1.2《点线面之间的位置关系--线面垂直的判定和性质2》教案(苏教版必修2)

第一篇：1.2《点线面之间的位置关系--线面垂直的判定和性质2》教案(苏教版必修2)

第17课时 直线与平面垂直的判定和性质

（二）教学目标：

使学生掌握直线和平面垂直的性质，点到面的距离，线到面的距离；对学生进行转化思想渗透，培养学生空间想象能力；使学生从问题解决过程，认识事物的发展、变化、规律。

教学重点：

直线和平面垂直的性质。

教学难点：

性质定理的证明、等价转化思想的渗透。

教学过程：

1．复习回顾：

1.判定直线和平面垂直的方法有几种？ ［生］定义，例1的结论、判定定理.2.各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？

［生］若能确定直线和平面内任意一线垂直，则运用定义说明.若能说明所证直线和平面的一条垂线平行，则可运用例题结论说明之.若能说明直线和平面内两相交线垂直，则运用判定定理去完成判定.2．讲授新课：

［师］直线和平面是否垂直的判定方法上节课已研究过，这节课我们来共同探讨：直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？

下面先思考一个问题：

例1：已知:a⊥α，b⊥α.求证：b∥a.［师］此问题是在a⊥α，b⊥α的条件下，研究a和b是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难，而利用反证法来完成此题，相对要容易，但难在辅助线b′的做出，这也是立体几何开始这部分较难的一个证明.在师的指导下，学生尝试证明，待后给出过程.证明：假定b不平行于a，设b∩α＝O，b′是经过点O与

直线a平行的直线

∵a∥b′，a⊥α

∴b′⊥α

即经过同一点O的两条直线b、b′都垂直于平面α，而这是不可能的，因此，b∥a.有了上述证明，师生可共同得到结论：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.［师］下面给出点到面的距离.从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间距离叫做这个点到这个平面的距离.应明白，点到面的距离是一线段.A．a∥β，b∥β

B．a⊥β,b⊥β C．a⊥c，b⊥c

D．a与c，b与c所成角相等 2）平面α外的点A到平面α内各点的线段中，以OA最短，那么OAα的关系是

（）A.B.C.在α内

D.不确定 3关系是

（）A.B.C.平行或相交

D.一定垂直 4）矩形ABEF和矩形EFCD不共面，已知EF＝4，BD＝5，求平行直线AB与CD之间的距离.解答：

1.排除法找满足题意的选择支B

［对于选择支A，平行于同一面的两线可能相交，也 可能异面，故不一定推出a∥b，排除A.对于选择支C，因垂直于同一线的两线可能异面、故排除C.对于选择支D，若a、b、c三线能围成三角形.且a与c、b与c成角相等，则a与b不平行，排除D，故选B.而B利用性质定理可验证其正确.］ 2.此题也可用排除法找到正确选择支B ［满足题目的线段，其一个端点在平面外，故A、C应排除，因该线不会和平面又平行，也不会在平面α内，而满足OA最短的线只有一条，故应选B，或依平面外一点和平面内各点的连线垂线段最短，从而选B.］

3.利用分类讨论找选择支C ［平面外的直线上有两点到这个平面的距离相等，这条直线和这个平面的位置取决于点与平面的关系，与这两点在平面的同侧时，直线和平面平行，当这两点在平面的异侧时，直线和平面相交.］

4.［此题的解决主要是充分利用直线和平面垂直判定及平行线间的距离完成.］ 解：因ABEF及EFCD都是矩形，故应有

EF⊥BE，EF⊥CE，而BE∩CE＝E

故EF⊥面BEC 而AB∥EF，CD∥EF

则AB⊥面BEC，CD⊥面BEC BC面BEC

那么

AB⊥BC，CD⊥BC BC就是AB与CD间的距离

BC2＝BD2－CD2＝25－16＝9

即BC＝3.4．课时小结：

1.能正确利用性质定理解题.2..5．课后作业：

课本P38

习题第5，7，8，9题.-

第二篇：立体几何(线、面平行、垂直的有关结论)必修2 立体几何线面关系的判定与性质

立体几何（线面平行、垂直的有关结论）

空间中线面平行、垂直关系有关的定理：

1、【线面平行的判定】平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。

2、【线面平行的性质】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。

3、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

4、如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。

5、如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

6、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

7、一条直线与两条平行直线中的一条直线相垂直，则这条直线也与另一条直线垂直。

8、与同一条直线都垂直的两条直线相互平行。（）

9、与同一个平面都垂直的两条直线相互平行。

10、两条平行直线中的一条直线与一个平面相垂直，则另一条直线也垂直于这个平面。

11、两条相互垂直的直线中的一条平行于一个平面，则另一条直线垂直于这个平面。（）

12、两条相互垂直的直线中的一条垂直于以个平面，则另一条直线平行于这个平面。（）

13、平面外的两条相互垂直的直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线平行于这个平面。

14、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面。

15、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

16、两个平面都与另一个平面相垂直，则这两个平面平行。（）

17、一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，则此平面也垂直于另一个平面。

18、如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。

19、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。

20、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

21、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

【知识归纳】： 【典型例题】： 【高考小题】：

第三篇：线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定_经典试题 2

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定

1、如图，在四棱锥P－ABCD中，2、如图，棱柱 PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，ABCA1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形，B1CA1B ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：平面AB1C平面A1BC

1；

(1)求证：CD⊥AE；

(2)求证：PD⊥面ABE.3、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四

边形。DAB60,AB2AD,PD 底面ABCD，证明：PABD4、如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M

1面面垂直的性质

1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.S

A

C2、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD

V

D C

B3、如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4将



CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD 求证：ABDE4、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

(第16题图)

空间线面角的求法

1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD

1所成角的余弦值为

（A）

2（B（C）（D 3

32.已知三棱锥S

ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为

（A）

3(B)(C)(D)444

4A3.如图，在正方体AC1中，求面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的14.如图，已知AP⊥BP，PA⊥PC，∠ABP=∠ACP=60º，PB=PC=2BC，D是BC中点，求AD与平面PBC所成角的余

弦值.A

C

5.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA

＝AC＝AB，2N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB、BC的中点．

(1)证明：CM⊥SN；

(2)求SN与平面CMN所成角的大小．

6.如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．

(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥P-ACDE的体积．

7..如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．

(1)求证：EF⊥平面PAB；

(2)设AB＝2BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．

8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系.并说明理由；

(2)证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；(3)当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？

第四篇：人教A版必修2线面垂直、面面垂直习题

例2已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O

PBC上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面

证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC

而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC

又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE

∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC

例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点

（1）求证：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证法

证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

(1)AD(0,2,0),D1F(1,0, 2) ADD1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, AD⊥D1F （2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|，|D1F|设AE与D1F的夹角为θ，则

cosθ121001(2)

0

所以，直线AE与D1F所成的角为90°

（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，D1F⊥平面AED，∵D1F平面A1FD1M

平面AED⊥平面A1FD

1例5如图，已知AB是圆O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任一点，求证：平面PAC平面PBC．

分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可 解：∵AB是圆O的直径，∴ACBC，又∵PA垂直于O所在的平面，∴PABC，∴BC平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC平面PBC．

点评：由于平面PAC与平面PBC相交于PC，所以如果平

面PAC平面PBC，则在平面PBC中，垂直于PC的直线一定垂直于平面PAC，这是寻找两个平面的垂线的常用方法

1“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的A充分条件B必要条件

C充要条件D既不充分又不必要条件

答案：B

2给出下列命题，其中正确的两个命题是

①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等

A①②B②③C③④D②④

解析：①错误如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交②正确如下图，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈

β且E、F分别为AB、CD的中点，过C作CG∥AB交平面β于G，连结BG、GD 设H是CG的中点，则EH∥BG，HF∥GD

∴EH∥平面β，HF∥平面β ∴平面EHF∥平面β∥平面α ∴EF∥α，EF∥β

③错误直线n可能在平面α内

④正确如右上图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的答案：D

4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD

证明：连结MO

∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC

1又A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=22，tan∠MOC=，2

2∴∠AA1O=∠MOC，则∠A1OA+∠MOC=90°∴A1O⊥OM

∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD

11在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD

（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论

（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC

又∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面PAC

故当a=2时，BD⊥平面PAC

2.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平B面，则下列命题中的真命题是()

A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α

B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β

C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

解析：两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直，故A为假命题；以三棱柱的侧面和侧棱为例知B为假命题；若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ或β∥γ，故D为假命题；若m∥α，则α中必存在直线l与m平行，又m⊥β，∴l⊥β，故α⊥β，故选C.答案：C1、给出以下四个命题：

（1）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；

（2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

（3）如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；

（4）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

其中真命题的个数是（）A、4B、3C、2D、12、设、、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是（）

,l,mlB． m,,

C． ,,mD． n,n,m A、

3、m、n是空间两条不同直线，、是空间不同平面，下面有四个命题：

①m,n//,//,则mn②mn,//,m,则n//

③mn,//,m//,则n④m,m//n,//,则n

其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。

4、已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连PB，PC，PD，AC，BD，则互相垂直的平面

有对。

三、例题讲解：

例

1、如图，已知PA⊥三角形ABC所在平面，∠ACB=900 ,AM⊥PC，AN⊥PB

（1）求证：PC⊥BC

（2）求证BC⊥平面PCA

（3）求证AMN⊥平面PCD。

1、设,,为两两不重合的平面，l,m,n为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,则∥；②若m,n,m∥,n∥,则∥；

,则l∥；④若l,m,n,l∥,则m∥n.⑤若//,m,n,则m//n⑥若m,n,m//n,则//

⑦若,m//,n//,m,n,则// ③若∥,l

其中真命题的个数是

（A）1（B）2（C）3（D）

42、在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（）（A）BC//平面PDF（B）DF⊥平面PA E

（C）平面PDF⊥平面ABC（D）平面PAE⊥平面 ABC3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，现

在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P，那么在四面体P-DEF

中，必有（）

A、DP⊥平面PEFB、DM⊥平面PEF

C、PM⊥平面DEFD、PF⊥平面DEF4、已知P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面内的射影

（1）若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的；

（2）若PA、PB、PC与平面所成的角相等，则O是△ABC的；

（3）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的；

（4）若平面PAB、PBC、PCA与平面所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的；

（5）若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的；

（6）若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的；

5．等边三角形ABC的边长为1，BC上的高为AD，沿高AD折成直二面角，则A到BC的距离是（）A．2B．2C．D． 22

4AB，BB1，B1C1例

1、（1）如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，E,FG,H分别为AA1，的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）

（2）如图,正棱柱ABCDA1BC11D1中,AA12AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为___

(3)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA=90，点D1、F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的余弦值_________。

（4）在正四面体A-BCD中，异面直线AB与CD所成角的大小是

_______.A

1

例

2、在正四棱柱ABCDA1BC11D1中，AB2BB12，P为B1C1的中点．

1、求异面直线AC与BP所成的角；

2、求点B到平面APC的距离．

例

3、在正三棱锥S—ABC中，D为AB的中点，且SD与BC所成的角为45，则SD与底面所成的角的正弦值为（）

A、123B、C、D、323

31．（全国Ⅰ•理•7题）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）

4123

A．5B．5C．5D．

5ABC内的5（全国一11）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面

射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）

A．1

23B

．3C

D．3 答案：C6、（福建卷6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

答案：D

第五篇：数学必修2第二章线面平行、面面平行的判定及性质练习

2.2线面平行、面面平行的判定

例题解析:

例1.如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证：SA∥平面MDB.例2.正方形ABCD交正方形ABEF于AB，M、N

求证：MN//平面BCE

例3.已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH、例4.如图，在空间四边形ABCD中，P、Q分别是△ABC和△BCD的重心.求证：PQ∥平面ACD.例5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

巩固练习：

1.若l//，A，则下列说法正确的是（）

A.过A在平面内可作无数条直线与l平行B.过A在平面内仅可作一条直线与l平行 C.过A在平面内可作两条直线与l平行D.与A的位置有关

2.若直线a∥直线b，且a∥平面，则b与a的位置关系是（）

A、一定平行B、不平行C、平行或相交D、平行或在平面内 3.如图在四面体中，若直线EF

和GH

相交，则它们的交点一定（）.A.在直线DB上B.在直线AB上

C.在直线CB上D.都不对

4.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（A．异面B．相交C．平行D．不确定

5.已知平面、β和直线m，给出条件：①m∥；②m⊥；③m⊂；④⊥β；⑤∥β.为使m∥β，应选择下面四个选项中的()

A．①④B．①⑤C．②⑤D．③⑤ 6.若直线l与平面α的一条平行线平行，则l和的位置关系是()

A.lB.l//C.l或l//D.l和相交

7若直线a在平面内，直线a,b是异面直线，则直线b和平面的位置关系是()A．相交B.平行C.相交或平行D.相交且垂直

8.若直线l上有两点P、Q到平面的距离相等，则直线l与平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.平行、相交或在平面内 9.下列命题正确的个数是()

(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥

(2)若直线l与平面α平行，l与平面内的任意一直线平行

(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线a和平面内一直线b平行，则a∥ A.0个B.1个C.2个D.3个

10.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N

是AB，PC的中点．求证：MN//平面PAD．

11.如图,S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是SA,BD上的点，且求证：MN//平面SBC

12.如图A、B、C分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心.求证：面ABC∥面ABC.AMSM=

BNND,13.如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60o的角，且ADBC2，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．（１）求证：四边形EGFH为平行四边形；

（２）E在AB的何处时截面EGFH