn1111 122334n(n1)111
n(n1)nn1
(1)() (从而
limsnlim(1nn1212131n11)1n1n11)1
n1所以这级数收敛 它的和是1
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提示 un 111
n(n1)nn1
二、收敛级数的基本性质
n1n
1性质1 如果级数un收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kun也收敛
且其和为ks
证明: 设un与kun的部分和分别为sn与n 则
n1n1
limnlim(ku1ku2 kun)klim(u1u2 un)klimsnks
nnnn这表明级数kun收敛 且和为ks
n1表明:级数的每一项同乘以一个不为零常数后,它的收敛性不会改变。
性质2 如果级数un、vn分别收敛于和s、 则级数(unvn)也收敛 且其和为s
n1n1n1
证明: 如果un、vn、(unvn)的部分和分别为sn、n、n 则
n1n1n1
limnlim[(u1v1)(u2v2) (unvn)]
nn
lim[(u1u2 un)(v1v2 vn)]
n
lim(snn)s
n表明:两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性
比如 级数1111 是收敛的
122334n(n1)青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
加一项后级数9895112123134 1n(n1) 也是收敛的
减一项后级数111 也是收敛的
3445n(n1)
性质4 如果级数un收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不变
n1注意 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛
例如 级数
(11)+(11)+ 收敛于零 但级数1111 却是发散的
推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散
级数收敛的必要条件
性质5 如果un收敛 则它的一般项un 趋于零 即limun0
n1n0
证 : 设级数un的部分和为sn 且limsns 则
n1n
limunlim(snsn1)limsnlimsn1ss0
n0nnn
注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件
例如
调和级数
11111
23nn1n1n尽管它的一般项limn0,但它是发散的
因为
假若级数1收敛且其和为s sn是它的部分和
nn1显然有limsns及lims2ns 于是lim(s2nsn)0
nnn
但另一方面
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s2nsn1n1111111
n22n2n2n2n2故lim(s2nsn)0 矛盾 这矛盾说明级数1必定发散
nn1n§12 2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
定义:各项都是正数或零的级数称为正项级数,称为正项级数。正项级数是一类非常重要的级数,关于正项级数有列重要结论:
定理1 正项级数un收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界
n1证
设级数
u1 u2 un
是一个正项级数。其部分和为sn
显然sn是一个单调增加数列,若部分和数列sn有界 则根据单调有界数列必有 极限的准则,可知级数un收敛;反之 若级数un收敛,则部分和数列sn有极限,根据有极限的数列是有界数列的性质可知{sn}有界
n1n1n1定理2(比较审敛法)设un和vn都是正项级数 且unvn(n1 2 ) 若级数vn收n1n1n1敛 则级数un收敛 反之 若级数un发散 则级数vn发散
证
设级数vn收敛于和 则级数un的部分和
n1n1
snu1u2 unv1 v2 vn(n1, 2, )
即部分和数列{sn}有界 由定理1知级数un收敛
n1n1n反之 设级数un发散 则级数vn必发散
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n1n1因为若级数vn收敛 由上已证明的结论 将有级数un也收敛 与假设矛盾
n1n1n1
推论
设un和vn都是正项级数 如果级数vn收敛 且存在自然数N 使当nN时有n1n1unkvn(k0)成立 则级数un收敛 如果级数vn发散 且当nN时有unkvn(k0)成立
则级数un发散
n1
例1 讨论p级数
n1111111
np2p3p4pnp的收敛性 其中常数p0
111解 设p1 这时p 而调和级数发散 由比较审敛法知
nnn1n当p1时级数n11发散
pn
设p1 此时有
nn111111dxdx[p1](n2, 3, )
pppp1n1nn1xp1(n1)nn对于级数[n211p1] 其部分和 p1(n1)n1][p112p1] [p111np111]1
p1p1(n1)(n1)
sn[123因为limsnlim[1nn1]1
(n1)p1111所以级数[收敛 从而根据比较审敛法的推论1可知 级数当]pp1p1nn2(n1)n1n青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
p1时收敛
综上所述 p级数1p当p1时收敛 当p1时发散
n1n提示 级数[n211]的部分和为
(n1)p1np112p1
sn[112p1][13p1] [1np111
]1p1(n1)(n1)p1因为limsnlim[1nn1]1
(n1)p1所以级数[n211]收敛
(n1)p1np1
p级数的收敛性
p级数n11当p1时收敛 当p1时发散
pn
例2 证明级数n11n(n1)是发散的
证 因为1n(n1)1(n1)21
n1而级数n11111 是发散的
n123n1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的
定理3(比较审敛法的极限形式)n1n1
设un和vn都是正项级数
(1)如果limnunvnn1n1l(0l) 且级数vn收敛 则级数un收敛
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(2)如果limnunvnl0或limnunvnn1n1 且级数vn发散 则级数un发散
证明 由极限的定义可知 对1l 存在自然数N 当nN时 有不等式 lu1113lnll
即lvnunlvn
222vn2再根据比较审敛法的推论1 即得所要证的结论
例3 判别级数tann11n的收敛性
tan1
解 因为 limnn1 而级数1发散
1n1nn根据比较审敛法的极限形式 级数tann11n发散
例4 判别级数n11(2n1)(2n1)的收敛性
11(2n1)(2n1)1 而级数2收敛
解 因为 limn14n1n2n根据比较审敛法的极限形式 级数n11(2n1)(2n1)收敛
定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)
若正项级数un的后项与前项之比值的极限等于
n1
limnun1un
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则
当1时级数收敛
当1(或limnun1un)时级数发散
当 1时级数可能收敛也可能发散
例5 证明级数1是收敛的
解 因为 limn1111 112123123 (n1)un1un limn123 (n1)123 n limn101
n根据比值审敛法可知所给级数收敛
例6 判别级数112123n!2 的收敛性
3n10101010
解 因为 limnun1un(n1)!10nn1 lim lim
n1n!n10n10根据比值审敛法可知所给级数发散
例7 判别级数n112n(2n1)的收敛性
解 limnun1un limn2n(2n1)(2n1)(2n2)1
这时1 比值审敛法失效 必须用其它方法来判别级数的收敛性
因为
定理5(根值审敛法 柯西判别法)1(2n1)2n1n2 而级数n11收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛
n
2设un是正项级数 如果它的一般项un的n次根的极限等于
n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
limnnun
n则当1时级数收敛 当1(或limnun)时级数发散
当1时级数可能收敛也可能发散
例8 证明级数11213 1n 是收敛的
23n并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差
解 因为 limnnun limnn11 lim0
nnnn所以根据根值审敛法可知所给级数收敛
以这级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差为
|rn|
111
(n1)n1(n2)n2(n3)n3111
n1n2n3(n1)(n1)(n1)1
nn(n1)
例9 判定级数n12(1)n2n的收敛性
解 因为 limnnunlim1n12(1)n
2n2所以 根据根值审敛法知所给级数收敛
定理6(极限审敛法)
设un为正项级数
n1
(1)如果limnunl0(或limnun) 则级数un发散
nnn1
(2)如果p1 而limnpunl(0l) 则级数un收敛
nn1
例7 判定级数ln(1n11)的收敛性
n2青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
解 因为ln(112)~12(n) 故
nn
limn2unlimn2ln(112)limn2121
nnnnn根据极限审敛法 知所给级数收敛
例8 判定级数n1(1cos)的收敛性
n1n
解 因为 limn3n2unlimn3n2n1(1cosn)limn2nn11212()
n2n2根据极限审敛法 知所给级数收敛
二、交错级数及其审敛法
交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的
交错级数的一般形式为 (1)n1n1nun 或(1)un 其中un0
n1
例如 (1)n1n111cosn 不是交错级数
是交错级数 但(1)n1nnn1
定理7(莱布尼茨定理)
如果交错级数(1)n1un满足条件
n1
(1)unun1(n1 2 3 )
(2)limun0
n则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1
证明 设前2n项部分和为s2n
由s2n(u1u2)(u3u4) (u2n 1u2n)
及
s2nu1(u2u3)(u4u5) (u2n2u2n1)u2n
看出数列{s2n}单调增加且有界(s2nu1) 所以收敛
设s2ns(n) 则也有s2n1s2nu2n1s(n) 所以sns(n) 从而级数是收敛的 且snu1
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因为 |rn|un1un2 也是收敛的交错级数 所以|rn|un1
例9 证明级数(1)n11 收敛 并估计和及余项
n1n
证
这是一个交错级数 因为此级数满足
(1)un11un1(n1, 2, )
(2)limunlim10
nn1nnn由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和su11 余项|rn|un1
1三、绝对收敛与条件收敛
n1n1n1
绝对收敛与条件收敛 若级数|un|收敛 则称级数un绝对收敛
n1n1n1若级数un收敛 而级数|un|发散 则称级un条件收敛
例如 级数(1)n1n11n11是绝对收敛的 而级数是条件收敛的
(1)nn2n1n1n1定理8 如果级数un绝对收敛 则级数un必定收敛
证明略
n1n
1注意 如果级数|un|发散 我们不能断定级数un也发散
但是 如果我们用比值法或根值法判定级数|un|发散
n1则我们可以断定级数un必定发散
n1这是因为 此时|un|不趋向于零 从而un也不趋向于零 因此级数un也是发散的
n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
例11 判别级数n1sinnan1n44的收敛性
解 因为|sinnan4| 而级数n11n4是收敛的
所以级数|n1sinnan4|也收敛 从而级数n1sinnan4绝对收敛
2例12 判别级数(1)n1n(11)n的收敛性
n12n
解 由|un|11n2n|u|1lim(11)n1e1
有(1)limnn2nn2n2n可知limun0 因此级数(1)nnn111n2(1)发散
n2n
§ 12 3 幂级数
一、函数项级数的概念
函数项级数 给定一个定义在区间I 上的函数列:
u1(x),u2(x),u3(x), un(x) 由这函数列构成的表达式
u1(x)u2(x)u3(x) un(x)
称为定义在区间I上的(函数项)级数
记为un(x)
n1
对于区间I内的一定点x0 若常数项级数un(x0)收敛 则称
n1点x0是级数un(x)的收敛点
若常数项级数un(x0)发散 则称
n1n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
点x0是级数un(x)的发散点。
n1函数项级数un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域
n1
所有发散点的全体称为它的发散域
在收敛域上 函数项级数un(x)的和是x的函数s(x)
n1s(x)称为函数项级数un(x)的和函数 并写成s(x)un(x)
n1n1
∑un(x)是un(x)的简便记法 以下不再重述
n1
在收敛域上 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x)
s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数 并写成s(x)∑un(x)
这函数的定义就是级数的收敛域。
函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x) 即
sn(x) u1(x)u2(x)u3(x) un(x)
在收敛域上有limsn(x)s(x)或sn(x)s(x)(n)
n
函数项级数un(x)的和函数s(x)与部分和sn(x)的差
rn(x)s(x)sn(x)n1叫做函数项级数un(x)的余项
n1
函数项级数∑un(x)的余项记为rn(x) 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn(x)s(x)sn(x)
在收敛域上有limrn(x)0
n
二、幂级数及其收敛性
幂级数
函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数
这种形式的级数称为幂级数 它的形式是
a0a1xa2x anx
其中常数a0 a1 a2 an 叫做幂级数的系数
例如一下级数
1xx2x3 xn
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1x121x xn
2!n!2
n
注 幂级数的一般形式是
a0a1(xx0)a2(xx0) an(xx0)
经变换txx0就得a0a1ta2t2 antn
幂级数
1xx2x3 xn
可以看成是公比为x的几何级数 当|x|1时它是收敛的 当|x|1时 它是发散的
因此它的收敛域为(1 1) 在收敛域内有
11xx2x3 xn
1x由此例可得:
定理1(阿贝尔定理)如果级数anxn当xx0(x00)时收敛 则适合不等式
n0|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数anxn当xx0时发散
n0则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散
证
先设x0是幂级数anx的收敛点 即级数anxn收敛 根据级数收敛的必要条件
n0n0n有limanx00 于是存在一个常数M 使 nn| anx0n |M(n0, 1, 2, )
这样级数n0anxn的的一般项的绝对值
xnxxnn||anx0|||nM||n
x0x0x0|anxnn||anx0xn因为当|x||x0|时 等比级数M||收敛 所以级数|anxn|收敛
x0n0n0也就是级数n0anxn绝对收敛
定理的第二部分可用反证法证明 倘若幂级数当xx0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
数收敛 则根据本定理的第一部分 级数当xx0时应收敛 这与所设矛盾 定理得证
推论
如果级数anxn不是仅在点x0一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个n0完全确定的正数R存在 使得
当|x|R时 幂级数绝对收敛
当|x|R时 幂级数发散
当xR与xR时 幂级数可能收敛也可能发散
收敛半径与收敛区间 正数R通常叫做幂级数数n0anxn的收敛半径 开区间(R R)叫做幂级
n0anxn的收敛区间 再由幂级数在xR处的收敛性就可以决定它的收敛域 幂级数n0anxn的收敛域是(R, R)(或[R, R)、(R, R]、[R, R]之一
n
规定 若幂级数anx只在x0收敛 则规定收敛半径R0 若幂级数anxn对一切x都n0n0收敛 则规定收敛半径R 这时收敛域为(, )
关于幂级数的收敛半径求法,有下列定理:
定理2 如果lim|nan1an| 其中an、an1是幂级数anxn的相邻两项的系数
n0则这幂级数的收敛半径
01 0
R0
简要证明 lim|nan1xn1anxn|lim|nan1an||x| |x|
(1)如果0 则只当|x|1时幂级数收敛 故R
(2)如果0 则幂级数总是收敛的 故R
1
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(3)如果 则只当x0时幂级数收敛 故R0
例1 求幂级数(1)n1n1xn的收敛半径与收敛域
n1a
解
因为 lim|n1| limn11
nan1nn所以收敛半径为R11
当x1时 幂级数成为(1)n1n11 是收敛的
n
1当x1时 幂级数成为() 是发散的 因此 收敛域为(1, 1]
nn1
例2 求幂级数1x1nx n!n012131的收敛域
xx xn 2!3!n!
1a(n1)!n! lim0
解
因为 lim|n1| limnann(n1)!1nn!所以收敛半径为R 从而收敛域为(, )
例3 求幂级数n!xn的收敛半径
n0
解 因为
lim|nan1an| lim(n1)!n!n
所以收敛半径为R0 即级数仅在x0处收敛
例4 求幂级数(2n)!2n0(n!)x2n的收敛半径
解 级数缺少奇次幂的项 定理2不能应用 可根据比值审敛法来求收敛半径
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幂级数的一般项记为un(x)(2n)!(n!)2x2n
因为 lim|nun1(x)un(x)| 4|x|2
当4|x|1即|x|21112时级数收敛 当4|x|1即|x|时级数发散 所以收敛半径为R 222[2(n1)]![(n1)!](2n)!(n!)22提示
un1(x)un(x)x2(n1)(2n2)(2n1)(n1)2x2
x2n
例5 求幂级数(x1)n2nn的收敛域
n1tn
解 令tx1 上述级数变为n
n12n
因为 lim|nan1an2nn1| n1
2(n1)2所以收敛半径R2
(1)1
当t2时 级数成为 此级数发散 当t2时 级数成为 此级数收敛
nnn1n1因此级数tn的收敛域为2t2 因为2x12 即1x3
nn12n所以原级数的收敛域为[1, 3)
三、幂级数的运算
设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛 则在(R, R)与(R, R)中较小的区间内有
加法 ∑anx∑bnx ∑(anbn)x
减法 ∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn
乘法(anx)(bnxn)a0b0(a0b1a1b0)x(a0b2a1b1a2b0)x2
nn0n0nn
n(a0bna1bn1 anb0)x
青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 n高等数学教案 第十二章 无穷级数
除法:n0n0anxxnnnbcn0nx nnnx与cnx相乘,然后比较
n0n
这里假定b00。为了决定系数cn,可以将
bn0与anxn的同次幂项系数得出。
n0关于幂级数,有以下的重要性质
性质1 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续
n0
如果幂级数在xR(或xR)也收敛 则和函数s(x)在(R, R](或[R, R))连续
性质2 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积 并且有逐项积分公式
n0
0xs(x)dx(anx)dx0n0xnn00xanxdxnn0n1anxn1(xI)
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
性质3 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式
n0
s(x)(anx)n0nn0(anx)nanxn1(|x|R)
n1n逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
例6 求幂级数1xn的和函数
n0n1
解 求得幂级数的收敛域为[1 1)
设和函数为s(x) 即s(x)
在xs(x)1xn x[1 1) 显然s(0)1
n0n11n1x的两边求导得 n1n0
[xs(x)]n0(11xn1)xn
n11xn0对上式从0到x积分 得
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xs(x)1dxln1(x)
01xx1ln(1x)0|x|11于是 当x 0时 有s(x)ln(1x) 从而s(x)x
x 1 x0x11n
1因为xs(x)x[xn1]dx
0n0n1n0n1
x0n0xndx1dxln1(x)
01xx所以 当x0时 有s(x)1ln(1x)
x1ln(1x)0|x|1从而 s(x)x
1 x0提示 应用公式F(x)dxF(x)F(0) 即F(x)F(0)F(x)dx
0011xx2x3 xn 1xxx
例7 求级数(1)nn1的和
n0
解
考虑幂级数1xn 此级数在[1, 1)上收敛 设其和
n0n1函数为s(x) 则s(1)(1)nn1
n0(1)11ln
在例6中已得到xs(x)ln(1x) 于是s(1)ln2 s(1)ln 即22n0n1n
§12 4 函数展开成幂级数
一、泰勒级数
问题 给定函数f(x) 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数” 就是说 是否能找到这样一个幂级数 它在某区间内收敛 且其和恰好就是给定的函数f(x)
如果能找到这样青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数 的幂级数 我们就说 函数f(x)在该区间内能展开成幂级数 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x)
以前学过泰勒多项式 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数 则在该邻域内f(x)近似等于
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)
f(n1)f(x0)2!(xx0)2
f(n)(x0)n!(xx0)nRn(x)
其中Rn(x)()(n1)!(xx0)n1(介于x与x0之间)
泰勒级数 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x) f(x)
f(n)(x) 则当n时 f(x)在点x0的泰勒多项式
pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)成为幂级数
f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)2f(x0)2!(xx0) 2f(n)(x0)n!(xx0)n
f(x0)3!(xx0) 3f(n)(x0)n!(xx0)n
这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数
显然 当xx0时 f(x)的泰勒级数收敛于f(x0)
但是 除了xx0外 f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛 它是否一定收敛于f(x)? 对此,有以下定理:
定理
设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零 即
nlimRn(x)0(xU(x0))
证明
先证必要性 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数 即
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0) 2f(n)(x0)n!(xx0)n
又设sn1(x)是f(x)的泰勒级数的前n1项的和 则在U(x0)内sn1(x) f(x)(n)
而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)Rn(x) 于是R n(x)f(x)sn1(x)0(n)
再证充分性 设Rn(x)0(n)对一切xU(x0)成立
因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)R n(x) 于是sn1(x)f(x)R n(x)f(x)
即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛 并且收敛于f(x)
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在泰勒级数中取x00 得
f(0)f(0)xf(0)2!x 2f(n)(0)n!xn
此级数称为f(x)的麦克劳林级数
展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这种展式是唯一的 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致
这是因为 如果f(x)在点x00的某邻域(R R)内能展开成x的幂级数 即
f(x)a0a1xa2x anx
那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导 有 f (x)a12a2x3a3x nanx
f (x)2!a232a3x n(n1)anxn2
f (x)3!a3 n(n1)(n2)anxn3
f(n)(x)n!an(n1)n(n1) 2an1x
于是得
a0f(0) a1f (0) a2f(0)2!2n12n
anf(n)(0)n!
注意 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数 但是 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛 它却不一定收敛于f(x) 因此 如果f(x)在点x00处具有各阶导数 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来 但这个级数是否在某个区间内收敛 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察
二、函数展开成幂级数
展开步骤
第一步
求出f(x)的各阶导数 f (x) f (x) f(n)(x)
第二步
求函数及其各阶导数在x0 处的值
f(0) f (0) f (0) f(0)
第三步
写出幂级数
f(0)f(0)x并求出收敛半径R
青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组(n)f(0)2!x 2f(n)(0)n!xn 高等数学教案 第十二章 无穷级数
第四步
考察在区间(R R)内时是否Rn(x)0(n)
limRn(x)limnf(n1)()n(n1)!xn
1是否为零 如果Rn(x)0(n) 则f(x)在(R R)内有展开式
f(x)f(0)f(0)xf(0)2!x 2f(n)(0)n!xn (RxR)
例1 将函数f(x)ex展开成x的幂级数
解 所给函数的各阶导数为f(x)e(n1 2 ) 因此f
1x1x2 1xn
2!n!(n)
x
(n)
(0)1(n1 2 ) 于是得级数
它的收敛半径R
对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有
n1en1|x||x|x| e
|Rn(x)| |
(n1)!(n1)!|x|n10 所以 lim|Rn(x)|0 从而有展开式 而 limn(n1)!n
ex1x121x xn (x)
2!n!
例2 将函数f(x)sin x 展开成x的幂级数
解 因为f(n)(n)(x)sin(xn )(n1 2
)
2所以f(0)顺序循环地取0 1 0 1 ((n0 1 2 3 ) 于是得级数
2n1x3x5n1x (1)
x3!5!(2n1)!它的收敛半径为R
对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有
sin[(n1)2(n1)!]xn1 |Rn(x)| ||x|n1| 0(n )
(n1)!因此得展开式
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sinxxx3x5x2n1 (1)n1 (x)
3!5!(2n1)!2!n!
ex1x1x2 1xn (x)
例3 将函数f(x)(1 x)展开成x的幂级数 其中m为任意常数
解 f(x)的各阶导数为
f (x)m(1x)m1
f (x)m(m1)(1x)
f(n)(x)m(m1)(m2) (mn1)(1x)mn
所以
f(0)1 f (0)m f (0)m(m1) f(n)(0)m(m1)(m2) (mn1) 于是得幂级数
1mx可以证明
(1x)m1mx
间接展开法
例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数
解
已知
2n1x3x5n1x (1) (x)
sinxx3!5!(2n1)!m2m
m(m1)2!x2 m(m1) (mn1)n!xn
m(m1)2!x2 m(m1) (mn1)n!xn (1x1)
对上式两边求导得
2nx2x4nx (1) (x)
cosx12!4!(2n)!
例5 将函数f(x)
解 因为1展开成x的幂级数
21x11xx2 xn (1x1)
1x2把x换成x 得
11x2x4 (1)nx2n (1x1) 21x青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
注 收敛半径的确定 由1x1得1x1
例6 将函数f(x)ln(1x)展开成x的幂级数
分析 因为f(x)1
1x2而1是收敛的等比级数(1)nxn(1x1)的和函数
1xn0
11xx2x3 (1)nxn
1x所以将上式从0到x逐项积分 得
n1x2x3x4nx
ln1(x)x (1) (1x1)
234n
1解
f(x)ln(1x)[ln(1x)]dx0xx01dx 1xxn1
[(1)x]dx(1)(1x1)
0n1n0n0xnnn
上述展开式对x1也成立 这是因为上式右端的幂级数当x1时收敛 而ln(1x)在x1处有定义且连续
例7 将函数f(x)sin x展开成(x
解
因为
sinxsin[并且有
cosx(
sinx(4(x4)的幂级数
4)]2[cos(x)sin(x)]
24444)111(x)2(x)4 (x)
2!44!4)(x4)11(x)3(x)5 (x)
3!45!4所以
sinx
例8 将函数f(x)
解 因为 211[1(x)(x)2(x)3 ](x)
242!43!41展开成(x1)的幂级数
x24x3青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
f(x)111111
x24x3(x1)(x3)2(1x)2(3x)4(1x1)8(1x1)24 nn11n(x1)n(x1)
(1)(1)4n08n02n4n
n0(1)n(12n22n)(x1)(1x3)
2n31提示
1x2(x1)2(1x1)3x4(x1)4(1x1)
24n1x1n(x1)
(1)(11)
nx1n02212n1x1n(x1)
(1)(11)
nx1n04414收敛域 由1
x1x11和11得1x3
24小结:常用的展开式
11xx2 xn (1x1) 1xex1x121x xn (x)
2!n!2n1x3x5n1xsinxx (1) (x) 3!5!(2n1)!2nx2x4nxcosx1 (1) (x) 2!4!(2n)!n1x2x3x4nxln(1x)x (1) (1x1) 234n1(1x)m1mxm(m1)2!x2 m(m1) (mn1)n!xn (1x1)
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§12 5 函数的幂级数展开式的应用
一、近似计算
例1 计算5240的近似值 要求误差不超过00001
解
因为5240524333(114)1/5
3所以在二项展开式中取m1 x14 即得
51114114912403(1428312 )
5352!353!3这个级数收敛很快 取前两项的和作为5240的近似值 其误差(也叫做截断误差)为
|r2|3(3
1411491149141 )522!38533!312544!316141112[1() ] 28818152!3611118
12532527402000018111)
5344于是取近似式为52403(1为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过10 计算时应取五位小数 然后四舍五入 因此最后得:
52402.9926
例2 计算ln 2的近似值 要求误差不超过00001
解
在上节例5中 令 x1可得
ln21111 (1)n1 .23n
如果取这级数前n项和作为ln2的近似值 其误差为
|rn|1.n1为了保证误差不超过104 就需要取级数的前10000项进行计算.这样做计算量太大了 我们必需用收敛较快的级数来代替它.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
把展开式
ln1(x)x中的x换成x 得
x2x3x ln(1x)x (1x1)
234x2x3x4xn1 (1)n (1x1)234n1两式相减 得到不含有偶次幂的展开式
ln1xln1(x)ln1(x)2(xx3x5 )(1x1)
1x35令1x2 解出x1 以x1代入最后一个展开式 得
1x33
ln22(13111111 ) 333535737如果取前四项作为ln2的近似值 则误差为
|r4|2(
111111 )9391***12[1() ]
99311
2111.11970000031143913111111) 333535737于是取 ln22(同样地 考虑到舍入误差 计算时应取五位小数
1111111 30.01235 50.00082 70.00007 0.333333335373因此得
ln 206931
例3 利用sinxx13 x求sin9的近似值 并估计误差
3!解
首先把角度化成弧度
9从而
1809(弧度)203(弧度)
1sin20203!20
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其次 估计这个近似值的精确度 在sin x 的幂级数展开式中令x 得
20111
sin 20203!205!207!20357等式右端是一个收敛的交错级数 且各项的绝对值单调减少 取它的前两项之和作为sin的20近似值 起误差为
111
|r2| (0.2)55!201203000000.003876 因此取 0.157080 202053于是得
sin9015643 这时误差不超过105 例4 计算定积分
2120exdx 的近似值 要求误差不超过00001(取x
20.56419)
解: 将e的幂级数展开式中的x换成x 得到被积函数的幂级数展开式
ex21(x2)1!n(x2)22!(x2)33!
x2n
(1)(x).n!n0于是 根据幂级数在收敛区间内逐项可积 得
21122exdx0212[(1)n0n0x2n2]dxn!(1)n22nn!0xdx n01
(111146 ).23252!273!2前四项的和作为近似值 其误差为
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|r4|所以
2111
2894!90000122exdx01(1111)0.5295
2232452!2673!
例5 计算积分
01sinxxdx 的近似值 要求误差不超过00001
解 由于limsinx1 因此所给积分不是反常积分 如果定义被积函数在x0处的值为1
x0x则它在积分区间[0 1]上连续,展开被积函数 有
sinxx2x4x6
1 (x)
x3!5!7!在区间[0 1]上逐项积分 得
01sinx111dx1
x33!55!77!因为第四项
11
77!30000所以取前三项的和作为积分的近似值
01sinxxdx1110.9461
33!55!
二、欧拉公式
复数项级数 设有复数项级数
(u1iv1)(u2iv2) (univn)
其中un vn(n1 2 3 )为实常数或实函数 如果实部所成的级数
u1u2 un
收敛于和u 并且虚部所成的级数
v1v2 vn
收敛于和v 就说复数项级数收敛且和为uiv
绝对收敛
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2如果级(univn)的各项的模所构成的级数un收敛
vnn1n1则称级数(univn)绝对收敛
n1复变量指数函数 考察复数项级数
1z1z2 1zn
2!n!可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的 在x轴上它表示指数函数e 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数 记为ez 即
ez1z121z zn
2!n!x
欧拉公式 当x0时 ziy 于是
eiy1iy
1iy
(111(iy)2 (iy)n 2!n!12111yiy3y4iy5 2!3!4!5!121411yy )i(yy3y5 )2!4!3!5!
cos yisin y
把y定成x得
eixcos xi sin x
这就是欧拉公式
复数的指数形式 复数z可以表示为
zr(cos isin)re
其中r|z|是z的模 arg z是z的辐角
三角函数与复变量指数函数之间的联系
因为eixcos xi sin x eixcos xi sin x 所以
e+e2cos x
ee2isin x
cosx11ix(eeix) sinx(eixeix)
22i青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 ixixxixi
这两个式子也叫做欧拉公式 高等数学教案 第十二章 无穷级数
复变量指数函数的性质
ez1z2ez1ez2
特殊地 有exiy ex ei y ex(cos y isin y)
也就是说,复变量指数函数ez在zxyi处的值的模为ex,辐角为y的复数。
§12.7 傅里叶级数 一、三角级数
三角函数系的正交性
三角级数 级数 a0(ancosnxbnsinnx)
2n1称为三角级数 其中a0 an bn(n 1 2 )都是常数
三角函数系
1 cos x sin x cos 2x sin 2x cos nx sin nx
三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[ ]上的积分等于零 即
cosnxdx0(n1 2 )
sinnxdx0(n1 2 )
sinkxcosnxdx0(k n1 2 )
sinkxsinnxdx0(k n1 2 kn)
coskxcosnxdx0(k n1 2 kn) 三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[]上的积分不等于零 即
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12dx2
2cosnxdx(n 1 2 )
sinnxdx2(n 1 2 )
二、函数展开成傅里叶级数
问题 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数
f(x)a02(akcoskxbksinkx)
k1那么系数a0 a1 b1 与函数f(x)之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分 则
f(x)cosnxdxa02cosnxdx[akcoskxcosnxdxbksinkxcosnxdx]
k1类似地f(x)sinnxdxbn
傅里叶系数
a0
an
bn11f(x)dx
1(n 1 2 )
f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx(n 1 2 )
系数a0 a1 b1 叫做函数f(x)的傅里叶系数
傅里叶级数 三角级数
a02(ancosnxbnsinnx)
n1称为傅里叶级数 其中a0 a1 b1 是傅里叶系数
问题 一个定义在( )上周期为2的函数f(x) 如果它在一个周期上可积 则一定可以作出f(x)的傅里叶级数 然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说 这两个问题的答案都不是肯定的
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定理(收敛定理 狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 在一个周期内至多只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛 并且
当x是f(x)的连续点时 级数收敛于f(x)
当x是f(x)的间断点时 级数收敛于1[f(x0)f(x0)]
2例1 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[ )上的表达式为
f(x)1 x0
0 x将f(x)展开成傅里叶级数
解 所给函数满足收敛定理的条件 它在点xk(k0 1 2 )处不连续 在其它点处连续 从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛 并且当xk时收敛于
11[f(x0)f(x0)](11)0
22当xk时级数收敛于f(x)
傅里叶系数计算如下
an11f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx1100(1)cosnxdx1101cosnxdx0(n 0 1 2 )
bn
(1)sinnxdx01sinnxdx
1cosnx01cosnx1[][]0[1cosncosn1] nnn4 n1, 3, 5, 2n
[1(1)]n
n0 n2, 4, 6, 于是f(x)的傅里叶级数展开式为
f(x)4[sinx11sin3x sin2(k1)x ]
32k
1(x x 0 2 )
例2 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[)上的表达式为
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f(x)x x0
0 0x将f(x)展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)(k0 1 2 )处不连续 因此 f(x)的傅里叶级数在x(2k1)处收敛于
1[f(x0)f(x0)]1(0)
222在连续点x(x(2k1))处级数收敛于f(x)
傅里叶系数计算如下
a0an11f(x)dx10xdx1 21xsinnxcosnx01[](1cosn)nn2n2f(x)cosnxdx0xcosnxdx2 n1, 3, 5,
n2
0 n2, 4, 6,
bn
1nf(x)sinnxdx1xsinnxdx01[xcosnxsinnx0cosn ]nnn2(1)n1(n 1 2 )
f(x)的傅里叶级数展开式为
f(x)
4(2cosxsinx)121sin2x(2cos3xsin3x)233121sin4x(2cos5xsin5x) (x x 3 ) 455
周期延拓 设f(x)只在[]上有定义 我们可以在[ )或( ]外补充函数f(x)的定义
使它拓广成周期为2的周期函数F(x) 在( )内 F(x)f(x).例3 将函数
f(x)x x0
x 0 x展开成傅里叶级数
解 所给函数在区间[ ]上满足收敛定理的条件 并且拓广为周期函数时 它在每一点x处青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
都连续 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在[ ]上收敛于f(x)
傅里叶系数为
a0
an11f(x)dx1(x)dx01001xdx
12f(x)cosnxdx(x)cosnxdx0
xcosnxdx4 n1, 3, 5,
2(cosn1)n2
n0 n2, 4, 6,
bn1f(x)sinnxdx10(x)sinnxdx10xsinnxdx0(n 1 2 )
于是f(x)的傅里叶级数展开式为
f(x) 411(cosx2cos3x2cos5x )(x)
23
5三、正弦级数和余弦级数
当f(x)为奇函数时 f(x)cos nx是奇函数 f(x)sin nx是偶函数 故傅里叶系数为
an0(n0 1 2 )
bn20f(x)sinnxdx(n1 2 3 )
因此奇数函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
bnsinnx
n1
当f(x)为偶函数时 f(x)cos nx是偶函数 f(x)sin nx是奇函数 故傅里叶系数为
an20f(x)cosnxdx(n0 1 2 3 )
bn0(n1 2 )
因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数
a02ancosnx
n1
例4 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[ )上的表达式为f(x)x 将f(x)展开成
傅里叶级数
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解 首先 所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)(k0 1 2 )不连续
因此f(x)的傅里叶级数在函数的连续点x(2k1)收敛于f(x) 在点 x(2k1)(k0 1 2 )收敛于
1[f(0)f(0)]1[()]0
2其次 若不计x(2k1)(k0 1 2 ) 则f(x)是周期为2的奇函数 于是
an0(n0 1 2 ) 而
bn20f(x)sinnxdx20xsinnxdx
nx22
2[xcosnxsin]0cosnx(1)n1(n1 2 3 )
2nnnnf(x)的傅里叶级数展开式为
f(x)2(sinx111sin2xsin3x (1)n1sinnx 23n
(x x 3 )
例5 将周期函数u(t)E|sin1t|展开成傅里叶级数 其中E是正的常数
2解 所给函数满足收敛定理的条件 它在整个数轴上连续 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)
因为u(t)是周期为2的偶函数 所以bn0(n1 2 ) 而
an20u(t)cosntdt20tEsincosntdt
E011[sinn()tsinn()t]dt
2211cosn()tcosn()tE22]
[011nn22
4E(n0 1 2 )
(4n21)所以u(t)的傅里叶级数展开式为
4E1 u(t)(cosnt)(t)
22n14n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
奇延拓与偶延拓 设函数f(x)定义在区间[0 ]上并且满足收敛定理的条件 我们在开区间( 0)内补充函数f(x)的定义 得到定义在( ]上的函数F(x) 使它在( )上成为奇函数(偶函数) 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓) 限制在(0 ]上 有F(x)f(x)
例6 将函数f(x)x1(0x)分别展开成正弦级数和余弦级数
解
先求正弦级数 为此对函数f(x)进行奇延拓
bn20f(x)sinnxdx20(x1)sinnxdx2[xcosnxsinnxcosnx]0 2nnn22 n1, 3, 5, 2n(1cosncosn)
2n n2, 4, 6, n函数的正弦级数展开式为
x12[(2)sinx2sin2x1(2)sin3xsin4x ](0x)
34在端点x0及x处 级数的和显然为零 它不代表原来函数f(x)的值
再求余弦级数 为此对f(x)进行偶延拓
an20f(x)cosnxdx20(x1)cosnxdx2[xsinnxcosnxsinnx]0 nnn20 n2, 4, 6,
2(cosn1)4
2 n1, 3, 5, nn2
a0202x2(x1)dx[x]02
2函数的余弦级数展开式为
x1 4111(cosx2cos3x2cos5x )(0x)
235§12 8 周期为2l的周期函数的傅里叶级数
一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数
到目前为止,我们讨论的周期函数都是以2为周期的 但是实际问题中所遇到的周期函数 它的周期不一定是2 怎样把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数呢?
问题 我们希望能把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数 为此我们先把周期为2l的周青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
期函数f(x)变换为周期为2的周期函数
令xlt及f(x)f(lt)F(t) 则F(t)是以2为周期的函数
这是因为F(t2)f[l(t2)]f(lt2l)f(lt)F(t)
于是当F(t)满足收敛定理的条件时 F(t)可展开成傅里叶级数
F(t)其中
ana02(ancosntbnsinnt)
n11F(t)cosntdt(n0 1 2 ) bnF(t)sinntdt(n1 2 )
1从而有如下定理
定理 设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件 则它的傅里叶级数展开式为
f(x)a0nxnx(ancosbnsin)
2n1ll其中系数an bn 为
anf(x)cosll
bnf(x)sinll
当f(x)为奇函数时
nx
f(x)bnsin
ln11lnxdx(n0 1 2 )
lnxdx(n1 2 )
l1l其中bn2lnxf(x)sindx(n 1 2 )
l0l
当f(x)为偶函数时
f(x)其中an2la0nxancos
2n1lf(x)cosnxdx(n 0 1 2 )
l0l
例1 设f(x)是周期为4的周期函数 它在[2 2)上的表达式为
f(x)0 2x0(常数k0)
k 0x2青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第十二章 无穷级数
将f(x)展开成傅里叶级数
解
这里l2,按公式得
an1kcosnxdx[ksinnx]00(n0)
022n2
a010dx1kdxk
2220021
bn22k n1, 3, 5, nxknx2kksindx[cos](1cosn) n002n2n0 n2, 4, 6, 2于是
x13x15x
f(x)k2k(sinsinsin )
223252(x x0 2 4
在x0 2 4 收敛于k)
2pxl 0x2展开成正弦级数
例2 将函数M(x)2p(lx)l xl22
解
对M(x)进行奇延拓 则
an0(n0 1 2 3 )
bnlllp(lx)nx22pxnxnxM(x)sindx[sindxsindx]
l0ll02l2l2l对上式右边的第二项 令tlx 则
l0ptn(lt)22pxnx
bn[sindxlsin(dt)]
l02l2l2ll22pxnxntn12ptsindx(1)sindt]
[002l2ll当n2 4 6 时 bn0 当n1 3 5 时
bn4p2ll202plnxnxsindx22sin
l2n于是得
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M(x) 2pl2(sinxl13x15xsin2sin )(0xl)
2ll35青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
第二篇:高等数学电子教案4
高等数学教案
第四章
不定积分
教学目的:
第四章
不定积分
1、理解原函数概念、不定积分的概念。
2、掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法(第一,第二)与分部积分法。
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点:
1、不定积分的概念;
2、不定积分的性质及基本公式;
3、换元积分法与分部积分法。教学难点:
1、换元积分法;
2、分部积分法;
3、三角函数有理式的积分。
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高等数学教案
第四章
不定积分
§4 1 不定积分的概念与性质
一、教学目的与要求:
1. 2. 理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式。
二、重点、难点:原函数与不定积分的概念
三、主要外语词汇:At first function,Be accumulate function,Indefinite integral,Formulas integrals elementary forms.四、辅助教学情况:多媒体课件第四版和第五版(修改)
五、参考教材(资料):同济大学《高等数学》第五版
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第四章
不定积分
一、原函数与不定积分的概念
定义
1如果在区间I上 可导函数F(x)的导函数为f(x) 即对任一xI 都有
F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数
例如 因为(sin x)cos x 所以sin x 是cos x 的原函数
又如当x (1 )时
因为(x)1 所以x是1的原函数
2x2x
提问:
cos x和1还有其它原函数吗?
2x
原函数存在定理
如果函数f(x)在区间I上连续 那么在区间I上存在可导函数F(x) 使对任一x I 都有
F (x)f(x)
简单地说就是 连续函数一定有原函数
两点说明
第一 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x) 那么f(x)就有无限多个原函数 F(x)C都是f(x)的原函数 其中C是任意常数
第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数 则 (x)F(x)C
(C为某个常数)
定义2 在区间I上 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分 记作
f(x)dx
其中记号称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx称为被积表达式 x 称为积分变量
根据定义 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数 那么F(x)C就是f(x)的不定积分 即
f(x)dxF(x)C
因而不定积分f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数
例1因为sin x 是cos x 的原函数所以
cosxdxsinxC
因为x是1的原函数所以
2x青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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不定积分
1dxxC
2x
例2.求函数f(x)1的不定积分
x 解:当x>0时(ln x)1
x
1 dxlnxC(x>0)
x
当x<0时[ln(x)]1(1)1
xx
1 dxln(x)C(x<0)
x 合并上面两式得到
1 dxln|x|C(x0)
x
例3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程
解 设所求的曲线方程为yf(x) 按题设 曲线上任一点(x y)处的切线斜率为yf (x)2x, ,即f(x)是2x 的一个原函数
因为
2xdxx2C
故必有某个常数C使f(x)x 2C 即曲线方程为yx 2C
因所求曲线通过点(1 2) 故
21C
C1
于是所求曲线方程为yx1
积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线
从不定积分的定义 即可知下述关系
d[f(x)dx]f(x)
dx2或
d[f(x)dx]f(x)dx
又由于F(x)是F(x)的原函数 所以
F(x)dxF(x)C
或记作
dF(x)F(x)C
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不定积分
由此可见 微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算 以记号表示)是互逆的 当记号与d 连在一起时 或者抵消 或者抵消后差一个常数
二、基本积分表(1)kdxkxC(k是常数)
(2)xdx1x1C
1(3)1dxln|x|C
x(4)exdxexC
x(5)axdxaC
lna(6)cosxdxsinxC
(7)sinxdxcosxC
(8)(9)1dxsec2xdxtanxC
2cosx1dxcsc2xdxcotxC
2sinx1dxarctanxC
1x211x2(10)(11)dxarcsinxC
(12)secxtanxdxsecxC
(13)cscxcotdxcscxC
(14)sh x dxch xC
(15)ch x dxsh xC
111x31C2C
例4 3dxx3dx312xx青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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不定积分
例5 x2xdxx52dx151251x2C22x2Cx3xC777
例6 dxx3xx43dx41x3413C3x13C33xC
三、不定积分的性质
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即
[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx
这是因为, [f(x)dxg(x)dx][f(x)dx][g(x)dx]f(x)g(x).性质2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来 即
kf(x)dxkf(x)dx(k是常数 k 0)
例7.x(x5)dx(x25215x2)dx
1x2dx 例8 5x2dx715x2dx35x2dx5
27x2523x2C
(x1)3x2x33x23x131dxdx(x32)dx2xxx1111 xdx3dx3dx2dxx23x3ln|x|C
x2xx 例9 (ex3cosx)dxexdx3cosxdxex3sinxC
例10 xxx2edx(2e)dx2(2e)xln(2e)C2xexC1ln2
1xx11dxdx()dx
例11 x(1x2)x(1x2)1x2xx(1x2) 例12 11dxdxarctanxln|x|C
2x1x(x21)(x21)1x4x411dx1x2dx1x2dx1x2
(x2111)dxx2dxdxdx 21x1x2青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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不定积分
1x3xarctanxC 例13 tan2xdx(sec2x1)dxsec2xdxdx
tan x x C
例14 sin2x dx1cosxdx1(1cosx)dx
222 例15
12(xsinx)C
1dx4cotxC
sin2x1sin2xxcos222dx4青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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不定积分
§4 2 换元积分法
一、教学目的与要求:
1. 2. 掌握不定积分的第一类换元法(凑微分法),熟悉常见的凑微分的类型,会灵活应用凑微分法求不定积分。
掌握不定积分的第二类换元法,并会灵活运用常用的代换方法。
二、重点、难点:换元法
三、主要外语词汇:Change a dollar
四、辅助教学情况:多媒体课件第四版和第五版(修改)
五、参考教材(资料):同济大学《高等数学》第五版
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不定积分
一、第一类换元法
设f(u)有原函数F(u)
u(x) 且(x)可微 那么 根据复合函数微分法 有 d F[(x)]d F(u)F (u)d u F [(x)] d(x) F [(x)](x)d x
所以
F [(x)](x)dx F [(x)] d(x) F (u)d u d F(u)d F[(x)]
因此
F[(x)](x)dxF[(x)]d(x)
F(u)dudF(u)dF[(x)]F[(x)]C 即
f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)
[F(u)C] u (x) F[(x)]C
定理
1设f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式
f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f(u)duF(u)CF[(x)]C
被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待 从而微分等式(x)dx du可以应用到被积表达式中
在求积分g(x)dx时 如果函数g(x)可以化为g(x) f[(x)](x)的形式 那么
g(x)dxf[(x)](x)dx[f(u)du]u(x)
例1.2cos2xdxcos2x(2x)dxcos2xd(2x)
uCsin 2xC
cosudusin11111dx(32x)dxd(32x)
例2.32x232x232x1111
dxln|u|Cln|32x|C
2u22 例3.2xexdxex(x2)dxexd(x2)eudu
euCexC 例4.x1x2dx1x2(x2)dx1x2dx2
22222 1111x2d(1x2)u2duu2C2231(1x2)2C 3313
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不定积分
例5.tanxdxsinxdx1dcosx
cosxcosx
1duln|u|C
u
ln|cos x|C
即
tanxdxln|cosx|C
类似地可得cotxdxln|sinx|C
熟练之后 变量代换就不必再写出了
例6.212dx121dx
axa1(x)2a
1a1x1xdarctanC
xa1()2aaa1x 即 212dxarctanC
aaaxxxxx 例7.chdxachda shC
aaaa 例8.当a0时,1a2x2dx1a1x1()2adx1x1()2adxxarcsinC aa
即 xdxarcsinC
aa2x211111111)dx[dxdx]
例9.22dx(2axaxa2axaxaxa111d(xa)d(xa)]
[2axaxa11xa|C
[ln|xa|ln|xa|]Cln|2a2axa11xa|C
即 22dxln|2axaxadxdlnx1 例10.
x(12lnx)12lnx212lnxd(12lnx)1
ln|12lnx|C
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不定积分
例11.e3xxdx2e3xdx23e3xd3x
2e33xC
含三角函数的积分
例12.sin3xdxsin2xsinxdx(1cos2x)dcosx dcosxcos2xdcosxcosxco3sxC 例13.sin2xcos5xdxsin2xcos4xdsinx
22x(1sinx)2dsinx
sin46nx2sinxsinx)dsinx
(si221357xsinxsinxC
1sin357 例14.cos2xdx1cos2xdx1(dxcos2xdx)
2211112xC
dxcos2xd2xxsin24241 例15.cos4xdx(cos2x)2dx[(1cos2x)]2dx
(12cos2xcos22x)dx
4131
(2cos2xcos4x)dx
4221312xsin4x)C
(xsin4283114xC
xsin2xsin84321 例16.cos3xcos2xdx(cosxcos5x)dx
2115xC
sinxsin2101dx 例17.cscxdxsinx1dx xx2sincos22青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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不定积分
dx22
dtanx2xtancos2x2ln|tanx|Cln |csc x cot x |C
x2tan2 即
cscxdxln |csc x cot x |C
例18.secxdxcsc(x)dxln|csc(x )cot(x )|C
222
ln |sec x tan x | C
即
secxdxln |sec x tan x | C
二、第二类换元法
定理2 设x (t)是单调的、可导的函数 并且(t)0 又设f [(t)](t)具有原函数F(t) 则有换元公式
f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)F[1(x)]C
其中t(x)是x(t)的反函数
这是因为
{F[1(x)]}F(t)dtf[(t)](t)1f[(t)]f(x)
dxdxdt 例19.求a2x2dx(a>0)
解: 设xa sin t t 那么a2x2a2a2sin2tacost
22dx a cos t d t 于是
a2x2dxacostacostdt
11stdta2(tsin2t)C
a2co224因为tarcsinxaxa2x2, sin2t2sintcost2 所以
aaa2x111arcsinxa2x2C axdxa(tsin2t)C2a224222
解: 设xa sin t t 那么
22青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案
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不定积分
a2x2dxacostacostdt
a2x11 a2co2arcsinxa2x2C
stdta(tsin2t)C242a2提示:a2x2a2a2sin2tacost dxacos tdt
xa2x2提示: tarcsinx, sin2t2sintcost2
aaa
例20.求dxx2a2(a>0)
解法一 设xa tan t t 那么
22x2a2a2a2tan2ta1tan2ta sec t dxa sec
t d t 于是
因为sectdxx2a2asec2tdtsectdt ln |sec t tan t |C
asectx2a2x tant 所以 aadxxa22x ln |sec t tan t |Cln(ax2a2)Cln(xax2a2)C1
其中C 1Cln a
解法一 设xa tan t t 那么
dxxa22asec2tdtsectdtln|secttant|C asect
x
ln(ax2a2)Cln(xax2a2)C1
其中C 1Cln a
提示:x2a2a2a2tan2tasect dxa sec 2t dt
提示:sect
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x2a2x tant aa高等数学教案
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不定积分
解法二: 设xa sh t 那么
dxx2a2ach txdtdttCarshC ach ta
lnx(x)21Cln(xx2a2)C1
aa其中C 1Cln a
提示: x2a2a2sh2ta2a ch t dx a ch t d t
例23.求dxx2a2(a>0)
解: 当x>a 时 设xa sec t(0t ) 那么
2x2a2a2sec2ta2asec2t1a tan t
于是
dxx2a2因为tantasecttantdtsectdt ln |sec t tan t |C
atantx2a2x sect 所以 aadxxa22 ln |sec t tan t |C ln|xax2a2|Cln(xax2a2)C1
其中C 1Cln a
当xa 于是
dxx2a2duu2a2ln(uu2a2)C
(xx2a2)Cln(xx2a2)C1
lnlnxx2a2Cln(xx2a2)C1
2a其中C 1C2ln a
综合起来有
dxxa22ln|xx2a2|C
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解: 当x>a 时 设xa sec t(0t ) 那么 dxx2a2asecttant
dtsectdtatantx2a2)C axttant|Cln(
ln|seca
ln(xx2a2)C
其中C 1Cln a
当x<a 时 令xu 则u>a 于是
dxx2a2duu2a2ln(uu2a2)C
xx2a2C
ln(xx2a2)Cln2a
ln(xx2a2)C1
其中C 1C2ln a
提示:x2a2a2sec2ta2asec2t1atant 提示:tantx2a2x sect aadxx2a2
综合起来有
ln|xx2a2|C
补充公式
(16)tanxdxln|cosx|C cotxdxln|sinx|C(18)secxdxln|secxtanx|C(19)cscxdxln|cscxcotx|C(20)(21)11xdxarctanC 2aaax211xadxln||C22axaxa2
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不定积分
(22)(23)(24)
1a2x2dxx2a2dxx2a2dxarcsinln(xxC ax2a2)C
x2a2|C ln|x青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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§4 3 分部积分法
一、教学目的与要求:
掌握分部积分公式,并会灵活运用。
二、重点、难点: 用分部积分公式时的u和dv的选取
三、主要外语词汇:Divide a department integral
四、辅助教学情况:多媒体课件第四版和第五版(修改)
五、参考教材(资料):同济大学《高等数学》第五版
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第四章
不定积分
设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为(uv)uvuv
移项得
uv(uv)uv
对这个等式两边求不定积分 得
uvdxuvuvdx或udvuvvdu 这个公式称为分部积分公式
分部积分过程: uvdxudvuvvduuvuvdx
例1 xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxx sin xcos xC
例2 xexdxxdexxexexdxxexexC
例3 x2exdxx2dexx2exexdx2
x2ex2xexdxx2ex2xdexx2ex2xex2exdx
x2ex2xex2exC ex(x22x2)C
例4 xlnxdx1lnxdx21x2lnx1x21dx
222x1x2lnx1xdx1x2lnx1x2C
2224 例5 arccosxdxxarccosxxdarccosx
xarccosxx
11x2dx
11xarccoxs(1x2)2d(1x2)xarccoxs1x2C
111dx
例6 xarctanxdx1arctanxdx2x2arctanxx222221x111)dx
x2arctanx(12221x11xarctaxnC
1x2arctaxn222 例7 求exsinxdx
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不定积分
解 因为exsinxdxsinxdexexsinxexdsinx
exsinxexcosxdxexsinxcosxdex
exsinxexcosxexdcosx
exsinxexcosxexdcosx
exsinxexcosxexsinxdx
1所以
exsinxdxex(sinxcosx)C
例8 求sec3xdx
解 因为
sec3xdxsecxsec2xdxsecxdtanx
2xdx
secxtanxsecxtan
secxtanxsecx(sec2x1)dx
3xdxsecxdx
secxtanxsec3xdx
secxtanxln|secxtanx|sec13xdx(secxtanxln|secxtanx|)C
所以
sec2 例9 求In 解 I1dx
(xa2)n2其中n为正整数
dx1xarctanC
ax2a2a
当n1时,用分部积分法 有
dxxx22(n1)
22n1(x2a2)ndx(xa)(x2a2)n x1a22(n1)[(x2a2)n1(x2a2)n]dx(x2a2)n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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第四章
不定积分
即 In1x(x2a)22n122(n1)(In1aIn)
于是 In1x[2(2n3)In1]
2a(n1)(xa2)n11aarctanxaC以此作为递推公式 并由I1 例10 求exdx
即可得In
解 令x t 2 则 dx2tdt 于
exdx2tetdt2et(t1)C2ex(x1)C
exdxexd(x)22xexdx
2xde
2xexx2xexx2exxdx
2eC2e(x1)C
第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分
令(x)u
f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f(u)du
u(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x) 哪些积分可以用分部积分法?
xcosxdxxexdxx2exdx
xlnxdx arccosexxdx
3xarctanxdx
sinxdx
x2sec2xdx
2xex
2dxexdx2eudu
exdxx2dexx2exexdx2
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第四章
不定积分
§4 4 有理函数的积分
一、教学目的与要求:
会求有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分。
二、重点(难点):有理函数的积分。
三、主要外语词汇:Have the reason function integral
四、辅助教学情况:多媒体课件第四版和第五版(修改)
五、参考教材(资料):同济大学《高等数学》第五版
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第四章
不定积分
一、有理函数的积分
有理函数的形式
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数 即具有如下形式的函数:
P(x)Q(x)a0xna1xn1an1xanb0xmb1xm1bm1xbm
其中m和n都是非负整数a0 a1 a2 an及b0 b1 b2 bm都是实数
并且a00 b00 当nm时 称这有理函数是真分式 而当nm时 称这有理函数是假分式
假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如
2x3x1x(x1)11 x222x1x1x
1真分式的不定积分
求真分式的不定积分时 如果分母可因式分解 则先因式分解 然后化成部分分式再积分
dx
例1 求2x5x6x365x3dx)dx
解 2dx(x3x2(x2)(x3)x5x665dxdx6ln|x3|5ln|x2|C
x3x2x3提示(AB)x(2A3B)x3AB
(x2)(x3)x3x2(x2)(x3)AB1 3A2B3 A6 B5
分母是二次质因式的真分式的不定积分
dx
例2 求2x2x3x212x21dx(32)dx
解 222x2x3x2x3x2x312x21dx32dx
22x2x3x2x3x12d(x22x3)x2x323d(x1)(x1)2(2)2
3x1x22x3)arctanC
1ln(2221(2x2)3x21x212232提示 2
22x2x3x2x3x2x3x2x31dx
例3 求x(x1)2青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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不定积分 1111 解 dx[]dx xx1(x1)2x(x1)2
1dx1dx12dxln|x|ln|x1|1C
x1xx1(x1)
提示
11xx1122x(x1)(x1)2x(x1)x(x1)
1xx1111 2x(x1)(x1)xx1(x1)2
二、可化为有理函数的积分举例 1。三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示
故三角函数有理式也就是sin x、cos x 的有理式
用于三角函数有理式积分的变换:
把sin x、cos x表成tanxx的函数 然后作变换utan
xx2tan2tanxx222u sinx2sincos221u22x2xsec1tan22x221u 2x2xcosxcossin221u22xsec221tan
变换后原积分变成了有理函数的积分
例4 求1sinxdx
sinx(1cosx)x2u21u2du
解 令utan 则sinx cosx x2arctan u dx2221u1u1u22u)22111sinx1udu(u2)du dx于是 2usinx(1cosx)2u1u21u2(1)1u21u2(11xx1x1u2
(2uln|u|)Ctan2tanln|tan|C
2242222青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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不定积分
解 令utanx 则
22u)21sinx21u
dxdu 2sinx(1cosx)2u1u1u2(1)1u21u2(1
1(u2uln|u|)C1(u21)du
222u2
1tan2xtanx1ln|tanx|C
42222
说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如
cosxdx1d(1sinx)ln(1sinx)C
1sinx1sinx
2、简单无理函数的积分
无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去
例5 求x1dx
x 解 设x1u 即xu21 则
2du
x1dx2u2udu2uxu1u211)du2(uarctanu)C
2(11u 2(x1arctanx1)C
例6 求dx13x2
解 设3x2u 即xu32 则
dx131u21123udu3du 1u1ux221u)du3(uln|1u|)C
3(u11u2 3(x2)233x2ln|13x2|C例7 求dx(13x)x
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不定积分
解 设xt 6 于是dx 6t 5d t
从而
dx(13x)x6t5t21dt6dt6(1)dt6(tarctant)C232(1t)t1t1t2
6(6xarcta6nx)C
例8 求11xdx xx 解 设1xt 即x21xt1 于是
2t
11xdx(t21)t2dt
xx(t1)22
22tdt2(121)dt
t1t 2tln|t1|C
t1
21xln1xxC
x1xx
练习
1
求dx2cosx
x2
解
作变换ttan
则有dx21t2dt cosx1t21t2
2dt
2cosarctantdxx211t22dt1t23t2321t223arctan(13tanx2)C
11(t3)2dt3
23C543
2
求
解 sincos5xxdx
sin4xcos4xdcosx2cos2x2cosx1cos4x13cos3xcos4sinxxdx(1cos2x)2cos4x)dcosx C
dcosx
(1
cosx
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不定积分
3
求
解 3x1x23x2dx
3x1x23x2dx(x2)(x1)dx1x2dx43x11(7x24x1)dx
7x1dx
7ln|x2|4ln|x1|C
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不定积分
§4.5积分表的使用
一、教学目的与要求:
会根据函数类型在积分表中查得所需结果。
二、重点(难点):对要查函数的变形和类型的判定。
三、主要外语词汇:Integral calculus form
四、辅助教学情况:多媒体课件第四版和第五版(修改)
参考教材(资料):同济大学《高等数学》第五版
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不定积分
积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便往往把常用的积分公式汇集成表这种表叫做积分表求积分时可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果
积分表
一、含有axb的积分 1.dx1ln|axb|C
axba2.(axb)dx3.1(axb)1C(1)a(1)x1dx(axbbln|axb|)C axba2axba224.xdx131(axb)22b(axb)b2ln|axb|C
5.6.7.8.9.dx1axblnCx(axb)bx
dx1aaxblnCx2(axb)bxb2xx1ln|axb|bdx22(axb)aaxbC
C x21b2dxaxb2bln|axb|(axb)2a3axbdx11axblnCx(axb)2b(axb)b2xxdx(3x4)2
例1求
解这是含有3x4的积分在积分表中查得公式
x1bC
dxln|axb|(axb)2a2axb现在a
3、b4于是
x14(3x4)2dx9ln|3x4|3x4C
二、含有axb的积分
21.axbdx(axb)3C
3a2(3ax2b)(axb)3C 2.xaxbdx215a青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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不定积分
3.x2axbdx4.5.xaxbx2axbdxdx2(15a2x212abx8b2)(axb)3C 105a32(ax2b)axbC 3a22(3a2x24abx8b2)axbC 315a1C(b0)axbbaxbarctanC(b0)bblnaxbb6.dxxaxbb2
7.dxx2axbxaxbabx2bxdxdxaxb
8.axbdx2axbbxx2xaxbdx 9.ax2bdxaxba
三、含xa的积分 1.2.3.dx1xarctanC x2a2aa22xaxbdxx2n3(x2a2)n2(n1)a2(x2a2)n12(n1)a2(x2a2)n1
dxdx1xalnC x2a22axa
四、含有ax2b(a0)的积分
1arctanabdxax2b1ln2abaxC(b0)baxbaxbC(b0)1.
2.3.4.5.6.x1dxln|ax2b|C 2axb2ax2xbdxax2baadxax2b
dx1x2lnCx(ax2b)2b|ax2b|dx1ax2(ax2b)bxb
1ax2bdx
|ax2b|dxa1lnC3222x(axb)2bx2bx2
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不定积分
7.dxx1(ax2b)22b(ax2b)2b1ax2bdx
五、含有ax2bxc(a0)的积分
六、含有x2a2(a0)的积分 1.2.3.4.5.6.7.8.dxx2a2dxarshxC1ln(xaxC x2a2)C
(x2a2)3a2x2a2xx2a2xdxx2a2C
1x2a2C
(x2a2)3dxx2x2a2x2(x2dxx2x2a2xx2a2a2ln(x2ln(xx2a2)C x2a2)C
a2)3dx1lnadxxx2a2x2a2aC|x|
dxx2x2a2x2a2C a2x2xax2a2ln(xx2a2)C 9.x2a2dx22例3求dxx4x29dxx4x2
12解因为9dx3xx2()22所以这是含有x2a2的积分这里a
dxxx2a21lna3在积分表中查得公式 2x2a2aC|x|
于是 dxx4x2912ln2333x2()222C1ln|x|34x293C
2|x|
七、含有x2a2(a0)的积分
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不定积分
1.2.3.4.5.6.7.8.dxx2a2|x|xarchC1ln|x|x|ax2a2|C
dx(x2a2)3xa2x2a2C
xx2a2xdxx2a2C
1x2a2C
(x2a2)3dxx2x2a2x2(x2dxx2x2a2xx2a2a2ln|x2ln|xx2a2|C x2a2|C
a2)3dxdxxx2a21aarccosCa|x|
dxx2x2a2x2a2C a2xxa2x2a2ln|xx2a2|C 9.x2a2dx2
2八、含有a2x2(a0)的积分 1.2.3.4.5.6.7.8.dxa2x2dx(a2x2)3arcsinxC axC
a2a2x2xa2xx2dxa2x2C dx1a2x2C
(a2x2)3x2a2x2x2dxx2a2x2xa2x2a2xarcsinC 2axC a(a2x2)3dxxa2x2dxarcsin1aa2x2lnCa|x|
dxx2a2x2a2x2C a2xxa2xa2x2arcsinC 9.a2x2dx22a青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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不定积分
九、含有ax2bxc(a0)的积分
十、含有xa或(xa)(xb)的积分
xb
十一、含有三角函数的积分 1.secxdxln|secxtanx|C 2.cscxdxln|cscxcotx|C 3.secxtanxdxsecxC 4.cscxcotxdxcscxC 5.sin2xdxx1sin2xC
24x16.cos2xdxsin2xC
241n17.sinnxdxsinn1xcosxsinn2xdx
nn1n18.cosnxdxcosn1xsinxcosn2xdx
nn9.sinaxcosbxdx11cos(ab)xcos(ab)xC2(ab)2(ab)11sin(ab)xsin(ab)xC2(ab)2(ab)10.sinaxsinbxdx11.cosaxcosbxdx11sin(ab)xsin(ab)xC2(ab)2(ab)
12.dxabsinx2a2b2atanarctanxb2C(a2b2)a2b213.dxabsinxxbb2a222ln22xbaatanbb2a22atanC(a2b2)
14.dx2abcosxababarctanababxtanab2C(a2b2)
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第四章
不定积分
xab2lnbaxtan2tanabbaabba14.dx2abcosxabC(a2b2)
例2求dx
54cosx解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式
dx2ababx
arctantanC(a2b2)
abcosxababab2这里a
5、b4a 2b2于是
dx2x
arctantanC
54cosx5(4)5(4)5(4)25(4)5(4)x3ntanC
2arcta32例求sin4xdx
解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式
1n1x1nxdxn1xcosn2xdxsinx
sinsin2xdxsin2xC
sinnn24这里n4于是
1313x14xdx3xcos2xdx3xcossinxsinsinx(sin2x)C
sin444424
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第三篇:基础和声电子教案12
第十二章 两个六和弦连接
教学课时:2课时 教学对象:二年级
教学要求:本章要求掌握四、五度关系的两个六和弦的平稳连接和跳进连接,以及二度关系的两个六和弦的连接。
教学重点:
四、五度关系的两个六和弦的平稳连接和跳进连接,二度关系的两个六和弦的连接。
教学难点:二度关系的两个六和弦的连接。教学内容:
1、两个四、五度关系六和弦的连接:
两个四、五度关系六和弦连接时,声部进行通常是这样的:低音作三音到三音的四、五度跳进进行,其中小调的t与D连接时,低音只作减四度进行;上方三声部常平稳进行,当然也可跳进进行。
2、两个二度关系六和弦的连接:
二度关系的S6—D6连接时,尤其要注意避免平行五、八度进行。通常的处理方法为:S6重复根音且为根音旋律,D6重复五音;上方三声部中的两个声部须与低音部构成平行六和弦进行,另一声部则作反向进行。
另外,小调的s6—D6连接时,要避免低音部形成增二度进行。避免的方法有:或用减七度进行,或用旋律小调,或用半音进行从而形成s6—S6—D6这样的进行。习题及习题说明:
1、为包含有两个四五度关系六和弦连接,以及两个二度关系六和弦连接的旋律和低音配写四部和声。长度为8—12小节。
2、分析包含有两个四五度关系六和弦连接,以及两个二度关系六和弦连接的作品片断。
第四篇:10011023《高等数学12》(经管)大纲
高等数学12考纲
第七章向量代数与空间解析几何(10分)
1、向量的概念,空间直角坐标系的概念,利用坐标进行向量的线性运算、数量积。
2、向量、单位向量和方向余弦的坐标表示。
3、平面方程和直线方程及其求法。
第八章多元函数微分学(30分)
1、多元函数的概念。
2、二元函数的极限与连续性的概念,有界闭区域上连续函数的性质。
3、偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的条件。
4、复合函数一阶偏导数的求法,全微分的不变性。
5、由一个方程所确定的隐函数求导方法,6、曲线的切线和法平面方程的求法,曲面的切平面和法线方程的求法。
7、多元函数极值和条件极值的概念,多元函数极值存在的必要条件,二元函数极值存在的充分条件。
第九章 二重积分(20分)
1、二重积分的概念,了解二重积分的性质。
2、二重积分(直角坐标系下、极坐标系下)的计算。
第十章无穷级数(25分)
1、无穷级数收敛、发散以及和的概念,收敛级数的性质,收敛的必要条件。
2、几何级数和p-级数的收敛性。
3、正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。
4、用Leibniz定理判断交错级数的敛散性。
5、无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念,并能判别级数的绝对收敛和条件收敛。
6、函数项级数、收敛域的概念。
7、幂级数的收敛半径、收敛域的求法。
8、ex,sinx,cosx,ln(1x),(1x)m的麦克劳林展开式,并能利用它们将一些简单的函数展开成幂级数。
第十一章微分方程、差分方程(15分)
1、微分方程、通解、阶、初始条件和特解等概念。
2、可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程的解法。
3、线性微分方程解的性质及解的结构定理。
4、二阶常系数齐次线性微分方程的解法,高阶常系数齐次线性微分方程的解法。
第五篇:12电子班主任工作总结
本学期工作已经结束了,回顾这一学期来的班主任工作,感慨万千,有取得成绩的喜悦,也有失误带来的遗憾;有令人难忘的美好时刻,也有让人苦恼的短暂瞬间;有在工作中付出的艰辛和努力 , 也有取得成绩后得到的回报和快乐。一学期来的工作使我学到了很多。现将本学期的工作做以下总结:
一班主任要用道德自省打造和谐班级
“让人们因为我的存在而感到幸福”第一次读到这句话时,我就把这句话跟我的学生们分享,并且一直作为我们班级的班训。我认为,在实际工作中我们不是靠自己代替学生做事来解决问题,我们更多的是靠思想来影响教育学生,更多的是靠一种文化来引领。只有文化治班,才能达到潜移默化的效果。所以,在每学期的开学时,我都要这样对孩子们说:“让人们因为我的存在而感到幸福吧,这样我们也会感到温暖和幸福!”这既是一种伟大超高的价值观念,同时也是一种平凡朴实的实践行为。“做一个‘让人们因我的存在而感到幸福’的人,往往只需举手之劳:公共汽车上,你为一位老人让座,这位老人就会因为你而感到生活在这样一个文明的社会环境里是一种幸福;在街头,你热情耐心地回答一个外地人的问路,他就会因为你而感到能够得到一个素不相识的人的真诚帮助是一种幸福;在教室的楼道,你主动上前帮老师抱作业本,老师就会因为有你这样的学生感到幸福;有同学病了,你哪怕是送上一句亲切的问候,他也会感到有你这样的同学是一种幸福......”在潜移默化中我们班的孩子慢慢的学会了团结,学会了分享,学会了“让人们因为他们的存在而感到幸福”。
我们班有个问题学生某同学,他性格非常自我,而且有的时候还破罐子破摔,不分场合,不分情况,乱发脾气。同学们都很讨厌他。慢慢的他没有了朋友,变得更加暴躁。经过我和他交谈我知道了他可怜的身世。他父母在他很小的时候就相继去世,留下年幼的他和比她大3岁的姐姐。年幼失去父母的他,无论在生活还是学习上都没有得到足够的关怀。在他年幼的心里充满仇恨,充满敌对。我想用班级温暖来要消除某同学的敌对情绪,同时也让孩子们学互帮互爱,团结的神奇魔力。私下里我把某同学的情况跟大家介绍了下,使我没有想到的是有几个孩子竟然流下了眼泪。从他们的表情中,我看到了善良和纯真。我跟大家呼吁:“在班级,当自己遇到困难时,希不希望别人的帮助?当得到帮助时,心情会怎么样呢?当帮助过你的人遇到困难时,我想你一定会想法设法的去帮助他。看到他问题解决后的喜悦后,我想你和他一定都会很幸福吧。我希望在我们的集体中,大家有共同的追求,共同的荣辱、共同的精神支柱、共同的心里依托。你们说生活在这样的班级你能不幸福吗?慢慢的在日常生活中,同学们都主动的和某同学接触,班级活动总是看到同学们拉着某同学参加,私下里,几个男孩子还为某同学庆祝生日。慢慢地某同学变了,在他的脸上看到了更多的是笑容,现在的他,还主动为办公室老师换水。有时还主动的帮助老师管理班级解决问题。在学校组织的为家庭贫困有病同学募捐活动中,他还捐出了他自己存下的积蓄。虽然不多,但是这份感动却一直深深的触动着我。因为他正在为我们的班训而努力着,并且享受这种幸福!
二班主任要让学生明白学习是一种义务和责任
学习问题是我们中职学校的老大难问题,肯定也是在座所有班主任最头痛的事情。实话实说,在抓学生学习问题的问题上,我个人认为,要对学生进行学习教育。明白的告诉学生学习是我们的义务也是责任。学习是改变我们命运的重要途径
学习永远很重要,无论历史上还是现实生活中,那些依靠学习改变命运的人,可以说是数不胜数。在过去,读书是许多寒门人家出人头地的唯一途径。所以,过去有“书中自有黄金屋,书中自有颜如玉”的说法。我给孩子们举了很多很实在的例子。尽管读书不能够使他们富裕,但是至少可以让他们活得比较轻松一点。我常常对学生说:“你可以举出一千个、一万个不读书就可以赚大钱的例子,但是我要告诉他们的是,更多的人,是靠不断地学习养活了自己。学习可以丰富我们的精神生活
经常学习的人,他不觉得生活乏味,他无论走到哪里,都是一个精神生活丰富的人。他永远都有自己的精神寄托,有事情的时候,可以在工作中消遣时间,没有事情的时候,可以随便翻开一本书,一本杂志,或者点击一个网站,看一些休闲娱乐的文章。而我们现在的好多学生为什么这么依赖手机,我感觉多数是因为他们的精神生活太贫乏,每天坐在那里不听课,不写作业,无所事事,不玩手机你说他能干什么,所以我们就要引导孩子们用学习知识,丰富他们贫瘠的精
神生活。
我常常跟学生们说:“学习是你们能够做到的,最基本的义务。”学习是主业,在校学生必须把学习当成自己首要任务。既然是任务,不论喜不喜欢,不论感觉有没有趣味,学生都要做,是带有强制性的。父母工作是一种义务,老师上课是一种义务,学生学习也是他们必须接受的成长义务,是义务,那就没有什么人情可言,只要是学生,都得接受学习。明白了学习是义务,那么每天该完成的作业,该达到的效果,就是他们自己的事情了。
经过一段时间的潜移默化的引导,我们班学生在学习上有了很大的进步,尤其是在专业课上,得到了专业课老师很高的评价。尤其是在这次定级考试中,我们班同学以100%的通过率顺利的通过了理论题的考试。
三班主任要用“三心”引导学生爱心
作为一名教师,一名班主任,首先是应该爱孩子。对全班学生,无论是出自干部家庭或平民家庭,无论他是品学兼优的好孩子或是令人头痛的捣蛋鬼,均应一视同仁,爱的公正,爱的让学生信服。学生在爱的沐浴下轻松快乐的学习生活。即使他们违反了纪律,我严厉批评时,也要动之以情,晓之以理,更要让他们明白:老师是关心你们,爱护你们的,是为了你们着想才如此严格要求。这样在我面前就不会产生逆反心理,而是理解老师的苦心。正是这爱心才使这良药不苦口,忠言不腻耳。细心
有人说班主任是世界上“最小的主任”,可这最小的主任管的事却特别的多,特别的细。大至教育教学工作,小至扫把粉笔,样样少不了班主任的操心。班主任要有颗纤细如发的心——细心。
平日,细心的观察学生的学习,情绪,身体;多与学生交流沟通,了解他们的家庭状况,分析孩子思想动态;关注学生的点滴进步,及时鼓励,表扬;多记录,多总结积累经验。这样对学生各方面情况均了然于心,才能因材施教。耐心
班主任对学生不仅应施以爱心,施以细心,更应施以耐心。我们班有个大号捣蛋鬼,我想我说出来肯定在座的大多数老师都听过他的大名,教过我班的老师更是对他影响颇深。他就是某同学,不但个头大而且自身问题也大。属于自控能力特别低,散漫的孩子,每次犯的错不大,但频率特别高。就拿吸烟来说,开始的时候我能感觉到他是在敷衍我,每次批评教育时,他都很快的向我认错,但又很快再偷偷的跑去吸烟。我知道这种批评的教育方式已经不能解决他这个问题,回到家里,我下载了网上吸烟危害的教育片。这触目惊心的图片,视频震撼着他,让他从心里有了些畏惧。然后我又教给他一些心里暗示的方法,让他每天在QQ个性签名上写上戒烟的天数,时时刻刻鼓励自己坚持到底,让周围的人也帮助监督。我还给他买了棒棒糖,每到下课,上自习他犯烟瘾的时候,都给他一个让他转移下注意力,慢慢的某同学的吸烟情况有所改善。连他父母都打来电话说他的改变了。
总之,只要我们心中是真诚地为孩子,为孩子的健康成长而付出,端正自己的工作态度,我相信,我的班主任工作能在不断的磨练中得到提升。通过这个学期,我的班主任工作在校领导的关心与指导下,有了进步,也提高了些!我会再接再厉,吸取经验和教训,把班主任的教育教学工作做得更好。