第一篇：余弦定理教学设计
1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5）（原创）
余弦定理
一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章 第二节
二、设计思想：
1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。
3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。
4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问
找到解决问题的方法。
三、教学目标：
1、知识与技能：
理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题
2．过程与方法：
通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。
3．情感、态度与价值观：
探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。
四、教学重点：
通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。
五、教学难点：余弦定理的灵活应用
六、教学流程：
(一)创设情境，课题导入：
1、复习：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以让学生板练）
2、若将条件C=450改成c=8如何解三角形？
设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化
师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A 引出课题：余弦定理
（二）设置问题，知识探究
1、探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从那些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？ 设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理。
师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理
2、①考虑用向量的数量积：如图 A
C
设CBa,CAb,ABc,那么，cab222ccc(ab)(ab)ab2abcosCB 即cab222ab2abcosC,引导学生证明22222
bc2bccosAca2cacosB2②还 引导学生运用此法来进行证明
3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的（可以让学生自己总结，教师补充完整）
（三）典型例题剖析：
1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。
教师分析、点拨并板书证明过程
总结：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其余各角。变式引申：在△ABC中，已知b=5,c=
53,A=300,解三角形。
2、探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式作某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？
设计意图：（1）引入余弦定理的推论（2）对一个数学式子作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法。
师生活动：对余弦定理作某些变形，研究变形后所得关系式的应用。因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题。
引入余弦定理的推论：cosA=cosB=acb2ac222bca2bc2222 , , cosC=
abc2ab22
公式作用：（1）、已知三角形三边，求三角。
（2）、若A为直角，则cosA=0，从而b2+c2=a2
若A为锐角，则 cosA>0, 从而b2+c2>a2
若A为钝角，则 cosA﹤0, 从而b2+c2﹤a2
62,求A、B、C例2:已知在ABC中,a23,b22,c
先让学生自己分析、思索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解。
总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归纳总结，老师补充）变式引申：在△ABC中，a:b:c=2:让学生板练，师生共同评判
3、三角形形状的判定：
例3：在△ABC中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。
（教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解）
求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。
变式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC的形状。
让学生板练，发现问题进行纠正。
（四）课堂检测反馈：
1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=()A 2 B 4 C 7 D 9
6:（3+1),求A、B、C。、在△ABC中，若a=
3+1,b=
3-1,c=
10,则△ABC的最大角的度数为（）A 1200 B 900 C 600 D 1500
3、在△ABC中，a:b:c=1:
3:2,则A：B：C=（）
A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2
4、在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2 5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形 （五）课时小结： （学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结） 运用多种方法推导出余弦定理，并灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题。 （六）课后作业：课本第10页A组3（2）、4（2）；B组第2题 （七）教学反思： 本堂课的设计，立足于所创设的情境，注重提出问题，引导学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受到了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。 教学设计 一、内容及其解析 1.内容: 余弦定理 2.解析: 余弦定理是继正弦定理教学之后又一关于三角形的边角关系准确量化的一个重要定理。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的结果，就是“在任意三角形中大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，则这两个三角形全等”。同时学生在初中阶段能解决直角三角形中一些边角之间的定量关系。在高中阶段，学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握任意三角形中边角之间的定量关系，从而进一步运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，使学生能更深地体会数学来源于生活，数学服务于生活。 二、目标及其解析 目标： 1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。 2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。解析： 1、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同 方法，从而培养学生的发散思维。 2、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。 三、教学问题诊断分析 1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题： ①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。 而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。 2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而 本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。 3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。 四、教学支持条件分析 为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果按通常的运算规则，是近似值时用约等号。 五、教学过程 （一）教学基本流程 教学过程： 一、创设情境，引入课题 问题1：在△ABC中，∠C = 90°，则用勾股定理就可以得到c2=a2+b 2。【设计意图】：引导学生从最简单入手，从而通过添加辅助线构造直角三角形。师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。 学生1：在△ABC中，如图4，过C作CD⊥AB，垂足为D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2ADBD = ab2abcos1cos22absin1sin2=ab2abcos(12)ab2abcosC A D图 4学生2：如图5，过A作AD⊥BC，垂足为D。 A 图 5则：cADBD 2bCD(aCD)ab2aCDab2abcosC 学生3：如图5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC 类似地可以证明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。 【设计意图】：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。 师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。 教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？ 【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣。 学生4：如图6，记ABc,CBa,CAb则cABCBCAab2 2（c）（ab） 22 ab2ab222 即cab2abcosCcab2abcosC A 图6 【设计意图】：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。 学生7：如图7，建立直角坐标系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），则 cAB (acosCb)(asinC) ab2abcosC 【设计意图】：通过以上平面几何知识、向量法、解析法引导学生体会证明余弦定理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培养学生发散思维能力，拓展学生思维空 间的深度和广度。 二、探究定理 余弦定理： a 2222222 2bc2bccosA,bac2accosB,cab2abcosC 余弦定理推论： cosA bca 2bc，cosB acb 2ac 222，cosC abc 2ab 222 解决类型：（1）已知三角形的三边，可求出三角； （2）已知三角形的任意两边与两边的夹角，可求出另外一边和两角。 三、例题 例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。 ②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。 【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既①已知三角形两边及夹角，求第三边；②已知三角形三边，求三内角。 四、目标检测 1、若三角形的三边为2，4，23，那么这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三边为3、4、6，那么此三角形有（） A．三个锐角 B．两个锐角，一个直角 C．两个锐角，一个钝角 D．以上都不对 3．在△ABC中，若其三边的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，则三个内角正弦值的比是______． 4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA． 五、小结 本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面进行探究，得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它的特例。所以它很“完美”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其变式即推论也很协调。 【设计意图】：在学生探究数学美，欣赏美的过程中，体会数学造化之神奇，学生可以 兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。 学案 1．2 余弦定理 班级学号 一、学习目标 1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。 2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。 二、例题与问题 例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。 ②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。 三、目标检测 1、若三角形的三边为2，4，23，那么这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三边为3、4、6，那么此三角形有（） A．三个锐角 B．两个锐角，一个直角 C．两个锐角，一个钝角 D．以上都不对 3．在△ABC中，若其三边的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，则三个内角正弦值的比是______． 4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA． 配餐作业 一、基础题(A组) 1.在△ABC中，若acosAbcosB，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形 B.直角三角形D.等腰或直角三角形 2.△ABC中，sinA:sinB:sinC3:2:4，那么cosC（） A.4B.3C. D. 3.在△ABC中，已知a2，b3，C=120°，则sinA的值为（） 2157 A.38B.7 C.19 D.3 4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a5，则此三角形的最大边长为。5.△ABC中，如果a6，b63，A=30°，边c。 二、巩固题(B组) 6.在△ABC中，化简bcosCccosB（） bc ac ab A.a B.C.D.7.已知三角形的三边长分别为a、b、aabb，则三角形的最大内角是（）A.135° B.120° C.60° D.90° 8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x7x60的根，则另一边长为（） A.52B.16 C.4D.2 9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则∠B的大小是。 三、提高题(C组 tanB 2acc 10.在△ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且tanCabc，2ab，（1）求C；（2）求A。 cosB b2ac 11.在△ABC中，a,b,c分别是A、B、C的对边，且cosC（1）求角B的大小；（2）若b ，ac4，求a的值； 篇一：“余弦定理”教学设计 射阳县教育局教研室 王克亮 教学目标:(1)掌握余弦定理,并能解决一些简单的度量问题. (2)初步运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. (3)经历余弦定理的发现与验证过程,增强学生的理性思维能力. 教学重点:余弦定理的发现与运用. 教学难点:余弦定理的证明. 课前准备:(1)自制一个如图所示的道具. (2)课前,教者在黑板上画好如图所示的三个三角形. 固定联结点 A 塑料棒1 细绳 可动联结点 可转动点 塑料棒2 道具 b B B B A 教学过程: 一、情境创设 提出问题 [1]情境引入 师:首先请看两个实际问题: 情境1 A,B两地之间隔着一座小山,现要测量A、B之间即将修建的一条直的隧道的长度.另选一个点C,可以测得的数据有:AC?182m,BC?126m,?ACB?630,如何求A、B两地之间隧道的长度(精确到1m). A B B D C E A 情境2 一位工人欲做一个三角形的支架.已知杆BC的长度为6分米,DAE是由一根直的钢管沿着点A弯折而成.若弯折点A与焊接点B,C的距离分别为4分米和5分米,欲弯折后杆BC恰好能与两焊接点相接,则弯折后∠BAC的大小是多少(精确到0.1度)? [2]提出问题 师:显然,这两个都是解三角形的问题.其中,情境1的实质是知道了三角形的两边与其夹角,求第三边的长度；而情境2的实质就是已知三角形的三条边,要求其一个内角的大小. 请问:(1)这两个问题能用正弦定理来解决吗? 生:不能. (2)那么,这两个问题之间有联系吗? 生:互逆. 师:对,在解法上是互逆的,所以本节课我们将要探究的核心问题是:在已知三角形两条边的前提下,其夹角的大小与第三条边的长度之间有着怎样的关系?这正是余弦定理所揭示的规律----引入课题. 二、问题探究 知识建构 问题1 在?ABC中,已知CB?a,CA?b(其中a?b),当?C从小到大变化时,AB的长度的变化趋势如何? 师:(学生思考了一会儿后)我们可以用一个简单的实验看一下. (课上,利用课前制作道具做一下演示实验.) 生: AB的长度随着?C的增大而增大. 师:这是一个定性的结论.那么对于定量的研究,一个常用的思维策略是特殊化. 取C=90?是最容易想到的；另外,虽然角C不能取0?与180?,但它可以无限接近这两个角,所以不妨再考察一下这两种情形. 续问: 若将?C的范围扩大到[00,1800],特别地:当?C?00,?C?900,?C?1800这三种特殊情形时,AB的长度分别是多少? 生:当?C?00时,AB?a?b；当?C?900时 ,AB?；当?C?1800 时,AB?a?b. 师:我们不妨把这三个结论在形式上写得更接近些,即 : 当?C?00时,AB?当?C?900时,AB?当?C?1800时,AB?B A 问题2 请你根据上述三个特例的结果,试猜想:当?C??(00???1800)时,线段AB的长度是多少? (在学生独立思考的基础上,小组讨论交流后请学生回答) 生 :AB?问题3 你能验证该猜想吗?请试一试. (课上,利用课前画好的三张图进行讨论.先让学生独立思考一会儿,然后根据学生回答的情况进行讲解,至少讨论下列前两种方法.) 方法一: 证: (1)当?C??为锐角时,过点A作AD?BC于D. 则AB2?BD2?AD2?(a?bcos?)2?(bsin?)2=a2?b2?2abcos?. D B A (2)当?C??为直角时,结论显然成立. (3)当?C??为钝角时, 过点A作AD?BC交BC的延长线于D. 则AB?BD?AD?(a?bcos(???))?(bsin(???)) ?(a?bcos?)?(bsin?)=a?b?2abcos?. D 2 2 2 2 2 2 2 A b 22 C a B 综上所述, 均有AB?故猜想成立. 师:这种思路是构造直角三角形,利用勾股定理来计算AB的长,但要注意这里要分三种情况讨论. 方法二: ????????????????2????????2 证:因为AB?AC?CB,所以AB?(AC?CB) ????2????2???????? ?AC?CB?2AC?CB?a2?b2?2abcos(???)?a2?b2?2abcos?, B A 即AB?故猜想成立. 师:这种方法的思路是构造向量,借助向量的运算来证题.将向量等式转化数量等式常用的手段是作数量积. 方法三: 证:以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. ???? 则B(a,0),A(bcos?,bsin?),则BA?(bcos??a,bsin?),所以 ????2 |AB|?(bcos??a)2?(bsin??0)2=a2?b2?2abcos?, ???? 即AB?|AB|?故猜想成立. 师:这种思路是建立平面直角坐标系,借助于坐标运算来证题.利用坐标法的优点在于不必分类讨论了且运算简单. 当然,我们还可以从其它途径来验证这一猜想,这里就不再讨论了,有兴趣的同学课后我们可以作些交流. 问题4 在三角形中,如何用符号语言与文字语言表示出上述结论? (提示:根式的表示形式不如平方的形式来得美观.) c2?a2?b2?2abcosC, 生:符号语言:在△ABC中,有a2?b2?c2?2bccosA, b2?a2?c2?2accosB. 文字语言:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 师:很好!这一结论我们称之为余弦定理,上述三个公式是余弦定理的一种表现形式. 问题5 如何根据三角形三条边的长度来求其内角的大小呢? a2?b2?c2b2?c2?a2a2?c2?b2 生:将上述结论变形为: cosC?,cosA?,cosB?. 2ab2bc2ac 师:这是余弦定理的另一种表现形式.对于余弦定理的这两种形式,我们在解题中应该灵活地加以选用. 感悟:(1)在第一组式子中,当C=90°时,即有c2?a2?b2.所以,勾股定理是余弦定理 的特殊情形,余弦定理可以看做是勾股定理的推广. (2)在第二组式子中,我们考察式子左右两边的符号,不难发现: 在△ABC中,C为锐角?a2?b2?c2;C为直角?a2?b2?c2;C为钝角?a2?b2?c2. 师:也就是说,在三角形中,要判断一个内角是什么角,只要看它的对边的平方与其它两边平方的和的.大小. 三、数学应用 深化理解 例1 在△ABC中,已知b=3,c=1,A=60°,求a. 解析:由余弦定理,得a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1?cos600?7, 所以a?问:在此条件下,其它元素可求吗? 反思:(1)利用余弦定理,可以解决“已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角”的问题. (2)用余弦定理求边的长度时,切记最后的结果要开平方. 师: 情境1就是这种类型的问题,我们也不妨看一下解答. 情境1:A,B两地之间隔着一座小山,现要测量A、B之间即将修建的一条隧道的长度.另选一个点C,可以测得的数据有:AC=182m,BC=126m,∠ACB=63°,如何求A,B两地之间隧道的长度(精确到1m). 解析: 在?ABC中,因为AC?182m,BC?126m,?ACB?630,则由余弦定理,得 AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?1822?1262?2?182?126cos630 ?1822?1262?2?182?126?0.454?28177.15, 所以AB?168m. 答:A，B两地之间隧道的长度约为168m. 例2 在?ABC中,已知a=7,b=5,c=3,求A. b2?c2?a252?32?721 解析:由余弦定理,得cosA????, 2bc2?5?32 所以A=120°. 问:在此条件下,其它两个角可求吗? 众生:可求. 反思: (1)利用余弦定理,可以解决“已知三边,求三个角”的问题. 师:情境2就是这种类型的问题,我们不妨看一下解答. 情境2: 一位工人欲做一个三角形的支架.已知杆BC的长度为6分米,DAE是由一根直的钢管沿着点A弯折而成.若弯折点A与焊接点B,C的距离分别为4分米和5分米,欲弯折后杆BC恰好能与两焊接点相接,则弯折后∠BAC的大小是多少(精确到0.1度)? 解析:在?ABC中,因为c?4,b?5,a?6,则由余弦定理,得 b2?c2?a252?42?62 cosA???0.125,,所以A?82.80； 2bc2?5?4 A E 答:弯折后,?BAC?82.80. D 反思:(2)利用余弦定理解决实际问题,解题的关键是建立出相应的三角形的模型.同时,要注意最后结果的精确度的要求. 变式:(1)在△ABC中,已知a2+b2+ab=c2,求角C的大小. a2?b2?c2?ab11222222 ???,即cosC??, 解析:由a+b+ab=c,得a?b?c??ab,则 2ab2ab22 所以C?1200. 反思:(3)在解三角形时,由边的条件式求角时,别忘了余弦定理；同时要注重余弦定理的逆用. 变式:(2)若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段( ). A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形 C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形 解析:首先因为两条小边之和大于第三边,所以能够组成三角形；接着,只要看最大的角是什么角.因为52?62?72,所以最大角为锐角,故这三条线段能组成锐角三角形. 思考:(1)若用长为5,6,x的三条线段构成的三角形是钝角三角形,则正数x的取值范围 是________. (2)在?ABC中,已知a +c =2b,求证:B≤45°. ?x?6?x?6?? 解析:(1)由?x?5?6或?5?x?6, ?x?11或1?x??x2?52?62?62?x2?52?? (2)要证: B≤60°,只要证:cosB? 1c?a?b1???22ca21 所以cosB?,故B≤60°. 2 2 2 2 1. 2 c2?a2?( 而cosB? c?a2 ) 13c2?3a2?6ca3(c?a)2??0, ?= 8ca8ca2ca2 四、思维提升 巩固拓展 [1]课堂小结 数学知识----本节课新学的数学知识只有余弦定理.余弦定理与正弦定理是三角形中的两朵奇葩,从形式上看,两者都具有“美观”的外形,余弦定理虽有多个表达式,但它们之间具有可以轮换的对称美；从本质上看,两者都揭示了三角形中边与角之间“美妙”的内在联系. 在解三角形的问题中,“已知三个元素”包括了“三条边,两角一边,两边一角”这三种情况,前面学习的正弦定理能够解决已知“两角与任一边” 以及“两边与其中一边的对角”这两类问题；今天学习的余弦定理又能够解决已知“三边” 以及“两边及其夹角”的这两类问题.这样,对于一般的解三角形问题,我们就都能找到解决的办法了.当然,对于一些较为复杂的三角形问题,往往还要把这两个定理联合起来解决问题. 思维启迪----从本节课的讨论与研究中,我们获得了以下的一些思维启迪: (1)本节课上,对于余弦定理的发现,我们是从三个特例开始的,这遵循了“从特殊到一般”的思维策略. (2)在三个特例的基础上,我们进行了大胆的猜想,所以合理运用数学猜想等合情推理手段,是我们进行数学发现的一个重要途径. (3)另外,在验证余弦定理时,我们运用到了几何、三角、向量等多个知识领域,所以我们要注重不同知识内容之间的融会贯通. [2]作业布置 必做作业:教材第16页习题1.2第1,2,3,4题. 选做作业:教材第16页习题1.2第12题. 课后探究: (1) 思考:若用长为5,6,x的三条线段构成的三角形是钝角三角形,则正数x的取值范围是________. (2)在?ABC中,已知a +c =2b,求证:B≤45°. 篇二：关于余弦定理初中数学教学设计 教学设计 整体设计 教学分析 对余弦定理的探究，教材是从直角三角形入手，通过向量知识给予证明的.一是进一步加深学生对向量工具性的认识，二是感受向量法证明余弦定理的奇妙之处，感受向量法在解决问题中的威力.课后仍鼓励学生探究余弦定理的其他证明方法，推出余弦定理后，可让学生用自己的语言叙述出来，并让学生结合余弦函数的性质明确：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广.还要启发引导学生注意余弦定理的几种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解、化简的目的. 应用余弦定理及其另一种形式，并结合正弦定理，可以解决以下问题：(1)已知两边和它们的夹角解三角形;(2)已知三角形的三边解三角形.在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题.在已知三边和一个角的情况下，求另一个角既可以应用余弦定理的另一种形式，也可以用正弦定理.用余弦定理的另一种形式，可以(根据角的余弦值)直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂.用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小. 根据教材特点，本内容安排2课时.一节重在余弦定理的推导及简单应用，一节重在解三角形中两个定理的综合应用. 三维目标 1.通过对余弦定理的探究与证明，掌握余弦定理的另一种形式及其应用;了解余弦定理与勾股定理之间的联系;知道解三角形问 题的几种情形. 2.通过对三角形边角关系的探索，提高数学语言的表达能力，并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，加深对数学具有广泛应用的认识;同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换，认识数学中的对称美、简洁美、统一美. 3.加深对数学思想的认识，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想;这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于加深学生对具体数学知识的理解和掌握. 重点难点 教学重点：掌握余弦定理;理解余弦定理的推导及其另一种形式，并能应用它们解三角形. 教学难点：余弦定理的证明及其基本应用以及结合正弦定理解三角形. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特殊情形入手，发现了正弦定理.现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进行探索，这种导入比较自然流畅，易于学生接受. 思路2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判断方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，能否把这个边角关系准确量化出来呢?也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢?根据我们掌握的数学方法，比如说向量法，坐标法，三角法，几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗? 推进新课 新知探究 提出问题 ??1?通过对任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角量化，我们发现了正弦定理，解决了两类解三角形的问题.那么如果已知一个三角形的两条边及这两边所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.怎样已知三角形的两边及这两边夹角的条件下解三角形呢? ?2?能否用平面几何方法或向量方法或坐标方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢? ?3?余弦定理的内容是什么?你能用文字语言叙述它吗?余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近? ?4?余弦定理的另一种表达形式是什么? ?5?余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题?怎样求解? ?6?正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别? 活动：根据学生的认知特点，结合课件“余弦定理猜想与验证”，教师引导学生仍从特殊情形入手，通过观察、猜想、证明而推广到一般. 如下图，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面，我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题. 如下图，在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，试根据b、c、∠A来表示a. 教师引导学生进行探究.由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形.在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于点D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理通过CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB，AD表示，进而在Rt△ADC内求解.探究过程如下： 过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理，得 a2=CD2+BD2. ∵在Rt△ADC中，CD2=b2-AD2， 又∵BD2=(c-AD)2=c2-2c?AD+AD2， ∴a2=b2-AD2+c2-2c?AD+AD2=b2+c2-2c?AD. 又∵在Rt△ADC中，AD=b?cosA， ∴a2=b2+c2-2bccosA. 类似地可以证明b2=c2+a2-2cacosB. c2=a2+b2-2abcosC. 另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论. 这就是解三角形中的另一个重要定理——余弦定理.下面类比正弦定理的证明，用向量的方法探究余弦定理，进一步体会向量知识的工具性作用. 教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出现的，又涉及边长问题，学生很容易想到向量的数量积的定义式：a?b=|a||b|cosθ，其中θ为a，b的夹角. 用向量法探究余弦定理的具体过程如下： 如下图，设CB→=a，CA→=b，AB→=c，那么c=a-b， |c|2=c?c=(a-b)?(a-b) =a?a+b?b-2a?b =a2+b2-2abcosC. 所以c2=a2+b2-2abcosC. 同理可以证明a2=b2+c2-2bccosA， b2=c2+a2-2cacosB. 这个定理用坐标法证明也比较容易，为了拓展学生的思路，教师可引导学生用坐标法证明，过程如下： 如下图，以C为原点，边CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设点B的坐标为(a,0)，点A的坐标为(bcosC，bsinC)，根据两点间距离公式 AB=?bcosC-a?2+?bsinC-0?2， ∴c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C， 整理，得c2=a2+b2-2abcosC. 同理可以证明：a2=b2+c2-2bccosA， b2=c2+a2-2cacosB. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三 角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量.从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，得到余弦定理的另一种形式： cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab 教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的结构特征，发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近，让学生比较并讨论它们之间的关系.学生容易看出，若△ABC中，C=90°，则cosC=0，这时余弦定理变为c2=a2+b2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推广;勾股定理是余弦定理的特例.另外，从余弦定理和余弦函 数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和 等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角;如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广. 应用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题： ①已知三角形的三边解三角形，这类问题是三边确定，故三角也确定，有解; ②已知两边和它们的夹角解三角形，这类问题是第三边确定，因而其他两个角也确定，故解.不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题. 把正弦定理和余弦定理结合起来应用，能很好地解决解三角形的问题.教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现：如果已知的是三角形的三边和一个角的情况，而求另两角中的某个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢?教师与学生一起探究得到：若用余弦定理的另一种形式，可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂.用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角.教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧. 讨论结果： (1)、(2)、(3)、(6)见活动. (4)余弦定理的另一种表达形式是： cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab (5)利用余弦定理可解决两类解三角形问题： 一类是已知三角形三边，另一类是已知三角形两边及其夹角. 应用示例 例1如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c. 活动：本例是利用余弦定理解决的第二类问题，可让学生独立完成. 解：由余弦定理，得 c2=a2+b2-2abcos120°， 因此c=52+42-2×5×4×?-12?=61. 例2如图，在△ABC中，已知a=3，b=2，c=19，求此三角形各个角的大小及其面积.(精确到0.1) 活动：本例中已知三角形三边，可利用余弦定理先求出边所对的角，然后利用正弦定理再求出另一角，进而求得第三角.教材中 这样安排是为了让学生充分熟悉正弦定理和余弦定理.实际教学时可让学生自己探求解题思路，比如学生可能会三次利用余弦定理分别求出三个角，或先求出最小边所对的角再用正弦定理求其他角，这些教师都要给予鼓励，然后让学生自己比较这些方法的不同或优劣，从而深刻理解两个定理的. 解：由余弦定理，得 cos∠BCA=a2+b2-c22ab=32+22-?19?22×3×2=9+4-1912=-12， 因此∠BCA=120°， 再由正弦定理，得 sinA=asin∠BCAc=3×3219=33219≈0.596 0， 因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合题意，舍去). 因此∠B=180°-∠A-∠BCA≈23.4°. 设BC边上的高为AD，则 AD=csinB=19sin23.4°≈1.73. 所以△ABC的面积≈12×3×1.73≈2.6. 点评：在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时，体会两种方法存在的差异.当所求的 角是钝角时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理则不能直接判定. 变式训练 在△ABC中，已知a=14，b=20，c=12，求A、B和C.(精确到1°) 解：∵cosA=b2+c2-a22bc=202+122-1422×20×12=0.725 0， ∴A≈44°. ∵cosC=a2+b2-c22ab=142+202-1222×14×20=113140≈0.807 1， ∴C≈36°. ∴B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°. 例3如图，△ABC的顶点为A(6,5)，B(-2,8)和C(4,1)，求∠A.(精确到0.1°) 活动：本例中三角形的三点是以坐标的形式给出的，点拨学生利用两点间距离公式先求出三边，然后利用余弦定理求出∠A.可由学生自己解决，教师给予适当的指导. 解：根据两点间距离公式，得 AB=[6-?-2?]2+?5-8?2=73， BC=?-2-4?2+?8-1?2=85， AC=?6-4?2+?5-1?2=25. 在△ABC中，由余弦定理，得 cosA=AB2+AC2-BC22AB?AC=2365≈0.104 7， 因此∠A≈84.0°. 点评：三角形三边的长作为中间过程，不必算出精确数值. 变式训练 用向量的数量积运算重做本例. 解：如例3题图，AB→=(-8,3)，AC→=(-2，-4)， ∴|AB→|=73，|AC→|=20. ∴cosA=AB→?AC→|AB→||AC→| =-8×?-2?+3×?-4?73×20 =2365≈0.104 7. 因此∠A≈84.0°. 例4在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，求c及S△ABC. 活动：根据已知条件可以先由正弦定理求出角A，再结合三角形内角和定理求出角C，再利用正弦定理求出边c，而三角形面积由公式S△ABC=12acsinB可以求出.若用余弦定理求c，可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立关于c的方程，亦能达到求c的目的. 解法一：由正弦定理，得8sinA=7sin60°， ∴A1=81.8°，A2=98.2°. ∴C1=38.2°，C2=21.8°. 由7sin60°=csinC，得c1=3，c2=5， ∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103. 解法二：由余弦定理，得b2=c2+a2-2cacosB， ∴72=c2+82-2×8×ccos60°. 整理，得c2-8c+15=0， 解之，得c1=3，c2=5.∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103. 点评：在解法一的思路里，应注意用正弦定理应有两种结果，避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决，故解法二应引起学生的注意. 综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边及一角解三角形可用余弦定理解之. 变式训练 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c=2，C=60°. (1)若△ABC的面积等于3，求a，b; (2)若sinB=2sinA，求△ABC的面积. 解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2+b2-2abcos60°=c2，即a2+b2-ab=4， 又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC=3，ab=4. 联立方程组a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2. (2)由正弦定理及已知条件，得b=2a， 联立方程组a2+b2-ab=4，b=2a，解得a=233，b=433. 所以△ABC的面积S=12absinC=233. 知能训练 1.在△ABC中，已知C=120°，两边a与b是方程x2-3x+2=0的两根，则c的值为… ( ) A.3 B.7 C.3 D.7 2.已知三角形的三边长分别为x2+x+1，x2-1,2x+1(x>1)，求三角形的角. 答案： 1.D 解析：由题意，知a+b=3，ab=2. 在△ABC中，由余弦定理，知 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab =(a+b)2-ab =7， ∴c=7. 2.解：比较得知，x2+x+1为三角形的边，设其对角为A. 由余弦定理，得 cosA=?x2-1?2+?2x+1?2-?x2+x+1?22?x2-1??2x+1? =-12. ∵0 即三角形的角为120°. 课堂小结 1.教师先让学生回顾本节课的探究过程，然后再让学生用文字语言叙述余弦定理，准确理解其实质，并由学生回顾可用余弦定理解决哪些解三角形的问题. 2.教师指出：从方程的观点来分析，余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量，知道其中三个量，便可求得第四个量.要通过课下作业，从方程的角度进行各种变形，达到辨明余弦定理作用的目的. 3.思考本节学到的探究方法，定性发现→定量探讨→得到定理. 作业 课本习题1—1A组4、5、6;习题1—1B组1～5. 设计感想 本教案的设计充分体现了“民主教学思想”，教师不主观、不武断、不包办，让学生充分发现问题，合作探究，使学生真正成为学习的主体，力求在课堂上人人都会有“令你自己满意”的探究成果.这样能够不同程度地开发学生的潜能，且使教学内容得以巩固和延伸.“发现法”是常用的一种教学方法，本教案设计是从直角三角形出发，以归纳——猜想——证明——应用为线索，用恰当的问题通过启发和点拨，使学生把规律和方法在愉快的气氛中探究出来，而展现的过程合情合理，自然流畅，学生的主体地位得到了充分的发挥. 纵观本教案设计流程，引入自然，学生探究到位，体现新课程理念，能较好地完成三维目标，课程内容及重点难点也把握得恰到好处.环环相扣的设计流程会强烈地感染着学生积极主动地获取知识，使学生的探究欲望及精神状态始终处于状态.在整个教案设计中学生的思维活动量大，这是贯穿整个教案始终的一条主线，也应是实际课堂教学中的一条主线. 备课资料 一、与解三角形有关的几个问题 1.向量方法证明三角形中的射影定理 如图，在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c. ∵AC→+CB→=AB→， ∴AC→?(AC→+CB→)=AC→?AB→. ∴AC→?AC→+AC→?CB→=AC→?AB→. ∴|AC→|2+|AC→||CB→|cos(180°-C)=|AB→||AC→|cosA. ∴|AC→|-|CB→|cosC=|AB→|cosA. ∴b-acosC=ccosA， 即b=ccosA+acosC. 同理，得a=bcosC+ccosB，c=bcosA+acosB. 上述三式称为三角形中的射影定理. 2.解斜三角形题型分析 正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解. 关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型： (1)已知两角及其中一个角的对边，如A、B、a，解△ABC. 解：①根据A+B+C=π，求出角C; ②根据asinA=bsinB及asinA=csinC，求b、c. 如果已知的是两角和它们的夹边，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照②来求解.求解过程中尽可能应用已知元素. (2)已知两边和它们的夹角，如a、b、C，解△ABC. 解：①根据c2=a2+b2-2abcosC，求出边c; ②根据cosA=b2+c2-a22bc，求出角A; ③由B=180°-A-C，求出角B. 求出第三边c后，往往为了计算上的方便，应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝角还是锐角，应先求较小边所对的角(它一定是锐角)，当然也可以用余弦定理求解. (3)已知两边及其中一条边所对的角，如a、b、A，解△ABC. 解：①asinA=bsinB，经过讨论求出B; ②求出B后，由A+B+C=180°，求出角C; ③再根据asinA=csinC，求出边c. (4)已知三边a、b、c，解△ABC. 解：一般应用余弦定理求出两角后，再由A+B+C=180°，求出第三个角. 另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然需注意要先求较小边所对的锐角. (5)已知三角，解△ABC. 解：满足条件的三角形可以作出无穷多个，故此类问题解不. 3.“可解三角形”与“需解三角形” 解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容，也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具.但在具体解题时，有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题，往往不知如何下手.至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时间，更影响了解题的速度和质量.但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这两个概念，则情形就不一样了. 所谓“可解三角形”，是指已经具有三个元素(至少有一边)的三角形;而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形.当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时，一般来说其中必有一个三角形是可解的，我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角，从而使“需解三角形”可解.在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正确地判断它们的类型，合理地选择正弦定理或余弦定理作为解题工具，求出需求元素，并确定解的情况. “可解三角形”和“需解三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问 题的思考时间.一题到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底.分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确定的状态而变为“有的放矢”地去挖掘，去探究. 二、备用习题 1.△ABC中，已知b2-bc-2c2=0，a=6，cosA=78，则△ABC的面积S为( ) A.152 B.15 C.2 D.3 2.已知一个三角形的三边为a、b和a2+b2+ab，则这个三角形的角是( ) A.75° B.90° C.120° D.150° 3.已知锐角三角形的两边长为2和3，那么第三边长x的取值范围是( ) A.(1,5) B.(1，5) C.(5，5) D.(5，13) 4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度确定 5.(1)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a=3，b=3，C=30°，则A=__________. (2)在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6，则bccosA+cacosB+abcosC的值为__________. 6.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，并且sinC=2sinBcosA，试判断△ABC的形状. 7.在△ABC中，设三角形面积为S，若S=a2-(b -c)2，求tanA2的值. 参考答案： 1.A 解析：由b2-bc-2c2=0，即(b+c)(b-2c)=0，得b=2c;① 由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，即6=b2+c2-74bc.② 解①②，得b=4，c=2. 由cosA=78，得sinA=158， ∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×158=152. 2.C 解析：设角为θ，由余弦定理，得a2+b2+ab=a2+b2-2abcosθ， ∴cosθ=-12.∴θ=120°. 3.D 解析：若x为边，由余弦定理，知4+9-x22×2×3>0，即x2<13，∴0 若x为最小边，则由余弦定理知4+x2-9>0，即x2>5， ∴x>5.综上，知x的取值范围是5 4.A 解析：设直角三角形的三边为a，b，c，其中c为斜边，增加长度为x. 则c+x为新三角形的最长边.设其所对的角为θ，由余弦定理知， cosθ=?a+x?2+?b+x?2-?c+x?22?a+x??b+x?=2?a+b-c?x+x22?a+x??b+x?>0. ∴θ为锐角，即新三角形为锐角三角形. 5.(1)30° (2)612 解析：(1)∵a=3，b=3，C=30°，由余弦定理，有 c2=a2+b2-2abcosC=3+9-2×3×3×32=3， ∴a=c，则A=C=30°. (2)∵bccosA+cacosB+abcosC=b2+c2-a22+c2+a2-b22+a2+b2-c22 =a2+b2+c22=32+42+622=612. 6.解：由正弦定理，得sinCsinB=cb， 由sinC=2sinBcosA，得cosA=sinC2sinB=c2b， 又根据余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc， 故c2b=b2+c2-a22bc，即c2=b2+c2-a2. 于是，得b2=a2，故b=a. 又因为(a +b+c)(a+b-c)=3ab， 故(a+b)2-c2=3ab.由a=b，得4b2-c2=3b2， 所以b2=c2，即b=c.故a=b=c. 因此△ABC为正三角形. 7.解：S=a2-(b-c)2，又S=12bcsinA， ∴12bcsinA=a2-(b-c)2， 有14sinA=-?b2+c2-a2?2bc+1， 即14?2sinA2?cosA2=1-cosA. ∴12?sinA2?cosA2=2sin2A2. ∵sinA2≠0，故12cosA2=2 sinA2，∴tanA2=14. 第2课时 导入新课 思路1.(复习导入)让学生回顾正弦定理、余弦定理的内容及表达式，回顾上两节课所解决的解三角形问题，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并结合三角、向量、几何等知识我们会探究出什么样的解题规律呢?由此展开新课. 思路2.(问题导入)我们在应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其一边的对角往往得出不同情形的解，有时有一解，有时有两解，有时又无解，这究竟是怎么回事呢?本节课我们从一般情形入手，结合图形对这一问题进行进一步的探究，由此展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ?1?回忆正弦定理、余弦定理及其另一种形式的表达式，并用文字语言叙述其内容.能写出定理的哪些变式? ?2?正、余弦定理各适合解决哪类解三角形问题? ?3?解三角形常用的有关三角形的定理、性质还有哪些? ?4?为什么有时解三角形会出现矛盾，即无解呢?比如：,①已知在△ABC中，a=22 cm，b=25 cm，A=135°，解三角形;,②已知三条边分别是3 cm，4 cm，7 cm，解三角形. 活动：结合课件、幻灯片等，教师可把学生分成几组互相提问正弦定理、余弦定理的内容是什么?各式中有几个量?有什么作用?用方程的思想写出所有的变形(包括文字叙述)，让学生回答正、余弦定理各适合解决的解三角形类型问题、三角形内角和定理、三角形面积定理等.可让学生填写下表中的相关内容： 解斜三角形时可 用的定理和公式 适用类型 备注 余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=b2+a2-2bacosC (1)已知三边 (2)已知两边及其夹角 类型(1)(2)有解时只有一解 正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R (3)已知两角和一边 (4)已知两边及其中一边的对角 类型(3)在有解时只有一解，类型(4)可有两解、一解或无解 三角形面积公式 S=12bcsinA =12acsinB =12absinC (5)已知两边及其夹角 对于正弦定理，教师引导学生写出其变式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，利用幻灯片更能直观地看出解三角形时的边角互化.对于余弦定理，教师要引导学生写出其变式(然后教师打出幻灯片)：∠A>90°?a2>b2+c2;∠A=90°?a2=b2+c2;∠A<90°?a2 以上内容的复习回顾如不加以整理，学生将有杂乱无章、无规碰撞之感，觉得好像更难以把握了，要的就是这个效果，在看似学生乱提乱问乱说乱写的时候，教师适时地打出幻灯片(1张)，立即收到耳目一新，主线立现、心中明朗的感觉，幻灯片除以上2张外，还有： asinA=bsinB=csinC=2R;a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC;cosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，cosC=a2+b2-c22ab. 出示幻灯片后，必要时教师可根据学生的实际情况略作点评. 与学生一起讨论解三角形有时会出现无解的情况.如问题(4)中的①会出现如下解法： 根据正弦定理，sinB=bsinAa=25sin133°22≈0.831 1. ∵0° 于是C=180°-(A+B)≈180°-(133°+56.21°)=-9.21°或C=180°-(A+B)≈180°-(133°+123.79°)=-76.79°. 到这里我们发现解三角形竟然解出负角来，显然是错误的.问题出在哪里呢?在检验以上计算无误的前提下，教师引导学生分析已知条件.由a=22 cm，b=25 cm，这里a 讨论结果： (1)、(3)、(4)略. (2)利用正弦定理和余弦定理可解决以下四类解三角形问题： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角. ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). ③已知三边，求三个角. ④已知两边和夹角，求第三边和其他两角. 应用示例 例1在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b=acosC且△ABC的边长为12，最小角的正弦值为13. (1)判断△ABC的形状; (2)求△ABC的面积. 活动：教师与学生一起共同探究本例，通过本例带动正弦定理、余弦定理的知识串联，引导学生观察条件b=acosC，这是本例中的关键条件.很显然，如果利用正弦定理实现边角转化，则有2RsinB=2RsinA?cosC.若利用余弦定理实现边角转化，则有b=a?a2+b2-c22ab，两种转化策略都是我们常用的.引导学生注意对于涉及三角形的三角函数变换.内角和定理A+B+C=180°非常重要，常变的角有A2+B2=π2-C2，2A+2B+2C=2π，sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)，sinA2=cosB+C2，cosA2=sinB+C2等，三个内角的大小范围都不能超出(0°，180°). 解：(1)方法一：∵b=acosC， ∴由正弦定理，得sinB=sinA?cosC. 又∵sinB=sin(A+C)，∴sin(A+C)=sinA?cosC， 即cosA?sinC=0. 又∵A、C∈(0，π)，∴cosA=0，即A=π2. ∴△ABC是A=90°的直角三角形. 方法二：∵b=acosC， ∴由余弦定理，得b=a?a2+b2-c22ab， 2b2=a2+b2-c2，即a2=b2+c2. 由勾股定理逆定理，知△ABC是A=90°的直角三角形. (2)∵△ABC的边长为12，由(1)知斜边a=12. 又∵△ABC最小角的正弦值为13， ∴Rt△ABC的最短直角边长为12×13=4. 另一条直角边长为122-42=82， ∴S△ABC=12×4×82=162. 点评：以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向.因此要特别关注三角函数在解三角形中的灵活运用，及正、余弦定理的灵活运用. 变式训练 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且cosA=45. (1)求sin2B+C2+cos2A的值; (2)若b=2，△ABC的面积S=3，求a. 解：(1)sin2B+C2+cos2A=1-cos?B+C?2+cos2A =1+cosA2+2cos2A-1=5950. (2)∵cosA=45，∴sinA=35. 由S△ABC=12bcsinA得3=12×2c×35，解得c=5. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得a2=4+25-2×2×5×45=13， ∴a=13. 例2已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，若a=7，c=5，∠A=120°，求边长b及△ABC外接圆半径R. 活动：教师引导学生观察已知条件，有边有角，可由余弦定理先求出边b，然后利用正弦定理再求其他.点拨学生注意体会边角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作用. 解：由余弦定理，知a2=b2+c2-2bccosA，即b2+52-2×5×bcos120°=49， ∴b2+5b-24=0. 解得b=3.(负值舍去). 由正弦定理：asinA=2R，即7sin120°=2R，解得R=733. ∴△ABC中，b=3，R=733. 点评：本题直接利用余弦定理，借助方程思想求解边b，让学生体会这种解题方法，并探究其他的解题思路. 变式训练 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2+c2=a2+3bc，求： (1)A的大小; (2)2sinB?cosC-sin(B-C)的值. 解：(1)由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32， ∴∠A=30°. (2)2sinBcosC-sin(B-C) =2sinBcosC-(sinB?cosC-cosBsinC) =sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C) =sinA =12. 例3如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC=3，求： (1)AB的长; (2)四边形ABCD的面积. 活动：本例是正弦定理、余弦定理的灵活应用，结合三角形面积求解，难度不大，可让学生自己独立解决，体会正、余弦定理结合三角形面积的综合应用. 解：(1)因为∠BCD=75°，∠ACB=45°，所以∠ACD=30°. 又因为∠BDC=45°， 所以∠DAC=180°-(75°+ 45°+ 30°)=30°.所以AD=DC=3. 在△BCD中，∠CBD=180°-(75°+ 45°)=60°， 所以BDsin75°=DCsin60°，BD =3sin75°sin60°=6+22. 在△ABD中，AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×6-24= 5，所以AB=5. (2)S△ABD=12×AD×BD×sin75°=12×3×6+22×6+24=3+234. 同理， S△BCD=3+34. 所以四边形ABCD的面积S=6+334. 点评：本例解答对运算能力提出了较高要求，教师应要求学生“列式工整、算法简洁、运算正确”，养成规范答题的良好习惯. 变式训练 如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2. (1)求cos∠CBE的值; (2)求AE. 解：(1)因为∠BCD=90°+60°=150°， CB=AC=CD， 所以∠CBE=15°. 所以cos∠CBE=cos(45°-30°)=6+24. (2)在△ABE中，AB=2， 由正弦定理，得AEsin?45°-15°?=2sin?90°+15°?， 故AE=2sin30°cos15°=2×126+24=6-2. 例4在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC. 活动：此题所证结论包含关于△ABC的边角关系，证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理.另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如sin2B=2sinBcosB等，以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形. 证法一： (化为三角函数) a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2?2sinB?cosB+(2RsinB)2?2sinA?cosA=8R2sinA?sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2?2RsinA?2RsinB?sinC=2absinC. 所以原式得证. 证法二： (化为边的等式) 左边=a2?2sinBcosB+b2?2sinAcosA=a2?2b2R?a2+c2-b22ac+b2?2a2R?b2+c2-a22bc=ab2Rc(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=ab2Rc?2c2=2ab?c2R=2absinC. 点评：由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA?cosA，正弦两角和公式sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB;由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二. 篇三：关于余弦定理初中数学教学设计 变 式训练 在△ABC中，求证： (1)a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C; (2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC). 证明：(1)根据正弦定理，可设 asinA=bsinB= csinC= k， 显然 k≠0，所以 左边=a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C=右边. (2)根据余弦定理，得 右边=2(bcb2+c2-a22bc+cac2+a2-b22ca+aba2+b2-c22ab) =(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2) =a2+b2+c2=左边. 知能训练 1.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a、b、c.若△ABC的面积S=c2-(a-b)2，则tanC2等于( ) A.12 B.14 C.18 D.1 2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足4sin2A+C2-cos2B=72. (1)求角B的度数; (2)若b=3，a+c=3，且a>c，求a、c的值. 答案： 1.B 解析：由余弦定理及面积公式，得 S=c2-a2-b2+2ab=-2abcosC+2ab=12absinC， ∴1-cosCsinC=14. ∴tanC2=1-cosCsinC=14. 2.解：(1)由题意，知4cos2B-4cosB+1=0，∴cosB=12. ∵0 (2)由余弦定理，知3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=9-3ac， ∴ac=2.① 又∵a+c=3，② 解①②联立的方程组，得a=2，c=1或a=1，c=2. ∵a>c，∴a=2，c=1. 课堂小结 教师与学生一起回顾本节课我们共同探究的解三角形问题，特别是已知两边及其一边的对角时解的情况，通过例题及变式训练，掌握了三角形中边角互化的问题以及联系其他知识的小综合问题.学到了具体问题具体分析的良好思维习惯. 教师进一步点出，解三角形问题是确定线段 的长度和角度的大小，解三角形需要利用边角关系，三角形中，有六个元素：三条边、三个角;解三角形通常是给出三个独立的条件(元素)，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形，两个条件(元素)就够了.正弦定理与余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，正弦定理适用于已知两角一边，求其他要素;余弦定理适用于已知两边和夹角，或者已知三边求其他要素. 作业 课本本节习题1—1B组6、7. 补充作业 1.在△ABC中，若tanAtanB=a2b2，试判断△ABC的形状. 2.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，A=60°，B>C，b、c是方程x2-23x+m=0的两个实数根，△ABC的面积为32，求△ABC的三边长. 解答：1.由tanAtanB=a2b2，得sinA?cosBcosA?sinB=a2b2， 由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB， ∴sinA?cosBcosA?sinB=4R2sin2A4R2sin2B. ∴sinA?cosA=sinB?cosB， 即sin2A=sin2B. ∴A+B=90°或A=B， 即△ABC为等腰三角形或直角三角形. 2.由韦达定理，得bc=m，S△ABC=12bcsinA=12msin60°=34m=32， ∴m=2. 则原方程变为x2-23x+2=0， 解得两根为x=3±1. 又B>C，∴b>c. 故b=3+1，c=3-1. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=6，得a=6. ∴所求三角形的三边长分别为a=6，b=3+1，c=3-1. 设计感想 本教案设计的思路是：通过一些典型 的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法，具体解三角形时，所选例题突出了函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系. 本教案的设计注重了一题多解的训练，如例4给出了两种解法，目的是让学生对换个角度看问题有所感悟，使学生经常自觉地从一个思维过程转换到另一个思维过程，逐步培养出创新意识.换一个角度看问题，变通一下，也许会有意想不到的效果. 备课资料 一、正弦定理、余弦定理课外探究 1.正、余弦定理的边角互换功能 对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它，其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决. 【例1】 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sinAsinB=32，求a+bb的值. 解：∵asinA=bsinB，∴sinAsinB=ab.又sinAsinB=32(这是角的关系)， ∴ab=32(这是边的关系).于是，由合比定理，得a+bb=3+22=52. 【例2】 已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且2b=a+c. 求证：sinA+sinC=2sinB. 证明：∵a+c=2b(这是边的关系)，① 又asinA=bsinB=csinC，∴a=bsinAsinB，② c=bsinCsinB.③ 将②③代入①，得bsinAsinB+bsinCsinB=2b.整理，得sinA+sinC=2sinB(这是角的关系). 2.正、余弦定理的巧用 某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下： 【例3】 求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值. 解：原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°， ∵20°+10°+150°=180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角. 设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理，得a2+b2-2abcos150°=c2.(_ 而由正弦定理，知a=2Rsin20°，b=2Rsin10°，c=2Rsin150°，代入(_式，得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=14.∴原式=14. 二、备用习题 1.在△ABC中，已知a=11，b=20，A=130°，则此三角形( ) A.无解 B.只有一解 C.有两解 D.解的个数不确定 2.△ABC中，已知(a+c)(a-c)=b2+bc，则A等于( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 3.△ABC中，若acosB=bcosA，则该三角形一定是( ) A.等腰三角形但不是直角三角形 B.直角三角形但不是等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.△ABC中，tanA?tanB<1，则该三角形一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能 5.在△ABC中，若∠B=30°，AB=23，AC=2，则△ABC的面积是__________. 6.在△ABC中，已知A=120°，b=3，c=5，求： (1)sinBsinC; (2)sinB+sinC. 7.在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且cos〈AB→，AC→〉=14. (1)求sin2B+C2+cos2A的值; (2)若a=4，b+c=6，且b 参考答案： 1.A 解析：∵a90°，因此无解. 2.C 解析：由已知，得a2-c2=b2+bc，∴b2+c2-a2=-bc. 由余弦定理，得 cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12. ∴A=120°. 3.D 解析：由已知条件结合正弦定理，得 sinAcosB=sinBcosA，即sinA?cosA=sinB?cosB， ∴sin2A=sin2B. ∴2A=2B或2A=180°-2B， 即A=B或A+B= 90°. 因此三角形为等腰三角形或直角三角形. 4.B 解析：由已知条件，得sinAcosA?sinBcosB<1，即cos?A+B?cosA?cosB>0，cosCcosAcosB<0. 说明cosA，cosB，cosC中有且只有一个为负. 因此三角形为钝角三角形. 5.23或3 解析：由ACsin30°=ABsinC，知sinC=32. 若∠C=60°，则△ABC是直角三角形，S△ABC=12AB×AC=23. 若∠C=120°，则∠A=30°，S△ABC=12AC×AB?sin30°=3. 6.解法一：(1)∵b=3，c=5，A=120°， ∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×(-12)=49.∴a=7. 由正弦定理，得sinB=bsinAa=3×327=3314，sinC=csinAa=5314， ∴sinBsinC=45196. (2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437. 解法二：(1)由余弦定理，得a=7， 由正弦定理a=2RsinA，得R=a2sinA=733， ∴sinB=b2R=32×733=3314，sinC=c2R=5314. ∴sinBsinC=45196. (2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437. 7.解：(1)sin2B+C2+cos2A=12[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)=12(1+cosA)+(2cos2A-1)=12(1+14)+(18-1)=-14. (2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA， 即a2=(b+c)2-2bc-2bccosA 人教版数学必修5§1.1.2余弦定理的教学设计 一、教学目标解析 1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。 2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。 3、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法，从而培养学生的发散思维。 4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。 二、教学问题诊断分析 1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题： ①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角； ②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。 而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。 2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。 3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。 三、教学支持条件分析 为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果 按通常的运算规则，是近似值时用约等号。 四、教学过程设计 1、教学基本流程： ①从一道生活中的实际问题的解决引入问题，如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。 ②余弦定理的证明：启发学生从不同的角度得到余弦定理的证明，或引导学生自己探索获得定理的证明。 ③应用余弦定理解斜三角形。 2、教学情景： ①创设情境，提出问题 问题1：现有卷尺和测角仪两种工具，请你设 计合理的方案，来测量学校生物岛边界上两点的最 大距离（如图1所示，图中AB的长度）。 【设计意图】：来源于生活中的问题能激发学 生的学习兴趣，提高学习积极性。让学生进一步体 会到数学来源于生活，数学服务于生活。 师生活动：教师可以采取小组合作的形式，让学生设计方案尝 试解决。 学生1—方案1：如果卷尺足够长的话，可以在岛对岸小路上取 C一点C（如图2），用卷尺量出AC和BC的长，用 测角仪测出∠ACB的大小，那么△ABC的大小就 可以确定了。感觉似乎在△ABC中已知AC、BC的长及夹角C的大小，可以求AB的长了。 其他学生有异议，若卷尺没有足够长呢？ 学生2—方案2：在岛对岸可以取C、D 两点 （如图3），用卷尺量出CD的长，再用测角仪测出 图中∠ 1、∠ 2、∠ 3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在△ BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、BC及∠ACB，似乎可以求AB的长了。 教师：两种方案归根到底都是已知三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象正弦定理那样，寻找它们之间的某种定量关系？ 【设计意图】给学生足够的空间和展示的平台，充分发挥学生的主体地位。②求异探新，证明定理 问题2：在△ABC中，∠C = 90°，则用勾股定理就可以得到c2=a2+b2。 【设计意图】：引导学生从最简单入手，从而通过添加辅助线构造直角三角形。师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。 学生3：在△ABC中，如图4，过C作CD⊥AB，垂足为D。 在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1; 在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2; c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2ADBD = ab2abcos1cos22absin1sin 2=ab2abcos(12) ab2abcosC2222222222 AD图 4学生4：如图5，过A作AD⊥BC，垂足为D。 则：cADBD 22222bCD(aCD) ab2aCD ab2abcosC22222A图 5学生5：如图5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c=（bsinC）+（a-bcosC）= a+b-2abcosC 类似地可以证明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。 教师总结：以上的证明都是把斜三角形转化为两个直角三角形，化一般为特殊，再利用勾股定理来证明。并且进一步指出以上的证明还不严密，还要分∠C为钝角或直角时，同样都可以得出以上结论，这也正是本节课的重点—余弦定理。 【设计意图】：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。 师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有2 22 2 22 22 2 2其他方法证明余弦定理。 教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？ 【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣。 学生6：如图6，记ABc,CBa,CAb则cABCBCAab22（c）（ab） 22ab2ab 222即cab2abcosC cab2abcosC222A 图6 教师：以上的证明避免了讨论∠C是锐角、钝角或直角，思路简洁明了，过程简单，体现了向量工具的作用。又向量可以用坐标表示，AB长度又可以联系到平面内两点间的距离公式，你会有什么启发？ 【设计意图】：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。学生7：如图7，建立直角坐标系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），则 cAB22(acosCb)(asinC) 2222 ab2abcosC 【设计意图】：通过以上平面几何知识、向量法、解析法引导学生体会证明余弦定理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培养学生发散思维能力，拓展学生思维空间的深度和广度。 ③运用定理，解决问题 让学生观察余弦定理及推论的构成形式，思考用余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。 例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。 ②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。 【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既①已知三角形两边及夹角，求第三边；②已知三角形三边，求三内角。 ④小结 本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面进行探究，得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它的特例。所以它很“完美”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其变式即推论也很协调。 【设计意图】：在学生探究数学美，欣赏美的过程中，体会数学造化之神奇，学生可以兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。 ⑤作业 第1题：用正弦定理证明余弦定理。 【设计意图】：继续要求学生扩宽思路，用正弦定理把余弦定理中的边都转化成角，然后利用三角公式进行推导证明。而这种把边转化为角、或把角转化为边的思想正是我们解决三角形问题中的一种非常重要的思想方法。 第2题：在△ABC 中，已知abB45，求角A和C和边c。 【设计意图】：本题可以通过正弦定理和余弦定理来求解，让学生体会两种定理在解三角形问题上的利弊。运用正弦定理求角可能会漏解，运用余弦定理求角不会漏解，但是计算可能较繁琐。 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计 1.2 余弦定理 南京师范大学附属中学张跃红 教学目标： 1.掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 2.能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 教学重点： 重点是余弦定理及其证明过程． 教学难点： 难点是余弦定理的推导和证明． 教学过程： 1.创设情景，提出问题． 问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一 段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A、B两点间的距离（如图 1）．请想办法解决这个问题． 设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容． 2.构建模型，解决问题． 学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出∠ACB．△ABC是确定的，就可以计算出AB的长．接下来，请三位板演其解法． 法1：（构造直角三角形） 如图2，过点A作垂线交BC于点D，则 ｜AD｜＝｜AC｜sinC，｜CD｜＝｜AC｜cosC，｜BD｜＝｜BC｜－｜CD｜＝｜BC｜－｜AC｜cosC，所以，|AB||AD|2|BD|2|AC|2|BC|22|AC||BC|cosC． C 法2：（向量方法） 如图3，因为ABACCB，22 所以，AB(ACCB) 22ACCB2ACCBcos(C),即 |AB|AC|2|BC|22|AC||BC|cosC． 法3：（建立直角坐标系）C建立如图4所示的直角坐标系，则A（｜AC｜cosC, ｜AC｜sinC），B（｜BC｜, 0），根据两点间的距离公式，可得 |AB|(|AC|cosC|BC|)2(|AC|sinC0)2，所以，|AB|AC|2|BC|22|AC||BC|cosC． 活动评价：师生共同评价板演． 3.追踪成果，提出猜想． 师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边长，则有c2a2b22abcosC成立．类似的还有其他等式，a2c2b22cbcosA，b2c2a22cacosB． 正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理． 问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？ 设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯． 学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程． 教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点 间的距离公式来解决，等等． 4.探幽入微，深化理解． 问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？ 学生活动：勾股定理是余弦定理的特例． 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 a2b2c2，a2b2c2；c2a2b22abcosC是边长a、b、c的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等． 教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）． 问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？ 设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”． 学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即 b2c2a2a2c2b2a2b2c2 cosA,cosB,cosC． 2bc2ac2ab 5.学以致用，拓展延伸． 练习： 1．在△ABC中，若a＝3,b＝5,c＝7，求角C． 2．（1）在△ABC中，若b1,c6,A450，解这个三角形． （2）在△ABC中，b,B600,c1，求a． 学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形a2b2c2 式cosC；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决． 2ab 思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦 定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．第二篇：余弦定理教学设计
第三篇：余弦定理教学设计（热门3篇）
第四篇：1.1.2余弦定理教学设计
第五篇：1.2 余弦定理教学设计
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